Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1 

22 страницы

396.00 ₽

Купить ГОСТ 11.004-74 — бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль"

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения по совокупности статистических (опытных) независимых наблюдений, полученных на производстве в процессе измерений, испытаний и анализов, если исследуемые величины подчиняются закону нормального распределения.

Стандарт содержит два справочных приложения, в которых приводятся примеры практического применения правил, основные понятия, обозначения и теоретические основы стандарта.

 Скачать PDF

Оглавление

1. Оценки для параметров нормального распределения

2. Определение доверительных границ для генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии

3. Определение доверительных границ для генеральной средней при известной генеральной дисперсии

4. Определение доверительных границ для среднего квадратического отклонения при неизвестной генеральной средней

5. Определение доверительных границ для среднего квадратического отклонения при известной генеральной средней

Приложение 1 (справочное) Примеры применения правил стандарта

Приложение 2 (справочное) Основные понятия, обозначения и теоретические основы стандарта

Литература

 
Дата введения01.07.1975
Добавлен в базу01.01.2019
Завершение срока действия01.03.1987
Актуализация01.01.2019

Организации:

21.02.1974УтвержденГосударственный комитет стандартов Совета Министров СССР468
ИзданИздательство стандартов1974 г.
РазработанВНИИС

Applied Statistics. Estimation of Values and Confidence Intervals for Normal Distribution Parameters

Стр. 1
стр. 1
Стр. 2
стр. 2
Стр. 3
стр. 3
Стр. 4
стр. 4
Стр. 5
стр. 5
Стр. 6
стр. 6
Стр. 7
стр. 7
Стр. 8
стр. 8
Стр. 9
стр. 9
Стр. 10
стр. 10
Стр. 11
стр. 11
Стр. 12
стр. 12
Стр. 13
стр. 13
Стр. 14
стр. 14
Стр. 15
стр. 15
Стр. 16
стр. 16
Стр. 17
стр. 17
Стр. 18
стр. 18
Стр. 19
стр. 19
Стр. 20
стр. 20
Стр. 21
стр. 21
Стр. 22
стр. 22

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА. ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ГОСТ 11.004-74

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СТАНДАРТОВ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР

Москва

РАЗРАБОТАН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор д-р экон. наук, проф. Гличев А. В.

Научный руководитель темы д-р техн. наук, проф. Шор Я. Б.

Исполнители: канд. техн. наук Рабинович Г. О., канд. техн. наук Примаков М. И.г Пахомов А. А., Пославский О. Ф., Аничкина В. Л.г Левина Н. Б.

ВНЕСЕН И ПОДГОТОВЛЕН К УТВЕРЖДЕНИЮ Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор д-р экон. наук, проф. Гличев А. В.

УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 21 февраля 1974 г. № 468

Таблица 4

К

Значения коэффициентов

Z„ при односторонней н

доверительной вероятности |

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

2

0,788

0,659

0,578

0,521

0,466

0,434

0,408

0,380

3

0,804

0,693

0,620

0,566

0,514

0,483

0,457

0,429

4

0,817

0,717

0,649

0,599

0,549

0,519

0,493

0,465

5

0,828

0,736

0,672

0,624

0,576

0,546

0,521

0,494

6

0,837

0,753

0,690

0,644

0,597

0,569

0,544

0,517

7

0,845

0,763

0,705

0,661

0,616

0,588

0,563

0,536

8

0,852

0,772

0,718

0,675

0,631

0,604

0,580

0,553

9

0,859

0,782

0,729

0,688

0,645

0,618

0,594

0,568

10

0,864

0,791

0,739

0,699

0,656

0,630

0,607

0,581


ГОСТ 11.004-74 Стр. 9

Таблица 3

'т _

ГТ’ПЪГ П 1ШПГТППППНРЙ

Объем

выбор

ки

п

_

' llpll UAnUL lUUUnllCIl

К=п-\

У п

доверительной

У к+ 1

вероятности f

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

2

1

0,973

2,18

4,46

8,98

22,5

45,0

90,0

22,5

3

2

0,613

1,08

1,69

2,48

4,02

5,73

8,13

12,9

4

3

0,489

0,819

1,18

1,59

2,27

2,92

3,73

5,11

5

4

0,421

0,685

0,953

1,24

1,67

2,06

2,50

3,21

6

5

0,375

0,602

0,823

1,05

1,37

1,64

1,94

2,41

7

6

0,342

0,544

0,734

0,925

1,19

1,40

1,63

1,97

8

7

0,317

0,500

0,670

0,836

1,06

1,24

1,42

1,69

9

8

0,296

0,466

0,620

0,769

0,966

1,12

1,28

1,50

10

9

0,279

0,437

0,580

0,715

0,892

1,03

1,17

1,36

11

10

0,265

0,414

0,546

0,672

0,833

0,956

1,08

1,25

13

12

0,242

0,393

0,494

0,604

0,744

0,847

1,01

1,09

15

14

0,224

0,347

0,455

0,554

0,678

0,769

0,859

1,978

17

16

0,210

0,324

0,423

0,514

0,627

0,708

0,788

0,894

19

18

0,198

0,305

0,398

0,482

0,586

0,660

0,733

0,828

21

20

0,188

0,289

0,376

0,455

0,552

0,621

0,688

0,775

23

22

0,178

0,275

0,358

0,432

0,523

0,588

0,650

0,731

25

24

0,171

0,264

0,342

0,413

0,498

0,559

0,618

0,693

27

26

0,164

0,253

0,328

0,396

0,477

0,535

0,590

0,661

29

28

0,159

0,244

0,316

0,380

0,458

0,513

0,566

0,633

31

30

0,153

0,235

0,304

0,367

0,441

0,494

0,544

0,608

33

32

0,149

0,228

0,295

0,354

0,425

0,475

0,525

0,586

35

34

0,144

0,221

0,286

0,344

0,413

0,459

0,507

0,566

37

36

0,140

0,214

0,278

0,333

0,400

0,447

0,491

0,548

39

38

0,136

0,209

0,270

0,324

0,389

0,434

0,477

0,531

41

40

0,133

0,203

0,263

0,316

0,378

0,422

0,464

0,517

43

42

0,130

0,198

0,256

0,308

0,369

0,411

0,452

0,503

45

44

0,127

0,194

0,250

0,300

0,360

0,401

0,440

0,490

47

46

0,124

0,190

0,245

0,294

0,352

0,392

0,430

0,478

49

48

0,121

0,186

0,240

0,287

0,344

0,383

0,420

0,467

51

50

0,119

0,182

0,235

0,281

0,337

0,375

0,411

0,457

56

55

0,114

0,173

0,224

0,268

0,320

0,357

0,391

0,435

61

60

0,109

0,166

0,214

0,256

0,306

0,341

0,373

0,414

К


И

12

13

14

15

16

17

18

19

20 22 24 26 28 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100


Продолжение


Значения коэффициентов ZH при односторонней доверительной вероятности 7


0,80


0,90


0,95


0.975


0,990


0,995


0,9975


0,999


0,869

0,872

0,874

0,877

0,881

0,884

0,886
0,888

0,891

0,894

0,898

0,901

0,904

0,907

0,909

0,915

0,919

0,923

0,927

0,932

0,937

0,941

0,943

0,946


0,798

0,805

0,810

0,814

0,820

0,826

0,828

0,832

0,836

0,839

0,845

0,851

0,855

0,859

0,863

0,871

0,879

0,885

0,889

0,898

0,905

0,910

0,915

0,919


0,748

0,755

0,762

0,769

0,775

0,780

0,785

0,790

0,794

0,798

0,805

0,812

0,818

0,823

0,828

0,838

0,847

0,854

0,861

0,871

0,879

0,886

0,892

0,897


0,708

0,717

0,725

0,732

0,739

0,745

0,750

0,756

0,760

0,765

0,773

0,781

0,788

0,794

0,799

0,811

0,821

0,829

0,837

0,849

0,858

0,866

0,873

0,879


0,667

0,677

0,685

0,693

0,700

0,707

0,713

0,719

0,725

0,730

0,739

0,747

0,755

0,762

0,768

0,781

0,792

0,802

0,810

0,824

0,835

0,844

0,852

0,858


0,641

0,651

0,660

0,669

0,676

0,683

0,690

0,696

0,702

0,707

0,717

0,726

0,734

0,741

0,748

0,762

0,774

0,784

0,793

0,808

0,820

0,829

0,838

0,845


0,619

0,629

0,638

0,647

0,655

0,662

0,669

0,675

0,681

0,687

0,697

0,707

0,715

0,723

0,730

0,745

0,757

0,768

0,777

0,793

0,805

0,815

0,825

0,832


0,593

0,604

0,614

