Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1 

33 страницы

487.00 ₽

Купить ГОСТ 11.009-79 — бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль"

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров логарифмически нормального распределения по совокупности статистических данных, если эти данные подчинены логарифмически нормальному распределению. Проверка согласия опытного распределения этих данных с логарифмически нормальным производится по ГОСТ 11.006-75.

 Скачать PDF

Отменен без замены.

Оглавление

1. Общие положения

2. Оценки параметров a и сигма

3. Определение доверительных границ для параметра a

4. Определение доверительных границ для параметра сигма

5. Случай цензурированной выборки

6. Случай усеченной выборки

Приложение 1 (справочное) Примеры применения правил стандарта

Приложение 2 (рекомендуемое) Способ нахождения оценки параметра сигма через размах

Приложение 3 (справочное) Оценки для математического ожидания и дисперсии логарифмически нормального распределения; доверительные границы для математического ожидания

Приложение 4 (рекомендуемое) Использование натуральных логарифмов

Приложение 5 (справочное) Теоретические основы стандарта

Литература

 
Дата введения01.07.1980
Добавлен в базу01.01.2019
Завершение срока действия01.03.1987
Актуализация01.02.2020

Организации:

28.09.1979УтвержденГосударственный комитет СССР по стандартам3768
РазработанВНИИС
ИзданИздательство стандартов1980 г.

Product quality control system. Applied statistics. Point and interval estimators for parameters of logarithmico-normal distribution

Стр. 1
стр. 1
Стр. 2
стр. 2
Стр. 3
стр. 3
Стр. 4
стр. 4
Стр. 5
стр. 5
Стр. 6
стр. 6
Стр. 7
стр. 7
Стр. 8
стр. 8
Стр. 9
стр. 9
Стр. 10
стр. 10
Стр. 11
стр. 11
Стр. 12
стр. 12
Стр. 13
стр. 13
Стр. 14
стр. 14
Стр. 15
стр. 15
Стр. 16
стр. 16
Стр. 17
стр. 17
Стр. 18
стр. 18
Стр. 19
стр. 19
Стр. 20
стр. 20
Стр. 21
стр. 21
Стр. 22
стр. 22
Стр. 23
стр. 23
Стр. 24
стр. 24
Стр. 25
стр. 25
Стр. 26
стр. 26
Стр. 27
стр. 27
Стр. 28
стр. 28
Стр. 29
стр. 29
Стр. 30
стр. 30

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ. ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ГОСТ 11.009-79

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ Москва

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ. ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ГОСТ 11.009-79

Издание официальное

МОСКВА —1980

Продолжение табл. 5

Значения коэффициентов гв при односторонней доверительной вероятности 7

К

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

45

1,10

1,16

1,21

1,26

1,32

1,36

1,40

1,46

50

1,10

1,15

1,20

1,24

1,30

1,34

1,37

1,42

60

1,09

1 ,14

1,18

1,22

1 ,27

1,30

1,33

1 ,37

70

1,08

1,13

1,16

1,20

1,24

1,27

1,30

1,34

80

1,08

1,12

1,15

1,18

1,22

1,25

1 ,27

1,31

90

1,07

Ml

1,14

1,17

1,21

1,23

1,25

1,29

100

1,07

1,10

1,13

1,16

1,19

1,22

1,24

1,27

Примечание. Для отсутствующих в табл. 4 и 5 значений К величины Zu, zt находят линейной интерполяцией по К.

5. СЛУЧАЙ ЦЕНЗУРИРОВАННОЙ ВЫБОРКИ*

5.1.    В этом разделе используются следующие обозначения: п— объем всей выборки;

m — число известных элементов;

h — n~m .    (17)

п

5.2.    Выборка, цензурированная слева (т. е. Xi^d для известных элементов хь__. . ., хгп).

5.2.1. Оценки а и s параметров а и а соответственно находят следующим образом: вычисляют

У (lg Xi—lg d)J

v=m-!—^-;    (18)

m

Og-*»—lg d)Y

находят z по табл. 6, в которую входят со значениями h и у, найденными соответственно по формулам (17) и (18); находят f\(z) в табл. 7 по найденному значению г; вычисляют s по формуле

У 0g Xi—lg d)

(19)

S =_L=*__izi_

hfi (•?)—(!—.h) z    m

Определение цензурированной выборки дано в справочном приложении 5.

