Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1 

43 страницы

517.00 ₽

Купить ГОСТ 11.008-75 — бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль"

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Устанавливает правила определения оценок статистических характеристик исследуемых объектов с помощью графического метода вероятностных сеток при статистической обработке данных, подчиняющихся одному из четырех распределений: нормальному, экспоненциальному, логарифмически нормальному и Вейбулла, и полученных из полностью определенных выборок.

 Скачать PDF

Переиздание декабрь 1984 г. с изменением № 1

Отменен без замены.

Оглавление

1. Общие положения

2. Графическая оценка функции распределения

3. Построение вероятностных сеток и оценка параметров и статистических характеристик для основных видов распределений

Приложение 1 (справочное) Примеры применения правил стандарта

Приложение 2 (справочное) (Вкладка)

Приложение 3 (справочное) Графический способ определения доверительных границ для функции распределения

Приложение 4 (справочное) Графический способ определения параметров трехпараметрических распределений (и логарифмически нормального Вейбулла)

Приложение 5 (справочное) Теоретические основы стандарта

Приложение 6 (справочное) Применение вероятностной сетки для статистического приемочного контроля качества продукции по количественному признаку

Литература

 
Дата введения01.07.1976
Добавлен в базу01.01.2019
Завершение срока действия01.03.1987
Актуализация01.02.2020

Организации:

18.09.1975УтвержденГосударственный комитет стандартов Совета Министров СССР2434
ИзданИздательство стандартов1985 г.

Applied statistics. Graphic methods of data processing. Use of probability papers

Нормативные ссылки:
Стр. 1
стр. 1
Стр. 2
стр. 2
Стр. 3
стр. 3
Стр. 4
стр. 4
Стр. 5
стр. 5
Стр. 6
стр. 6
Стр. 7
стр. 7
Стр. 8
стр. 8
Стр. 9
стр. 9
Стр. 10
стр. 10
Стр. 11
стр. 11
Стр. 12
стр. 12
Стр. 13
стр. 13
Стр. 14
стр. 14
Стр. 15
стр. 15
Стр. 16
стр. 16
Стр. 17
стр. 17
Стр. 18
стр. 18
Стр. 19
стр. 19
Стр. 20
стр. 20
Стр. 21
стр. 21
Стр. 22
стр. 22
Стр. 23
стр. 23
Стр. 24
стр. 24
Стр. 25
стр. 25
Стр. 26
стр. 26
Стр. 27
стр. 27
Стр. 28
стр. 28
Стр. 29
стр. 29
Стр. 30
стр. 30

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ. МЕТОД ВЕРОЯТНОСТНЫХ СЕТОК

ГОСТ 11.008-75 (СТ СЭВ 3542-82)

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ Москва

Группа Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ


СОЮЗА ССР

lyailMfcMAWJWI г


СТАНДАРТ


Прикладная статистика

ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДУ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ. МЕТОД ВЕРОЯТНОСТНЫХ СЕТОК


Applied statisticas. Graphic methods of data processing. (CT СЭ8 3542—82} Use of probability papers

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 18 сентября 1975 г. № 2434 срок введения установлен

с 01.07,76

Настоящий стандарт устанавливает травила определения оценок статистических характеристик исследуемых объектов с до-мощью графического метода вероятностных сеток при статистической обработке данных, подчиняющихся одному из четырех распределений: нормальному, экспоненциальному, логарифмически ■нормальному и Вейбулла, и 'полученных из полностью определенных выборок.

Настоящий стандарт соответствует СТ СЭВ 3542—82.

(Измененная редакция, Изм. № 1).

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Вероятностная сетка для графического определения оценок характеристик для (конкретного распределения вероятностей представляет собой прямоугольную сетку, на которой масштаб выбран таким образом, чтобы график функции этого распределения, построенный на сетке, представлял собой прямую линию.

Основанием для построения вероятностных сеток является целесообразное преобразование одной или обеих прямоугольных координат { х, F (х) } графика функции распределения F (я), проведенное таким образом, чтобы взаимная зависимость обеих новых преобразованных переменных стала линейной.

Издание официальное    Перепечатка    воспрещена

* Переиздание декабрь 1984 г, с Изменением М 1, утвержденным в ноябре 1983 г.; Пост. № 5102 от 31.ld.83JMhLC № 2—84 г.)

© Издательство стандартов, 15>85

где Кх — коэффициент 'масштаба для оси абсцисс (формула

(9));

О А—расстояние точки А от начала координат, мм (см. примечание к п. 3.1.5).

3.2.5.    Оценку параметра X экспоненциального распределения вычисляют по формуле

х= • 6,0000-?,    (22)

Н

где <7 = tga — угловой коэффициент аппроксимирующей прямой.

3.2.6.    Примеры определения статистических характеристик для экспоненциального распределения приведены в справочном приложении 1 (примеры 3 и 4).

3.3. Логарифмически нормальное распределение.

3.3.1. Случайная величина X считается распределенной по логарифмически нормальному закону, если ее функция распределения имеет вид

F{X- (х.аНФр^-)    (23)

где


для 0<дс<сзо; |Л>0; б>0;

Vд

Ф(у)= ]• <c(v)dv=—^ \ е 2 dv.