0,623

0,631

0,638

0,646

0,652

0,658

0,664

0,675

0,685

0,694

0,702

0,709

0,725

0,738

0,750

0,760

0,776

0,789

0,801

0,810

0,818


Таблица 5

Значения коэффициентов

ZR при односторонней доверительной вероятности 7

к

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

2

2,12

3,08

4,42

6,28

9,97

14,1

19,98

31,6

3

1,73

2,27

2,92

3,73

5,11

6,47

8,19

п,1

4

1,56

1,94

2,37

2,87

3,67

4,40

5,29

6,64

5

1,46

1,76

2,09

2,45

3,00

3,48

4,04

4,88

6

1,40

1,65

1,92

2,20

2,62

2,98

3,38

3,97

7

1,35

1,57

1,80

2,04

2,38

2,66

2,97

3,42

8

1,32

1,51

1,71

1,92

2,20

2,44

2,69

3,06

9

1,29

1,47

1,65

1,83

2,08

2,28

2,49

2,79

10

1,27

1,43

1,59

1,75

1,98

2,15

2,34

2,60

11

1,25

1,40

1,55

1,70

1,90

2,06

2,22

2,45

12

1

1,24

1,38

1,52

1,65

1,83

1,98

2,13

2,33

13

1,23

1,36

1,49

1,61

1,78

1,91

2,05

2,23

14

1,22

1,34

1,46

1,58

1,73

1,85

1,98

2,15

15

1,21

1,32

1,44

1,55

1,69

1,81

1,93

2,08

16

1,20

1,31

1,42

1,52

1,66

1,76

1,87

2,01

17

1,19

1,30

1,40

1,50

1,63

1,73

1,83

1,96

18

1,18

1,28

1,38

1,48

1,60

1,70

1,79

1,92


Продолжение

»ения коэффициентов Z при

односторонней доверительной вероятности 7

0,90

0,95

1,27

1,37

1,26

1,36

1,25

1,34

1,24

1,32

1,23

1,30

1,22

1,29

1,21

1,27

1,19

1,25

1,17

1,23

1,16

1,21

1,15

1,20

1,14

1,18

1,13

1,16

1,12

1,15

1,11

1,14

1,10

1,13

0,975

0,990

1,46

1,58

1,44

1,56

1,42

1,52

1,39

1,49

1,37

1,46

1,35

1,44

1,34

1,42

1,30

1,38

1,28

1,34

1,26

1,32

1,24

1,30

1,22

1,27

1,20

1,24

1,18

1,22

1,17

1,21

1,16

1,19

0,9975

0,995

1,67

1,64

1,60

1,56

1,53

1,50

1,48

1,43

1,39

1,36

1,34

1,30

1,27

1,25

1,23

1,22

1,75

1,72

1,67

1,63

1,59

1,56

1,53

1,47

1,43

1,40

1,37

1,33

1,30

1,27

1,25

1,24

0,999

1,87

1,84

1,77

1,72

1,68

1,64

1,61

1,54

1,49

1,46

1,42

1,37

1,34

1,31

1,29

1,27


Стр. 12

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к ГОСТ 11.004-74 Справочное

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ СТАНДАРТА

Пример 1. Ресурс изделий до капитального ремонта распределен нормально. Имеется опытный статистический материал по ресурсам л=10 изделий, приведенный в табл. 1 данного приложения. Найти оценки для среднего ресурса а и среднего квадратического отклонения о.

Таблица 1

1

X., ч 1

/

JCV Ч 1

1

xv ч

i

xv ч

i

xv ч

1

7,5-10*

3

7,0-10*

5

8,0-10*

7

8,5-10*

9

7,5-10*

2

8,0-10*

4

8,0-10*

6

8,5-10*

8

8,0-10*

10

7,5-10*

Решение. Определяем

ю

У]л:,=78,5-104 (ч).

1= I

Согласно формуле (1) находим оценку для среднего ресурса *= — • 78,5-10* = 7,85-10* (ч).

Определяем

ю

ху = 2,025 • 108.

i= 1

Согласно формуле (3) находим

5 = j/ -~j--2,025-108=0,47-104 (ч).

Из табл. 1 стандарта для К—п—1 = 10—1=9 находим Мк =1,028, откуда согласно формуле (2) получаем несмещенную оценку для а:

Sj= 1,028-0,47* 10*=0,48-104 (ч).

Пример 2. Пусть имеется 60 наблюдений над нормально распределенной случайной величиной X. Результаты наблюдений приведены в табл. 2.

Найти оценки х и S для параметров нормального распределения а и а.

Стр. 13

Таблица 2

i

xl

i

*i J

i

xi

| 1

xi

| 1

*i

1

xi

1

9,2

И

6,4

21

7,2

31

6,6

41

5.9 I

51

9,3

2

7,6

12

8,3

22

7,9

32

8,4

42

7,0

52

6,8

3

6,5

13

6,6

23

5,4

33

7,3

43

8,3

53

7,2

4

8,5

14

6,0

24

7,4

34

9,9

44

6.9

54

8,4

5

7,0

15

7,6

25

7,4

35

7.8

45

7,8

55

6.4

6

5,5

16

8,6

26

6,7

36

8,4

46

6,2

56

7,9

7

7,3

17

5,6

27

8,3

37

6,3

47

7,1

57

8,9

8

8,0

18

7,1

28

7,7

38

8,8

48

6,1

58

7.3

9

7,2

19

7,3

29

6,5

39

6,4

49

7,3

59

6,6

10

7,7

20

8,2

30

9,2

40

7,6

50

6,8

60

7,6

60

Решение.

1-й способ. Определяем 2 Х1 ^444>°- Согласно формуле (1) имеем:

— ' —444^0— 60

60

Определяем 2 {Xi—x)2=58,01. Согласно формуле (5) имеем:

52 = ~ .58,01=0,98.

59

Несмещенная оценка для среднего квадратического отклонения будет равна

SX=MK ■ Ко^98 = 1,004 .]/о,98 « 1,0.

2-й способ (метод группировки). Разбиваем диапазон наблюденных значений случайной величины X на интервалы одинаковой ширины и подсчитаем количество наблюдений пи приходящихся на i-й интервал. Определяем середину Vi i-го интервала. Результаты группировки приведены в табл. 3. Наблюденные значения, находящиеся на границе интервала, включались в правый интервал.

