Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1 

32 страницы

456.00 ₽

Купить ГОСТ 11.007-75 — бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль"

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров распределения Вейбулла по совокупности статистических (опытных) данных, полученных на производстве в процессе измерений, испытаний и анализов, если эти опытные данные подчиняются распределению Вейбулла.

 Скачать PDF

Переиздание. Ноябрь 1977 г.

Отменен без замены

Оглавление

1. Общие понятия и положения

2. Оценка параметра масштаба a при известном значении параметров формы b и сдвига c (случай [a])

3. Оценка параметра масштаба a и формы b при известном значении параметра сдвига c (случай [a, b])

4. Оценка параметра масштаба a и сдвига c при известном значении параметра формы b (случай [a, c])

5. Оценка параметра масштаба a, формы b и сдвига c (случай [a, b, c])

6. Правила определения доверительных границ для параметра масштаба a при известном значении параметров формы b и сдвига c (случай [a])

7. Правила определения доверительных границ для параметров масштаба a и формы b при известном значении параметра сдвига c (случай [a, b])

Приложение 1 (рекомендуемое) Оценка параметров распределения Вейбулла методом максимального правдоподобия

Приложение 2 (справочное) Примеры применения правил стандарта

Приложение 3 (справочное) Условные обозначения, употребляемые в стандарте

Приложение 4 (справочное) Теоретические основы стандарта

Литература

 
Дата введения01.07.1976
Добавлен в базу01.01.2019
Завершение срока действия01.03.1987
Актуализация01.01.2019

Организации:

05.09.1975УтвержденГосударственный комитет стандартов Совета Министров СССР2347
ИзданИздательство стандартов1978 г.

Applied statistics. Point and interval estimators for parameters of Weibull distribution

Стр. 1
стр. 1
Стр. 2
стр. 2
Стр. 3
стр. 3
Стр. 4
стр. 4
Стр. 5
стр. 5
Стр. 6
стр. 6
Стр. 7
стр. 7
Стр. 8
стр. 8
Стр. 9
стр. 9
Стр. 10
стр. 10
Стр. 11
стр. 11
Стр. 12
стр. 12
Стр. 13
стр. 13
Стр. 14
стр. 14
Стр. 15
стр. 15
Стр. 16
стр. 16
Стр. 17
стр. 17
Стр. 18
стр. 18
Стр. 19
стр. 19
Стр. 20
стр. 20
Стр. 21
стр. 21
Стр. 22
стр. 22
Стр. 23
стр. 23
Стр. 24
стр. 24
Стр. 25
стр. 25
Стр. 26
стр. 26
Стр. 27
стр. 27
Стр. 28
стр. 28
Стр. 29
стр. 29
Стр. 30
стр. 30

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

ГОСТ 11.007-75

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СТАНДАРТОВ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР

Москва

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

ГОСТ 11.007-75

Издание официальное

ГОСТ 11.007-75 Стр. 9

Продолжение табл. 2

Объем выборки п

г,

4

3

V 1=0,75

Vi=0,90

Yi=o,95

Vi=0,98

Y2=0,75

72=0,90

7,=0,95

7*=0,93

16

1,223

1,406

1,535

1,693

0,926

0,826

0,775

0,723

17

1,213

1,388

1,510

1,660

0,927

0,829

0,779

, 0,728

18

1,204

1,371

1,487

1,630

0,927

0,832

0,784

0,734

19

1,196

1,356

1,467

1,603

0,928

0,835

0,788

0,739

20

1,188

1,343

1,449

1,579

0,929

0,838

0,791

0,743

22

1,176

1,320

1,418

1,538

0,930

0,843

0,798

0,752

24

1,165

1,301

1,392

1,504

0,932

0,848

0,805

0,759

26

1,156

1,284

1,370

1,475

0,933

0,852

0,810

0,766

’28

1,148

1,269

1,351

1,450

0,934

0,856

0,815

0,772

30

1,141

1,257

1,334

1,429

0,935

0,860

0,820

0,778

32

1,135

1,246

1,319

1,409

0,937

0,863

0,824

0,783

34

1,129

1,236

1,306

1,392

0,938

0,866

0,828

0,788

36

1,125

1,227

1,294

1,377

0,939

0,869

0,832

0,793

38

1,120

1,219

1,283

1,363

0,940

0,872

0,835

0,797

40

1,116

1,211

1,273

1,351

0,940

0,875

0,839

0,801

42

1,112

1,204

1,265

1,339

0,941

0,877

0,842

0,804

44

1,109

1,198

1,256

1,329

0,942

0,880

0,845

0,808

46

1,106

1,192

1,249

1,319

0,943

0,882

0,847

0,811

48

1,103

1,187

1,242

1,310

0,944

0,884

0,850

0,814

50

1,100

1,182

1,235

1,301

0,944

0,886

0,852

0,817

52

1,098

1,177

1,229

1,294

0,945

0,888

0,854

0,820

54

1,095

1,173

1,224

1,286

0,946

0,890

0,857

0,822

56

1,093

1,169

1,218

1,280

0,946

0,891

0,859

0,825

58

1,091

1,165

1,213

1,273

0,947

0,893

0,861

0,827

60

1,089

1,162

1,208

1,267

0,948

0,894

0,863

0,830

62

1,087

1,158

1,204

1,262

0,948

0,896

0,864

0,832

64

1,086

1,155

1,200

1,256

0,949

0,897

0,866

0,834

66

1,084

1,152

1,196

1,251

0,949

0,899

0,868

0,836

68

1,083

1,149

1,192

1,246

0,950

0,900

0,869

0,838

70

1,081

1,146

1,188

1,242

0,950

0,901

0,871

0,840

72

1,080

1,144

1,185

1,237

0,951

0,903

0,872

0,841

74

1,078

1,141

1,182

1,233

0,951

0,904

0,874

0,843

76

1,077

1,139

1,179

1,229

0,952

0,905

0,875

0,845

78

1,076

1,136

1,176

1,225

0,952

0,906

0,876

0,846

80

1,075

1,134

1,173

1,222

0,952

0,907

0,878

0,848

85

1,072

1,129

1,166

1,213

0,953

0,910

0,881

0,852

90

1,069

1,124

1,160

1,206

0,954

0,912

0,883

0,855

95

1,067

1,120

1,155

1,199

0,955

0,914

0,886

0,858

100

1,065

1,116

1,150

1,192

0,956

0,916

0,888

0,861

110

1,062

1,110

1,141

1,181

0,958

0,920

0,893

0,866

420

1,058

1,104

1,133

1,171

0,959

0,923

0,897

0,871

Op. 10 ГОСТ 11.007-75

Значения

00

сл

1

^cooo^Ooc^Oco^^OooapoocoO^oqpTt-'CNiOOOt—'Coio COOOHOION^qD-<00<МСГ|Ь-1Л'^чО00СО'ФсдОО^00^СС>Ю'фС¥5<М

О СО ^ О О 00 00 t'-* CD СО СОЮ 1ЛЮ 1Л Й ^ со со со со со со со со —^ _Г —Г o' О О О О" о сГ o' о o' о o' о о" o' o'1 o' o' o' o' о" о" o' o' о" о

1 III 1 ITIII ITI ITI 1 1 1 111 ITI 1 ITI t

ю

сл

1

|l0’^00^tH,,^NC^00C0l^i0CD00OC0C0O ^t4Or-'CO’—lOCMOQLOcOOGOt^LO^fCNOOOCDLOCOCg—<OCnoOOOt--CDCD C\|O^NNc£3i£)l^lOiCL0'^'^^T:tl''t'^00r0C0C0000000CNOlCviOl(N(>l

ffl

N

£

*-i -H о o' о о о" о о о' о о о о" о" О о о' о o' о" о' о" o' о" О o' о С?" о*

И 1 1 ! 1 1 1 II N II 1 1 1 1 1 Т II i II 7 i 1 7 1

§

о

'L

000{N—•OOoOOLOOOCMCsi'^OO^h’^-'^CDOO^— -^ООСОООСО .30 ^tlOOi'tONlOCs)-'OiN0lOTtfO'*<aoONCDlO'tCOrO(N — -lOO OOt^OLOlO^^'^',^'^OCOOOCOCOCOCOCN)CNCvlCStOjCN<NCNCSt(NCSI<N<N

О СГ О О ООО о о о о о о о о о o' o' о o' о' о" о" о о о" o’ о о' о"

1 Т 1 М 1 1 II II II 1 1 II 1 II 1 1 1 1 II 1 1 1 1

£

о

II,

£

^ю^соспоооаоо^орооо -HiotDooo'tai'^aiw — ooccMMOuo 00 ’—1 ОО CD LQ СО Cs| О О О 00 b~ CD Ю СО СО СО CN CS) С\) '—> »—1 ’—' О О ^COOOO-JC'-'ICsiC'sjC4-) СЧ СМ СМ ’—1 00 г~‘ '—’ ’—1 ’—’—1 ’—1 •—1 '—' 1—1 1—< д—1 — у-i ^

o' о“ o' o' о“ о" o' о' о” о'’ о' cf о ~ o' о о' о' o’ о" о о” o' o’ о” o'1 о” о о' o'"

1 I 1 1 1 1 1 1 1 I J ! 1 <j> 1 1 i 1 1 1 1 J 1 1 J 1 1 1 1 1

00

сл

о*

11^

(NWOcON^NW^^WN^^CCOlSSwCOinoOCOlM^-HW^CO OOffilMO - ЛОЮ^ООКХМОоОЮ^ип'ф^^^МООЮОЬЩЮ^СО ЮС^^О0^00Ь^КС0ОС0С01бЮ1Л^ "’^^^^^Г0с0С0С0С,0Г000

~ —Г ^ о o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' ° о o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o'

£

иэ

О)

f

ка)01-н^^ю^т1'0050гоьсо-оосп<мьт1-сос1(мсо1лоогн^оо OCO(MWOi^ON't(MO36?)CD'tCOCSig)N0^mCN-ЮФСОМ^ФЮ 05 00 N 0 CD CD Ю Ю Ю ^ «Ф ^ Tt со СО СО СО СО ГО CO CO (N (N CS| C^l (N