-L V 2л -L

Таблица 2

Вероятностная шкала для экспоненциального распределения S°y (F) = —501n (\-F)

Н=300

F

Sy(F)

F

Зу(П

F

0

0

0,52

36,7

0,74

67,4

0,05

2,6

0,54

38,8

0,76

71,4

0,10

5,3

0,56

41,0

0,78

75,7

0,15

8,1

0,58

43,4

0,80

80,5

0,20

11,2

0,60

45,8

0,82

85,7

0,25

14,4

0,62

48,4

0,84

91,6

0,30

17,8

0,64

51,1

0,86

98,3

0,35

21,5

0,66

53,9

0,88

106,0

0,40

25,5

0,68

57,0

0,900

115,1

0,45

29,9

0,70

60,2

0,905

117,7

0,50

34,7

0,72

63,7

0,910

120,4


ГОСТ 11.008-75 Стр. 11

Продолоюение табл. 2

F

F

s/n

F

SJLF)

0,915

123,3

0,974

182,5

0,9952

267,0

0,920

126,3

0,976

186,5

0,9954

269,1

0,925

129,5

0,978

190,8

0,9956

271,3

0,930

133,0

0,980

195,6

0,9958

273,6

0,935

136,7

0,982

200,9

0,9960

276,1

0,940

140,7

0,984

206,8

0,9962

278,6

0,945

145,0

0,986

213,4

0,9963

280,0

0,950

149,8

0,988

221,1

0,9964

281,3

0,952

151,8

0,9900

230,3

0,9965

282,7

0,954

154,0

0,9905

232,8

0,9966

284,2

0,956

156,2

0,9910

235,5

0,9967

285,7

0,956

158,5

0,9915

238,4

0,9968

287,2

0,960

160,9

0,9920

241,4

0,9969

288,8

0,962

163,5

0,9925

244,6

0,9970

290,4

0,964

166,2

0,9930

248,1

0,9971

292,2

0,966

169,1

0,9935

251 ,8

0,9972

293,9

0,968

172,1

0,9940

255,8

0,9973

295,7

0,970

175,3

0,9945

260,2

0,9974

297,6

0,972

178,8

0,9950

264,9

0,9975

299,6


Здесь [х — математическое ожидание и а — среднее квадратическое отклонение случайной величины у = lg х.

Вероятностная сетка для логарифмически нормального распределения содержит по оси абсцисс логарифмическую шкалу и по оси ординат значения у, которые обозначают через Ф (у).

3.3.2. Коэффициент масштаба Кх для оси абсцисс вычисляют по формуле


Кх=


1§^тах—IS-^min


(24)


ГДв Z/, Xmln> -К’тах ПО И. 3.1.3.

Величину Sx (х) вычисляют по формуле

SA.x)=Kx-\gx.

Для Кх =100 в табл. 3 приведены значения 5^(л:)= lOOlgA:.

Для Кх¥= 100 величину Sx (х) находят по формуле


(25)


ЗД=-ЙгЗД.


100


(25а)


Стр. 12 ГОСТ 11.008-75


3.3.3.    Величину Sy (F), откладываемую по оси ординат, определяют по формуле (10),

В табл. 1 приведены значения Sy(F)=Sy(F) для случая # = 300 мм; тогда S°y (Е) = 50 у.

3.3.4.    Если известно, что случайная величина имеет логарифмически нормальное распределение, то на вероятностную сетку для логарифмически нормального распределения наносят точки по формулам (25) и (10). Затем строят прямую.

Если точка А представляет собой точку пересечения прямой с


осью абсцисс, то оценку параметра р, находят по формуле


±ОА Кх 9


(26)


где О —! начало координат, О А — расстояние от О до А, измеряемое в миллиметрах.


Примечание. Знак О А в формуле (26) определяют в соответствие с примечанием в п. 3.1.5.

Если начало координат О не помещено на чертеже, то О А вычисляют по формуле

OA=Kx\gxm-m+OxA,    (27)

где 0\ — точка на оси абсцисс, соответствующая xmin; расстояние 0\А измеряют в миллиметрах.


Оценку а параметра а определяют по формуле (14), где Кх. вычисляют по формуле (24).

3.4. Распределение Вейбулла

3.4.1. Случайная величина X распределена по двухпараметрическому закону Вейбулла, если ее функция распределения имеет вид


F(x\a,b)


1 вхр {    (~

0,


к>0,

х<0,


где а — параметр масштаба, b ■— параметр формы.

Вероятностная сетка для распределения Вейбулла устроена следующим образом. По оси абсцисс —- логарифмическая шкала,, а по оси ординат откладывают значения у и обозначают их через величину F (у).

Значения F (у) вычисляют по формуле

F(y)=l—e-°y,


где


у=1п[—1п(1—F)].


