P 50.1.086—2013

Предисловие

1    РАЗРАБОТАНЫ Автономной некоммерческой организацией «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АНО «НИЦ КД»)

2    ВНЕСЕНЫ Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Применение статистических методов»

3    УТВЕРЖДЕНЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 22 ноября 2013 г. № 1663-ст

4    ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящим рекомендациям публикуется в ежегодном указателе «Национальные стандарты», а текст изменений и поправок — в ежемесячно издаваемых информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящих рекомендаций соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация. уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования— на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

© Стандартинформ. 2014

Настоящие рекомендации не могут быть полностью или частично воспроизведены, тиражированы и распространены в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

P 50.1.086—2013

Содержание

1    Область применения...................................................1

2    Нормативные ссылки..................................................1

3    Термины и определения................................................2

4    Общие положения....................................................2

5    Изменчивость выборочных средних.........................................2

6    Изменчивость стандартных отклонений.......................................3

7    Репрезентативная выборка..............................................6

8    Двойной отбор выборки.................................................8

9    Пример использования среднего и наименьшего веса в выборке установленного объема стандартных образцов ткани.................................................8

10    Доверительные интервалы для средних и стандартных отклонений...................10

11    Проверка гипотез о среднем и стандартном отклонении...........................11

12    Одновременная вариация выборочных среднего и стандартного отклонения.............15

13    Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций.......................16

14    Предикционные интервалы.............................................19

15    Статистические толерантные интервалы....................................21

16    Методы точечной и интервальной оценки медианы при неизвестном виде функции распределения ...........................................................22

Приложение А (справочное) Квантили f-раслределения.............................24

Библиография........................................................25

Введение

Серия рекомендаций по стандартизации «Статистические методы. Примеры применения» включает разъяснения применения статистических методов в простой и доступной форме.

В рекомендациях представлены способы применения простых статистических методов и приемов, показано, как знание процесса производства может способствовать его улучшению, повышению эффективности. производительности и повышению качества изготавливаемой продукции.

Термин «статистический» обычно применяют по отношению к методам, связанным с обработкой числовых данных, относящихся к контролю качества продукции, управлению технологическими процессами. увеличению выпуска продукции и продаж, снижению затрат, и как следствие, стоимости продукции. а также к заработной плате. До применения конкретного статистического метода необходимо четко понимать его назначение.

В настоящих рекомендациях рассмотрены методы статистического анализа оценок среднего и стандартного отклонения, полученных по выборочным данным. В рекомендациях приведены примеры и даны рекомендации по применению этих методов.

IV

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

Статистические методы ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ Часть 6

Анализ выборочных оценок среднего и стандартного отклонения

Statistical methods. Examples of application. Part 6. Consideration of sample mean and sample standard deviation

Дата введения — 2014—12—01

1    Область применения

В серии рекомендаций «Статистические методы. Примеры применения» приведены пояснения к использованию статистических методов, применяемых в менеджменте, контроле и улучшении процессов с учетом требований ГОСТ Р ИСОГГО 10017.

В настоящих рекомендациях рассмотрены методы статистического анализа выборочных данных, а также полученных на их основе оценок среднего и стандартного отклонения совокупности.

Применение представленных в настоящих рекомендациях методов позволяет повысить достоверность оценок и таким образом способствует принятию более объективных решений исследуемых параметров.

2    Нормативные ссылки

В настоящих рекомендациях использованы нормативные ссылки на следующие документы:

ГОСТ Р 50779.10-2000 Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 50779.11-2000 Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения

ГОСТ Р ИСО 9000-2008 Системы менеджмента качества. Основные положения и словарь ГОСТ Р ИСО/ТО 10017—2005 Статистические методы. Руководство по применению в соответствии с ГОСТ Р ИСО 9001

ГОСТ Р ИСО 11453-2005 Статистические методы. Статистическое представление данных. Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций

ГОСТ Р ИСО 16269-6-2005 Статистические методы. Статистическое представление данных. Определение статистических толерантных интервалов

ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004 Статистические методы. Статистическое представление данных. Медиана. Определение точечной оценки и доверительных интервалов

ГОСТ Р ИСО 16269-8-2005 Статистические методы. Статистическое представление данных. Определение предикционных интервалов

Р 50.1.040—2002 Статистические методы. Планирование экспериментов. Термины и определения

Р 50.1.073—2010 Статистические методы. Примеры применения. Часть2. Анализ данных на соответствие установленным требованиям

Р 50.1.074—2010 Статистические методы. Примеры применения. Часть 3. Анализ данных контроля

Издание официальное

P 50.1.082—2012 Статистические методы. Примеры применения. Часть 4. Прямые статистические приемы анализа данных

Примечание — При пользовании настоящими рекомендациями целесообразно проверить действие ссылочных сгандарюе в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федеральною агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю «Национальные стандарты», который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты» за текущий год. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение. в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку.