Таблица б

Значения коэффициента г для цензурированной выборки

V

А=0,05

Л = 0,10

/1=0,15

h =0,20

Л = 0,25

л=о,эо

А = 0,35

/(=0,40

/1=0,45

А=0,50

1,00

—2,680

—1,985

-1,537

—1,207

—0,943

—0,720

—0,523

—0,345

—0,178

Г,01

__

—2,555

—1,921

—1,499

—1,182

—0,925

-0,707

—0,514

—0,338

—0,173

1,02

_

—2,445

—1,862

—1,463

—1,158

—0,909

—0,695

—0,505

—0,331

—0,168

1,03

_

—2,349

-1,809

—1,429

—1,135

—0,893

—0,683

—0,496

—0,325

—0,163

1,04

_

—2,263

—1,759

—1,398

—1,114

—0,877

—0,672

—0,488

—0,318

—0,158

1,05

—2,922

—2,185

—1,714

—1,368

—1,093

—0,863

—0,661

—0,480

—0,312

—0,154

1,06

—2,786

—2,115

—1,674

—1,340

—1,074

—0,849

—0,651

—0,472

—0,306

—0,149

1,07

—2,667

—2,051

—1,632

—1,314

—1,055

—0,835

—0,641

—0,464

—0,300

—0,144

1,08

—2,562

—1,992

—1,595

—1,289

—1,037

—0,822

—0,631

—0,457

-0,295

—0,140

1,09

—2,468

—1,939

—1,560

—1,265

—1,020

—0,809

—0,621

—0,450

—0,289

—0,136

1,10

—2,384

—1,889

—1,528

— 1,242

—1,004

—0,797

—0,612

—0,443

—0,284

—0,132

1 ,11

—2,308

—1,843

—1,497

—1 ,221

—0,988

—0,786

—0,603

—0,436

—0,278

—0,128

1,12

—2,239

—1,800

—1,468

—1,200

—0,973

—0,774

—0,595

—0,429

—0,273

—0,124

1,13

—2,175

—1,760

—1,441

—1,180

—0,959

—0,763

—0,587

—0,423

—0,268

—0,120

1,14

—2,117

—1,722

—1,415

—1,162

—0,945

—0,753

—0,579

—0,416

—0,263

—0,116

1,15

—2,063

—1,686

—1,390

—1,144

—0,932

—0,743

—0,571

—0,410

—0,258

—0,112

1,16

—2,013

—1,653

—1,366

— 1,127

—0,919

—0,733

—0,563

—0,404

—0,254

—0,108

М7

—1,966

—1,621

-1,344

-1,110

—0,906

—0,723

—0,555

—0,399

—0,249

—0,105

1,18

— 1,923

—1,591

—1,322

—1,094

—0,894

—0,714

—0,548

—0,393

—0,245

—0,101

1,19

—1,882

—1,563

—1.302

— 1,079

—0,882

—0,705

—0,541

—0,387

—0,240

—0,098

1,20

—1,844

—1,536

-1,282

—1,064

—-0,871

—0,696

—0,534

—0,382

—0,236

—0,094

1,22

—1,773

—1,486

—1,245

—1,036

—0,850

—0,679

—0,521

—0,371

—0,228

—0,087

1,24

—1,710

—1,441

-1,211

—1,010

—0,829

—0,663

—0,508

—0,361

—0,220

—0,081

1,26

—1,654

-1,399

—1,180

—0,986

—0,810

—0,648

—0,496

—0,352

—0,212

—0,075

1,28

—1,602

—1,360

—1,150

—0,963

—0,792

—0,634

—0,485

—0,343

—0,204

—0,069

1,30

—1,555

—1,325

—1,123

—0,941

—0,775

—0,620

—0,474

—0,331

—0,197

—0,063

1,32

—1,512

—1,292

—1,097

—0,921

—0,759

—0,607

—0,463

—0,325

—0,190

—0,058

1,34

—1,472

—1,261

—1,073

—0,902

—0,744

—0,595

—0,453

—0,317

—0,184

—0,052

1,36

—1,435

—1,233

— 1,050

-0,884

—0,729

—0,583

—0,444

—0,309

-0,177

—0,047

1,38

—1,401

—1,206

—1,029

—0,866

-0,715

—0,572

—0,434

—0,301

—0,171

—0,042

1,40

—1,369

—1,180

—1,009

-0,850

-0,702

—0,561

—0,425

—0,294

—0,166

—0,037

ГОСТ 11.009-79 Стр.

Продолжение табл. 6

Значения коэффициента г для цензурированной выборки

V

А = 0,95

А=0,10

Л = 0,15

Л = 0,20

h =0,25

30

ft = 0,35

Л = 0,40

Л =0,45

А =0,50

М2 1.44 1,46 1,48

1.50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60

1.70 1.80

1.90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40

2.50 2,60

2.70 2,80

2.90 3,00

—1,339 —1,311 —1,285 —1,260 —1,236 —1,214 —1,193 —1,173 —1,154 -1,135 —1,055 —0,989 —0,934 —0,887 —0,847 —0,811 -0,779 —0,751 —0,725 —0,702 —0,680 —0,661 —0,643 —0,626

—1,156 —1,134 — 1,113 —1,092 —1,073 —1,065 —1,038 —1,021 —1,005 —0,990 —0,922 —0,866 —0,819 —0,778 —0,742 —0,711 —0,682 —0,657 —0,634 —0,613 —0,594 —0,576 —0,560 -0,545

—0,989

—0,971

—0,954

—0,937

—0,921

—0,906

—0,892

—0,878

—0,865

-0,852

—0,795

—0,747

—0,706

—0,671

—0,639

-0,611

—0,586

—0,564

—0,544

—0,525

—0,507

—0,491

—0,477

—0,463

—0,834

—0,819

—0,805

—0,792

—0,779

—0,766

—0,754

—0,742

—0,731

—0,721

—0,673

—0,631

—0,596

—0,565

-0,538

—0,513

—0,491

—0,471

—0,453

—0,436

—0,421

—0,406

—0,393

—0,381

—0,689 —0,677 —0,665 —0,654 —0,643 —0,632 —0,622 —0,613 —0,603 —0,594 —0,553 —0,518 —0,488 —0,461 -0,437 —0,415 —0,396 —0,378 —0,362 —0,347 —0,333 -0,320 —0,308 —0,297