(28)

(29)


ГОСТ 11.008—75 Стр. 13

3.4.2.    Величину Sx (х) находят по формуле (25), где коэффициент масштаба Кх для оси абсцисс вычисляют по формуле (24), а табл. 3 применяют по п. 3.3.2.

3.4.3.    Для выбора масштаба по оси ординат задаются

/w-0,999.

Тогда Ут\п=—6,91, Утах= +1,93, а размах величины у равен 8,84.

Величину Sy (F) вычисляют по формуле

3^= -or V.    (ЭД

где у определяется по формуле (29),

Длина шкалы по оси ординат Н — 300 мм соответствует Sy (F) =S°y (F) =33,94 у (табл. 4).

Для длины шкалы #=+300 мм величину Sy (F) вычисляют по формуле (12), в которой S°y (F) берут из табл. 4.

3.4.4.    Если исследуемая случайная величина X подчиняется двухпараметрическому распределению Вейбулла, то на вероятностную оценку для распределения Вейбулла (справочное приложение 2, черт. 3, см. бандероль) наносят точки по формулам (25) и (30). Затем строят прямую наиболее близкую к этим точкам.

Если точка А является тачкой пересечения этой прямой с осью

абсцисс, то оценку параметра масштаба а определяют из уравнения

Kx-lga~ ±ОА.


(31)


Таблица 3

Логарифмическая шкала

x (*) = 100 \gx

X

X

Sx(x)

X

Sjx)

1,00

0

1,50

17,6

2,0

30,1

1,05

2,1

1,55

19,0

2,1

32,2

1,10

4,1

1,60

20,4

2,2

34,2

1,15

6,1

1,65

21,7

2,3

36,2

1,20

7,9

1,70

23,0

2,4

38,0

1,25

9,7

1,75

24,3

2,5

39,8

1,30

11,4

1,80

25,5

2,6

41,5

1,35

13,0

1,85

26,7

2,7

43,1

1,40

14,6

1,90

27,9

2,8

44,7

1,45

16,1

1,95

29,0

3—654


Продолжение табл. 3

X

Sjx)

X

S^(*>

X

Sx(x)

2,9

46,2

4,5

65,3

7,2

85,7

3,0

47,7

4,6

66,3

7,4

86,9

3,1

49,1

4,7

67,2

7,6

88,1

3,2

50,5

4,8

68,1

7,8

89,2

3,3

51,9

4,9

69,0

8,0

90,3

3,4

53,1

5,0

69,9

8,2

91,4

3,5

54,4

5,2

71,6

8,4

92,4

3,6

55,6

5,4

73,2

8,6

93,4

3,7

56,8

5,6

74,8

8,8

94,4

3,8

58,0

5,8

76,3

9,0

95,4

3,9

59,1

6,0

77,8

9,2

96,4

4,0

60,2

6,2

79,2

9,4

97,3

4,1

61,3

6,4

80,6

9,6

98,2

4,2

62,3

6,6

82,0

9,8

99,1

4,3

63,6

6,8

83,3

10,0

100,0

4,4

64,3

7,0

84,5

Примечание. Если значение х выходит за пределы табличных данных,

т. е.

10*<л:< 10fe+1(^=±l.±2,...).

то следует пользоваться формулой

100 lgA:=100 lg-—F+100^.

Таблица 4

Вероятностная шкала для распределения Вейбулла S°y (F) =?33,94 In [—In (1—F)]

H — 300 мм

F

MM

F

Sy{F), мм

F

Sy(F)% мм

0,0010

—234,6

0,0030

—197,2

0,0050

-179,7

0,0012

—228,3

0,0032

—195,0

0,0055

—176,4

0,0014

—222,9

0,0034

—192,8

0,0060

-173,6

0,0016

-218,2

0,0036

—190,8

0,0065

-170,8

0,0018

—214,6

0,0038

—189,1

0,0070

—168,3

0,0020

—211,2

0,0040

—187,3

0,0075

—165,9

0,0022

—207,5

0,0042

—185,6

0,0080

—163,7

0,0024

—204,8

0,0044

—184,0

0,0085

—161,6

0,0026

—202,0

0,0046

—182,6

0,0090

—159,7

0,0028

—199,4

0,0048

—181,1

0,0095

—157,8

ГОСТ 11.003-75 Стр. 15

Продолжение табл. 4

F

Sy(F). ММ

F

Sy{F)t мм

F

Sy(F), мм

0,010

—156,2

0,075

—86,6

0,5000

-12,4

0,012

—149,9

0,080

—84,3

0,5400

-8,6

0,014

—144,7

0,085

—82,2

0,5800

-4,8

0,016

—140,1

0.090

—80,1

0,6200

-1,1

0,018

—136,0

0,095

—78,2

0,6321

0,0

0,020

—132,4

0,100

—76,4

0,6600

Ь2,6

0,022

—129,2

0,120

—69,8

0,7000

Ь6,2

0,024

—126,2

0,140

-64,2

0,7400

Н0,1

0,026

—123,4

0,160

—59,3

0,7800

Ь14,1

0,028

—120,9

0,180

—54,9

0,8200

1-18,3

0,030

—118,5

0,200

—50,9

0,8600

[-22,9'