3    Термины и определения

В настоящих рекомендациях применены термины по ГОСТ Р 50779.10. ГОСТ Р 50779.11, Р 50.1.040 и ГОСТ Р ИСО 9000.

4    Общие положения

Для обеспечения однозначности трактовки формул и выводов, приведенных в рекомендациях, следует учитывать различия в обозначениях, используемых для характеристик совокупности (партии) и выборки, отобранной из этой совокупности. Обычно для совокупности содержащей N элементов, среднее обозначают ц. а стандартное отклонение о. Для выборки, содержащей п элементов, выборочное среднее обозначают х, а выборочное стандартное отклонение s. Значения характеристик для различных выборок идентифицируют при помощи нижних индексов, например:

х,. s, — выборочные среднее и стандартное отклонение первой выборки объема л,;

х₂, s₂ — выборочные среднее и стандартное отклонение второй выборки объема л₂;

х₃. s₃ — выборочные среднее и стандартное отклонение третьей выборки объема л₃;

х₄. s₄ — выборочные среднее и стандартное отклонение четвертой выборки объема л₄.

Если из совокупности отобрано много случайных выборок объема п, то стандартное отклонение выборочных средних х является мерой ошибки при использовании выборочного среднего одной выборки из п элементов в качестве оценки среднего совокупности ц. Это стандартное отклонение выборок х,. х₂ и т. д. называют стандартной ошибкой среднего. Аналогично стандартное отклонение выборочных

стандартных отклонений s, ,s₂.....и т. д.. называют стандартной ошибкой стандартного отклонения при

использовании s в качестве оценки о.

Математическая статистика позволяет определить оценки указанных стандартных ошибок по результатам одной выборки. Далее предполагается, что объем выборки п существенно меньше объема

совокупности N. например п< -¹ N.

20

5    Изменчивость выборочных средних

Математическое ожидание (среднее) среднего арифметического (выборочного среднего), рассчитанного по выборке объема л, отобранной из совокупности, равно истинному среднему совокупности, т. е.

(1)

Стандартное отклонение выборочного среднего х равно истинному стандартному отклонению совокупности, деленному на корень из п. т. е.

В большинстве случаев при п >5 распределение выборочных средних может быть аппроксимировано нормальным распределением

P 50.1.086—2013

Если предположить, что выборка содержит приблизительно 20 или более элементов, можно сделать следующее заключение. Так как х изменяется в соответствии с нормальным распределением со

средним и и стандартным отклонением ^п .то маловероятно, что в любой случайной выборке разность

vn

(х - и) будет больше 2оЛУл и почти невероятно, что она будет больше ЗоЛ/л. Следовательно, скорее всего выборочное среднее не будет отличаться от истинного среднего соответствующей совокупности больше чем на ±3d4n. В тех случаях, когда стандартное отклонение п неизвестно, часто используют его оценку, полученную по выборке.

6 Изменчивость стандартных отклонений

Квадрат стандартного отклонения является дисперсией, т. е. s² — выборочная дисперсия, о² — дисперсия совокупности. Математическое ожидание выборочных дисперсий для выборки объема п равно дисперсии совокупности, т. е.

(3)

Однако математическое ожидание выборочного стандартного отклонения s для объема выборки п меньше о. т. е. s является смешенной оценкой а. В данном случае смешение отрицательно. Смещение зависит от объема выборки и уменьшается с увеличением объема выборки.

