Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1 

26 страниц

456.00 ₽

Купить ГОСТ 11.006-74 — бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль"

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Распространяется на продукцию всех отраслей народного хозяйства и устанавливает правила проверки согласия распределения случайной величины, полученной по результатам наблюдений с предполагаемым теоретическим распределением этой величины по критериям Колмогорова, X2, w2

На основании стандарта устанавливают виды распределений показателей качества продукции и технико-экономических показателей, включаемых в нормативно-технические документы.

 Скачать PDF

Консультация по подбору ГОСТабесплатно

Ограничение срока действия отменено (ИУС 3-80)

Оглавление

1. Общие положения

2. Критерий Колмогорова

3. Критерий X2

4. Критерий w2

Приложение 1 (справочное) Примеры проверки согласия опытного и теоретического распределения

Приложение 2 (справочное) Теоретические основы стандарта

Приложение 3 (справочное) Перечень литературы, используемой при разработке стандарта

 
Дата введения01.01.1976
Добавлен в базу01.01.2019
Завершение срока действия01.03.1987
Актуализация01.02.2020

Организации:

20.12.1974УтвержденГосударственный комитет стандартов Совета Министров СССР2766
ИзданИздательство стандартов1975 г.
РазработанВНИИС

Applied statistics. The tests for goodness of fit distributions of empirical

Стр. 1
стр. 1
Стр. 2
стр. 2
Стр. 3
стр. 3
Стр. 4
стр. 4
Стр. 5
стр. 5
Стр. 6
стр. 6
Стр. 7
стр. 7
Стр. 8
стр. 8
Стр. 9
стр. 9
Стр. 10
стр. 10
Стр. 11
стр. 11
Стр. 12
стр. 12
Стр. 13
стр. 13
Стр. 14
стр. 14
Стр. 15
стр. 15
Стр. 16
стр. 16
Стр. 17
стр. 17
Стр. 18
стр. 18
Стр. 19
стр. 19
Стр. 20
стр. 20
Стр. 21
стр. 21
Стр. 22
стр. 22
Стр. 23
стр. 23
Стр. 24
стр. 24
Стр. 25
стр. 25
Стр. 26
стр. 26

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

ГОСТ 11.006-74

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СТАНДАРТОВ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР

Москва

РЛЗРЛБОТЛН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор института, д-р экон. наук, проф. Гличев А. В.

Научный руководитель, канд. техн. наук Бендерский А. М.

Исполнители: Лосицкий О. Г., Диманштейн С. В., Шкотт 3. Н„ Лившиц И. Г., Шуленина Л. А., Шилова Л. С., Воробьева В. К., Чернобривко Л. К., Богатырев А. А., Пшеничникова Л. С.

ВНЕСЕН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор института, д-р экон. наук Гличев А. В.

ПОДГОТОВЛЕН К УТВЕРЖДЕНИЮ Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор, д-р экон. наук Гличев А. В.

УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 20 декабря 1974 г. № 2766

Форма для вычисления величины

Таблица 5

Номер наблюдения в вариационном ряду

2/-1

n*jl

Ш(3)

(2).(4)

1 —(2)

1-(3)

1

2

3

4

5

6

7

I


п


2 п 3

2 п


2 у—I 2 п


2 п—\ 2 п


F(x ,)

(*j)


F(xn)


In F (xt) In F (лг3)


In F (xj)


In F (xn)


2    я

3

2 я


In F (x,) In F (x2)


2/-I

2 я


In /=•(■«/)


2 я—I 2 я


In F (xn)


I—


2 я 3


2 я


3/-I

2 я


2 я—I ' 2 я


1-F (*,) I-F (x,)


1-F ty)


1-Z (*„)


Продолжение

Номер

наблюдения

1п(7)

(6)-(8)

(5) + (9)

в вариационном ряду

1

8

9

10

In F{x{) +

ln[I-F(*,)]


In [l-F <*,)]

In [I-F (x2)]


In [I-/-' (■*-„)]

Д*2)]


(’~br) '"I'-'Wl


('-ЧЬ)


)]

2 n


2 n


2 j—I


In F {x2) +


к

Hr)


-I    /    2/—1\

— in F (Xj) + ^1——-J Ш [1-Д*;)]


2n—l 2


—1    /    2/i—1\

— Ш F (xn) + (i ——) In [1-(Лгя>]


Примечание. Цифры в скобках в заголовке таблицы означают номера граф, из которых надо брать числа для вычисления, например, In (3) означает, что надо вычислить натуральный логарифм числа, содержащегося в графе 3.


Стр. 10 ГОСТ 11.006-74


ГОСТ 11.006-74 Стр. 11

4.2. Вычисление по критерию со2 проводят в следующем порядке:

а)    вычисляют значение величины £2л по формуле

2«=-л    Р    (*у)    +    (1-    —') Ш [1-^1,    (14)

где Xj (/==1,2,..., п)—результат наблюдений, имеющий /-й номер в вариационном ряду Х\^х2^ . . .    ^хп;

F(Xj)—значение функции теоретического распределения при значении аргумента, равном х$.