—0,550

—0,540

—0,530

—0,521

—0,512

—0,503

—0,495

—0,487

—0,479

—0,471

—0,437

—0,407

—0,380

—0,357

—0,336

-0,317

—0,300

—0,284

—0,270

—0,257

—0,244

—0,233

-0,222

—0,212

—0,417

—0,408

—0,400

—0,393

—0,385

—0,378

—0,371

—0,364

—0,357

—0,351

—0,322

—0,296

-0,273

—0,253

—0,235

—0,219

—0,203

—0,189

—0,177

—0,165

-0,154

-0,144

-0,134

-0,125

—0,287

—0,280

—0,273

—0,267

—0,261

—0,255

—0,249

—0,243

—0,238

—0,232

—0,207

—0,186

—0,166

-0,149

—0,133

—0,119

—0,105

—0,093

—0,082

—0,072

—0,062

—0,053

—0,044

—0,036

—0,160 —0,154 —0,148 —0,143 —0,138 —0,133 —0,128 —0,123 —0,118 —0,114 —0,093 —0,074 —0,058 —0,043 —0,029 —0,017 —0,005 —0,006 —0,016 —0,025 —0,033 —0,041 —0,049 —0,056

-0,032

—0.027

—0,023

—0,019

—0,014

—0,010

—0,006

—0,002

0,002

0,006

0,023

0,039

0,053

0,066

0,077

0,088

0,098

0,107

0,116

0,124

0,131

0,138

0,145

0,151


Стр. 10 ГОСТ 11.009-79


ГОСТ 11.009-79 Стр. 11

вычисляют а по формуле

a—lg d—zs,    (20)

где г и s определяют как указано выше.

5.2.2. Доверительные границы для параметров а и а находят

по формулам

ан—а «Т ,_У72(2);

У п

(21)

aB—a+Uf ■ —У /2(г); У п

(22)

°„=s ит лг—V Л(г);

V П

(23)

oB_s+«T тV Мг),

V П

(24)

где щ находят по табл. 3: z, s,~a находят как в п. 5.2.1;

f2(z), Ыг) находят в табл. 7 по найденному значению г.

Таблица 7

Значения функций fi(z), [2(2]

1, Мг)

Z

/,(г)

ли)

ли)

2

/Лг)

Мг)

ли)

г = - — :

—3,0

3,283

1,000

0,501

—1,0

1,525

1,042

0,643

—2,9

3,190

1,000

0,502

—0,9

1,446

1,054

0,671

—2,8

3,098

1,000

0,502

—0,8

1,367

1,069

0,702

—2,7

3,006

1,000

0,503

-0,7

1,290

1,089

0,740

—2,6

2,914

1,000

0,504

—0,6

1,215

1,114

0,783

—2,5

2,823

1,001

0,505

-0,5

1,141

1,147

0,833

—2,4

2,732

1,001

0,507

-0,4

1,069

1,189

0,891

—2,3

2,641

1,001

0,509

—0,3

0,998

1,243

0,959

—2,2

2,552

1,001

0,512

—0,2

0,929

1,312

1,039

—2,1

2,462

1,002

0,515

-0,1

0,863

1,401

1,132

—2,0

2,373

1,003

0,519

0,0

0,798

1,517

1,241

—1,9

2,285

1,004

0,524

0,1

0,735

1,667

1,370

— 1,8

2,197

1,005

0,530

0,2

0,675

1,863

1,523

—1,7

2,110

1,006

0,537

0,3

0,617

2,118

1,704

— 1,6

2,024

1,009

0,546

0,4

0,562

2,453

1,919

—1,5

1,939

1,011

0,556

0,5

0,509

2,893

2,178

— 1 ,4

1,854

1,015

0,568

0,6

0,459

3,473

2,488

—1,3

1,770

1,019

0,583

0,7

0,412

4,241

2,863

—1,2

1,688

1,025

0,600

0,8

0,368

5,261

3,319

-1,1

1,606

1,032

0,620

0,9

0,326

6,623

3,876

Продолжение табл. 7

г

М*)

Л(г)

/з(*)

Z

Л(г)

№)

Мг)

1,0

1

0,288

8,448

4,561

1,6

0,117

44,99

14,24

1,1

0,252

10,90

5,408

1,7

0,098

61,13

17,71

1,2

0,219

14,22

6,462

1,8

0,082

83,64

22,19

1,3

0,190

18,73

7,780

1,9

0,068

115,2

28,05

1,4

0,163

24,89

9,442

2,0

0,055

159,7

35,74

1,5

0,139

33,34

11,55

Эти формулы обеспечивают точность, достаточную для практических целей, при объеме выборки 20.

5.3. Выборка, цензурированная справа (т. е. xt^Ldf для известных пг элементов выборки хи • ■ 1, хт).

Результаты обрабатываются так же, как указано в пп. 5.2.1; 5.2.2 со следующими изменениями.

Формулу (19) для вычисления s заменяют на

т

У(1 gd'~\gXi)

S = -Ь1---

A/i (г)-(1 -А)1_ т Формулу (20) для вычисления а заменяют на

a—zs-{- lg d\    (26)

Прочие формулы пп. 5,2.1 и 5.2.2 остаются без изменений (см. примеры 7 и 8 справочного приложения 1).

6. СЛУЧАЯ УСЕЧЕННОЙ ВЫБОРКИ1

6.1. Оценки параметров а и а находят следующим образом: вычисляют v по формуле (18), где т — число известных элементов выборки;

находят г по табл. 8, в которую входят со значением t>, найденным по формуле (18);

находят gi(z) из табл. 9 по найденному значению г; вычисляют s по формуле

т

2dg    •g d)

gi(2) ■     для    выборки,    усеченной    слева;

5 —

т

т

d-—\g xt)

gif2) —-для    выборки,    усеченной    справа;

т

ГОСТ 11.009-79 Стр. 13

вычисляют а по формуле (20) для выборки, усеченной слева, и по формуле (26) для выборки, усеченной справа; в эти формулы подставляют г, найденное по табл. 8, g\ (г), найденное по табл. 9, и

s, найденное по формуле (27).