0,032

—116,3

0,220

—47,3

0,9000

[-28,3

0,034

—114,2

0,240

—43,9

0,9250

Ь32,3

0,036

—112,2

0,260

—40,7

0,9500

Ь37,2

0,038

—110,3

0,280

—37,8

0,9600

Ь39,7

0,040

—108,6

0,3000

—35,0

0,9700

г 42,6

0,042

—106,9

0,3200

-32,3

0,9800

L46,3

0,044

—105,3

0,3400

—30,1

0,9900

[-51,8

0,046

—103,7

0,3600

—27,4

0,9925

[-53,9

0,048

—102,2

0,3800

-25,0

0,9950

Ь56,6

0,050

—100,8

0,4000

—22,8

0,9960

Ь57,7

0,055

—97,5

0,4200

—20,6

0,9970

[-59,7

0,060

—94,4

0,4400

—18,6

0,9980

[-62,0

0,065

0,070

—91,2

—89,1

0,4600

0,4800

—16,4

—14,4

0,9990

[-65,4

где ОА —расстояние точки А от начала координат О.

Примечание. Знак перед О А в формуле (31) определяет в соответствии с примечанием в п. 3.1.5. Если начало координат О не помещено на чертеже, то О А вычисляют по формуле (27).

Оценку параметра масштаба а можно также определить с помощью табл. 3 по формуле

S°(a)=    •    100.    (32)

Кх

Оценку Ь параметра формы b вычисляют по формуле

£=3,84-^- -q,    (33)

где Кх — вычисляют по формуле (24),

<7 = tga — угловой коэффициент аппроксимирующей прямой, Н—'Длина шкалы по оси координат.

Для шкалы по оси ординат длиной # = 300 <мм формула (33) примет вид

b = ~^q.    (34)

78,1 7

Разд. 3 (Измененная редакция, Изм. № 1).

Разделы 4, 5, 6 и 7 (Исключены, Изм. № 1).

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Справочное

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ СТАНДАРТА

Пример 1. На опыте получена выборка объемом п—100. Значение элементов выборки приведены в табл. 1.

Таблица 1

*1

Х1

Х1

Х1

+46

+20

+168

+ 128

+6

+16

—15

—14

+149

+227

+60

—89

+102

+4

—90

+19

+139

—113

—116

—20

+91

+77

—26

+245

+118

+38

—36

—53

—150

—51

+ 183

—63

—69

+29

+53

+128

+137

+103

—206

+5

—48

—133

—201

—52

—138

—29

+118

+1

—101

+ 16

—114

—16

—5

—136

+36

—162

+139

+125

—23

+38

—179

+ 14

+21

—6

—10

—253

+27

+136

—134

—35

+61

—92

+ 104

+47

—31

+1

+28

—55

—210

—91

—180

—51

+8

—124

—119

—105

—166

—138

+66

—49

—34

—96

—44

+76

—52

—73

—140

+22

+299

+72

Производим группировку и подсчет точек.

Выбираем х*——260, ***=300, л:** —**=560. Разбиваем интервал [—260, 300] на 44 интервалов длины А=40. Для подсчета nj составляем табл. 2.

ГОСТ 11.008-75 Стр. 17

Подсчет tij производится следующим образом (п. 2.1.4): перебирают элементы выборки и когда в /-й интервал попадает элемент, то в /-й строке табл. 2 ставят штрих. Если элемент выборки совпадает с границей /-го и (/-И)-го интервалов, /—1,2, . . , Ы, то в /-й и в (/ +1)-й строках ставят штрихи половинной длины. Каждый пятый штрих в строке перечеркивает предыдущие четыре, если он не соответствует границе интервала; в этом случае ставят вертикальный штрих половинной длины.

Таблица 2

Номер

Интервал

Число

Номер

Интервал

Число

интервала

группировки

точек

интервала

группировки

точек

1

—260, —220

]

8

+20, +60

12

2

—220, —180

3,5

9

+60, +100

6,5

3

—180, —140

5

10

+ 100, +140

12

4

—140, —100

12,5

11

+140, +180

2

5

—100, —60

8

12

+ 180, +220

1

6

—60, —20

16,5

13

+220, +260

2

7

—20, +20

17

14

+260, +300

1

Пример 2. В процессе эксперимента получили результаты, которые включи* ли в восемь классов (табл. 3).

Определить оценки параметров т и а нормального распределения.

Таблица 3

Упорядоченные результаты, полученные в процессе эксперимента

1

xi

п1

£ i1

i nf

F(xn))= 2 — (О ^ л+1

; = 1

1

20

2

2

0,03

2

40

4

6

0,10

3

60

9

15

0,25

4

80

14

29

0,48

5

100

15

44

0,73

6

120

8

52

0,87

7

140

5

57

0,95

8

160

2

59

0,98

Решение.

Общее число наблюдений /г = 59>30. Поэтому целесообразно использовать группировку данных по п. 2-1.4 (табл. 3).

Точечную оценку эмпирической функции распределения вычислим по фор* муле (7).