—Г o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o'

§

о

£

(N<D00NNiO00lOCDOl’tO00000000(M00C£ll0cDNa5CMC0O't(b^C) Ncn^TfON Tf CN О OO CD CO CM ’—1 О 00 N tD LQ Tf f0 OQ C-) <M ■—'ООО N CD ю 1б Ю Tl- тг ^ CO w со C3 СО О СЧ СЧ CSIr w W (N W (N W (N CSJ «

Q o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' о о' о' о' о о о' о' о' о'

ю

о'

й,

£

О (М CN >—<LO(Ni—iW't ЬОЮСЮ-'ЬО^СО^СЛЮ^ООЮГО OqpiOCO -ФОб-ЮОСО—OOOOOOb-r-COCOir>lO^OOOCS|CM^~~. — -—ООО СОСОСМ(МС^<М<МС^^^—^—‘ ^ ^ ^ ^"1 — —^ ~ ~ ~“L о' о о' о о о' о' о' о' о' о' о' о' О О о' о о' о' о о' О ООО о' о' о' о

Объем выборки п

о—i(NC0-^,L0CCt^00aiOCMrt4CD0QOCN'^C000OCS|T^C000

ГОСТ 11.007-75 Стр. 11


О

СП

сГ


00-^0с0000с0о001''--10см0а010с0а0т^сг>с00с0

OOOOOOOb-r'^l''-t''--CO<OCOcOlOLOlO^''t,COCOCMCM


со

!=r

К

п

со

н


?•



г-

o'


?-


т^СМОООО^сМ’—1idGOtOtA’^CO’—'C^QOlOCOi—• Г"- ’'f oOocr>a>o^ajoioooogpQDoocooo®bh-Nh-co<£) ^ °„0„0 2 0 Ooooos OO OOO^CSOO Cf o' o' О o' o' о d o’ o' o' o' o' О o' o'" о о о' о о" о"

I I I I I II I I 1 и I I I I I II I II


QO-HlOO)CON(NN(No0^05(D(MOOlOCOCi(N(D^lO (NC^-.OOa)0)OOoOh-NOtOtDWWTt'COCO(N^O « CO CO 00 СО СЧ « N « w CM CM CM CM CM CM CM CM CM CMCM CM^

o' o' o' o' o' o' o' o' o' O' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o'


«NcOOOCOO)lO-OO^^OOlCC)CDNOLOCDlCCDffi Ю'^’^СОСОСМСМСМ^—'гнОООСО)СоО^ЬСОЮ CM^CN CM CM CM CM 04 CM CM CM CM CM CM <N ~    ~    ~    ~    ^

o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o'


lOMN't^S^^aiCD't^OlMnfOflOCOClCDCfO

OCiOOOOooNSNCOCDcDCOlOlOlClO^TfCQCOOlIN


?•


о о' о' о' о' о' о' о' о' о о' о' о о' о' о' о' о' о' о' о' о


ia


?-


^Cibcp'tCN^C500biO'tCO(N^ONiOW^N^ 00501®CO)C)OOOOCDOOOOC£)OOOOOONNNbtnCD — OoOOOoOOOOOOOOOOOOOOO

o' o' Q o' q' о' о о о' о' о о' о о' о о о' о' о о о' о'


СП

со

СП

см

о

со

см"

QO

■'f

СП

ю

о"

Ол

см'

lo

ю

СП

о“

со

f—(

g

см

СО

о

см^

ю

из

г-

t-

со

о'

о"

?•

>

3


Е К а» м

£§•

Оо


go о ■ см

lOUjlOlOlOtbtDtO(D0NNNNSoOOO^O)^-H^


Стр. 12 ГОСТ 11.007-75

7.5. Определение верхней доверительной границы для параметра а при неизвестном значении параметра Ь и известном значении с осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность у2 и вычисляют корни b и а уравнений (1) и (2) приложения 1;

по заданному объему выборки п (5<п<120) и значению у2 из табл. 3 находят значение коэффициента zB;

определяют верхнюю доверительную границу для параметра а по формуле

при значении объема выборки п> 120 значение гв определяют по формуле

(21)

где Uy2 — приведено в табл. 4.

7.6. Определение доверительного интервала для параметра а при неизвестном значении параметра b и известном значении с осуществляют следующим образом:

задают доверительную вероятность у* и односторонние доверительные вероятности Уи и ?2 таким образом, чтобы у*, Yi и у2 удовлетворяли соотношению (13);

для односторонней доверительной вероятности у{ согласно п. 7.4 определяют нижнюю границу он;

для односторонней доверительной вероятности у2 согласно п. 7.5 определяют верхнюю доверительную границу ав;

нижняя ан и верхняя ав доверительные границы образуют доверительный интервал для параметра а при доверительной вероятности y* = Уь+Уг—1 (см. приложение 2, примеры 6, 8).

ГОСТ 11.007-75 Стр. 13


ПРИЛОЖЕНИЕ / Рекомендуемое


ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ


1. Метод максимального правдоподобия применяется, когда имеются повышенные требования к эффективности оценок.