Вычисления по формуле (14) рекомендуется сводить в табл. 5. Рекомендуется проводить вычисления с точностью до 5 значащих цифр, округляя окончательный результат до двух значащих цифр.

После заполнения таблицы суммируют значения, занесенные в графу 10. Значение величины Q« получают по формуле (14);

б)    в табл. 6 находят значение функции а, соответствующее вычисленному значению Qл. Функция а представляет собой функцию распределения величины 53 2л;

в)    задают уровень значимости а. Рекомендуется выбирать значение а, равное 0,1 или 0,2;

г)    если а^( 1—а), то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений отвергают, если а< (1—а), то гипотезу принимают.

Таблица б

Значение

2

Значение функции а (2Л) при втором знаке после

запятой

2

значения Яп

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,1

0,000

0,000

0,000

0,000

0,001

0,001

0,002

0,003

0,005

0,007

0,2

0,010

0,013

0,016

0,020

0,025

0,030

0,035

0,041

0,048

0,055

0,3

0,062

0,070

0,078

0,086

0,095

0,104

0,113

0,122

0,132

0,141

0,4

0,151

0,161

0,171

0,181

0,192

0,202

0,212

0,222

0,233

0,243

0,5

0,253

0,263

0,274

0,284

0,294

0,304

0,313

0,323

0,333

0,343

0,6

0,352

0,361

0,371

0,380

0,389

0,398

0,407

0,416

0,424

0,433

0,7

0,441

0,449

0,458

0,466

0,474

0,482

0,489

0,497

0,504

0,512

0,8

0,519

0,526

0,533

0,540

0,547

0,554

0,560

0,567

0,573

0,580

0,9

0,586

0,592

0,598

0,604

0,610

0,615

0,621

0,627

0,632

0,637

Стр. 12 ГОСТ 11.006-74

Продолжение

Значение

4

2

Значение функции а (2Я) при втором знаке после

запятой

2

[ значения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1,0

0,643

0,648

0,653

0,658

0,663

0,668

0,673

0,677

0,682

0,687

1,1

0,691

0,696

0,700

0,704

0,709

0,713

0,717

0,721

0,725

0,729

1,2

0,732

0,736

0,740

0,744

0,747

0,751

0,754

0,758

0,761

0,764

1,3

0,768

0,771

0,774

0,777

0,780

0,783

0,786

0,789

0,792

0,795

1.4

0,798

0,800

0,803

0,806

0,809

0,811

0,814

0,8/6

0,8/9

0,821

1,5

0,824

0,826

0,828

0,831

0,833

0,835

0,837

0,839

0,842

0,844

1,6

0,846

0,848

0,850

0,852

0,854

0,856

0,858

0,859

0,861

0,863

1,7

0,865

0,867

0,868

0,870

0,872

0,873

0,875

0,877

0,878

0,880

1,8

0,881

0,883

0,884

0,886

0,887

0,889

0,890

0,892

0,893

0,894

1.9

0,896

0,897

0,898

0,900

0,901

0,902

0,903

0,905

0,906

0,907

2,0

0,908

0,909

0,910

0,912

0,913

0,914

0,915

0,916

0,917

0,9/8

2,1

0,919

0,920

0,921

0,922

0,923

0,924

0,925

0,926

0,927

0,928

2,2

0,929

0,929

0,930

0,931

0,932

0,933

0,934

0,934

0,935

0,936

2,3

0,937

0,938

0,938

0,939

0,940

0,94/

0,941

0,942

0,943

0,943

2,4

0,944

0,945

0,945

0,946

0,947

0,947

0,948

0,949

0,949

0,950

Стр. 13

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к ГОСТ 11.006-74 Справочное

ПРИМЕРЫ ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Пример 1. Применение критерия Колмогорова

По результатам измерений диаметра 316 валиков требуется проверить гипотезу о нормальном распределении диаметра валика. Измерения проводились индикаторным прибором с ценой деления А—0,061 мм.

Результаты измерений и данные их обработки, необходимые для построения функций опытного и теоретического распределений, приведены в табл. 1.

На чертеже приведен график, построенный по этим данным, согласно которому максимальное отклонение между функциями опытного и теоретического распределений при у=—0,6218 равно £>316—0,037.

Величина

^-316 — V316 = 0,65

вписывается в любые границы для доверительных вероятностей у>20 (см. табл. 2 настоящего стандарта). Поэтому согласие данного опытного распределения с нормальным распределением при математическом ожидании диаметра валика 10,000 мм и среднем квадратическом отклонении 0,008 мм следует считать хорошим.

Таблица 1

<

—■.