Для построения вероятностной сетки выберем L= 140.

Коэффициент масштаба Кх для оси абсцисс вычислим по формуле (9):

-1

160—20

Длину шкалы по оси ординат Н выберем 200 мм. Значения Sy (F) вычислим по формуле (112).

Точки { X(i), F (Х({))} из табл. 3 нанесем на вероятностную сетку и построим прямую (черт. 1, см. бандероль), с помощью которой найдем значения: ОА — 82,5 мм, ? = 0,93 (т. е. а=43°).


Точечную оценку математического ожидания т вычислим по формуле (13):


т=


82,5

1


=82,5.


Точечную оценку среднего квадратического отклонения муле (14):


а найдем по фор-


6*1


1

0,93


=35,8.


| 'Примечания:    1.    Оценку    параметра    т    определяют    по    п.    3.1.6:


т—82,5.

2. Оценку параметра (среднего квадратического отклонения) ст определяют по п. 3.1.6:


а=т—х82,5—46,7=35,8 или


а—х2—т— 118,3—82,5=35,8.

Пример 3. При исследовании получена выборка из 15 значений случайной величины X, подчиняющейся экспоненциальному распределению без сдвига (С=0, построенная прямая должна проходить через начало координат). Упорядоченные значения Xi приведены в табл. 4.

Найти оценку X параметра X.


Таблица 4

Упорядоченные значения случайной величины лсг*

i

xi

Кх хь, мм

1

Sy(F), мм

1

150

7,5

0,063

3,3

2

200

10,0

0,125

6,7

3

291

14,6

0,187

10,5

4

380

19,0

0,250

14,4

5

446

22,3

0,312

18,6

6

550

27,5

0,375

23,1

7

595

29,8

0,437

29,0

8

629

31,5

0,500

34,7

9

840

42,0

0,563

41,0

10

1036

51,8

0,625

48,4

11

1194

58,7

0,687

57,1

12

1337

66,8

0,750

69,3

13

1774

88,7

0,812

83,0

14

2280

114,0

0,875

104,0

15

2827

141,3

0,937

139,0


ГОСТ 11.008—75 Стр. 19

Решение.

Для построения вероятностной сетки выберем длину шкалы по оси ординат Н = 300 мм и ширину графика L—134 мм.

Коэффициент масштаба по оси абсцисс Кх вычисляют по формуле (9), где *тах —*min = 2827—150=2677:

=0,05.

_ 134 Кх~ 2677

Значения Sy (F)> приведенные в табл. 2 настоящего стандарта, откладывают по оси ординат в миллиметрах.

Точечную оценку функции распределения найдем по формуле (1):

74*1) = ~~с\"Г =0.063 и т. д.

После нанесения точек на вероятностную сетку для экспоненциального распределения (справочное приложение 2, черт. 2) построим прямую, проходящую через начало координат (черт. 2, см. бандероль).

Из графика получим значение углового коэффициента аппроксимирующей прямой *7 — 0,93.

Точечную оценку параметра X найдем по формуле (22):

0,05

X =    *6*0,93=9,3.10-4.

Пример 4. При ресурсных испытаниях невосстанавливаемых электронных деталей найдены значения случайной величины xit которые приведены в табл. 5.

Предполагается, что данная случайная величина подчиняется экспоненциальному закону распределения вероятности со сдвигом (с=^=0).

Найти оценки параметра сдвига с и параметра масштаба X,

Таблица 5

Упорядоченные значения случайной величины

i

xi

Sx(x)=Kxxit

ММ

Р{хь)

S° {F), мм

Syin

1

526

18,4

0,063

3,3

2.2

2

566

19,8

0,125

6,7

4,46

3

664

23,2

0,187

10,5

7

4

673

23,6

0,250

14,4

9.6

5

767

26,8

0,312

18,6

12,4

6

857

30,0

0,375

23,1

15,4

7

1000

35,0

0,437

29,0

19,3

8

1068

37,4

0,500

34,7

23,1

9

1191

41,7

0,563

41,0

27,3

10

1484

51,9

0,625

48,4

32,27

11

1819

63,7

0,687

57,1

38,06

12

2046

71,6

0,750

69,3

46,2

13

2571

90,0

0,812

83,0

55,33

14

3057

107,0

0,875

104,0

69,3

35

4610

161,4

0,937

139,0

92,7

Стр. 2 ГОСТ 11.008-75

Для выбор™ объемом п из значений случайной величины X на вероятностную сетку для данного вида распределения наносят

точки эмпирической функции распределения F (х). Затем по этим точкам проводят прямую так, чтобы нанесенные точки отклонялись от нее как можно меньше.

1.2.    В табл. 1—4 приведены данные, на основании которых строят вероятностную сетку для каждого из указанных распределений вероятностей. Данные в этих таблицах рассчитаны на длину шкалы 300 мм. С помощью пропорционального расчета можно построить шкалы любых размеров.

1.3.    Вероятностной сеткой пользуются в основном для графического определения оценок параметров распределения.

Одновременно с определением параметров выполняют графическую проверку соответствия эмпирического распределения теоретическому.