Случай [а, Ь]. Оценка параметров масштаба а и формы b при известном значении параметра сдвига с по методу максимального правдоподобия осуществляется путем решения системы уравнений

п

«2 (•*<—'c)b\n(xt—,с)    п

JL— —----Ь2'п(^)=0>    (1)

1 = 1


а -


(2)


Решение уравнения (1) данного приложения осуществляется методом последовательных приближений (методом Ньютона — Рафсона) по рекуррентной формуле


Л    А

bk+i=bk +



(3)


S1=2 ln (-*«—c).    (4)

(=1

4fe)=2(x~c) h ’    (5)

n    A

^=2^-c)    (6)

{=1

n    /ч

S4fc)=2(Jf—b<i'ln2 (A—Ic).

i=1


(7)


Ьк — k~e приближение к корню b уравнения (1) данного приложения,

Ь0 — начальное приближение к корню b уравнения (1) данного приложения.

2. В качестве начального приближения может быть взято значение оценки Ь, полученной методом моментов, или значение оценки параметра 5, полученной с помощью вероятностных сеток (по ГОСТ 11.008-74), или значение оценки параметра Ь, полученной по значению вероятности Р0 с помощью табл. 1.

Я0=Вер{л:<Т}.    (8)


Оценка вероятности Pq осуществляется по накопленной частости

(См. приложение 2, пример 8).

3. Чтобы получить несмещенную оценку b для параметра Ь, следует ум-

ножить значение корня b на коэффициент £(п), приведенный в таблице данного приложения.

Оценка а параметра а получается из уравнения (2) данного приложения,

в которое вместо значения b подставляется значение b (см. приложение 2, пример 6).

Значения В (п) для получения несмещенной оценки параметра формы b

п

В(п)

п

В(п)

п

В(п)

п

В(п)

п

В(п)

5

0,669

15

0,908

3i

0,960

54

0,975

74

0,982

6

0,752

16

0,914

36

0,962

56

0,976

76

0,983

7

0,792

18

0,923

38

0,964

58

0,977

78

0,983

8

0,820

20

0,931

40

0,968

60

0,978

80

9,984

9

0,842

22

0,938

42

0,968

62

0,979

85

9,985

10

0,859

24

0,943

41

0,970

64

0,980

90

0,985

11

0,872

26

0,947

46

0,971

66

0,98с

1 100

0,987

12

0,883

28

0,951

48

0,972

68

0,981

120

0,990

13

0,893

30

0,955

50

0,973

70

0,981

14

0,901

32

0,958

52

0,974

72

0,982

4. Случай [а, с]. Оценка параметра а и с при известном значении параметра b~bQ по методу максимального правдоподобия осуществляется следующим образом:

—    если значение \0<Ь0<2, то в качестве оценки параметра с берут минимальное значение хп(\) из наблюденных значений хи х3,    .    .    хп;

—    вычисляют оценку параметра а по формуле

(10)

(См. приложение 2, пример 9).

ГОСТ 11.007-75 Стр. 15


5. Если Ьо>2, то оценку параметров а и с осуществляют путем решения системы уравнений:


Ьо-1


пЪ0-


ы


i=1


(И)


L f=i


bo


bo


(12)

Оценка параметра с находится из уравнения (11) данного приложения методом последовательных приближений (методом    Ньютона—Рафсона)    по

формуле


~ л

сг)4-1к'


sf>-


Ь 0-1

' ь0п


■S\k)


(b0~l)S^-Slk)~b0(Sik>)2 b,


(St)


b0n


"SP


(13)


s


k\2

<ft)

1



(14)


t=l    Cfc


4*’-2


1


(xi ck)2


(15)


4^=2 ^~Ck)b° 2 -    (16>

i=1

/L\ Ж’I    A b0 1

si*>=2 (*<-<*)    .    (17>

t=l


si*>=2 (4-V".    08)

1=1

Co — начальное приближение к корню с, которое может быть получено или методом моментов, или с помощью вероятностных сеток, или с помощью значения вероятности Р0 (см. формулы (8), (9) данного приложения и приложения 2, пример 8);


по полученному значению с=с и данному значению Ь0 согласно формуле (12) данного приложения находят оценку для параметра а (см. приложение 2, пример 10).

6. Случай [а, Ь, с]. Оценка параметров а, b, с распределения Вейбулла по методу максимального правдоподобия осуществляется путем решения системы уравнений:


ь—1


=0.


(19)


У (х£—с)*

t=l


t=i


In (jct*—с)


п i=1


(Xi—c)b In (X{—c)


=0


(20)

У(Xr-c)» i-1


a=


-2 <*->■


*=i


(21)

Решение системы уравнений (19), (20), (21), осуществляется следующим образом:

согласно п. 2 данного приложения находят начальное приближение для оценок параметров а, Ь, с.

Если окажется, что начальное приближение оценки параметра b не более 2, то в качестве оценки параметра сдвига берут наименьшее значение хп (1) из наблюденных значений хи х2,    .    .    хп.

