ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

Статистические методы СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Определение предикционных интервалов

ISO 16269-8 : 2004 Statistical interpretation of data Part 8:

Determination of prediction intervals (IDT)

Издание официальное

Москва

Стандартинформ

2005

Предисловие

Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. № 184-ФЗ «О техническом регулировании», а правила применения национальных стандартов Российской Федерации — ГОСТ Р1.0—2004 «Стандартизации в Российской Федерации. Основные положения»

Сведения о стандарте

1    РАЗРАБОТАН Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диатостики технических систем» (ОАО «НИЦ КД») и Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции» на основе собственного аутентичного перевода стандарта, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Управлением развития, информационного обеспечения и аккредитации Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 12 июля 2005 г. № 189-ст

4    Настоящий стандарт идентичен международному стандарту ИС016269-8:2004 «Статистическое представление данных. Часть 8. Определение предикционных интервалов» (IS0 16269-8:2004 «Statistical interpretation of data. Part 8: Determination of prediction intervals»)

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р1.5—2004 (подраздел 3.5)

При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные стандарты, сведения о которых представлены в дополнительном приложении J

5    ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты», а текст изменений и поправок — в ежемесячно издаваемых информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомления и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования— на официальном сайте национального органа Российской Федерации по стандартизации в сети Интернет

© Стандартинформ, 2005

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

ГОСТ Р ИС016269-8—2005

Содержание

1    Область применения.........................1

2    Нормативные ссылки........................1

3    Термины, определения и обозначения...................2

3.1    Термины и определения......................2

3.2    Обозначения ........................2

4    Предикционные интервалы......................2

4.1    Общие положения........................2

4.2    Сравнение с другими типами статистических интервалов ...........3

5    Предикционные интервалы для нормальной совокупности с неизвестным стандартным отклонением

5.1    Односторонние интервалы ....................4

5.2    Симметричные двусторонние интервалы.................4

5.3    Предикционные интервалы для совокупностей, которые могут быть преобразованы в нормальные ...........................5

5.4    Определение подходящего начального объема выборки п для заданного максимального значения коэффициента предикционного интервала к...............5

5.5    Определение уровня доверия, соответствующего данному предикционному интервалу .    .    .    5

6    Предикционные интервалы для наблюдений будущей выборки из нормальной совокупности

с известным стандартным отклонением...................6

6.1    Односторонние интервалы.....................6

62 Симметричные двусторонние интервалы ................6

6.3    Предикционные интервалы для совокупностей, которые могут быть преобразованы в нормальные ............................6

6.4    Определение подходящего объема первоначальной выборки п для заданного значения к.    .    .    7

6.5    Определение уровня доверия, соответствующего заданному предикционному интервалу    .    .    7

7    Предикционные интервалы для среднего будущей выборки из нормальной совокупности ....    7

8    Непараметрические методы определения предикционных интервалов .........7

8.1    Общие положения........................7

8.2    Односторонние интервалы.....................7

8.3    Двусторонние интервалы......................8

Форма А — Вычисление предикционного интервала для всех элементов будущей выборки для нормальной совокупности.....................9

Форма В — Вычисление предикционного интервала для среднего будущей выборки из нормальной

совокупности.......................10

Форма С — Вычисление непараметрического предикционного интервала для (т-г) будущих т наблюдений из той же совокупности ................11

Приложение А (обязательное) Таблицы значений коэффициента к для определения одностороннего

предикционного интервала с неизвестным стандартным отклонением совокупности. .    12

Приложение В (обязательное) Таблицы значений коэффициента к для определения двустороннего предикционного интервала с неизвестным стандартным отклонением совокупности . . .    30

Приложение С (обязательное) Таблицы значений коэффициента к для определения одностороннего

предикционного интервала с известным стандартным отклонением совокупности . . 48 Приложение D (обязательное) Таблицы значений коэффициента к для определения двустороннего предикционного интервала с известным стандартным отклонением совокупности ....    66

Приложение Е (обязательное) Таблицы значений размера первоначальной выборки л для одностороннего непараметрического предикционного интервала..........84

Приложение F (обязательное) Таблицы значений размера первоначальной выборки п для двустороннего непараметрического предикционного интервала...........90

Приложение G (справочное) Интерполяция в таблицах..............96

G.1 Интерполяция в таблицах приложений А—D............96

G. 2 Интерполяция в таблицах приложений Е и F............97

ПриложениеН (справочное) Статистическая теория, используемая при составлении таблиц. ...    98

H. 1 Односторонние предикционные интервалы для нормальной совокупности с неиз

вестным стандартным отклонением совокупности (приложение А) .....98

ГОСТ Р ИС016269-8—2005

Н.2 Двусторонние предикционные интервалы для нормальной совокупности с неизвестным стандартным отклонением совокупности (приложение В) .......99

Н.З Односторонние предикционные интервалы для нормальной совокупности с известным стандартным отклонением совокупности (приложение С).......99

Н.4 Двусторонние предикционные интервал ы для нормальной совокупности с известным стандартным отклонением совокупности (приложение D).......100

Н.5 Предикционные интервалы для среднего будущей выборки из нормальной совокупности ......................100

Н.6 Односторонние непараметрические предикционные интервалы (приложение Е). . 101 Н.7 Двусторонние непараметрические предикционные интервалы (приложение F). . 102 Приложение J (справочное) Сведения о соответствии национальных стандартов Российской Федерации ссылочным международным стандартам.........103

Библиография ..........................103

N

ГОСТ Р ИС0 16269-8—2005

Введение

Предикционные интервалы — это ценный инструмент в тех случаях, когда требуется предсказать данные будущей выборки по результатам предыдущей выборки, полученной при идентичных условиях. Предикционные интервалы позволяют установить пределы эффективности относительно малого количества изготовленных объектов. Это особенно важно при выпуске продукции малыми партиями, что находит все более широкое распространение в некоторых отраслях промышленности.

Цель настоящего стандарта двоякая:

-    разъяснить различия между предикционными. доверительными и толерантными интервалами;

-    установить процедуры, снабженные подробными числовыми таблицами, для определения некоторых наиболее часто используемых предикционных интервалов.

Для случаев, не предусмотренных настоящим стандартом, рекомендуется использовать литературу [1}—{5]. приведенную в библиографии.

1-г

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Определение предикционных интервалов

Statistical methods.

Statistical interpretation of data. Determination of prediction intervals

Дата введения —2005—09—01

1    Область применения

Настоящий стандарт устанавливает методы определения предикционных интервалов для единственной переменной с непрерывной функцией распределения. Построение предикционного интервала сводится к прогнозированию диапазона значений переменной по случайной выборке размера п для будущей случайной выборки размера т из той же самой совокупности с заданным уровнем доверия.

Рассмотрены три различных типа совокупностей:

a)    с нормальным распределением и неизвестным стандартным отклонением;

b)    с нормальным распределением и известным стандартным отклонением;

c)    с непрерывным распределением неизвестного вида.

Для каждого из этих трех типов совокупностей представлены два метода: для односторонних предикционных интервалов и для симметричных двусторонних предикционных интервалов. Во всех случаях имеется выбор из шести значений уровня доверия.

Методы, представленные для случаев а) и Ь), могут также быть использованы для ненормальных совокупностей, которые могут быть преобразованы к нормальным.

Для случаев а) и Ь) таблицы, представленные в настоящем стандарте, ограничиваются предикцион-ным интервалом, содержащим все будущие т выборочных значений переменной. Для случая с) таблицы касаются предикционных интервалов, которые содержат по крайней мере (т - г) из следующих т значений, где г принимает значения от0 до 10 или (т-1) в зависимости от того, какое из этих значений меньше.

Для совокупностей с нормальным распределением процедура также позволяет вычислять предикци-онные интервалы для выборочного среднего из тбудущих наблюдений.

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие стандарты:

ИСО 3534-1 :1993 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1: Вероятность и основы сгатиспви

ИСО 3534-2:1993 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 2: Прикладная статистика

ИС0 16269-6:2004 Статистическое представление данных. Часть 6: Определение статистических толерантных интервалов

Издание официальное

3 Термины, определения и обозначения

3.1    Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ИСО 3534-1, ИСО 3534-2, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1.1    предикционный интервал (predication interval): Диапазон значений переменной, полученный по случайной выборке из непрерывной совокупности, для которого можно утверждать с заданным уровнем доверия, что не менее чем заданное количество значений в будущей случайной выборке из той же самой совокупности попадает в этот интервал.

3.1.2    порядковая статистика (order statistics): Выборочные значения, пронумерованные в соответствии с их позицией после ранжирования в неубывающем порядке.

Примечание — Выборочные значения в порядке отбора обозначены в настоящем стандарте

х,, х₂.....х„. После перестановки в неубывающем порядке они обозначены x_pj. x_pf.....х_[П], где x_pj s х_р/ й... S x^j.

Выборочные значения, которые являются равными друг другу, имеют различные нижние индексы в квадратных скобках в порядковой статистике.

3.2    Обозначения

В настоящем стандарте использованы следующие обозначения:

а — нижний предел значений переменной в совокупности.