1.4.    Если нанесенные эмпирические точки мало отклоняются от проведенной прямой, то это свидетельствует о том, что опытные данные не противоречат тому виду распределения, для которого была построена сетка.

При проведении этой проверки необходимо учитывать, что на концах выборки опытные точки могут больше отклоняться от прямой, чем в средней части графика.

1.5.    Если на вероятностной сетке не получается прямая, то отвергается гипотеза о выбранном виде распределения.

1.6.    Оценки параметров предполагаемого распределения и некоторые статистические характеристики определяют при помощи точек пересечения аппроксимирующей прямой с соответствующими осями координат.

Примечание. Для получения более точных оценок параметров следует использовать ГОСТ 11.004-74, ГОСТ 11.005-74, ГОСТ 11.007-75 и ГОСТ 11.009—79 в зависимости от вида распределения наблюдений.

1.1—1.6. (Измененная редакция, Изм. № 1),

2. ГРАФИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1.    Точечная оценка функции распределения-

2.1.1.    Основной вероятностной характеристикой случайной величины X является теоретическая функция распределения F (х), информацию о которой дает эмпирическая функция распределения /^(х).

2.1.2.    При проведении прямой по нанесенным точкам (полученным экспериментальным путем) графика эмпирической функции распределения получают графическую оценку теоретической функции распределения F (х).

Стр. 20 ГОСТ 11.008—75

Решение.

Для построения вероятностной сетки выберем шкалу длиной по оси ординат // = 300 мм и ширину графика L=143 мм.

Коэффициент масштаба для оси абсцисс Кх вычисляют по формуле (9), где хт а х — хт1п = 4610—526 = 4084:

=0,035.

к = _У1

Кх 4084

Значения S°y (F), соответствующие // = 300 мм, приведены в табл. 2 настоящего стандарта.

1

15+1

Точечную оценку функции распределения определим по формуле (1):

—-— =0,063, и т.д. 16

После нанесения точек на вероятностную сетку (справочное приложение 2> черт. 3) построим прямую (черт. 3, см. бандероль). Из графика определим О А (расстояние точка А от начала координат О) и q (угловой коэффициент аппроксимирующей прямой):

ОЛ = 14 мм; д=0,6\.

Точечную оценку параметра сдвига с найдем по формуле (21):

=400.

-    14000

С = 0,035

-    0,035

Х = ~200Г

Точечную оценку параметра X вычислим по формуле (22):

•60,61=6,410-<.

Пример 5. На опыте получена выборка из 15 значений случайной величины,, распределенной по логарифмически нормальному закону. Упорядоченные значения Xi приведены в табл. 6.

Найти оценки параметров tu и а.

Таблица 6

*1

SJx)=425 Igx

100 F{ Xt)

i

xi

Sx(Jr)=425 Igx

100 p(xt)

I

599

1180

6,3

9

1028

1280

56,2

2

648

1195

12,5

10

1055

1285

62,5

3

796

1233

18,7

11

1077

1289

68,7

4

896

1254

25,0

12

1078

1289

75,0

5

905

1257

31,2

13

1126

1297

81,2

6

927

1261

37,5

14

1185

1306

87,5

7

943

1264

43,7

15

1428

1340

93,7

8

1010

1277

50,0

ГОСТ 11.008—75 Стр. 3

2.1.3.    Если объем выборки п не превосходит 30, исходными данными являются величины х\, хг, х3, . . . , хп. Эти величины соответствуют значениям исследуемой случайной величины X, полученным при независимом наблюдении случайной выборки объемом п. Предполагается, что величины Xi расположены в порядке неубывания, так что справедливы следующие неравенства

xt<x2< . . . <хл, тогда оценку F (х<) находят по формуле

— (1)

2.1.4.    Если объем выборки п>30, рекомендуется применять группировку данных. Выбирают числа х* их** так, чтобы

х** ^xmax, и интервал [х*, х**] разбивают на k классов равной длины ft, где

h—    .    (2)

k    4

Величины х* и х** рекомендуется выбирать так, чтобы значение ft, найденное по формуле (2), было удобным для вычислений (см. приложение 1, пример 1).

Число точек в /чм классе (/=1, . . . , k) обозначают щ:

для 30<п^200 принимают значения

7<ft<20;    (3)

для 200<п<1000 принимают значения

20<£<40.    (4)

Примечание. Если внутрь /-го класса попало п'з точек, а внутрь (у-И)-го — n'j+i точек выборки, причем на границу этих классов попало / точек выборки, то полагают:

, I

-у •    (5)

";+i=ra;+i + Y •

Таким образом, из точки на границе классов в смежные классы относят по У2 точки.

Р)


2.1.5.    После группировки данных эмпирическую функцию распределения в точках, соответствующих серединам классов, оценивают по формуле:

Стр. 4 ГОСТ 11.008-75

где х>— середина m-го класса,

яг=1,2,..., к;

k — число классов равной длины; щ — частота в /-ом классе (определяется по п. 2.1.4).