6.2. Доверительные границы для параметров а и

о находят по

формулам:

а„-а и, V V п

(28)

ав—а-\-щ —]/ £2(г); V п

(29)

°3-S ит У £3(г);

V п

(30)

о.—«+«т • 1/ g;(z), V п

(31)

где щ находят по табл. 3; г, s, а находят как в п. 6.1;

£2(2),    находят    в    табл.    9    по    найденному    значению    2.

Эти формулы обеспечивают точность, достаточную для практических целей, при объеме выборки «^20 (см. примеры 9 и 10 справочного приложения 1).

Таблица 8

Значения коэффициента z для усеченной выборки

V

г

V

г

V

г

V

г

1,10

—3,145

1,30

—1,429

1,50

—0,383

1,70

1,829

1,11

—2,990

1,31

—1,373

1,51

—0,330

1,71

1,905

1,12

—2,851

1,32

—1,318

1,52

-0,277

1,72

1,984

1,13

—2,727

1,33

— 1,263

1,53

—0,224

1,73

1,066

1,14

—2,613

1,34

—1,209

1,54

—0,170

1.74

1,151

1,15

—2,508

1,35

—1,156

1,55

—0,116

1,75

1,240

1,16

—2,410

1,36

—1,103

1,56

—0,060

1,76

1,332

1,17

—2,319

1,37

—1,051

1,57

—0,004

1,77

1,428

1,18

—2,232

1,38

—0,999

1,58

0,052

1,78

1,530

1,19

—2,151

1,39

-0,947

1,59

0,110

1,79

1,636

1,20

—2,073

1,40

—0,896

1,60

0,168

1,80

1,749

1,21

—1,999

1,41

—0,845

1,61

0,228

1,81

1,868

1,22

—1,928

1,42

-0,794

1,62

0,289

1,82

1,994

1,23

—1,859

1,43

—0,743

1,63

0,351

1,24

—1,792

1,44

—0,692

1,64

0,414

1,25

—1,728

1,45

—0,641

1,65

0,479

1 ,26

—1,665

1,46

—0,589

1,66

0,545

1,27

—1,604

1,47

—0,538

1,67

0,613

1,28

—1,545

1,48

-0,487

1,68

0,683

1,29

—1,486

1,49

—0,435

1,69

0,754 |

I

Таблица 9

Значения функций £1(2), g2(z), gi(z)

г

£i(z)

ta(z)

gM

2

gM

gM

£з(г)

—3,0

0,3328

1,015

0,5363

—0,5

0,9909

8,115

2,440

—2,9

0,3441

1,019

0,5453

-0,4

1,0396

9,896

2,692

—2,8

0,3561

1,026

0,5562

—0,3

1,0902

12,09

2,975

-2,7

0,3689

1,034

0,5590

-0,2

1,1428

14,80

3,290

—2,6

0,3826

1,044

0,5842

-0,1

1,1971

18,12

3,641

-2,5

0,3972

1,057

0,6020

0,0

1,2533

22,19

4,031

—'2,4

0,4128

1,074

0,6228

0,1

1,3113

27,14

4,465

—2,3

0,4294

1,096

0,6469

0,2

1,3710

33,16

4,947

—2,2

0,4472

1,124

0,6747

0,3

1,4323

40,44

5,481

—2,1

0,4662

1,159

0,7066

0,4

1,4953

49,23

6,072

-2,0

0,4866

1,204

0,7433

0,5

1,5599

59,81

6,725

—1.9

0,5082

1,260

0,7852

0,6

1,6259

72,49

7,447

—1,8

0,5314

1,332

0,8329

0,7

1,6935

87,63

8,242

-1.7

0,5560

1,424

0,8871

0,8

1,7624

105,7

9,118

-1.6

0,5823

1,540

0,9487

0,9

1,8327

127,1

10,08

-1.5

0,6102

1,688

1,018

1,0

1 ,9043

152,4

11,14

—1.4

0,6398

1,874

1,097

1,1

1,9771

182,3

12,30

—1,3

0,6713

2,110

1,186

1,2

2,0511

217,4

13,57

-1.2

0,7045

2,408

1,287

1,3

2,1262

258,6

14,96

—1,1

0,7396

2,783

1,400

1,4

2,2024

306,8

16,47

-1.0

0,7766

3,256

1,527

1,5

2,2796

362,9

18,12

—0,9

0,8156

3,849

1,671

1,6

2,3578

428,1

19,92

—0,8

0,8565

4,592

1,831

и

2,4369

503,7

21,88

—0,7

0,8993

5,520

2,012

1,8

2,5169

591,1

24,01

—0,6

0,9442

6,677

2,214

1,9

2,5978

691,7

26,31

1 2,0

2,6794

807,6

28,81

ГОСТ 11.009-79 Стр. 15

ПРИЛОЖЕНИЕ / Справочное

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ СТАНДАРТА

Пример 1. Имеется выборка объемом 20 из значений случайной величины Х> подчиненнвй логарифмически нормальному распределению. Значения приведены в табл. 1. Найти оценки параметров а и а.

Таблица 1

1

*1

1

i

*1

18*/

1

1076

3,032

11

628

2,758

2

1700

3,230

12

735

2,866

3

2616

3,418

13

1074

3,031

4

4754

3,677

14

375

2,574

5

351

2,545

15

2275

3,357

6

4195

3,623

16

489

2,690

7

1767

3,247

17

788

2,897

8

781

2,893

18

524

2,719

9

2021

3,306

19

1746

3,242

10

776

2,890

20

1100

3,041

Решение.