Таблица 3

Интервал группировки 1

Середина интервала группировки

Количество наблюдений, входящих в данный интервал

(«/)

5,0—5,5

5,25

1

5,5—6,0

5,75

3

6,0—6,5

6,25

5

6,5—7,0

6,75

7

7,0—7,5

7,25

10

7,5—8,0

7,75

14

8,0—8,5

8,25

10

8,5—9,0

8,75

6

9,0—9,5

9,25

3

9,5—10,0

9,75

1

Стр. 14

У =


Вычисляем оценку генерального среднего по формуле

т

где п— ^ ni — общее число наблюдений, т — число интервалов.

i-1

У —    (5,25+3-5,75 +5-6,25+7-6,75+10-7,25+14-7,75+-10 *8,25+

60

+ 6-8,75+3-9,25+9,75)=7,6.

5 =

пАуг-уУ-


Вычисляем оценку генерального среднего квадратического отклонения по формуле

В нашем случае

s=]/ —-2ra^-7-6)2wl-°-1

Несмещенная оценка для а согласно формуле (2) и табл. 1 стандарта буле'г равна:

$, = 1,004-1,0*1,0.

Пример 3. Используя данные примера 1 определить нижнюю и верхнюю доверительные границы для среднего ресурса при односторонней доверительной вероятности у—0,95.

Решение. Согласно пп. 2.1 и 2.2 для К—п—1 = 10—1=9 и у=0,95 находим = 1,833.

По уравнениям (7) и (8) находим:

1 833

а„-7,85-10* — -^г ■ 0,48-10* =7,57 - 10* (ч).

V    ю

1 833

ав= 7,85-10* + -^-0,48-10* = 8,13 - 10* (ч).

Тот же *Т    *0,995

V    10

У п V ю

результат получается если по табл. 3 стандарта найдем =0,580 и воспользуемся этим значением в формулах (7) и (8).

Нижняя ан = 7,57*104 ч и верхняя ав=8,13-104 ч доверительные границы образуют доверительный интервал при двусторонней доверительной вероятности у*=0,9О, согласно формуле (9).

Пример 4. Используя данные примера 2, вычислить доверительный интервал для генерального среднего при двусторонней доверительной вероятности у*=0»99.

Стр. 15

Решение. Задаем односторонние доверительные вероятности Yi=Y2=Y~0»995, удовлетворяющие соотношению (9). Так как для /С=л—1=59 в табл. 2 стандарта значения /т (К) нет, то значение /0,995 (59) вычислим, используя линейную интерполяцию по 1//С. В табл. 2 стандарта находим ближайшие к 59 значения /Со=55 и /Ci—60 и соответствующие им значения /0,995(55) =2,668 и /0,995(66) =2,660. Согласно формуле (15) приложения 2 имеем:

11 11

59    60    55    59

<0,995(59)= --—    -2,668+    —-р 2,660 = 2,661.

~55~    ~60~    ~55~    ~60"

Согласно разд. 2 находим:

«Н=7,^-—=: • 1,0 = 7,1;

VW

*.=7,4+^—1,0 = 7,7.

у1ю

Пример 5. Распределение размера подчиняется нормальному распределению. Результаты измерения четырех деталей из партии следующие: 14,82; 14,83; 14,79; 14,76 (мм). Найти доверительный интервал для среднего размера деталей в партии при двусторонней доверительной вероятности у*=0,99, если известно, что среднее квадратическое отклонение о равно 0,04 мм.

Решение. Так как известно, что <7=0,04 мм, то согласно разд. 3

1 +7*

находим доверительные границы для среднего размера при у=—— =0,995, где

Y=0,995 получено согласно формуле (13).

По формулам (14) и (15) разд. 3 имеем:

О WA

д„=14,80 — —— . 0,04= 14,75;

О

ав=14,80 + -L^— . 0,04 = 14,85,

где значение 14,80 получено согласно формуле (1) разд. 1.

Пример 6. Для данных примера 2 найти доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о при двусторонней доверительной вероятности Y* = 0,95.

Решение.

Согласно разд. 4 задаем равные односторонние вероятности Yi=Y2=Y- Тогда согласно формуле (13) имеем у=0,975.

Вычисляем выборочную характеристику 5 = 1,0 (см. пример 2). Так как для /С=ц—1=59 значения ZH и ZB не приведены в табл. 4 и 5 стандарта, то вычисляем их с помощью линейной интерполяции по К согласно формуле (17) приложения 2.

Вычислим значение ZH) соответствующее значению у=0,975 и /С=59. Из табл. 4 находим значения /Со=50 и 7(i = 60 и соответствующие им значения Zg=0,837 и Zj = 0,849.

Согласно формуле (17) приложения 2 находим

4- 0,849*

ZH = 0,837

60—59

60—50

59— 50

60— 50

0,848.


Стр. 16


Вычислим значение ZB, соответствующее значению у—0,975 и /(=59. Из табл. 5 стандарта находим значения /Со=50 и /Ci = 60 и соответствующие им значения


Z0 = 1,24; Zt = 1,22.