2.2. Точечная оценка статистических характеристик

2.2.1. На построенной для определенного распределения вероятностной сетке, содержащей нанесенные точки {хг*, F (х*) } при

п^ЗО (н. 2.1.3) и { x(m), F U(m))} при п>30, (п. 2.1.5), проводят прямую y~F0(x), наилучшим образом приближающуюся к этим точкам.

Статистические характеристики оцениваются следующим образом.

На шкале х выбирают определенное значение х*, которое представляет собой абсциссу точки на прямой y=F0 (х). Оценкой значения функции распределения jF0 (я*) является ордината рассматриваемой точки прямой (см. чертеж).

{xi, F (я*)}—нанесенные точки графика эмпирической функции распределения; y=F0 (х) —прямая, проведенная по точкам;

х*—*вьгбранное определенное значение;

F0 (х*)—оценка функции распределения (ню выбранному определенному значению х*);

F0р)=р— выбранное определенное значение;

хр—оценка 100 р %'-ной квантили.

2.2.2. При оценке 100 р %-ной квантили на оси ординат (см.

чертеж) выбирают определенное значение F0р) — р и на оси

ГОСТ 11.003-75 Стр. 5

абсцисс находят соответствующее значение хр. Оценкой 100 р

%-ной [квантили является значение хр.

Разд. 2 (Измененная редакция, Изм. № 1).

3. ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СЕТОК И ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ОСНОВНЫХ ВИДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

3.1.    Нормальное распределение

3.1.1.    Случайная величина X считается распределенной по нормальному закону, если ее функция распределения имеет вид

F(x,m,a)=(8)

где

Ф{у)= \ y(v)dv = • -1 — г е 2 dv,

-со    V    -оо

х—т    .    .    ,

причем У= —“— Для00 <-^< + оо;

m — среднее значение;

а—'Среднее квадратическое отклонение.

Вероятностная сетка для нормального распределения содержит на оси абсцисс равномерную шкалу и по оси ординат значения у, которые пропорциональны квантилям нормированной центрированной функции нормального распределения (черт. 1, справочное приложение 2, см. бандероль).

3.1.2.    Принимаем, что Sx (х) обозначает абсциссу точки, соответствующей значению х, и Sy (F) •— ординату точки, соответствующей значению F.

$х (X)

Отношение - постоянно,    называется    коэффициентом

масштаба и обозначается Кх-

3.1.3.    Коэффициент масштаба Кх для оси абсцисс вычисляют по формуле

Кх=---,    (9)

•^max -^mln

где L— ширина графика, мм;

*тах> xmin— соответственно наименьший и наибольший элемент выборки

Примечание. В этом и носледуклцих иедразделах величину L следует выбирать в миллиметрах так, чтобы значение вычисляемого коэффициента Кх было удобным для остальных вычислений.

2—654

Стр. 6 ГОСТ 11.008-75

3.1.4. Для выбора масштаба по оси ординат задаются

Дшш-0,0013, Fтах=0,9987.

В случае нормального распределения им соответствуют значения

Уш1п = -3,000, Ушах=+3,000,

а величину Sy (F), откладываемую по оси ординат в миллиметрах, вычисляют по формуле

S    Н V,    (Ю)

Ук‘ ’    6,0000У

где Н — длина шкалы но оси ординат (в миллиметрах), т. е. высота графика;

y=Up(F)— квантиль нормированного центрированного нормального распределения, соответствующая значению F. Если Д=300 мм, то S°y (F) =50 у = 50 Up (F). Значения 5° (F) в зависимости от F для этого случая приведены в табл. 1. Для ЕС0,5 применяют формулу