Согласно формулам (5), (9), (10) настоящего стандарта находим:

a=3,054,

Sj=0,10602;

S\ =0,326 i s=Mu-sl=l ,013-0,326=0,330.

Пример 2. В условиях предыдущего примера найти односторонние доверительные границы для параметра а при доверительной вероятности у=0»90-Решение. Согласно п. 3.1 для п=20 и у=0,90 по табл. 2 настоящего стандарта находим

V~20    V~20

и по формулам (13) и (14)

ан=3,054—0,330 • 0,297=3,054—0,093=2,956 ; ав=3,054+0,098=3,152.

Пример 3. В условиях примера 1 найти доверительный интервал для параметра а при двусторонней доверительной вероятности у*=0,95.

Решение. По формуле (4) находим

у=0,975.

По табл. 2 настоящего стандарта для п=20 и найденного значения у находим

*0,975 (19>    _    2>086

уГ~20 У20

и по формулам (13) и (14)

ан=3,054—0,330*0,466=3,054—0,154=2,900;

ав=3,054+0,154=3,208.

Пример 4. Дана выборка из 10 значений случайной величины, подчиненной логарифмически нормальному распределению (табл. 2). Известно, что сг = 1,00. Найти доверительный интервал для а при двусторонней доверительной вероятности у* =0,90.

Таблица 2

i

*1

lgxt

i

\gxL

1

25,1

1,40

6

93,3

1,97

2

36,3

1,56

7

37,2

1 ,57

3

2951,2

3,47

8

4,9

0,69

4

17,4

1,24

9

30,9

1,49

5

1,2

0,07

10

169,8

2,23

Решение. Согласно п. 2.1 настоящего стандарта по формуле (5) находим

а =1,57.

По формуле (13) находим у=0,95 и по табл. 3 настоящего стандарта

и^ =1,645.

По формулам (11) и (12)

а„ = 1,57— ■ 1,(^—1,00=1,57—0,52=1,05;

V 10

ав=1,57+0,52=2,09.

Пример 5. В условиях примера 1 найти верхнюю доверительную границу для параметра а при односторонней доберительной вероятности 7=0,95.

Решение. Согласно разд. 4 настоящего стандарта для /(=19 и 7 = 0,95 из табл. 4 настоящего стандарта находят

гв=1,37.

По формуле (16) ав= 1,37 • 0,330=0,452.

ГОСТ 11.009-79 Стр. 17


Пример 6. В условиях примера 1 найти доверительный интервал для параметра а при двусторонней доверительной вероятности у* =0,90.

Решение. По формуле (4) находим у=0,95.

Из табл. 4 настоящего стандарта находим для /С=19 и у=0,95

н=0,794.


По формуле (15) находим


(Г„=0,794-0,330-0,264;


значение <тв = 0,452 найдено в предыдущем примере.

Пример 7. Известно, что наработка некоторого изделия на отказ имеет логарифмически нормальное распределение. Проводились испытания по плану [TV, U, Т] при N — 40, 7=2000 ч (см. ГОСТ 16504-74). Число изделий, отказавших до окончания срока испытания, равно гп=33. В табл 3 приведены результаты испытаний (здесь срок работы i-ro изделия, d' = T = 2000, l'g d' = 3,30l). Найти оценки параметров а и а.


Таблица 3

Номер изделия i

xi

ig xi

igdr—igxi

Номер изделия i

xi

ig**

\gd,~\gxi

1

1076

3,031

0,270

18

901

2,954

0,347

2

1700

3,230

0,071

19

1665

3,221

0,080

3

351

2,545

0,756

20

986

2,994

0,307

4

1767

3,247

0,054

21

411

2,614

0,687

5

781

2,893

0,408

22

765

2,884

0,417

6

776

2,890

0,411

23

703

2,847

0,454

7

628

2,798

0,503

24

480

2,681

0,620

3

735

2,867

0,434

25

1397

3,145

0,156

9

1074

3,031

0,270

26

235

2,371

0,930

10

375

2,574

0,727

27

1797

3,255

0,046

11

489

2*690

0,611

28

841

2,925

0,376

12

788

2,897

0,404

29

658

2,818

0,483

13

524

2,719

0,582

30

736

2,867

0,434

14

1746

3,242

0,059

31

559

2,747

0,554

15

1100

3,041

0,260

32

901

2,955

0,346

16

509

2,707

0,594

33

1793

3,254

0,047

17

1872

3,272

0,029


Решение. Здесь, очевидно, имеет место цензурированная справа выборка (см. также п. 5 справочного приложения 5). Согласно п. 5.3 настоящего стандарта находим


33


d'-lg


*i)


12,727,


зз


2<1в d'~[« *()г=6,671


o=33.


6,671


12,7272


=1,359.


РАЗРАБОТАН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

ИСПОЛНИТЕЛИ

▲. М. Бендерский, канд. техн. наук; Н. Б. Левина, канд. физ.-мат. наук; А. А. Богатырев, канд. экон. наук; Н. Г. Миронова; Л. С. Сипатрина; Ю. Д. Филиппов; Л. А. Фомина; 3. Н. Шкотт

ВНЕСЕН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор А. В. Гличев

УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 28 сентября 1979 г. № 3768

По табл. 6 настоящего стандарта для 1,359 и с помощью линейной интерполяции находим

40—33 Л= 4сП"

0,175

*=—0,968;

_0,825_

0,175*1,5+0,825.0,968


12,727

33


=0,300;


по формуле (26)


по табл. 7 стандарта находим fi (—0,968) = 1,336; по формуле (25) находим

а =3,301—0,968-0,300=3,011.