Затем из уравнения (20) методом последовательных приближений (методом Ньютона—Рафсона) находят оценку для параметра b по формулам (3)—(7) данного приложения, где вместо значения с следует подставлять значение хп (1) (см. приложение 2, пример 11).


ГОСТ 11.007—75 Стр. 17

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Справочное

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ СТАНДАРТА

Таблица 1

Значения xt

10,96

13,445

3,670

3,703

7,744

16,832

5,532

6,182

6,472

17,034


Пример 1. Дано 10 наблюдений случайной величины X, подчиняющейся распределению Вейбулла с известными значениями параметров формы Ь=2 и сдвига с—2. Найти оценку для параметра масштаба а. Результаты наблюдений приведены в табл. 1 данного приложения.

Решение. Согласно формуле (2) получают:

2

=9,13.

Г 10

Пример 2. Дано 100 наблюдений случайной величины, подчиняющейся распределению Вейбулла, если известно, что параметр сдвига с=0.

Результаты наблюдений, расположенные в порядке возрастания (вариационный ряд), приведены в табл. 2 данного приложения. Найти методом моментов оценки для параметров формы b и масштаба а.

Таблица 2

Значения х i

0,027

0,251

0,446

0,667

0,843

0,033

0,266

0,480

0,670

0,855

0,091

0,267

0,506

0,675

0,887

0,106

0,270

0,510

0,705

0,925

0,117

0,273

0,561

0,706

0,937

0,135

0,288

0,576

0,738

0,949

0,136

0,291

0,588

0,741

0,949

0,211

0,333

0,611

0,748

0,986

0,211

0,342

0,615

0,748

0,987

0,228

0,363

0,631

0,749

1,085

0,231

0,415

0,646

0,778

1,127

0,236

0,434

0,646

0,782

1,161

0,239

0,445

0,649

0,826

1,198

Продолжение таблч 2

1,225

1,373

1,435

1,822

2,185

1,242

1,375

1,501

1,849

2,285

1,248

1,418

1,521

1,897

2,646

1,265

1,419

1,573

1,964

3,101

1,283

1,421

1,745

1,969

3,904

1,341

1,427

1,764

2,031

4,007

1,363

1,432

1,807

2,038

4,388


Решение. Согласно формулам (3), (4) и (5) вычисляют

1 100

-Tool *‘-=!'034,

i=1


s=

(я*—*)2 =0,874,

i=1


0,874 Vf}~\ ,034


=0,845.


Из табл. 1 находят, что для 6=1,10 v = 0,910, а для 6=1,20 vb =0,83?. Применяя линейную интерполяцию:

6Х — 1,10; vbl =0,910;

Ъ= ;    оь=0,Ш;

Ъ2 — \ ,20;    vb2 =0,837,

получают

.    ,    Щ-Ьъг    Vb2-bb    1,20(0,845-0    910)    1,10(0,837-0,845)

Vb2 —vbi +%&2 — vbl -    0,837—0,910    +    0,837—0,910


С помощью табл. 1 и используя линейную интерполяцию, получают значение кь;


6^1,10;    Кьг =0,965;

6 = 1,19;    Кь= ;

Ь2= 1,20;    Кьг =0,940.


Кь=0,940


(1,19—1,10)

1,20—1,10

+0,965


(1,20-1,19)

1,20—1,10

=0,942.


Согласно формуле (6) находят оценку для параметра масштаба а

1,034 а~0,942 ~1,10'

Таким образом оценки для параметров а и 6 следующие:

а= 1,10;    6=1,19.


УДК 658.562.012.71083.74J    Группа    Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

Прикладная статистика ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

Applied statistics. iPioint and interval estimators for parameters of weibull distribution

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров ССОР от 5 сентября 1975 г. № 2347 срок введения установлен

с 01.07. 1976 г.

Настоящий стандарт устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров распределения Вей-булла по совокупности статистических (опытных) данных, полученных на производстве в процессе измерений, испытаний и анализов, если эти опытные данные подчиняются распределению Вейбулла.

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ

1.1.    Правила и положения данного стандарта устанавливаются для распределения Вейбулла, задаваемого плотностью распределения:

/(*, а, Ь, с)= |— (—' “    ,    если    х>с    (1)

( 0,    если    x<ic,

где а — параметр масштаба, b — параметр формы, с — параметр сдвига (см. приложение 4, чертеж).

1.2.    Оценка параметров а, Ь, с осуществляется по выборке независимых наблюдений хи х2,    .    .    .,    хп    случайной    величины

X, заведомо подчиняющейся распределению Вейбулла. Согласие наблюдений хи %2> •    .    хпс    распределением    Вейбулла    —    по

ГОСТ 11.006-74.

гост

11.007-75

Перепечатка воспрещена


Издание официальное


Переиздание. Ноябрь 1977 г.


ГОСТ 11.007-75 Стр. 19

Пример 3. табл. 2 примера 2 дано 100 наблюдений случайной величины X, подчиняющейся распределению Вейбулла. Известно, что 6 =1,2. Методом моментов найти оценки для параметров масштаба и сдвига.

Решение. Из табл. 1 определяют значение коэффициентов К ь и . В нашем случае для 6=1,20 имеем Кь —0,940; g*=0,787.