^(Е)=-^(1~+).    О    В

Таблица 1

Вероятностная шкала для нормального распределения Н=300

F

У

S°(n, мм

F

У

Sy{F), мм

0,50

0,00

0,0

0,79

0,80

40,0

0,52

0,05

2,5

0,80

0,85

42,5

0,54

0,10

5,0

0,82

0,90

45,0

0,56

0,15

7,5

0,83

0,95

47,5

0,58

0,20

10,0

0,84

1,00

50,0

0,60

0,25

12,5

0,85

1,05

52,5

0,62

0,30

15,0

0,86

1,10

55,0

0,64

0,35

17,5

0,87

1,15

57,5

0,66

0,40

20,0

0,88

1,20

60,0

0,67

0,45

22,5

0,89

1,25

62,5

0,69

0,50

25,0

0,903

1,30

65,0

0,70

0,52

26,0

0,912

1,35

67,5

0,71

0,55

27,5

0,919

1,40

70,0

0,73

0,60

30,0

0,927

1,45

72,5

0,74

0,65

32,5

0,933

1,50

75,0

0,76

0,70

35,0

0,939

1,55

77,5

0,77

0,75

37,5

0,945

1,60

80,0

ГОСТ 11.008-75 Стр. У

Продолжение табл. 1

F

У

S°(F), мм

F

У

мм

0,951

1,65

82,5

0,992

2,40

120,0

0,955

1,70

85,0

0,993

2,45

122,5

0,960

1,75

87,5

0,9938

2,50

125,0

0,964

1,80

90,0

0,9946

2,55

127,5

0,968

1,85

92,5

0,9953

2,60

130,0

0,971

1,90

95,0

0,9960

2,65

132,5

0,974

1,95

97,5

0,9965

2,70

135,0

0,977

2,00

100,0

0,9970

2,75

137,5

0,980

2,05

102,5

0,9974

2,80

140,0

0,982

2,10

105,0

0,9978

2,85

142,5

0,984

2,15

107,5

0,9981

2,90

145,0

0,986

2,20

110,0

0,9985

2,95

147,5

0,988

2,25

112,5

0,9987

3,00

150,0

0,989

2,30

115,0

0,991

1 2,35

117,5

Примечание. Для Д<0,5:

(F) = -Sy(\-F).

Для длины шкалы Н=?ь300 мм величину Sy (F) вычисляют по формуле

Sy{F)=S°(F)’    (12)

где Sy (F)—значение ординаты точек F для шкалы с произвольной длиной Я, м-м;

y (F)—значение ординаты точек F для шкалы длиной Я = 300 мм (табл. 1), мм.

3.1.5. После нанесения значений точечных оценок функции

распределения F (Xi) строят график прямой F0 (х) (п. 2.2.1).

Оценку параметра т (среднего значения) определяют при помощи абсциссы точки А на прямой по формуле

1 О А    /1 о\

т=±——,    (13)

*\Х

где О—начало координат;

А — точка пересечения прямой с осью абсцисс.

Примечание. В формуле (1:3) ОА — расстояние от точки О до точки А, мм; расстояние ОА берется со знаком «плюс», если точка А лежит правее точки О на оси абсцисс, и со знаком «минус», если она лежит левее, т. е. соответствует отрицательной абсциссе.

2*

Стр. 8 ГОСТ 11.008-75

Если начало координат О не помещено на чертеже, то ОА вычисляют по формуле

ОА—/C^min+OiA,    (13а)

где 01 — точка на оси абсцисс, соответствующая xmin; расстояние 0\А измеряют в миллиметрах.

Ордината указанной точки А соответствует Sy(F)~y=^0 [F=0,50].

Оценку параметра а (среднего квадратического отклонения) вычисляют по формуле

(14)

Н т J_ 6,00/G ’ ч ’

где q — угловой коэффициент аппроксимирующей прямой. Для // — 300 используют формулу

(15)

50 J_ Кх' ч '

3.1.6. Допускается другой способ определения оценки параметра т — не по F0 (л;), а поF (х). При этом т определяют из условия jF(atz)=0i5 или 100F (т)=50 илиже£/р (F (т))=0 (в качестве А в формуле (13) рассматривают точку пересечения F (я) с осью абсцисс).

Оценку а вычисляют по формуле

а = т—хи    (16)

где х\ — оценка абсциссы прямой, для которой справедливо ^o(^i)=Oj1587 или ЮО/^Н 15,87 или Up= — 1.

(17)

Оценку среднего квадратического отклонения вычисляют также но формуле

о = х2— т,

где для х% справедливо

/^(лгз)—0,8413 или 100/70(х!)==84,13, или 6^= + 1.


3.1.7. Пример использования вероятностной сетки для нормального распределения приведен в справочном приложении 1 (пример 2).

3.2. Экспоненциальное распределение

3.2.1. Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону, если ее функция распределения имеет вид


F(x\ Х,с)=


1—

0


-Цх-с)


х>с,

Х<С,


(18)


где X — параметр масштаба, с — параметр сдвига.

Вероятностная сетка для э-копоненциального распределения устроена следующим образом: по оси абсцисс применяют равномерную шкалу, а по оси ординат откладывают значения у и надписывают величину F (у) = 1—е~У.

3.2.2.    Коэффициент масштаба Кх для оси абсцисс вычисляется по формуле (9).

3.2.3.    Для выбора масштаба по оси ординат задаются

/^*=0,0000, Fшах=0,9975.

Тогда Ушш=0,0000, Утах=6,0000,


и величину Sy (F), которую откладывают по оси ординат в миллиметрах, вычисляют по формуле


SJLF)=


н

Ушах


И

6,0000


'У>


(19)


где у =—In (1—F).

Если //=300 мм, то Sv (F) =S°V (F) =50у. Значения S°у (F) для случая экспоненциального распределения приведены в табл. 2 (при #=300 мм).

При НФ300 мм Sv (F) вычисляют по формуле (12), где S°v (F) приведено в табл. 2.

3.2.4. По выборочным значениям экспоненциально распределенной случайной величины X на вероятностной сетке для экспоненциального распределения (справочное приложение 2, черт. 2, см. бандероль) строят прямую.

Если заранее известно, что случайная величина имеет экспоненциальное распределение без сдвига (с = 0), то построенная прямая должна проходить через начало координат (справочное приложение 1, пример 3).

В противном случае, если построенная прямая пересекает ось


абсцисс в точке А, то оценку параметра сдвига С определяют по формуле


С= +


ОА

Кх


(21)