Пример 8. В условиях предыдущего примера найти доверительные интервалы для параметров а и а при двусторонней доверительной вероятности у*=0,95.

Решение. По формуле (4) имеет у=0,975 и по табл. 3 настоящего стандарта ал =1,960.

По табл. 7 настоящего стандарта находим

/з(—0,968) = 1,046,

/з(—0,968) =0,652 и по формулам (21) —(24) имеем

Q О    _

дн=3,011—1,960- —— - У1,046= 3,011—0,105= 2,906,

V 33

яв=3,011+0,105=3,116,

0 3    /

«гн=0,300-1,960- —1--у 0,652=0,300=0,083=0,217,

"|/Тз

ав=0,300+0,083=0,383.

Пример 9. Известно, что распределение диаметров частиц подчинено логарифмически нормальному распределению. По данным табл. 4 (где Х\ — размеры частиц в мкм) требуется найти параметры этого распределения, если известно, что средство измерения не охватывает всего диапазона изменения диаметров частиц, и часть результатов измерений — именно, когда диаметр частицы не более 100 мкм — не фиксируется.

Таблица 4

Номер измерения i

xi

lg^—lg d

Номер измерения i

*1

ig *1

IfXi-lgd

1

512

2,709

0,709

16

181

2,258

0,258

2

321

2,506

0,506

17

377

2,576

0,576

3

1660

3,220

1,220

18

360

2,556

0,556

4

973

2,988

0,998

19

314

2,497

0,497

5

1493

3,174

1,174

20

726

2,861

0,861

УДК 519.2 : 658.562.014 : 006.354    Группа    Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР


Система управления качеством продукции. Прикладная статистика

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Product quality control system. Applied statistics. Point and interval estimators for parameters of logarithmico-normal distribution


гост

11.009—79


Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 28 сентября 1979 г. № 3768 срок введения установлен

с 01.07. 1980 г.


Настоящий стандарт устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров логарифмически нормального распределения по совокупности статистических данных, если эти данные подчинены логарифмически нормальному распределению. Проверка согласия опытного распределения этих данных с логарифмически нормальным производится по ГОСТ 11.006-75.

Указанные правила даются как для полностью определенных, так и для неполных однократно усеченных или однократно цензурированных выборок.


1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ


1.1.    Распределение положительной случайной величины X называется логарифмически нормальным, если случайная величина

У= ig х    (1)

имеет нормальное распределение (см. ГОСТ 11.004-74).

1.2.    Функция распределения величины X имеет вид


F(x) =


-QO


(*-а)а

2 <Ja


, Ug x--a)io __/a/2

dt = -~г Г e dty*tx>% (2)

r    J    TTf-iTi    V*


при


Таким образом, а и а являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины К, определенной по формуле (1).


Издание официальное


Перепечатка воспрещена

©Издательство стандартов, 1980


1.3. Плотность распределения величины X имеет вид


/(*)=■


м


х


е


(lg х—а)2

2


0


при jc>0 при х<0,


(3)


где M = \ge=0,4343.

1.4.    Для определения оценок и доверительных границ параметров логарифмически нормального распределения можно также пользоваться натуральными логарифмами (см. рекомендуемое приложение 4).

Формулы для математического ожидания и дисперсии величины X, а также оценки для них, даны в справочном приложении 3.

1.5.    В разд. 3—6 при определении нижней односторонней доверительной границы пользуются одной из формул (11), (13), (15), (21), (23), (28), (30), где у— заданное значение односторонней доверительной вероятности.

При определении верхней односторонней доверительной границы пользуются одной из формул (12), (14), (16), (22), (24), (29), (31), где у — заданное значение односторонней доверительной вероятности.

При определении доверительного интервала для заданной двусторонней доверительной вероятности у* сначала определяют у по формуле


i±r

2


(4)


Затем пользуются соответствующими формулами, в которых у вычислена по формуле (4).

Доверительный интервал (бесконечный в одностороннем случае и конечный в двустороннем) накрывает значение параметра с вероятностью у в одностороннем случае и у* в двустороннем.


2. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ а и сг


2.1. Оценку а параметра а находят по формуле


а—



(5)


где х\, . . ., х.п — совокупность наблюденных величины X.

2.2. Если значение параметра известно, метра о2 находят по формуле


значений случайной то оценку s2 пара-


п


(6)



Если значение параметра а неизвестно, то оценку S2 параметра о2 находят по формуле


S2 =


1


п— 1


^(lg *i—а)\


(7)


i= 1


где а определяют по формуле (5) (см. пример 1 справочного приложения 1).

Оценки (4) — (6) являются несмещенными и состоятельными. 2.3. Оценку S\ параметра а находят по следующим формулам:


5, = ]/    —2(lg х~а?    т

i=i

при известном значении а\

*.-«)■    (9)

при неизвестном значении а\ здесь а определяют по формуле (5).

Оценки (8), (9) являются состоятельными, но смещенными. Их можно использовать в тех случаях, когда не требуется большая точность вычислений. В противном случае находят несмещенную оценку для от по формуле

S=MK-SU    (10)


где

при известном а находят S\ по формуле (8) и Мк по табл. I при К = п\

при неизвестном а находят Si по формуле (9) и Ля по табл. 1 при К=п—1 (см. пример 1 справочного приложения 1).