Согласно формуле (17) приложения 2 находим


ZB- 1,24.


60—59    ,    _    59—50

-+ 1,22 .-

60—50    1    60—50


1,22.


По формуле (19) вычисляем нижнюю доверительную границу ая = 0,848 -1,0= 0,848.

По формуле (21) вычисляем верхнюю доверительную границу

св = 1,22 • 1,0= 1,22.

Таким образом, доверительный интервал для среднего квадратического отклонения при двусторонней доверительной вероятности у = 0,95 равен 0,848; 1,22.

Пример 7. Распределение веса деталей подчиняется нормальному распределению. Из партии деталей была взята выборка объемом п = 200, Все детали были взвешены и по формуле (3) получено среднее квадратическое отклонение 5=2,3 г. Найти доверительные границы для генерального среднего квадратического отклонения при двусторонней доверительной вероятности у*=0,99.

Решение. Задаемся равенством односторонних доверительных вероятностей уI = Уг—у, тогда согласно формуле (13) получим


1 +0,99

2


= 0,995.


Для у=0,995 из табл. 2 стандарта находим U =2,576. По уравнению (20) и (22) определяем:


У 398 У397 + 2,576


0,887;


V398 У397-2,576


= 1,15.


По уравнениям (19) и (21) находим:

ст„ = 0,887 - 2,3 = 2,04 г; сгв= 1,15-2,3 = 2,64 г.


Стр. 17

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 к ГОСТ 11.004-74 Справочное

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

СТАНДАРТА


Ч(х)=


(1)


Непрерывная случайная величина X, принимающая значения от — оо до + оо» называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности определяется равенством

для любого значения л:(—оо<*<оо), где а и а числовые параметры распределения, причем а — положительно.

Параметр а является генеральной средней (математическим ожиданием) случайной величины X. Параметр а является генеральным средним квадратическим отклонением случайной величины X. а2 — генеральная дисперсия случайной величины.

Для заданной вероятности уь по конечной совокупности наблюденных значений хи *2,. * м хп случайной величины X может быть найдена случайная величина ан такая, что интервал от ан до +оо накрывает генеральную среднюю а с вероятностью уь

Вер {а > а») = Yi-    (2)

Величина ан называется нижней доверительной границей для генеральной средней а при односторонней доверительной вероятности уь

Для заданной вероятности у2 по конечной совокупности наблюдений хи х2,...» хп случайной величины X может быть получена случайная величина ав, такая, что интервал от —оо до ав накрывает генеральную среднюю а с вероятностью

Вер {а<яв} = у2.    (3)

Величина ав называется верхней доверительной границей для генеральной средней при односторонней доверительной вероятности у2.

Нижняя ан и верхняя ав доверительные границы, определенные в п. 3.4, образуют доверительный интервал, который с вероятностью у* накрывает неизвестное значение генеральной средней а (см. чертеж).

а

Вер {ян < а < яв} = Y*.    (4>

где у*, У1 и у2 связаны соотношением (9).

Аналогично определяются доверительные границы и доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения.

Стр. 18


Пусть Хи Х2у .... х п — взаимно независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному распределению с параметрами (а, о). Наилучшая (в смысле среднего квадратичного) несмещенная оценка дисперсии а2 задается формулой


если параметр а известен;


(5)

(xt — x)\


если параметр а неизвестен.


(6)

где


/=1


Статистику 5 часто используют в качестве оценки ческого отклонения а. Эта оценка смещена


(7)

для среднего квадрати-


М {S)— Tg ■ о,


(8)

(9)


Несмещенной оценкой для среднего квадратического отклонения о является отношение


$1 =


(10)

1

где К—п—1, если параметр а неизвестен, K=nf если а известно и Мк ——-—,

тк


Значения коэффициентов Мк> приведенные в табл. 1 стандарта, заимствованы из [2], [5].

Случайная величина


; = — V”    (id

подчиняется распределению Стьюдента с п—I степенью свободы, где 5 и х определены согласно формул (6) и (7) данного приложения. Отсюда следуют формулы (7) — (13) разд. 2.

В табл. 2 стандарта приведены значения квантилей t 7 распределения Стьюдента, заимствованные из [2] и f6).

При л—voo квантили распределения Стьюдента стремятся к квантилям V 7 нормального распределения, которые приведены в конце табл. 2 стандарта. Случайная величина


U

о


(12)

УДК 658.562.012.7(083.96)1083.741    Группа    Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ГОСТ

11.004—74

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА. ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Applied Statistics. Estimation of Values and Confidence Intervals for Normal Distribution Parameters

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 21 февраля 1974 г. № 468 срок введения установлен

с 01.07. 1975 г.

Настоящий стандарт устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения по совокупности статистических (опытных) независимых наблюдений, полученных на производстве в процессе измерений, испытаний и анализов, если исследуемые величины подчиняются закону нормального распределения.