а — максимальная вероятность того, что больше чем г наблюдений в будущей случайной выборке размера т будут лежать вне предикционного интервала.

Ь — верхний предел значений переменной в совокупности.

С — уровень доверия в процентах; С = 100 (1 - а).

к — коэффициент предикционного интервала.

т — размер будущей случайной выборки, к которой применяют прогнозирование.

п — размер случайной выборки, на основе которой строят предикционный интервал.

г — заданное максимальное количество наблюдений будущей случайной выборки размера т, не попадающих в предикционный интервал.

Г, — нижняя граница предикционного интервала.

Т₂ — верхняя граница предикционного интервала. x_t — i-e наблюдение случайной выборки.

^хи — #-я порядковая статистика.

х —выборочное среднее; х- £х_;/п.

/-1

4 Предикционные интервалы

4.1 Общие положения

Двусторонний предикционный интервал — интервал вида (Т_ь Т₂), где Г, < Т₂. Значения Т, и Т₂, определяемые по случайной выборке размера п, называют нижней и верхней предикционными границами соответственно.

Если а и b — соответственно нижний и верхний пределы изменений переменной в совокупности, односторонний предикционный интервал будет иметь форму (Г,, Ь) или (а, Т₂).

Примечание 1 — Для практических целей часто принимают а - 0 для переменных, которые не могут быть отрицательны, и Ь = ® для переменных без естественного верхнего предела.

Примечание 2 — Существует много совокупностей с ограничениями на значения переменной, которые хорошо аппроксимируются нормальным распределением. В этом случае для определения границ предикционного интервала можно применять методы, предназначенные для нормального распределения.

Практический смысл предикционного интервала по отношению к отдельным выборочным значениям состоит в следующем: в будущей случайной выборке объема m из той же самой совокупности не более г значений не будут находиться в интервале, причем с малой вероятностью, что это утверждение может быть

2

ГОСТ Р ИС0 16269-8—2005

неверным. Вероятность того, что интервал, построенный таким способом, удовлетворяет данному требованию. называют уровнем доверия.

Практический смысл предикционного интервала относительно выборочного среднего состоит в следующем: экспериментатор может утверждать, что выборочное среднее будущей случайной выборки объема т из той же самой совокупности будет лежать в построенном интервале, а вероятность, что это утверждение неверно, не превосходит установленной малой величины. Вероятность того, что интервал, построенный таким способом, удовлетворяет данному требованию, называют уровнем доверия.

Настоящий стандарт устанавливает процедуры, применимые к нормальной совокупности для г= 0, и процедуры для среднего будущей выборки из нормальной совокупности. Он также устанавливает процедуры, применимые к совокупностям с неизвестной функцией распределения для г =0,1.....10    или

(т -1) в зависимости от того, какое из этих значений меньше. Во всех случаях таблицы стандарта содержат необходимые для расчетов коэффициенты предикционного интервала или объемы выборки, которые обеспечивают уровень доверия не менее назначенного. В общем случае фактический уровень доверия несколько больше назначенного.

Границы предикционного интервала для нормальных совокупностей отличаются в к раз от выборочного стандартного отклонения или (если известно стандартное отклонение совокупности) от среднего выборки. где к—коэффициент предикционного интервала. В случае неизвестного стандартного отклонения совокупности значение к для малых значений л в комбинации с большими значениями т и высокими уровнями доверия является очень большим. Использования значений к более 10 или 15 необходимо, по возможности, избежать, поскольку предикционные интервалы в этом случае будут слишком широкими и непригодными для практического применения. Кроме того, при больших значениях к небольшие отклонения от нормальности распределения могут привести к существенным искажениям предикционных интервалов. Значения к до 250 включены в таблицы прежде всего для того, чтобы показать, как быстро уменьшение /(увеличивает начальный объем исходной выборки л.

Для предикционных интервалов, относящихся к отдельным значениям будущей выборки, для вычислений в случае нормальной совокупности используют форму А, а когда вид функции распределения совокупности неизвестен, используют форму С. Форму В используют при вычислении предикционного интервала для среднего будущей выборки из нормальной совокупности.

В приложениях А—D приведены таблицы значений параметров предикционного интервала. В приложениях Е, F приведены таблицы для определения размера выборки в случае неизвестной функции распределения совокупности. В приложении G разъяснены приемы интерполирования в таблицах, когда требуемая комбинация п, т и уровня доверия отсутствует в таблице. В приложении Н приведена теория, лежащая в основе составления таблиц.

4.2 Сравнение с другими типами статистических интервалов

4.2.1    Выбор типа интервала

На практике часто применяют прогнозирование для конечного числа наблюдений на основе первоначальной случайной выборки. В этом случае может быть использован настоящий стандарт. Поскольку возможны ошибки в применении статистических интервалов различных типов, ниже разъяснены различия этих типов интервалов.

4.2.2    Сравнение со статистическими толерантными интервалами

Предикционный интервал для отдельных выборочных значений—это интервал, полученный по случайной выборке, для которого может быть сделано доверительное утверждение относительно максимального количества значений будущей случайной выборки из той же совокупности, которые будут лежать вне интервала. Статистический толерантный интервал (см. ИС016269-6)—это интервал, полученный по случайной выборке, для которого может быть сделано доверительное утверждение, однако утверждение в этом случае касается максимальной доли совокупности, лежащей вне интервала.

Примечание 1 — Коэффициент статистического толерантного интервала является пределом коэффициента предикционного интервала, когда размер будущей выборки т стремится к бесконечности, а количество элементов г будущей выборки, лежащих вне интервала, составляет постоянную часть от т при условии г > 0. Это показано в таблице 1 для уровня доверия 95 % (для односторонних и двусторонних интервалов), когда г/т * 0.1. Такого соответствия между коэффициентами статистического толерантного интервала и предикционного интервала для г = 0 нет (именно на этот случай распространяется настоящий стандарт).

3

Таблица 1— Пример коэффициентов предикционного интервала

г 1 2 5 10 20 50 100 1000 Коэффициенты статис-тического толераитио-го интервала, покры-вающего но менее 90 % совокупности т 10 20 50 100 200 500 1000 10000 Коэффициенты предикционного интервала Односторонние интервалы 1,887 1,846 1,767 1,718 1,686 1,663 1,655 1,647 1,646 Двусторонние интервалы 2,208 2,172 2,103 2,061 2,034 2,014 2,007 2,000 2,000

Примечание 2 -На практике случай г - 0 применяется в приложениях, касающихся безопасности.

4.2.3 Сравнение с доверительными интервалами для среднего

Предакционный интервал для среднего — интервал, полученный по случайной выборке, для которого можно утверждать с заданным уровнем доверия, что выборочное среднее будущей случайной выборки указанного размера будет находиться в этом интервале. Доверительный интервал для среднего — интервал, полученный по случайной выборке, для которого доверительное утверждение в этом случае касается среднего генеральной совокупности.

5 Предикционные интервалы для нормальной совокупности с неизвестным стандартным отклонением

5.1    Односторонние интервалы

Односторонний предикционный интервал для нормальной совокупности с неизвестным стандартным отклонением имеет вид (х - ks, Ь) или (а, х * ks), где х — выборочное среднее; s — выборочное стандартное отклонение; п—объем выборки. Коэффициент предикционного интервала к зависит от п, от объема будущей выборки т и от уровня доверия С. Значения к представлены в таблицах приложения А.

Пример — Известно, что давление на ствол артиллерийского снаряда при стрельбе хорошо аппроксимируется нормальным распределением. Выборка измерений для 20 снарядов имеет среднее давление 562,3 МПа и стандартное отклонение давления 8,65 МПа. Будущая партия из 5000 снарядов целиком должна быть изготовлена при идентичных производственных условиях. Необходимо определить, какое давление с уровнем доверия 95 X не превысит ни один из 5ООО снарядов при стрельбе в идентичных условиях.

В таблице А.2 приведены значения коэффициентов предикционного интервала для уровня доверия 95 X. Из таблицы А.2 следует, что соответствующий коэффициент предикционного интервала к = 5,251. Таким образом, верхняя граница одностороннего предикционного интервала с уровнем доверия 95 X имеет вид:

X ♦ *s = 562,3 ♦ 5,251 ■ 8,65 = 607,7 МПа.

Следовательно, с уровнем доверия 95 X можно утверждать, что ни один из 5000 снарядов не произведет давление на ствол более 607,7 МПа.

Этот пример использован также для иллюстрации применения формы А.

5.2    Симметричные двусторонние интервалы

Симметричный двусторонний предикционный интервал для нормальной совокупности с неизвестным стандартным отклонением имеет вид (х - ks, х * ks). Коэффициент предикционного интервала /(зависит от л, от объема будущей выборки т и от уровня доверия С. Значения к приведены в таблицах приложения В.

Пример — Время до взрыва ручной гранаты после удаления чеки, как известно, имеет распределение, близкое к нормальному. Была проверена случайная выборка размера 30 и зарегистрировано время взрыва. Выборочное среднее время — 5,140 с, а выборочное стандартное отклонение —0,241 с. Необходимо определить симметричный двусторонний предикционный интервал для будущей партии из 10000 гранат и уровня доверия 99 X.

В таблице В.4 приведены коэффициенты предикционного интервала для уровня доверия 99 X. Для п = 30 и т = 10000 (в соответствии с таблицей В.4) к = 6,059. Таким образом, симметричный предикционный интервал имеет вид:

4

ГОСТ Р ИС016269-8—2005

( X - ks. X *ks) = (5,140 - 6,059 ■ 0,241; 5,140 + 6,059 • 0,241) = (3,68; 6,60).

Можно утверждать с уровнем доверия 99 %, что ни одна из будущей партии в 10000 гранат не будет иметь время до взрыва вне диапазона от 3,68 до 6,60 с.

5.3    Предикционные интервалы для совокупностей, которые могут быть преобразованы в нормальные

Для совокупностей, которые могут быть преобразованы в нормальные, сначала применяют процедуры для нормальных совокупностей к преобразованным данным. Когда предикционный интервал найден, применяют обратное преобразование к полученным границам предикционного интервала.

Пример — Предположительно для данных примера в 5.2, время до взрыва описывается логарифмически нормальным распределением, т. е. логарифм времени до взрыва подчиняется нормальному распределению. Выборочные данные х_ь х_ь .... х„ можно привести к нормальности, если взять их натуральные логарифмы, т. е. перейти к величинам у, = In х, для i-1,2,.... 30.

Выборочное среднее для преобразованных данных у -1,60, а выборочное стандартное отклонение s_y = 0,05. Коэффициент предикционного интервала для уровня доверия 99% и утверждения, что ни для одной из 10000 гранат будущей партии логарифм времени до взрыва не попадет вне предикционного интервала, -к- 6,059. Симметричный предикционный интервал для преобразованных данных имеет вид:

(у-kSy. y+kSy) • (1,60 - 6,059 0,05; 1,60 * 6,059 • 0,05) * (1,297; 1,903).

Единицы измерения у—лог-секунды. Обратное преобразование — возведение в степень. Следовательно. предикционный интервал с уровнем доверия 99 % для времени до взрыва всех следующих десяти тысяч гранат имеет вид:

(е^1т; •’■*** ■ (3,66; 6,71) с.

Примечание 1 — Тот же самый результат был бы получен при использовании логарифмов по любому другому основанию при условии, что при преобразовании к первоначальным единицам использован антилогарифм на том же самом основании.

Примечание 2 — Границы двустороннего предикционного интервала, определяемые в соответствии с 5.2 или 6.2 для нормального распределения, являются симметричными относительно оценки медианы совокупности. Эта симметрия нарушается для распределений, приводимых к нормальному в соответствии с 5.3 или 6.3.

5.4    Определение подходящего начального объема выборки л для заданного максимального значения коэффициента предикционного интервала к

Иногда задают уровень доверия, объем будущей выборки т и приблизительное значение коэффициента предикционного интервала, а объем первоначальной выборки п необходимо определить. Для решения этой задачи выбирают таблицу, соответствующую заданному уровню доверия предикционного интервала (т. е. одну из таблиц приложения А для одностороннего интервала или одну из таблиц приложения В для двустороннего интервала), и находят столбец для заданного значения т. Опускаясь вниз по этому столбцу, отыскивают первое значение к, не превышающее заданное значение. Значение п в крайнем левом столбце этой строки таблицы и есть искомый объем первоначальной выборки.

Примечание — Если нижнее значение в этом столбце превышает максимально приемлемое значение к. то не существует объема первоначальной выборки, чтобы удовлетворить заданное требование. Необходимо рассмотреть возможность уменьшения уровня доверия.

Пример — В процедуре приемочного выборочного контроля до использования настоящего стандарта было принято использовать большую выборку (до 5000) всякий раз, когда х ♦ 4,75s < 0,1, где х — нормально распределенная пористость компонента; х и s — выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение, полученные по случайной выборке размера 30 из нормальной совокупности. Решено заменить этот приемочный критерий таким, при котором все элементы партии удовлетворяют условию х> 0,1 с уровнем доверия 95%. Производитель будет удовлетворен, если приемочный критерий обеспечит коэффициент предикционного интервала не более 4,75 и объем выборки не будет слишком большим.

В столбце для т = 5000 таблицы А.2 есть значение к = 4,771 для объема выборки 40, а ниже 4,75 — значение к * 4,717 для выборки размера 45. Производитель соглашается увеличивать объем выборки до 45 с коэффициентом к = 4,717.

5