Определяют среднее значение х и среднее квадратическое отклонение 5

1 юо

5=

(xt*—1,034)2=0,874.


1*034;

Согласно формуле (7) определяют оценку а для параметра а

- 0,874    ,

0,787 ~1,115*

По формуле (8) определяют

с=1,034—I,115-0,940=— 0,014.

Согласно формуле (9) в качестве оценки параметра сдвига с берут значение с = —0,014, так как

Г=-0,014<*1ОО(1)=0,027.

Таким образом оценки для параметров масштаба а и сдвига с следующие:

а= 1,115;    Г=-0,014.

Пример 4. Для 100 наблюдений, приведенных в табл. 2 примера 2, найти методом моментов оценки для параметров масштаба, формы и сдвига распределения Вейбулла.

Решение. Согласно формуле (10) вычисляют:

100

99-98    х*~~    1    >    034)3

=2,109,

i=\

~ | 100 “|3/2 gg-^(x(.-l,034)(=1

где х= 1,034; 5=0,874 получено согласно примеру 2.

По значению р* = 2,109 из табл. 1 находят значение 6 = 0,97; /(* = 1,013; ££ = 1,043. В данном случае применена линейная интерполяция для получениязначений 6 = 0,97; /(* = 1,013; g*= 1,043.

Согласно п. 5.1 и формуле (7)) вычисляют:

л— 1,043 —°-838-

Стр. 2 ГОСТ 11.007-75

1.3. Стандарт устанавливает правила определения оценок для параметров а, б, с методом моментов для следующих случаев:

[а]—оценка параметра масштаба а при известном значении параметров формы б и сдвига с,

[а, б] —оценка параметров масштаба а и формы б при известном значении параметра сдвига с,

[а, с] —оценка параметров масштаба а и сдвига с при известном значении параметров формы б,

[а, б, с] —оценка всех трех параметров.

Стандарт устанавливает правила определения доверительных границ для параметров а, б, с для случаев:

[а] — определение доверительных границ для параметра а при известных значениях параметров формы б и сдвига с;

[а, б] —определение доверительных границ для параметров масштаба а и формы б при известном значении параметра сдвига с.

2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА МАСШТАБА а ПРИ ИЗВЕСТНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ФОРМЫ b И СДВИГА с (СЛУЧАЙ [а]]

2.1. Оценка параметра а при известном значении параметров бис осуществляется по формуле

п    \1_

s    у

~\ /

(См. приложение 2, пример 1).

3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МАСШТАБА а И ФОРМЫ b ПРИ ИЗВЕСТНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА СДВИГА с (СЛУЧАЙ [а, Ь])

3.1. Оценка параметров а и б при значении параметра с осуществляется следующим образом:

вычисляют выборочное среднее арифметическое значение х и выборочное среднее квадратическое отклонение 5 по формулам:

п

*=4*2**>    (з)

(4)


t=\ t=l

ГОСТ 11.007-75 Стр. 3

а также отношение

=    ,    (5)

X—С

по полученному значению vb из табл. 1 находят значение оценки Ь параметров Ь и значение коэффициента Къ\

по полученному значению Кь определяют оценку для параметра а по формуле

(6)

X—с

Кь

Если в табл. 1 нет соответствующего значения vb, то необходимо воспользоваться линейной интерполяцией (см. приложение 2, пример 2).

4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МАСШТАБА а И СДВИГА с ПРИ ИЗВЕСТНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА ФОРМЫ Ъ (СЛУЧАИ [ат с])

4.1. Оценка параметров а и с при известном значении параметра b = b0 осуществляется следующим образам:

по значению параметра b = b0 из табл. 1 находят значение коэффициентов gb и Кь ;

определяют оценку для параметра а по формуле

(7)

- S

а=—

ёь

где S — определяется согласно формуле (4); находят значение с по формуле

с х аКь    (3)

в качестве оценки параметра с берут одно из двух значений:

(9)

с =

I с, если с<хл(1).

1лгл(1), еслис>л:(1), где х„(1)—наименьшее значение среди наблюденных значений

(См. приложение 2, пример 3).

5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МАСШТАБА а ФОРМЫ Ь И СДВИГА с {СЛУЧАЙ [а Ь.с])

5.1. Оценка параметра а осуществляется следующим образом: определяют асимметрию р4 по формуле

Стр. 4 ГОСТ 11.007-75

(Х(—Х)3


(га—1) (л-2) ^ Р*=Г—-п-~


(10)


"I3/!


по полученному значению р6 из табл. 1 находят оценку Ь параметра b и значения коэффициентов gb и /С*;

по полученному значению b осуществляют оценку параметров. а и с согласно разд. 4.

(См. приложение 2, пример 4).

6. ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРА МАСШТАБА а ПРИ ИЗВЕСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ ФОРМЫ b И СДВИГА с (СЛУЧАЙ [а])

6.1. Определение доверительных границ для параметра а при известном значении параметров b и с сводится к определению доверительных границ для параметров экспоненциального распределения и осуществляется следующим образом:

из совокупности наблюдений хи х2,    .    .    хп образуют

совокупность величин

Ух={Х —с)Ь> Уг = {Хъ—с)Ь,...,уп={Хп—с)Ь\

по совокупности значений уь уъ> •    •    •,    у    п согласно

ГОСТ 11.005-74 образуют доверительные границы для парамет-, 1

pa    л = — экспоненциального распределения;

1


вычисляют нижнюю доверительную границу для параметра а по формуле

1


гдеХв— верхняя доверительная граница для параметра X, найденная согласно ГОСТ 11.005-74; вычисляют верхнюю доверительную границу для параметра а по формуле

где Ан— нижняя доверительная граница для параметра А, най-денная согласно ГОСТ 11.005-74;

ГОСТ 11.007'—75 Стр. 5

нижняя и верхняя доверительные границы ан, ав образуют доверительный интервал для параметра а, соответствующий доверительной вероятности у*

7*=Ti+T.-l.    (13)

Ti>0.5;    т2>0Д

где — односторонняя доверительная вероятность, соответствующая доверительной транице ан;

72 — односторонняя доверительная вероятность, соответствующая верхней доверительной границе ав.

Вер {л>лн) = т1; Вер {а\<ав}=т2.

(См. приложение 2, пример 5).

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ МАСШТАБА а И ФОРМЫ b ПРИ ИЗВЕСТНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА СДВИГА с (СЛУЧАЙ [а, Ъ]).

7.1. Определение нижней доверительной границы b н для параметра b при неизвестном значении параметра а и известном значении параметра с осуществляется следующим образом: задают одностороннюю доверительную вероятность Уь

вычисляют корень Ь уравнения (1) приложения 1; по заданному объему выборки п (5</г<120) и заданному значению Vi в табл. 2 находят значение коэффициента /н;

вычисляют нижнюю доверительную границу для параметра Ь по формуле

при значении объема выборки /г> 120 значение коэффициента /н вычисляют по формуле

, 1 , 1 / 0,608

=1+ у    (15)

где иУх — квантиль нормального распределения, соответствующая вероятности Yi (см. табл. 4).

7.2. Определение верхней доверительной границы Ьв для параметра b при неизвестном значении параметра а и известном значении параметра с осуществляется следующим образом: задают одностороннюю доверительную вероятность Уг;

вычисляют корень b уравнения (1) приложения 1; по заданному объему выборки п (5<п<120) и значению из табл. 2 находят значение коэффициента 1В\

Стр. 6 ГОСТ 11.007-75

вычисляют верхнюю доверительную границу для параметра Ь по формуле

б.-f ;    (16)

LB

при значении объема выборки «>120 значение /в определяется по формуле

, , _ /0.608

г /г * ^V2 -    (17)

где значение иУг —приведено в табл. 4 (см. п. 7.1). (См. приложение 2, примеры 6,7).

7.3.    Определение доверительного интервала для параметра b при неизвестном значении параметра а и известном значении параметра с осуществляется следующим образом:

задают доверительную вероятность Y* и односторонние доверительные вероятности Yi и у2 таким образом, чтобы у*, yi и У% удовлетворяли соотношению (13);

для односторонней доверительной вероятности у \ согласно п. 7.1 определяют нижнюю доверительную границу Ьп\

для односторонней доверительной вероятности у2 согласно п. 7.2 определяют верхнюю доверительную границу Ьв;

нижняя Ьн и верхняя Ьв доверительной границы образуют доверительный интервал для параметра b с доверительной вероятностью

Т * = Т1+Т 2— 1 •

(См. приложение 2, примеры 6,7).

7.4.    Определение нижней доверительной границы ан для параметра а при неизвестном значении параметра Ъ и известном значении с осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность Уь

вычисляют корни b я а уравнений (1), (2) приложения 1; по заданному объему выборки « (5<«<120) и значению yиз табл. 3 находят значение коэффициента гн;

вычисляют нижнюю доверительную границу для параметра а по формуле

л

Л ~ZJb    *    V

а^а-е ;    (18)

при значении объема выборки «>120 значение гн вычисляют по формуле

(19)

/1 108" п ’

где значение иУх —приведено в табл. 4 (см. п. 7.1).