Стандарт содержит два справочных приложения, в которых приводятся примеры практического применения правил, основные понятия, обозначения и теоретические основы стандарта.

1. ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Несмещенной оценкой для генерального среднего а нормального распределения является выборочное среднее х, определяемое по формуле

х= — Vjc    (1)

ai=t

где хи х2,..., хп — совокупность наблюденных значений случайной величины X.

1.2. Несмещенная оценка для среднего квадратического отклонения о определяется по формуле

St = MK    (2)

Издание официальное


Перепечатка воспрещена


©Издательство стандартов, 1974

Стр. 19


подчиняется нормальному распределению с параметрами (0,1). Отсюда следуют формулы (14)—(18) разд. 3.

Случайная величина


Z =


К s2

о2 ’


(13)


подчиняется х2аспРеДелению с К степенями свободы (К—п, если параметр а известен, и К—п—1, если параметр а неизвестен), где S2 определяется по формуле (5), если параметр а неизвестен, или по формуле (6), если параметр а известен.

При помощи х^рзспред^ения составлены табл. 4 и 5 стандарта для коэффициентов ZH и ZB, входящих в формулы (19) и (21) разд. 4. Эти таблицы частично заимствованы из (2], а частично составлены заново.

Из нормальной аппроксимации х2аспРеДеления Для квантилей х2ас* пределения имеет место (6), (10) соотношение:

Х^= у(    +    УТ    )2.    (14)


Отсюда следуют формулы (20) и (22) разд. 4.

Интерполяционная формула для t т (7() имеет вид [2]

—    —— —

L (К)= —£-^1— t (/С0)+— — t (КО,    (15)

J__J_    т _1_    _1_    1

К0 ~ Ki    Ко    Kt


где значения Ко; Ki Ki удовлетворяют соотношению

*0<*<*1-

При линейной интерполяции по I//C, согласно формулы (15) для Ki—оо имеет место соотношение:


*т (К) = #т (/<)+ (l-    .    (16)


где £/т —квантиль нормального распределения, соответствующая односторонней доверительной вероятности у.

Вычисление значения ZH или ZB, не указанного в табл. 4 или 5 стандарта, может быть осуществлено линейной интерполяцией по К:


Z=Zf


Кг—К


+


К-Ко


(17)


Ki—Ko '    ‘    Кг-Ко’

где Ко<К<К\ и значения Z0 и Zx находятся из табл. 4 или 5 стандарта по за-» данным /(о, К\ и у.


Стр. 2 ГОСТ 11.004-74

где значение 5 определяется по формуле (3), если параметр а — неизвестен

se/BTri(x'"^    (з)

I

и значение 5 определяется по формуле (4), если параметр а — известен

s=V тЕ(х‘-а)2-    (4)

Значение коэффициента Мк дано в табл. 1, где К=п—1, если параметр а неизвестен, К = п, если параметр а известен.

1.3.    При значениях объема выборок более 60 (/г>60) оценка для среднего квадратического отклонения о находится по формуле (3), если параметр а — неизвестен или по формуле (4), если параметр а — известен.

S2

1.4.    Несмещенной оценкой для дисперсии а2 нормального распределения, при неизвестном значении а, является выборочная характеристика S2, определяемая по формуле (5)

(5)

1.5. Если генеральное среднее а нормального распределения известно, то несмещенная оценка для дисперсии а2 находится по формуле (6)

£2=±Е(х i-a)\    (6)

П

Примечание. Когда количество наблюдений случайной величины достаточно большое (не менее 50), то оценки х, 5, S2 могут быть получены методом группировки наблюдений (см. приложение 1, пример 2).

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ

2.1. Определение нижней доверительной границы ан для генеральной средней по выборке объема п осуществляется следующим образом:

задают значение односторонней доверительной вероятности уь определяют выборочные значения х и S согласно разд. 1; по заданным значениям yi и К = п—1 по табл. 2 находят значение tb —квантиль распределения Стьюдента для односторонней доверительной вероятности уь

ГОСТ 11.004-74 Стр. 3

для генераль-(7)

ав~х—


вычисляют нижнюю доверительную границу ан ной средней по формуле

При 1 <п^61 значение величины —^ входящее в формулу (7),

У п

может быть найдено из табл. 3 (см. приложение 1, пример 3).

2.2. Определение верхней доверительной границы для генеральной средней по выборке объемом п осуществляется следующим образом:

задают значение односторонней доверительной вероятности уа; определяют выборочные значения х и S согласно разд. 1; по заданным значениям уг Ц К=п—1 по табл. 2 находят значение t Та;

вычисляют верхнюю доверительную границу ав по формуле

ав=х +—(8)

V п

fT

При 1 <п <61 значение ■ —, входящее в формулу (8), может У п

быть найдено из табл. 3 (см. приложение 1, пример 3).

2.3. Нижняя и верхняя доверительные границы ан и ав, получаемые согласно пп. 2.1 и 2.2, образуют доверительный интервал для генеральной средней при двусторонней доверительной вероятности у*, где у* определяется по формуле

T* = Yi + T2-1    (9)

при условии, что Yi>0>5; Y2>0,5.