Таблица 1

Значения коэффициентов М к

К

К

мк

к

мк

1

1,253

10

1,025

19

1,013

2

1,128

11

1,023

20

1,013

3

1,085

12

1,021

25

1,010

4

1,064

13

1,019

30

1,003

5

1,051

14

1,018

35

1,007

6

1,042

15

1,017

40

1,006

7

1,036

16

1,016

45

1,006

8

1,032

17

1,015

50

1,005

9

1,028

18

1,014

60

1,004


2.4. В случае, когда не требуется большая точность и желательно быстро получить результат, оценки параметров а и а следует определять с помощью вероятностной сетки для логарифмически нормального распределения по ГОСТ 11.008-75. Ориентировочно оценку параметра о можно определять через размах (средний размах) выборки, см. рекомендуемое приложение 2.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРА а

3.1.    Нижнюю и верхнюю доверительные границы (соответственно ан, яв) Для параметра а при известном значении параметра а находят по формулам:

— и- а

ин—а _ >    00

кт

— a.f а

ав=аН—(12)

V п

где а находят по формуле (5), а — по табл. 3 (см. пример 4 справочного приложения 1).

3.2.    Доверительные границы для параметра а при неизвестном значении параметра а находят по формулам:

UH— CL __,

V п

— t S

(13)

ав-а-\—1—,

КТ

(14)

где а и s находят соответственно по формулам (5) и (10), а /т — в табл. 2 по заданным значениям п—1 и у (см. примеры 2 и 3 справочного приложения 1).

Таблица 2

Значения коэффициентов ^ при односторонней доверительной вероятности 7

п—1

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,9990

1

1,375

3,078

6,314

12,71

31,82

63,66

127,3

318,3

2

1,061

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

14,09

22,33

3

0,978

1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

7,453

10,21

4

0,941

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

5,598

7,173

5

0,920

1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

4,773

5,893

6

0,906

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

4,317

5,208

7

0,896

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

4,029

4,785

S

0,889

1,397

1,859

2,306

2,896

3,355

3,832

4,50]

ГОСТ 11.009—79 Стр. 5

Продолжение табл. 2

Значения коэффициентов при односторонней доверительной вероятности 7

л-1

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0.995

0,9975

0.9990

9

0,883

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

3,690

4,297

10

0,879

1,372

1,812

2,228

2,764

: 3,169

3,581

4,144

11

0,876

1,363

1,796

2,201

2,718

3,106

3,497

4,025

12

0,873

1,356

1,782

2,179

2,681

3,054

3,428

3,930

13

0,870

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

3,372

3,852

14

0,868

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

3,326

3,787

15

0,866

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

3,286

3,733

16

0,865

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

3,252

3,686

17

0,863

1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

3,222

3,646

18

0,862

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,197

3,611

19

0,861

1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

3,174

3,579

20

0,860

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,153

3,552

21

0,859

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

3,135

3,527

22

0,858

1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

3,119

3,505

23

0,858

1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

3,104

3,485

24

0,85/

1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

3,090

3,467

25

0,856

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,078

3,450

26

0,856

1,315

1,706

2,056

2,479

2,779

3,067

3,435

27

0,855

1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

3,056

3,421

28

0,855

1,313

1,701

2,048

2,467

2,763

3,047

3,408

29

0,854

1,311

1,699

2,045

2,462

2,756

3,038

3,396

30

0,854

1 ,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,030

3,385

32

0,853

1,309

1,694

2,037

2,449

2,738

3,015

3,365

34

0,853

1,307

1,691

2,032

2,441

2,728

3,002

3,348

36

0,852

1,305

1,688

2,028

2,434

2,719

2,990

3,333

38

0,852

1,304

1,686

2,024

2,429

2,712

2,980

3,319

40

0,851

1 ,303

1,684

2,021

2,423

2,704

2,971

3,307

42

0,851

1,302

1.682

2,018

2,418

2,698

2,963

3,296

44

0,850

1,301

1,680

2,015

2,414

2,692

2,955

3,286

46

0,850

1,300

1,679

2,013

2,410

2,687

2,949

3,277

48

0,849

1,299

1,677

2,011

2,407

2,682

2,943

3,269

50

0,849

1,298

1,676

2,009

2,403

2,678

2,937

3,261

55

0,848

1,297

1,673

2,004

2,396

2,668

2,925

3,256

60

0,848

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

2,915

3,232

65

0,847

1,295

1,669

1,997

2,385

2,654

2,906

3,220

70

0,847

1,294

1,667

1,994

2,381

2,648

2,899

3,211

80

0,846

1,292

1,664

1,990

2,374

2,639

2,887

3,195

90

0,845

1,291

1,662

1,987

2,368

2,632

2,878

3,183

100

0,845

1,290

1,660

1,984

2,364

2,626

2,871

3,174

120

0,844

1,289

1,658

1,980

2,358

2,617

2,860

3,159

150

0,844

1,287

1,655

1,976

2,351

2,609

2,849

3,145

200

0,843

1,286

1,653

1,972

2,345

2,601

2,838

3,131

250

0,843

1,285

1,651

1,969

2,341

2,596

2,832

3,123

300

0,842

1,284

1,650

1,968

2,339

2,592

2,828

3,118

400

0,842

1,284

1,649

1,966

2,336

2,588

2,823

3,111

500

0,842

1,283

1,648

1,965

2,334

2,586

2,819

3,107

Примечание. Для отсутствующих в табл. 2 значений п—1 величину tт находят линейной интерполяцией

Таблица 3

Значения коэффициентов и^ при односторонней доверительной вероятности 7

0.80 0,842

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

2,807

0,999

3,090

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРА а

(15)

(16)

Нижнюю и верхнюю доверительные границы для параметра сг-(соответственно ан, <Тв) находят по формулам:

aH^zK*s,

<3В = 2В • 5,

где s находят по разд. 2;

гн или (и) 2В находят соответственно по табл. 4 и 5 при

К = п, если значение параметра а известно;

К=п—1, если значение параметра а неизвестно. (См. примеры 5 и 6 справочного приложения 1).