ГОСТ 11.007-75 Стр. 7

Таблица 1

Значения Кь* г 8Ь> » v Ы Рг>» ?о для заданных значений b

ъ

К*

Ч

vb

<>ь

Ро

0,20

120,0

1901

15,84

190,1

0,926

0,30

9,261

30Л0

5,408

28,33

0,857

0,40

3,323

10,45

3,141

11,35

0,801

0,50

2,000

4,472

2,236

6,619

0,756

0,60

1,505

2,645

1,758

4,593

0,721

0,70

1,266

1,851

1,462

3,498

0,692

0,80

1,133

1,428

1,260

2,815

0,668

0,90

1,073

1,199

1,113

2,345

0,649

1,00

1,000

1,000

1,000

2,000

0,632

1,10

0,965

0,878

0,910

1,734

0,617

1,20

0,940

0,787

0,837

1,521

0,605

1,30

0,923

0,716

0,776

1,346

0,594

1,40

0,911

0,660

0,724

1,198

0,584

1,50

0,903

0,613

0,679

1,072

0,575

1,60

0,897

0,574

0,640

0,962

0,568

1,70

0,892

0,540

0,606

0,865

0,561

1,80

0,889

0,511

0,575

0,779

0,555

1,90

0,888

0,486

0,547

0,701

0,549

2,00

0,886

0,463

0.523

0,631

0,544

2,10

0,886

0,443

0,500

0,567

0,539

2,20

0,886

0,425

0,480

0,509

0,534

2,30

0,886

0,408

0,461

0,455

0,530

2,40

0,886

0,393

0,444

0,405

0,527

2,50

0,887

0,380

0,428

0,358

0,523

2,60

0,888

0,367

0,413

0,315

0,520

2,70

0,889

0,355

0,399

0,275

0,517

2.80

0,890

0,344

0,387

0,237

0,514

2,90

0,891

0,333

0,375

0,202

0,511

3,00

0,893

0,325

0,353

0,168

0,509

ЗЛО

0,895

0.314

0,353

0,136

0,507

3,20

0,896

0,307

0,343

0,106

0,504

3,30

0.897

0,298

0,333

0,078

0,501

3,40

0,898

0,292

0.325

0,051

0,500

3,50

0,898

0,290

0,316

0,025

0,497

3,60

0,899

0.277

0,308

0,001

0,496

3,70

0,901

0,276

0,301

—0,023

0,495

3,80

0,904

0.265

0,294

—0,045

0,493

3,90

0.905

0,260

0,287

—0,067

0,492

4,00

0,906

0,254

0,280

-0,087

0,490

4.10'

0.908

0,249

0,274

-0,107

0,489

4,20

0,909

0.244

0,268

—0,126

0,488

4,30

0,910

0,239

0.263

—0,144

0,487

4,40

0,911

0,234

0,257

—0,161

0,486

4.50

0.913

0,230

0,252

—0,178

0,485

4,60

0,914

0,225

0.247

—0.195

0,483

4.70

0,915

0,221

0,242

—0,210

0,482

4,80

0,916

0.217

0.238

—0,225

0,481

4,90

0,917

0,214

0,233

—0,240

0,480

Продолжение табл. 1

ъ

*6

vb

р *

Ро

5,00

0,918

0,210

0,229

■—0,254

0,479

5,Ю

0,919

0,207

0,225

—0,268

0,478

5,20

0,920

0,203

0,221

—0,281

0,477

6,30

0,921

0,199

0,217

■—0,294

0,477

5,40

0,922

0,197

0,213

—0,306

0,476

5,50

0,923

0,194

0,210

—0,318

0,475

5,60

0,924

0,190

0,206

—0,330

0,474

5,70

0,925

0,187

0,203

—0,341

0,474

5,80

0,926

0,184

0,200

—0,352

0,473

5,90

0,927

0,181

0,197

—0,363

0,472

6,00

0,928

0,180

0,194

—0,373

0,471

6,10

0,928

0,177

0,191

—0,383

0,471

6,20

0,929

0,175

0,188

—0,393

0,471

6,30

0,930

0,173

0,185

—0.403

0,470

6,40

0,931

0,170

0,183

|—0,412

0,469

6,50

0,932

0,168

0,180

—0,421

0,468

6,60

0,932

0,166

0,177

—0,430

0,468

6,70

0,933

0,163

0,175

—0,439

0,468

6,80

0,934

0,161

0,173

—0,447

0,467

6,90

0,935

0,159

0,170

—0,455

)0i468

7,00

0,935

0,157

0,168

—0,463

0,465

7,50

0,939

0,147

0,158

—0,500

0,464

8,00

0,942

0,140

0,148

—0,534

0,461

8,50

0,945

0,131

0,140

—0,564

0,460

9,00

0,947

0,126

0,133

—0,591

0,458

9,50

0,949

0,120

0,126

—0,615

0,457

10,00

(0,951

0,114

0,120

—0,638

0,455

Таблица 2

Значения / н и / в

Объем выборки п

1

н

Vi=0,75

Vi=0,90

71=0,95

71=0,98

72=0,75

V 2=0.90

?2=0 95

7*=0,9&

5

1,671

2,277

2,779

3,518

0,951

0,766

0,683

0,604

6

1,543

2,030

2,436

3,067

0,937

0,778

0,697

0,623

7

1,461

1,861

2,183

2,640

0,930

0,785

0,709

0,639

8

1,404

1,747

2,015

2,377

0,926

0,792

0,720

0,653

9

1,361

1,665

1,896

2,199

0,925

0,797

0,729

0,665

10

1,328

1,602

1,807

2,070

0,924

0,802

0,738

0,676

11

1,302

1,553

1,738

1,972

0,924

0,807

0,745

0,686

12

1,281

1,513

1,682

1,894

0,924

0,811

0,752

0,695

13

1,263

1,480

1,636

1,830

0,924

0,815

0,759

0,703

14

1,248

1,452

1,597

1,777

0,925

0,819

0,764

0,710

15

1,234

1,427

1,564

1,732

0,925

0,823

0,770

0,716