2.4. Если принята двусторонняя доверительная вероятность у* и задано равенство односторонних вероятностей yi=Y2=Y» то доверительный интервал для генерального среднего а находится по формулам:

ан — х — е,    (10)


ав =Гх + е,    (11)

значение у находится по формуле

(13)

I±Y_* * 2

и / т находится из табл. 2 по заданным значениям у и К=п—1,

Стр. 4 ГОСТ 11.004-74

2.5.    Значения t т для величин К> которые не указаны в табл. 2Г

могут быть получены путем линейной интерполяции по    [см.

К

приложение 2, формулы (15), (16)].

2.6.    В случае, когда генеральная дисперсия неизвестна, но известен ее верхний предел, то при малом объеме выборки дисперсия может быть приравнена ее верхнему пределу и расчет доверительных границ для генерального среднего а осуществлен согласно разд. 3.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ

3.1.    Определение нижней доверительной границы для генеральной средней по совокупности наблюдений хи х2,. „., хп случайной величины X осуществляется следующим образом:

задают значение односторонней доверительной вероятности уь вычисляют выборочную среднюю х согласно разд. 1; по заданному значению уь из последней строки табл. 2 находят значение Ub —квантиль нормального распределения; вычисляют нижнюю доверительную границу по формуле

Ur

а„ — х — ~f=’.    (14)

У п

3.2.    Определение верхней доверительной границы для генеральной средней по совокупности наблюдений хи х2,..., хп случайной величины X осуществляется следующим образом:

задают значение односторонней доверительной вероятности у2; вычисляют выборочную среднюю х согласно разд. 1; по заданному значению у2 из последней строки табл. 2 находят значение UТа —квантиль нормального распределения; вычисляют верхнюю доверительную границу по формуле

ав=х+—=го.    (15)

У п

3.3.    Нижняя и верхняя доверительные границы ап и ав, определенные согласно пп. 3.1, 3.2, образуют доверительный интервал для генерального среднего при двусторонней доверительной вероятности у*, где у* определяется через yi и у2 по формуле (9).

3.4.    Если принята двусторонняя доверительная вероятность у* и задано равенство односторонних доверительных вероятностей

ГОСТ 11.004-74 Стр. 5

Yi =72 —V» то доверительный интервал, соответствующей двусторонней доверительной вероятности у*> находится по формулам:

(17)

(18)

ан=х~е,    (16)

#В = X + S,

£/- о е= —i—,

Vn

где у находится по формуле (13), а значение U находится па заданному значению у из последней строки табл. 2.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ

4.1.    Определение нижней доверительной границы сгн для среднего квадратического отклонения а по выборке объема п осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность уь вычисляют выборочную характеристику 5 согласно разд. 1; по заданным значениям Yi и К=п—1 (/(^100) из табл. 4 находят значение ZIr;

вычисляют нижнюю доверительную границу по формуле

aH = ZH.S.    (19)

При К> 100 значение ZH определяется по формуле

----. (20)

У2К~1+иъ

где U находится по заданному значению yi из последней строки табл. 2.

4.2.    Определение верхней доверительной границы ав для сред* него квадратического отклонения а по выборке объема п осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность у2\ вычисляют выборочную характеристику 5 согласно разд. I; по заданным значениям у2 и К=п—1 (Л^100) из табл. 5 находят значение ZB;

вычисляют верхнюю доверительную границу ов по формуле

aB = ZB-5.    (21)

Стр. 6 ГОСТ 11.004-74

При /(>100 значение ZB определяется по формуле

(22)

7    У2К

- - »

У2К-\-иъ

где U находится по заданному значению у2 из последней строки табл. 2.

4.3.    Нижняя и верхняя доверительные границы сгн и ав, полученные согласно пп. 4.1 и 4.2, образуют доверительный интервал для среднего квадратического отклонения а при двусторонней доверительной вероятности у*, где у* связано со значениями yi и усоотношением (9).

4.4.    Доверительные границы для дисперсии а2 равняются квадратам доверительных границ для среднего квадратического отклонения, определенных согласно пп. 4.1, 4.2, 4.3, 4.4.

4.5.    Значения ZH и ZB, которые не указаны в табл. 4 и 5, могут быть получены линейной интерполяцией по К [см. приложение 2, формула (17)].

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ

5.1.    Определение нижней доверительной границы ап для среднего квадратического отклонения а при известной генеральной средней осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность уj;

вычисляют выборочную характеристику S согласно разд. 1;

по заданным значениям yi и К = п из табл. 4 находят значение ZH;

вычисляют нижнюю доверительную границу по формуле (19);

при /(>100 значение ZH вычисляют по формуле (20).

5.2.    Определение верхней доверительной границы ав для среднего квадратического отклонения а при известной генеральной средней осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность у2;

вычисляют выборочную характеристику 5 согласно разд. 1;

по заданным значениям у2 и К=п из табл. 5 находят значение ZB;

вычисляют верхнюю доверительную границу по формуле (21).