Таблица 1 — Коэффициенты, используемые при вычислении границ доверительных интервалов для среднего и стандартного отклонения совокупности

Среднее Стандартное отклонение Объем М, * X - в*. Ц2 »х ♦ as о, - 6,5. °2*V выбор- ки Уровень ошибки Уровень ошибки 10% 5% 2% 1 % 10% 5% 2% 1 % л в в в е ь, Ь2 ь, *2 *2 ь, *2 5 0.954 1.242 1.676 2.060 0.649 2.373 0.599 2.874 0.548 3.670 0.518 4.396 6 0.823 1.050 1.374 1.647 0.672 2.090 0.624 2.453 0.575 3.004 0.546 3.485 7 0.735 0.925 1.188 1.402 0.690 1.916 0.644 2,203 0.597 2.623 0.568 2.980 8 0.670 0.837 1.060 1,238 0.705 1,798 0.661 2.036 0.615 2.377 0.587 2.661 9 0.620 0.769 0.966 1.119 0.718 1.712 0.675 1.916 0.631 2.205 0.603 2.440 10 0.580 0.716 0.893 1.028 0,729 1.646 0.687 1.826 0.644 2.077 0.617 2.278 11 0.547 0.672 0.834 0.956 0.739 1.594 0.698 1,755 0.656 1.978 0.630 2.154 12 0.519 0.636 0.785 0.897 0.747 1.551 0.708 1.698 0.667 1.899 0.641 2.056 13 0.495 0.605 0.744 0.848 0.755 1.516 0.717 1.651 0.676 1.834 0.651 1.976 14 0.474 0.578 0.709 0.806 0.762 1,486 0,724 1,612 0.685 1,780 0.660 1.910 15 0.455 0.554 0.678 0.769 0.768 1.460 0.732 1.578 0.693 1.734 0.668 1.854 16 0.439 0.533 0.651 0.737 0.774 1.438 0.738 1.548 0.700 1.694 0.676 1.806 17 0.424 0.515 0,627 0.709 0.780 1,418 0.744 1.522 0.707 1.660 0.683 1.764 18 0.411 0.498 0.606 0.684 0.785 1.401 0.750 1,500 0,713 1.629 0.689 1.728 19 0.398 0.482 0.586 0.661 0.789 1.385 0.755 1.479 0.719 1.602 0.696 1.696 20 0.387 0.469 0.568 0.640 0.793 1.371 0.760 1.461 0.724 1.578 0.701 1.667 21 0.377 0.456 0.552 0.621 0.797 1.358 0.765 1.445 0.729 1.557 0.707 1.641 22 0.367 0.444 0.537 0.604 0.801 1.346 0.769 1.430 0.734 1.537 0.712 1.617 23 0.359 0.433 0,524 0.588 0.805 1.336 0.773 1.416 0.738 1.519 0.716 1.596 24 0.350 0.423 0.511 0.574 0.808 1.326 0.777 1.403 0.743 1.502 0.721 1.576 25 0.343 0.413 0.499 0.560 0.811 1.317 0,780 1,392 0.747 1.487 0.725 1,559 26 0.335 0.404 0.488 0.547 0.814 1,309 0,784 1,381 0.751 1.473 0.729 1,542 27 0.329 0.396 0.478 0.535 0.817 1.301 0.787 1,371 0.754 1.460 0.733 1.527 28 0.322 0.388 0.468 0.524 0.820 1.293 0.790 1.362 0.758 1.448 0.737 1.513 29 0.316 0.381 0.459 0.514 0.823 1.287 0.793 1.353 0.761 1.437 0.741 1.499 30 0.311 0.374 0.450 0.504 0.825 1.280 0.796 1.345 0.764 1.427 0.744 1.487

3

Математическое ожидание выборочного стандартного отклонения по выборке объема п имеет

вид:

М,=с₄<т.    (4)

где с₄ — коэффициент, учитывающий смещение и зависящий от п.

Примечание — Соотношение (4) справедливо только в случае, когда наблюдения подчиняются нормальному распределению.

Значения с₄ для объемов выборки от 2 до 30 приведены в таблице 2. Значение с₄ приблизительно равно 4 (л - 1)/(4л - 3).

Таблица2 — Значении коэффициентов, позволяющих учесть смещение выборочных стандартных отклонений

Обьсм выборки, п с* 1/С4 Обьом выборки, п сд 1/Сд Обьом выборки, п «Д 1/с4 11 0,9754 1,0253 21 0,9876 1,0126 2 0,7979 1.2533 12 0.9776 1,0230 22 0,9882 1,0120 3 0.8862 1.1284 13 0.9794 1.0210 23 0,9887 1,0114 4 0,9213 1.0854 14 0,9810 1.0194 24 0.9892 1,0109 5 0,9400 1,0638 15 0.9823 1,0180 25 0,9896 1,0105 6 0,9515 1,0509 16 0,9835 1,0168 26 0,9101 1,0100 7 0,9594 1.0424 17 0.9845 1,0157 27 0.9904 1,0097 8 0,9650 1,0362 18 0,9854 1.0148 28 0,9908 1,0093 9 0,9693 1,0317 19 0.9862 1.0140 29 0,9911 1,0090 10 0.9727 1,0281 20 0.9869 1.0132 30 0,9914 1,0087

Устранение смещения особенно важно в ситуациях, когда выборочное стандартное отклонение используют в качестве оценки стандартного отклонения совокупности. Для устранения смещения оценку стандартного отклонения определяют по формуле а = s/c₄.