+

ч

+

е

<

+

ч[

+

Ч

<

+

ч

т

Ч

+

£

+

е

1

<1

+

ч

ч

<

L +

+ ч

1

со

+

+

t*.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9,978

I

9,978

—0,022

0,000484

0,000484

—2,7363

0,00316

0,0031

9,979

0

0

—0,021

0,000441

0

—2,6119

0,00316

0,0045

9,980

2

19,960

—0,020

0,000400

0,000800

—2,4875

0,00949

0,0064

9,981

1

9,981

—0,019

0,000361

0,000361

—2,3631

0,01265

0,0091

9,982

I

9,982

—0,018

0,000324

0,000324

—2,2388

0,01582

0,0125

9,983

3

29,949

—0,017

0,000289

0,000867

—2,1144

0,0253

0,0174

9,984

0

0

—0,016

0,000256

0

—1,9900

0,0253

0,0233

9,985

4

39,940

—0,015

0,000225

0,000900

—1,8656

0,0380

0,0314

9,986

3

29,958

—0,014

0,000196

0,000588

—1,7412

0,0474

0,0409

9,987

6

59,922

—0,013

0,000169

0,001014

—1,6169

0,0664

0,0526

9,988

4

39,952

—0,012

0,000144

0,000576

— 1,4925

0,0791

0,0681

9,989

3

29,967

-0,011

0,000121

0,000363

—1,3681

0,0886

0,0869

9,990

8

79,920

-0,010

0,000100

0,000800

—1,2437

0,1139

0,1075

Продолжение табл. 1

*1

ч

+•

е"

+

ч

+-

е"

14

1

<

+

ч

<

+

н

+

еГ

1

<t

+

£

'|

'-Л

Z, ч

>s 1

ьо

+

С*

+

с

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9,991

0

0

—0,009

0,000081

0

—1.П94

0,1139

0,1314

9,992

7

69,944

—0,008

0,000064

0,000448

—0,9950

0,1361

0,1587

9,993

10

99,930

—0,007

0,000049

0,000490

—0,8706

0,1677

0,1922

9,994

8

79,952

—0,006

0,000036

0,000288

—0,7462

0,1930

0,2266

9,995

12

119,940

—0,005

0,000025

0,000300

—0,6218

0,2310

0,2676

9,996

14

139,944

—0,004

0,000016

0,000224

—0,4975

0,2753

0,3094

9,997

18

179,946

—0,003

0,000009

0,000162

—0,3731

0,3322

0,3557

9,998

16

159,968

—0,002

0,000004

0,000064

—0,2487

0,3829

0,4013

9,999

20

199,98

—0,001

0,000001

0,000020

—0,1243

0,4462

0,4522

10,000

19

190,000

0

0

0

0

0,5063

0,5000

10,001

21

210,021

0,001

0,000001

0,000021

0,1243

0,5727

0,5478

10,002

17

170,034

0,002

0,000004

0,000068

0,2487

0,6265

0,5987

10,003

6

60,018

0,003

0,000009

0,000054

0,3731

0,6455

0,6443

10,004

15

150,060

0,004

0,000016

0,000240

0,4975

0,6930

0,6879

10,005

14

140,070

0,005

0,000025

0,000350

0,6218

0,7373

0,7324

10,006

14

140,084

0,006

0,000036

0,000504

0,7462

0,7816

0,7734

10,007

8

80,056

0,007

0,000049

0,000392

0,8706

0,8069

0,8078

/0,008

12

120,096

0,008

0,000064

0,000768

0,9950

0,8449

0,8389

10,009

13

130,117

0,009

0,000081

0,001053

1,1194

0,8860

0,8686

/0,010

7

70,070

0,010

0,0001

0,000700

1,2437

0,9082

0,8925

10,011

0

0

0,011

0,000121

0

1,3681

0,9082

0,9147

10,012

8

80,096

0,012

0,000144

0,001152

1,4925

0,9335

0,9319

/0,013

4

40,052

0,013

0,000169

0,000676

1,6169

0,9462

0,9474

10,014

5

50,070

0,014

0,000196

0,000980

1,7412

0,9620

0,9591

10,015

2

20,030

0,015

0,000225

0,000450

1,8656

0,9683

0,9693

10,016

4

40,064

0,016

0,000256

0,001024

1,9900

0,9810

0,9767

10,017

0

0

0,017

0,000289

0

2,П44

0,9810

0,9826

10,018

I

10,018

0,018

0,000324

0,000324

2,2388

0,9841

0,9875

10,019

1

10,019

0,019

0,000361

0,000361

2,3631

0,9873

0,9909

10,020

I

10,020

0,020

0,000400

0,000400

2,4875

0,9905

0,9936

10,021

0

0

0,021

0,000441

0

2,6119

0,9905

0,9955

10,022

0

0

0,022

0,000484

0

2,7363

0,9905

0,9968

10,023

2

20,046

0,023

0,000529

0,001058

2,8606

0,9968

0,9979

10,024

0

0

0,024

0,000576

0

2,9850

0,9968

0,9986

10,025

0

0

0,025

0,000626

0

3,1094

0,9968

0,9991

10,026

0

0

0,026

0,000676

0

3,2338

0,9968

0,9994

10,027

I

10,027

0,027

0,000729

0,000729

3,3582

1,0000

0,9996

2=3160,181

2=0,020377

Стр. 15


Ш;г(у)


Пример 2. Применение критерия %2

В процессе специальных испытаний дизелей регистрировалась их наработка, после которой дизель подлежал направлению в капитальный ремонт. Полученные результаты были сгруппированы по интервалам продолжительностью &=250 моточасов. Данные о числе образцов, направленных в капитальный ремонт в первом, втором и т. д. интервалах наработки, приведены в первой и второй графах табл. 2, Требуется проверить гипотезу о том, что указанная наработка подчинена экспоненциальному распределению.