Таблица 4

к

Значения коэффициентов гн при Односторонней доверительной вероятности 7

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

2

0,788

0,659

0,578

0,521

0,466

0,434

0,408

0,380

3

0,804

0,693

0,620

0,566

0,514

0,483

0,457

0,429

4

0,817

0,717

0,649

0,599

0,549

0,519

0,493

0,465

5

0,828

0,736

0,672

0,624

0,576

0,546

0,521

0,494

6

0,837

0,753

0,690

0,644

0,597

0,569

0,544

0,517

7

0,845

0,763

0,705

0,661

0,616

0,588

0,563

0,536

8

0,852

0,772

0,718

0,675

0,631

0,604

0,580

0,553

9

0,859

0,782

0,729

0,688

0,645

0,618

0,594

0,568

10

0,864

0,791

0,739

0,699

0,656

0,630

0,607

0,581

11

0,869

0,798

0,748

0,708

0,667

0,641

0,619

0,593

12

0,872

0,805

0,755

0,717

0,677

0,651

0,629

0,604

13

0,874

0,810

0,762

0,725

0,685

0,660

0,638

0,614

14

0,877

0,814

0,769

0,732

0,693

0,669

0,647

0,623

15

0,881

0,820

0,775

0,739

0,700

0,676

0,655

0,631

16

0,884

0,826

0,780

0,745

0,707

0,683

0,662

0,638

17

0,886

0,828

0,785

0,750

0,713

0,690

0,669

0,646

18

0,888

0,832

0,790

0,756

0,719

0,696

0,675

0,652

19

0,891

0,836

0,794

0,760

0,725

0,702

0,681

0,658

20

0,894

0,839

0,798

0,765

0,730

0,707

0,687

0,664

22

0,898

0,845

0,805

0,773

0,739

0,717

0,697

0,675

ГОСТ 11.009-79 Стр. 7

Продолжение табл. 4

К

Значения коэффициентов zH при односторонней доверительной вероятности 7

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

24

0,901

0,851

0,812

0,781

0,747

0,726

0,707

0,685

26

0,904

0,855

0,818

0,788

0,755

0,734

0,715

0,694

28

0,907

0,859

0,823

0,794

0,762

0,741

0,723

0,702

30

0,909

0,863

0,828

0,799

0,768

0,748

0,730

0,709

35

0,915

0,871

0,838

0,811

0,781

0,762

0,745

0,725

40

0,919

0,879

0,847

0,821

0,792

0,774

0,757

0,738

45

0,923

0,885

0,854

0,829

0,802

0,784

0,768

0,750

50

0,927

0,889

0,861

0,837

0,810

0,793

0,777

0,760

60

0,932

0,898

0,871

0,849

0,824

0,808

0,793

0,776

70

0,937

0,905

0,879

0,858

0,835

0,820

0,805

0,789

80

0,941

0,910

0,886

0,866

0,844

0,829

0,815

0,801

90

0,943

0,915

0,892

0,873

0,852

0,838

0,825

0,810

*00

0,946

0,919

0,897

0,879

0,858

0,845

0,832

0,818

__ Таблица    5

Значения коэффициентов гв при односторонней доверительной вероятности 7

К

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

2

2,12

3,08

4,42

6,28

9,97

14,1

19,98

31,6

3

1,73

2,27

2,92

3,73

5,11

6,47

8,19

11,1

4

1,56

1,94

2,37

2,87

3,67

4,40

5,29

6,64

5

1,46

1,76

2,09

2,45

3,00

3,48

4,04

4,88

6

1,40

1,65

1,92

2,20

2,62

2,98

3,38

2,97

7

1,35

1,57

1,80

2,04

2,38

2,66

2,97

3,42

8

1,32

1,51

1,71

1,92

2,20

2,44

2,69

3,06

9

1,29

1,47

1,65

1,83

2,08

2,28

2,49

2,79

10

1,27

1,43

1,59

1,75

1,98

2,15

2,34

2,60

П

1,25

1,40

1,55

1,70

1,90

2,06

2,22

2,45

12

1,24

1,38

1,52

1,65

1,83

1,98

2,13

2,33

13

1,23

1,36

1,49

1,61

1,78

1,91

2,05

2,23

14

1,22

1,34

1,46

1,58

1,73

1,85

1,98

2,15

15

1,21

1,32

1,44

1,55

1,69

1,81

1,93

2,08

16

1,20

1,31

1,42

1,52

1,66

1,76

1,87

2,01

17

1,19

1,30

1,40

1,50

1,63

1,73

1,83

1,96

18

1,18

1,28

1,38

1,48

1,60

1,70

1,79

1,92

19

1,18

1,27

1,37

1,46

1,58

1,67

1,75

1,87

20

1.17

1,26

1,36

1,44

1,56

1,64

1,72

1,84

22

1,16

1,25

1,34

1,42

1,52

1,60

1,67

1,77

24

1,15

1,24

1,32

1,39

1,49

1 ,56

1,63

1,72

26

1,15

1,23

1,30

1,37

1,46

1,53

1,59

1,68

28

1.14

1,22

1,29

1,35

1,44

1,50

1,56

1,64

30

1,13

1,21

1,27

1,34

1,42

1,48

1,53

1,61

35

1,12

1,19

1,25

1,30

1,38

1,43

1,47

1,54

40

1,11

1,17

1,23

1,28

1 #34

1,39

1,43

1,49

2 Зак, 1455

1

Определение усеченной выборки дано в справочном приложении 5.