Относительно устранения смещения необходимо учитывать следующее.

а)    При малом объеме выборки п смещение является существенным.

б)    Если п мало, никакая единственная оценка <тне может быть удовлетворительной. Можно лишь получить нижнюю и верхнюю (о, и (%) границы доверительного интервала для о (см. таблицу 1). Этот интервал характеризует неопределенность оценки а по малому количеству наблюдений.

в)    Устранение смещения в случае, когда о оценивают по большому количеству малых выборок, позволяет получить объективную несмещенную оценку.

В соответствии с (2) существует приближение теоретического выражения для стандартной ошибки стандартного отклонения s (т. е. стандартной ошибки выборочного стандартного отклонения)

о

Применение этого приближения имеет несколько ограничений:

а)    наблюдения х должны подчиняться нормальному распределению или распределению близкому к нормальному:

б)    в случае, когда о не известно, вместо о в правой части (5) используют s, при этом выборка должна состоять не менее чем из тридцати наблюдений.

Пример — Данные таблицы 3 иллюстрируют изменчивость х и s по выборкам из одной и той же совокупности. Через каждые два часа с конвейера отбирают одну банку консервированных томатов и взвешивают ее содержимое. Таким образом, за смену (8 ч) получают четыре результата взвешивания. В таблице 3 приведены результаты наблюдений в течение 40 смен.

4

Таблица 3 — Результаты взвешивания содержимого банок консервированных томатов, г

Номер смены Вес содержимого банки, г Номер смены Вес содержимого банки. г 1 401,5 401,5 404.8 402,8 21 405.0 405,7 404,1 404,4 2 404,4 403,4 406,3 403,1 22 403.8 405,4 406,5 401,3 3 405,7 405,5 406,1 404,8 23 401.8 404,4 407,6 405,6 4 405,0 402,6 406.6 402,9 24 402.4 401,8 403,8 401,6 5 402,6 404,0 404.4 404,0 25 407.3 404,1 406,3 403,1 б 404,2 403,6 403,7 407,9 26 401.4 407,4 402,1 404,4 7 404.4 405.2 402,5 403.5 27 402.8 403,7 405,5 402,4 8 407,7 403,9 403,8 407,1 28 401.6 406.5 400,8 404,1 9 409.7 400,7 405.0 405,5 29 407.3 401,3 406,1 405,9 10 405,7 400.4 402,3 405,4 30 401,2 405,3 405,2 403,2 11 402.8 403,2 402,3 402.0 31 408.4 403,3 404,1 402,9 12 400.8 406,3 403,6 402,6 32 404.8 404,9 406,0 404,5 13 401,0 403,9 403,0 403,4 33 403,2 402,0 403,4 404,0 14 402,3 405.6 402,5 404,8 34 404.9 400,9 400,9 400,4 15 403,7 404,7 405,8 403,9 35 405,0 402,1 405,6 402,0 16 403,9 402,2 403,7 402,7 36 402,1 403,1 403,8 404,2 17 404,2 404,9 406,3 401,4 37 405,3 403,9 404,7 404,3 18 403,6 404,0 401,0 400,9 38 404,5 401,5 404,7 402,7 19 405,9 403,8 405,6 398,4 39 405,2 399,7 405,1 406,2 20 401,5 401,7 404,0 403,8 40 __ 402,0 ___ 400,7 402,6 404,9

Общий анализ данных таблицы 3 в соответствии с Р 50.1.074 показывает, что изменчивость в выборке от элемента к элементу является устойчивой в течение всего периода наблюдений.

Среднее и стандартное отклонение по 160 наблюдениям составили м = 403,84 г и а» 1,909 г.

Выборочные средние и стандартные отклонения xus для сорока выборок по четыре наблюдения в каждой приведены в таблице 4. В таблице 5 они представлены в сгруппированном виде (см. таблицу 6 из Р 50.1.082).