Обработка результатов наблюдений, необходимая для оценки этой гипотезы по критерию х2, приведена в графах с третьей по четырнадцатую табл. 2 (для удобства вычислений в табл. 2 по сравнению с табл. 3 настоящего стандарта

введены дополнительные графы). В итоге получены среднее значение х=8,6 и среднее квадратическое отклонение 5 — 8,5 исследуемой наработки, измеренной числом интервалов (для перевода данных в моточасы надо х и 5 умножить на Л —250).

Поскольку для экспоненциального распределения математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, то начало отсчета наработки при определении нормированных величин yj сдвинуто на х—5=0,1.

В тринадцатом интервале npi3=9,9<10, в последующих интервалах npj< 10. Поэтому, при подсчете величин х2 объединены четырнадцатый и пятнадцатый, шестнадцатый и семнадцатый, восемнадцатый и девятнадцатый интервалы. Далее объединены двадцатый — двадцать второй, двадцать третий — двадцать шестой, двадцать седьмой—сороковой интервалы. При этом для всех расширенных интервалов значения

п(ри+Рч)> Фп+Рп)>

л(Лв+Ло). « (Р20+А1+Л2).

Ф23+Ри+Р25+Р2в)> И

n(p2i+, . • • ,+Рм)

Данные для проверки согласия опытного распределения наработки дизелей до капитального ремонта с экспоненциальным распределением

Таблица 2

гГ

JT

1

1

t

04

1

£

'ГГ

1

iw

1

«г

(

со

1

£

1

£

li-

£ Т

$>1

к II

С

с

С'

с

Г

г

с*

а,

1

&

т

f

£

Cl

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

35

17,5

-8,1

65,61

2296

—0,95

0,00

0,0000

0,1042

37,20

—2,20

4,84

0,128

2

32

48

-7,1

50,41

1613

—0,84

0,11

0,1042

0,1013

36,20

-4,20

17,64

0,488

3

30

75

—6,1

37,21

1116

—0,72

0,23

0,2055

0,0898

32,10

—2,10

4,41

0,137

4

28

98

-5.1

26,01

728

-0,600

0,35

0,2953

0,0797

28,60

—0,60

0,36

0,0126

5

23

103,5

-4,1

16,81

387

—0,48

0,47

0,3750

0,0707

25,30

-2,30

5,29

0,209

6

20

ПО

--3,1

9,61

192

—0,36

0,59

0,4457

0,0577

20,70

—0,70

0,49

0,0236

7

18

117

-2,1

4,41

79

—0,25

0,70

0,5034

0,0562

20,10

—2,10

4,41

0,219

8

17

127,5

-U

1,21

21

-0,130

0,82

0,5596

0,0498

17,82

-0,82

0,67

0,0376

9

17

144,5

—0,1

0,01

0,1

—0,012

0,94

0,6094

0,0441

15,80

1,20

1,44

0,0912

10

15

142,5

0,9

0,81

12

0,11

1,06

0,6535

0,0361

12,90

2,10

4,41

0,341

II

12

126

1,9

3,61

43

0,22

I»17

0,6896

0,0351

12,55

-0,55

0,30

0,0249

12

II

126,5

2,9

8,41

93

0,34

1,29

0,7247

0,0312

11,15

—0,15

0,02

0,0018

13

10

125

3,9

15,21

152

0,46

1,41

0,7559

0,0276

9,90

0,10

0,01

0,00101

14

10

135

4,9

24,01

240

0,58

1,53

0,7835

0,0225

8,05

1,95

1,98

3,80

3,92

“0,473

0,244

15

8

116

5,9

34,81

278

0,69

1,64

0,8060

0,0220

7,97

0,03

0,0009

0,000113

16

7

108,5

6,9

47,61

333

0,81

1,76

0,8280

0,0194

6,95

оЖ~

1,85

0,009

3,43

6,60288

0,263

17

8

132

7,9

62,41

499

0,930

1,05

1,88

0,8474

0,0193

6,20

1,80

3,24

0,523

18

6

105

8,9

79,21

475

2,00

0,8647

0,0153

5,48

0,52

0,04

0,27

0,0016

0,0494

0,0001

19

4

74

9,9

98,01

392

1.17

2,12

0,8800

0,0125

4,48

-0,48

0,23

0,0515

е

•~-ч

i"

'1

Ы

1

i*

1

'N

(N

1

iw

Г

1

i

14

1

4"

1

Co

1

£

1

>4

1

2

3

4

5

6

7

8

20

8

58,5

ГО79"

ГГ8,81

1

^ f

21

8

61,5

11,9

141,61

425

1,40

2,35

22

5

107,5

12,9

166,41

832

1,50

2,47

23

4

90

13,9

193,21

773

1,64

2,59

24

2

47

14,9

222,01

444

1,75

2,70

25

3

73,5

15,9

252,81

758

1,87

2,82

26

5

127,5

16,9

285,61

1428

1,99

2,94

27

2

53

17,9

320,41

641

2, П

3,06

28

4

ПО

18,9

357,21

1429

2,22

3,17

29

3

85,5

19,9

396,01

1188

2,34

3,29

30

0

0

20,9

436,81

0

2,46

3,41

31

2

61

21,9

479,61

959

2,58

3,53

32

3

94,5

22,9

524,41

1573

2,70

3,65

33

I

32,5

23,9

571,21

571

2,82

3,77

34

0

0

24,9

620,01

0

2,93

3,88

35

1

34,5

25,9

670,81

671

3,05

4,00

36

2

71

26,9

723,61

1447

3,17

4,12

37

0

0

27,9

778,41

0

3,29

4,24

38

2

75

28,9

835,21

1670

3,40

4,35

39

/

38,5

29,9

894,0/

894

3,52

4,47

40

1

2—358

39,5 3071,5

30,9

954,81

955 X=25967

3,63

4,58

3071    0 п С" Л / 25967    ос.    ^    4

Х= -Щ-=8'6S= V - 357“ в 85>    1 ~ Ь'

Продолжение табл. 2

i! & i

< ii

si

cT

c

f

s'

sT

taT

1

jT

C4

*—v

Ci.

1

■*-\

£

*;

•*-4

4

9

D

11

12

13

14

078525-

'07)121

4,34

—Г734

1,79

0,242

—0,65

0,42

0,036

0,9046

0,0108

3,87

-0,87

0,75

0,194

0,9154

0,0096

3,44

1,56

2,43

0,707

0,9250

0,0078

2,79

1,21

1,46

0,524

0,9328

0,0076

2,72

-0,72

0,51

0,187

3,94

15,52

1,54

0,9404

0,0067

2,40

0,60

0,36

0,15

0,9471

0,0060

2,15

2,85

8,12

3,78

0,9531

0,0049

1,76

0,24

0,05

0,0284

0,9580

0,0048

1,72

2,28

5,19

3,05

0,9628

0,0041

1,46

0,60

0,36

0,15

5,22

27,25

1,62

0,9669

0,0038

1,36

—0,42

0,17

0,405

0,9707

0,0033

1,18

0,82

0,67

0,567

0,9740

0,0030

1,07

1,93

3,72

3,48

0,9770

0,0024

0,86

0,14

0,02

0,0233

0,9794

0,0024

0,86

-0,86

0,73

0,85

0,9818

0,0020

0,72

0,28

0,08

0,111

0,9838

0,0018

0,64

1,36

1,85

2,90

0,9856

0,0015

0,54

—0,54

0,29

0,536

0,9871

0,0015

0,54

1,46

2,13

3,95

0,9886

0,0012

0,42

0,58

0,33

0,786

0,9898

0,0102

3,65

-0,65

7,02

1,92


12;    =    Ail    =0,300.

k    18


больше 10. Эти интервалы в табл. 2 заключены в полужирную рамку. Соответственно вычисляются и все остальные величины, например,

{ШП + ТП\Ь-Л(р14+/>15)}2

п {ри + Pis)

и т. д.

После объединения указанных интервалов полное число неравновеликих интервалов составляет 13+6=19 (вместо сорока равновеликих) и число степеней свободы при оценке %2 принимается равным &=19—1 = 18.

5,42

18


k


0,300,


Окончательно получается

что соответствует вероятности а=0,005.

Это значит, что гипотеза о согласии наработки дизеля до капитального ремонта с экспоненциальным распределением принимается.

Пример 3. Применение критерия ш2

Настоящий пример составлен при малом количестве данных с целью иллю-страции вычислительного процесса.

Исходные данные, упорядоченные по величине, приведены ниже в табл. 3.

Таблица 3

Номер

наблюдения

Значение

Номер

наблюдения

Значение

Номер

наблюдения

Значение

1

15,61

6

24,14

II

27,88

2

20,71

7

24,59

12

28,74

3

21,68

8

26,18

13

29,34

4

22,28

9

26,23

14

30,86

5

23,22

10

27,59

15

32,08

Требуется проверить гипотезу о том, что выборка принадлежит нормальна распределенной генеральной совокупности. Оценки параметров нормального распределения, вычисленные по исходным данным, равны соответственно х=25,340;. S=4,319. Принимаем эти оценки в качестве значений параметров нормального распределения.

Результаты дальнейших вычислений приведены в табл. 4.

Сумма значений, помещенных в графе 10, равна —7,58828. Тогда результат вычисления по формуле (14) будет Йп2=—п—2(—7,58828) =0,17656^0,18. Значение функции a (Qn2) для Qn2=0,18 равно 0,003. Это значение очень мало; следовательно гипотеза о том, что выборка принадлежит нормально распределенной* генеральной совокупности, не может быть отвергнута.

УДК 658.562.012.7(083.74]    Группа    Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

гост

11.006—74

Прикладная статистика

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

Applied statistics. The tests for goodness of fit distributions of empirical

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 20 декабря 1974 г. № 2766 срок действия установлен

с 01.01 1976 г, до 01.01 1981 г.

Настоящий стандарт распространяется на продукцию всех отраслей народного хозяйства и устанавливает правила проверки согласия распределения случайной величины, полученной по результатам наблюдений с предполагаемым теоретическим распределением этой величины по критериям Колмогорова, х2> <*>2.

На основании настоящего стандарта устанавливают виды распределений показателей качества продукции и технико-экономических показателей, включаемых в нормативно-технические документы.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1.    Процедура проверки согласия опытного и теоретического распределений случайной величины х заключается в получении упорядоченного ряда результатов наблюдений этой величины

построении на основании их функции накопленных частостей и сравнении этой функции с заданной теоретической функцией.

Процедура осуществляется с целью установления функции распределения случайной величины х, применяемой для различных теоретико-вероятностных расчетов, статистического анализа, а также обоснования выбора планов статистического контроля, регулирования и испытаний качества продукции.

Издание официальное

1.2.    Наблюдения случайной величины х должны проводиться в практически одинаковых условиях, исследуемая совокупность

Перепечатка воспрещена

© Издательство стандартов, 1975

Результаты вычислений по

Номер наблюдения в вариационном ряду

2/-1 2 п

1п(3)

(2)•(4)

1-(2)

1

2

3

4

5

6

1

0,033

0,0121

—4,41454

—0,14715

0,966

2

0,100

0,142085

—I,95122

—0,19512

0,900

3

0,166

0,198498

—I,61697

—0,26949

0,833

4

0,233

0,239473

—1,42920

—0,33348

0,766

5

0,300

0,382089

—0,96207

—0,28862

0,700

б

0,366

0,390506

—0,94033

—0,34479

0,633

7

0,433

0,430933

—0,84188

—0,36481

0,566

8

0,500

0,485243

—0,72319

—0,36160

0,500

9

0,566

0,581605

—0,54197

—0,30712

0,433

10

0,633

0,698817

-0,35839

—0,22698

0,366

II

0,700

0,721734

—0,32615

—0,22831

0,300

12

0,766

0,784359

—0,24284

—0,18618

0,233

13

0,833

0,822777

—0,19504

—0,16253

0,166

14

0,900

0,899375

—0,10603

—0,09427

0,100

15

0,966

0,940601

—0,06124

—0,05920

0,033

Таблица 4

критерию ш2

1 —(3)

Ш(7)

(6)-(8)

(5)+(9)

7

8

9

10

0,987870

—0,01217

—0,01176

—0,15892

0,857915

—0,15327

—0,13794

—0,33307

0,801502

—0,22127

—0,18439

—0,45389

0,760527

—0,27378

—0,20990

-0,54338

0,617911

—0,48143

—0,33700

—0,62562

0,609494

—0,49512

—0,31358

—0,65836

0,569067

—0,56370

—0,31942

—0,68424

0,514757

—0,66397

—0,33199

—0,69358

0,418395

—0,87132

—0,37757

—0,68469

0,301183

—1,19998

-0,43999

—0,66697

0,278266

—1,27905

—0,38372

-0,61202

0,21564!

—1,53433

-0,35801

—0,54419

0,177223

—1,73048

—0,28841

—0,45095

0,100625

—2,29660

—0,22966

—0,32509

0,059380

—2,82346

—0,09412

—0,15331

Стр. 2 ГОСТ 11.006-74

должна быть однородной. Нарушение требований однородности может привести к ошибочным .выводам.

1.3.    Число наблюдений случайной величины х для проверки согласия опытного и теоретического распределений должно быть больше 100, если используют критерии Колмогорова и х2, и больше 50—если используют критерий со2.

1.4.    Для наблюдений случайной величины х должны применяться средства измерения с ценой деления, не превышающей !/предполагаемой величины среднего квадратического отклонения исследуемого распределения.

1.5.    В приложении 1 даны примеры проверки согласия опытного и теоретического распределений, в приложении 2—теоретическое обоснование стандарта, в приложении 3 — перечень справочной литературы.

2. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА

2.1.    Результаты наблюдений случайной величины х, полученные в специально поставленном эксперименте или на основании сбора статистических данных в условиях, соответствующих требованиям п. 1.2, располагают в порядке их возрастания

. . . ,<д:л.

2.2.    В первую графу табл. 1 записывают значения

хх; х,-|-Д; *,+2Д; . . . ;хг, где Д — цена деления применяемого средства измерения (приращение интервала).

Во вторую графу табл. 1 записывают частоты ти m2,..., тг> с которыми встречаются величины Х\; Х\ + А; х\ +2Д;...

Если величина х{+]А не получена в результате наблюдений* ТО Ш;+1=0.

-*= —У«у+1(-*1+уД);

П /-о

(1)

г п-'П

(2)

2.3.    Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение

где п~тх2+ . . . -f тТ\

г — количество интервалов, которое вычисляют по формуле

г_ хп — х\ ' Данные вычисления располагают в третьей — шес-

д

той графах табл. 1.


2.4. В седьмую графу табл. 1 записывают величины


Уу+i


хх 4-у'А— х S


(3)

в восьмую графу — функцию опытного распределения


(Уу+i)


"у-н

п


где rtj+i = mI + m2+ ... +mj+b а в девятую графу — функцию теоретического распределения.

2.5.    По данным табл. 1 строят график функций опытного и теоретического распределений Fn(y$+\) и F(yj+j).

По графику и данным табл. 1 определяют максимальное отклонение функции опытного распределения от функции теоретического распределения

£>„=max \Fn(yJ+l) -F(yl+1)\    (4)

и вычисляют величину %n—DnY~n.

2.6.    Задаются доверительной вероятностью


(5)


того, что отклонение функции опытного распределения от теоретического будет меньше величины кп*> установленной для доверительной вероятности у. В табл. 2 находят значение, соответствующее этой доверительной вероятности.

При необходимости строят доверительную область для теоретического распределения. С этой целью вычисляют


D*n=—,    (6)

V п

и на график наносят доверительные границы

Fа (У) = F {у) + D\;    (7)

Fl (y) = F(y)-Dl    (8)


Если нанесенная на графике функция опытного распределения Л*(У/+1) не выйдет за доверительные границы, то гипотеза о согласии принимается, в противном случае — отвергается.


Данные для построения функций опытного и теоретического распределений

Таблица 1

■*»+М

т/+1

т/-Н(*1 + /А)

(*! + /*- ^)2

(*1+М-*)ах

... Xi+)*-X

W1+О

''O’ж)

Xmj+1

У1+1 s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Xj + Д

Стр. 4 ГОСТ 11.006-74

Примечания:

2^+1 (*i +/А)    2m^+i    +/д—*)2

7=0    /-0


1. Функция теоретического распределения F(^) представляет собой вероятность того, что при принятом распределении случайной величины у будет выполняться условие — °°<У*СУк' Значения этой функции приведены в специальных таблицах (см. [10] в приложении 3). При переносе данных в табл. 1 необходимо убедиться, что начало отсчета аргумента и масштаб его таковы, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины у соответственно равны 0 и 1. Если это требование не выполнено, необходимо произвести перерасчет с изменением начала отсчета и масштаба.

2. Если г=--->60,    то    допускается    разбиение    участка    на    равные    интервалы длиной 2Д, ЗД, . . . таким

образом, чтобы число интервалов было более 30. В этом случае ffy+i будет равно количеству результатов наблюдений, попавших в интервал (/—1)А, /Л(Д«?Д, ЗД, . , , ).

ГОСТ 11.006-74 Стр. 5

Таблица 2

Предельные значения нормированных отклонений опытного распределения от значений теоретического распределения для заданных доверительных

вероятностей

т

*

*п

7

* ^п

0,01

0,44

0,60

0,89

0,05

0,52

0,70

0,97

0,10

0,57

0,80

1,07

0,15

0,61

0,90

1,22

0,20

0,65

0,95

1,36

0,30

0,71

0,98

1,52

0,40

0,77

0,99

1,63

3. КРИТЕРИЙ х2

3.1. Результаты наблюдений случайной величины х в специально поставленном эксперименте или на основании сбора статистических данных в условиях, соответствующих требованиям п. 1.2, располагают в порядке возрастания

xt<x2 . . . <хп.

3.2.    Вычисляют размах хп—хх и образуют г равных интервалов шириной

h = х* — х' .    (9)

г

Число интервалов г выбирают в зависимости от объема выборки л:

при л=200 г=18-ь-20; при л=400 г=25-ь-30; при л=1000 г—35=-40.

Примечание. При 100</г<200 критерий %2 применяют в исключительных случаях с числом интервалов г=15-т-18.

3.3.    Результаты наблюдений Xj группируют по интервалам, подсчитывают частоты rrij величин Xj, попавшие в у’-е интервалы. Эти частоты записывают во вторую графу табл. 3.

3.4.    Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение

*= т2(/)от';    (10)

(И)


_7=1__

Таблица 3

Данные для проверки согласия опытного и теоретического распределений

по критерию х2

]

((, -L) j\\

-у]

Пу})

npj

m.-npj

(ntj-npj)9

т1

V 2 )т]

{{' 2 / Х 1 mj

npj

I

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2 3

г



3.5. Вычисляют величины

ГОСТ 11.096-74 Стр. 7


которые записывают в пятую графу табл. 3. В шестую графу табл. 3 переписывают из специальных таблиц значения функции проверяемого теоретического распределения F(yj)-

В седьмую графу табл. 3 записывают вероятности попадания опытных данных в /-й интервал pj.

A=^(yi);

Pj=F(yj)~F(yj-i)’ /=2> •

Примечание. Если в восьмой графе табл. 3 окажутся значения npj<T0, то следует объединить интервал, в котором ожидаемое число результатов наблюдений меньше десяти, с одним или несколькими соседними интервалами таким образом, чтобы в новом интервале ожидаемое число результатов наблюдений было не менее десяти.

(mj—npj) 2 npj


-z


(13)


j=1


3.6. Вычисляют данные, указанные в графах 9—11 табл. 3 и по ним

3.7. Задаются доверительной вероятностью

т=Вер{х2<(х*)2}

того, что величина х2> полученная вследствие случайных отклонений частостей опытного распределения от соответствующих вероятностей теоретического распределения, будет меньше значения (х*)2, установленного для доверительной вероятности у. В табл. 4 для доверительной вероятности и числа степеней свободы k = r—1 находят величину (х*)2/&, вычисляют (х*)2 и сравнивают с ним вычисленную по данным табл. 3 величину х2* Если х2 окажется меньше (х*)2> то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии опытного и теоретического распределений принимается, в противном случае — отвергается.

4. КРИТЕРИИ о)2

4.1. Критерий со2 является более мощным, чем критерий х2 и Колмогорова, но его применение требует выполнения большого количества вычислительных операций. Критерий <о2 может быть применен, если число наблюдений превышает 50. Его применение является обязательным, если число наблюдений меньше 200; если число наблюдений более 200, то его применение рекомендуется в случаях, когда результаты проверки по другим критериям не позволяют сделать безусловный вывод о согласии опытного и теоретического распределений, например, если при проверке сог-

Стр. 8 ГОСТ 11.006-74

ласия по критерию %2 гипотеза принята при уровне значимости 0,1 и отвергнута при уровне значимости 0,05, то следует дополнительно применить критерий со2.

Таблица 4

Квантили ^-распределения (х*)*/^ при доверительной

вероятности у

к

0,001

0,005

0.010

0,025

0,05

0,10

0,20

0,30

15

0,232

0,307

0,349

0,418

0,484

0,570

0,687

0,781

16

0,246

0,321

0,363

0,432

0,498

0,582

0,697

0,789

17

0,260

0,335

0,377

0,445

0,510

0,593

0,706

0,796

18

0,272

0,348

0,390

0,457

0,522

0,604

0,714

0,802

19

0,285

0,360

0,402

0,469

0,532

0,613

0,722

0,808

20

0,296

0,372

0,413

0,480

0,543

0,622

0,729

0,813

22

0,317

0,393

0,434

0,499

0,561

0,638

0,742

0,823

24

0,337

0,412

0,452

0,517

0,577

0,652

0,753

0,831

26

0,355

0,429

0,469

0,532

0,592

0,665

0,762

0,838

28

0,371

0,445

0,484

0,547

0,605

0,676

0,771

0,845

30

0,386

0,460

0,498

0,560

0,616

0,687

0,779

0,850

35

0,420

0,491

0,529

0,588

0,642

0,708

0,795

0,862

40

0,448

0,5/8

0,554

0,6П

0,663

0J26

0,809

0,872

45

0,472

0,540

0,576

0,630

0,680

0,741

0,820

0,880

50

0,494

0,560

0,594

0,647

0,695

0,754

0,829

0,886

Продолжение табл. 4

Квантили х*-распределения (х*)2'* при доверительной вероятности 7

к

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

0,999

15

0,869

0,956

1,05

1,15

1,29

1,49

1,67

1,83

2,04

2,19

2,51

16

0,874

0,959

1,05

J, 15

1,28

1,47

1,64

1,80

2,00

2,16

2,45

17

v ) v 0,879

0,961

1,05

1,15

1,27

1,46

1,62

1,78

1,97

2,10

2,40

18

0,883

0,963

1,05

1,14

1,26

1,44

1,60

1,75

1,93

2,06

2,35

19

0,887

0,965

1,05

1,14

1,26

1,43

1,59

1,73

1,90

2,03

2,31

20

0,890

0,967

1,05

1,14

1,25

1,42

1,57

Ml

1,88

2,00

2,27

22

0,897

0,970

1,05

1,13

1,24

1,40

1,54

1,67

1,83

1,95

2,19

24

0,902

0,972

1,05

1,13

1,23

1,38

1,52

1,64

1,79

1,90

2,13

26

0,907

0,974

1,05

1,12

1,22

1,37

1,50

1,61

1,76

1,86

2,08

28

0,911

0,976

1,04

1,12

1,22

1,35

1,48

1,59

1,72

1,82

2,03

30

0,915

0,978

1,04

М2

1,21

1,34

1,46

1,57

1,70

1,79

1,99

35

0,922

0,981

1,04

i,ir

1,19

1,32

1,42

1,52

1,64

1,72

1,90

40

0,928

0,983

1,04

1,10

1,18

1,30

1,39

1,48

1,59

1,67

1,84

45

0,933

0,985

1,04

1,10

1,17

1,28

1,37

1,45

1,55

1,63

1,78

50

0,937

0,987

1,04

1,09

1,16

1,26

1,35

1,43

1,52

1,59

1,73