При /(>100 значение ZB определяют по формуле (22).

5.3.    Нижняя и верхняя доверительные границы ан и сгв, полученные согласно пп. 5.1, 5.2, образуют доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о при двусторонней до-

ГОСТ 11.004—74 Стр. 7

верительной вероятности у*, где у*, Yi и Уг связаны соотношением (9).

5.4.    Доверительные границы для дисперсии о2 равняются квадратам доверительных границ для среднего квадратического отклонения, полученных согласно пп. 5.1, 5.2, 5.3.

5.5.    Значения ZB и ZB, которые не указаны в табл. 4 и 5, могут быть получены линейной интерполяцией по К (см. приложение 2).

Таблица 1

Значения коэффициентов М к

К

Мк

К

мк

К

мк

1

1,253

10

1,025

19

1,013

2

1,128

11

1,023

20

1,013

3

1,085

12

1,021

25

1,010

4

1,064

13

1,019

30

1,008

5

1,051

14

1,018

35

1,007

6

1,042

15

1,017

40

1,006

7

1,036

16

1,016

45

1,006

8

1,032

17

1,015

50

1,005

9

1,028

18

1,014

60

1,004

Таблица 2

Значения коэффициентов ПРИ односторонней доверительной вероятности 7

к

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,9990

1

1,375

3,078

6,314

12,71

31,82

63,66

127,3

318,3

2

1,061

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

14,09

22,33

3

0,978

1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

7,453

10,21

4

0,941

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

5,598

7,173

5

0,920

1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

4,773

5,893

6

0,906

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

4,317

5,208

7

0,896

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

4,029

4,785

8

0,889

1,397

1,859

2,306

2,896

3,355

3,832

4,501

9

0,883

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

3,690

4,297

10

0,879

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

3,581

4,144

И

0,876

1,363

1,796

2,201

2,718

3,106

3,497

4,025

12

0,873

1,356

1,782

2,179

2,681

3,054

3,428

3,930

13

0,870

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

3,372

3,852

Стр. 8 ГОСТ 11.004-74

Продолжение

Значения коэффициентов

при односторонней доверительной вероятности f

К

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,9990

14

0,868

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

3,326

3,787

15

0,866

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

3,286

3,733

16

0,865

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

3,252

3,686

17

0,863

1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

3,222

3,646

18

0,862

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,197

3,611

19

0,861

1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

3,174

3,579

20

0,860

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,153

3,552

21

0,859

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

3,135

3,527

22

0,858

1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

3,119

3,505

23

0,858

1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

3,104

3,485

24

0,857

1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

3,090

3,467

25

0,856

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,078

3,450

26

0,856

1,315

1,706

2,056

2,479

2,779

3,067

3,435

27

0,855

1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

3,055

3,421

28

0,855

1,313

1,701

2,048

2,457

2,763

3,047

3,408

29

0,854

1,311

1,699

2,045

2,452

2,756

3,038

3,396

30

0,854

1,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,030

3,385

32

0,853

1,309

1,694

2,037

2,449

2,738

3,015

3,365

34

0,853

1,307

1,691

2,032

2,441

2,728

3,002

3,348

36

0,852

1,305

1,688

2,028

2,434

2,719

2,990

3,333

38

0,852

1,304

1,686

2,024

2,429

2,712

2,980

3,319

40

0,851

1,303

1,684

2,021

2,423

2,704

2,971

3,307

42

0,851

1,302

1,682

2,018

2,418

2,698

2,963

3,296

44

0,850

1,301

1,680

2,015

2,414

2,692

2,955

3,286

46

0,850

1,300

1,679

2,013

2,410

2,687

2,949

3,277

48

0,849

1,299

1,677

2,011

2,407

2,682

2,943

3,269

50

0,849

1,298

1,676

2,009

2,403

2,678

2,937

3,261

55

0,848

1,297

1,673

2,004

2,396

2,668

2,925

3,256

60

0,848

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

2,915

3,232

65

0,847

1,295

1,669

1,997

2,385

2,654

2,906

3,220

70

0,847

1,294

1,667

1,994

2,381

2,648

2,899

3,211

80

0,845

1,292

1,664

1,990

2,374

2,639

2,887

3,195

90

0,845

1,291

1,662

1,987

2,368

2,632

2,878

3,183

100

0,845

1,290

1,660

1,984

2,364

2,626

2,871

3,174

120

0,844

1,289

1,658

1,980

2,358

2,617

2,860

3,159

150

0,844

1,287

1,655

1,976

2,351

2,609

2,849

3,145

200

0,843

1,286

1,653

1,972

2,345

2,601

2,838

3,131

250

0,843

1,285

1,651

1,989

2,341

2,596

2,832

3,123

300

0,842

1,284

1,650

1,968

2,339

2,592

2,828

3,118

400

0,842

1,284

1,649

1,966

2,335

2,588

2,823

3,111

500

0,842

1,283

1,648

1,955

2,334

2,536

2,819

3,107

Значения коэффициентов £/

оо

0,842

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

2,807

3,090