Таблица 4 — Данные взвешивания консервированных томатов. Выборочные средние и стандартные отклонения по четырем наблюдениям за смену, г

Номер смены Выбо рочное среднее Выбо рочное стан дартное откло нение Номор смены Выбо рочное среднее Выбо рочное стан дартное откло нение Номер смены Выбо рочное среднее Выбо рочное стан дартное откло нение Номер смены Выбо рочное среднее Выбо рочное стан дартное откло нение 1 402,65 1,559 11 402,58 0,532 21 404,80 0,707 31 404,68 2,533 2 404,30 1,445 12 403,32 2,297 22 404,25 2,258 32 405,05 0,656 3 405,52 0,544 13 402,82 1,271 23 404,85 2,424 33 403,15 0,839 4 404,28 1,882 14 403,80 1,651 24 402,40 0,993 34 401,78 2,097 5 403,75 0,790 15 404,52 0,954 25 405,20 1,936 35 403.68 1,893 6 404,85 2,050 16 403,12 0,810 26 403,82 2,706 36 403,30 0,920 7 403,90 1,163 17 404,20 2,061 27 403,60 1,378 37 404,55 0,597 8 405,62 2,065 18 402,38 1,654 28 403,25 2,583 38 403,35 1,526 9 405,22 3,680 19 403,42 3,476 29 405,15 2,640 39 404,05 2,942 10 403,45 2,549 20 402,75 1,333 30 403,72 1,941 40 402,55 1,756

5

Таблица 5—Данные взвешивания консервированных томатов. Частота появления значений выборочных средних и стандартных отклонений по четырем наблюдениям

Вес содержимого банки, а Частота Выборочное среднее х. а Частота Выборочное стандартное отклонение, s. а Частота 398.00-398.99 1 400.50—400.99 1 0.500—0.999 11 399,00—399,99 1 401.00—401.49 2 1.000—1.499 5 400.00—100.99 9 401.50—401.99 5 1.500—1.999 9 401.00—401.99 16 402.00—402.49 8 2.000-2.499 7 402.00—402.99 26 402.50-402.99 7 2.500—2.999 6 403.00-403.99 30 403.00—403.49 5 3.000—3.499 1 404.00—404.99 32 403.50-403.99 6 3.500—3.999 1 405.00—405.99 25 404.00—404.49 4 406.00-406.99 11 404.50—404.99 2 407.00—407,99 7 408.00—408.99 1 409.00-409.99 1 Общее количество 160 Общее количество 40 Общее количество 40

Если принять среднее и стандартное отклонение по всем (160) имеющимся данным за истинное, можно проверить выполнение соотношений (1), (2), (4) и (5). Результаты приведены в таблице 6.

Таблица 6 —Данные взвешивания консервированных томатов. Сравнение полученных результатов с теоретическими

Оцениваемая величина Результат взвешивания, а Результат расчета по теоретическим формулам, а Среднее значение х, т е. оценка ц ж 403.84 403.84 Стандартная ошибка х, т е. оценка пя 0.965 <Ал = 1,9091^4*0.954 1 Сродноо значение s. т. е. оценка ц 4 1.727 4(п - 1) d(4n - 3) * 12 1,909113 * 1,762 Стандартная ошибка s, т. е. оценка л. 0.808 <Vv2(л-1) ■ 1,909Кб *0.779

7 Репрезентативная выборка

Репрезентативная выборка является важным расширением предыдущих результатов, когда контролируемые элементы отобраны из нескольких источников, каждый из которых находится в статистически управляемом состоянии, но имеет собственное среднее процесса.

Предположим, что совокупность (партия) состоит из большого количества элементов, причем р, — доля элементов, полученных из первого источника. р₂ — из второго и т. д.. и р„ — из /с-го источника. Предположим, что среднее и стандартное отклонение характеристики качества продукции из первого источника ц, и а,, из второго источника ц₂и а₂ и т.д. Среднее для всей совокупности в этом случае:

»‘ = Р,И,⁺Р₂М₂⁺•••⁺Р*М*-    (6)

Репрезентативная выборка из п элементов может быть отобрана путем случайного отбора л, элементов из первого источника, п₂ элементов из второго источника, и так далее, где:

л, = л р„ л₂ = л р₂.....л_А = лр*    (7)

л, + п₂ + ... + л„ = л.

Р, + р₂ + ... + р* = 1.

Если х — среднее характеристики по репрезентативной выборке из л элементов, то это среднее может быть использовано в качестве оценки истинного среднего совокупности ц. Стандартная ошибка (стандартное отклонение выборочных средних) имеет вид: