Стр. 1
 

15 страниц

304.00 ₽

Купить ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004 (официальный текст в бумажном виде) с голограммой и синими печатями подробнее

Официально распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль".

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Устанавливает процедуры определения точечной и интервальной оценок медианы для любой совокупности случайных величин, описываемой непрерывной функцией распределения. Приведенные в стандарте методы не требуют знания функции распределения. Аналогичные процедуры могут применяться для определения оценок квартилей и других процентных точек распределения.

Введен впервые.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ И МЕТРОЛОГИИ

ГОСТ Р исо

16269-7—

2004

НАЦИОНАЛЬНЫЙ

СТАНДАРТ

РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ.

МЕДИАНА

Определение точечной оценки и доверительных интервалов

ISO 16269-7:2001 Statistical interpretation of data —

Part 7: Median — Estimation and confidence intervals (IDT)

Издание официальное

I

I

n

Москва ИПК Издательство стандартов 2004

ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004

Предисловие

1    ПОДГОТОВЛЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции» на основе собственного аутентичного перевода стандарта, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 27 января 2004 г. № 34-ст

4    Настоящий стандарт идентичен международному стандарту ИСО 16269-7-2001. «Статистическое представление данных. Часть 7. Медиана. Определение точечной оценки и доверительных интервалов» (ISO 16269-7:2001 «Statistical interpretation of data — Part 7: Median — Estimation and confidence intervals»)

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5 (подраздел 3.6).

При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении С

5    ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе «Национальные стандарты», а текст этих изменений — в информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе «Национальные стандарты»

© ИПК Издательство стандартов. 2004

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Госстандарта России

ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004

Содержание

1    Область применения................................................................. 1

2    Нормативные ссылки................................................................. 1

3    Термины, определения и обозначения.................................................. 1

4    Условия применения................................................................. 2

5    Определение точечной оценки......................................................... 2

6    Определение доверительного интервала................................................ 2

Приложение А (справочное) Классический метод определения границ доверительных интервалов для

медианы............................................................... 7

Приложение В (справочное) Примеры определения доверительных границ.................... 8

Приложение С (справочное) Сведения о соответствии национальных стандартов Российской Федерации ссылочным международным стандартам...............................11

ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ. МЕДИАНА

Определение точечной оценки и доверительных интервалов

Statistical methods. Statistical interpretation of data. Median. Estimation and confidence intervals

Дата введения — 2004—06—01

1    Область применения

Настоящий стандарт устанавливает процедуры определения точечной и интервальной оценок медианы для любой совокупности случайных величин, описываемой непрерывной функцией распределения. Приведенные в стандарте методы не требуют знания функции распределения. Аналогичные процедуры могут применяться для определения оценок квартилей и других процентных точек распределения.

Примечание — Медиана — 50 %-мая точка распределения,

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использована ссылка на следующий стандарт:

ИСО 3534-1:1993 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Вероятность и основные статистические термины.

3    Термины, определения и обозначения

3.1    Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ИСО 3534-1. а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1.1    А-я порядковая статистика выборки (A-th order statistic of a sample):

Значение А-го элемента выборки, когда все элементы выборки расположены в таком порядке, при котором каждый последующий элемент выборки более или равен (не менее) предыдущему (порядок неубывания).

Примечание — Для выборки из п элементов, расположенных в порядке неубывания Ц,| <    £    ... £    ).

к-й порядковой статистикой является элемент

3.1.2    медиана непрерывного распределения (median of a continuous probability distribution): Такая величина, когда каждая из долей распределения, лежащих по обе стороны от нее. равна 0,5.

Примечание — В настоящем стандарте для медианы непрерывного распределения применен термин «медиана совокупности» и обозначен буквой М.

3.2    Обозначения

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

/1 — нижняя граница значений случайной величины в совокупности: b — верхняя граница значений случайной величины в совокупности;

Издание официальное


С — уровень доверия;

с — постоянная, используемая для определения величины к в уравнении (1); к — номер порядковой статистики, используемый для определения нижней доверительной границы;

М — медиана совокупности;

N — объем выборки;

7', — нижняя доверительная граница, рассчитанная по выборке;

7*2 — верхняя доверительная граница, рассчитанная по выборке;

0 — квантиль стандартного нормального распределения;

ХИ “ элемент выборки, когда элементы выборки расположены в порядке неубывания (каждый последующий элемент ряда более или равен предыдущему); х — выборочное значение медианы (оценка медианы, рассчитанная по выборочным данным); у — значение промежуточных вычислений при определении величины к (см. уравнение (1)).

4    Условия применения

Метод, описанный в настоящем стандарте, применим при выполнении следующих условий:

-    генеральная совокупность описывается непрерывной функцией распределения;

-    выборка составляется случайным образом.

Примечание — Для случаев, когда распределение совокупности может быть описано нормальным распределением, медиана совокупности совпадает с математическим ожиданием. В этом случае могут применяться методы определения доверительных границ для математического ожидания совокупности.

5    Определение точечной оценки

Точечной оценкой медианы совокупности является выборочная медиана х. Для определения выборочной медианы все элементы выборки необходимо расположить в порядке их неубывания. Выборочная медиана х равна:


х,    ,    —    если    л    нечетное    число;

*♦ I


х *




—    порядковая статистика с номером

—    порядковая статистика с номером

—    порядковая статистика с номером


Л+ 1

2


п

2 :



Примечани е —Данная оценка в общем случае для несимметричных распределений является смещенной. При этом не существует метода определения несмещенной оценки для любых непрерывных распределений.


6 Определение доверительного интервала

6.1 Общие положения

Двусторонний доверительный интервал для медианы — это закрытый интервал (7‘,. Т2], где 7', < Т2. а /', и Т2 — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы.


2


ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004

Если а и Ь — соответственно нижняя и верхняя границы значений случайной величины в генеральной совокупности, то односторонние доверительные интервалы, соответственно, имеют вид [Тл, Ь) и (a, 7у.

Примечание — На практике часто значение а принимают равным нулю для положительных переменных, а для переменных, не имеющих естественной верхней границы, в качестве b принимают бесконечность.

Практическое значение применения доверительного интервала состоит в том, что исследователь может определить интервал, накрывающий неизвестное значение медианы совокупности М. Причем вероятность противоположного события (интервал не накрывает М) не превышает назначенного малого значения. Вероятность того, что доверительный интервал накрывает медиану совокупности, называется доверительной вероятностью.

6.2    Классический метод

Классический метод определения границ доверительного интервала для медианы совокупности приведен в приложении А Метод включает решение двух неравенств. Альтернативные методы определения границ доверительного интервала для некоторых значений уровня доверия приведены ниже.

6.3    Метод определения границ доверительного интервала для малых выборок (5 < л ? 100).

Значения к, удовлетворяющие неравенствам, приведенным в приложении А для восьми наиболее

часто используемых значений уровней доверия и объемов выборки от 5 до 100 элементов, приведены в таблицах 1 и 2. В таблице 1 приведены значения к, используемые для определения границ одностороннегодоверительного интервала, в таблице 2 — для определения границ двустороннего доверительного интервала.

Нижняя и верхняя границы доверительных интервалов определяются следующим образом:

'2 ~    х|в-*«    ||*

где х[2]......лг(п, — упорядоченная выборка (каждый последующий элемент ряда более или

равен предыдущему).

При малых объемах выборки «доверительные границы для некоторых значений уровней доверия не могут быть найдены описанным методом.

Пример вычисления доверительных границ для малых выборок приведен в приложении В.

Таблица 1— Значения к для определения границ одностороннего доверительного интервала при объеме выборки от 5 до 100 элементов

Обьем

пыбор-

Змачо**ю к при уровне доверия Ч

Обьем

выбор-

Значение к при уровне доверия. %

ни п

80

90

95

98

99

99.5

99.8

99.9

ки п

80

90

95

98

99

99.5

99.8

99.9

5

2

1

1

6

2

1

1

1

26

11

10

9

8

7

7

6

5

7

2

2

1

1

1

27

11

10

9

8

8

7

6

6

8

3

2

2

1

1

1

28

12

11

10

9

8

7

7

6

9

з

3

2

2

1

1

1

29

12

11

10

9

8

8

7

6

10

4

3

2

2

1

1

1

1

30

13

11

11

9

9

8

7

7

11

4

3

3

2

2

1

1

1

31

13

12

11

10

9

8

8

7

12

5

4

3

3

2

2

1

1

32

14

12

11

10

9

9

8

7

13

5

4

4

3

2

2

2

1

33

14

13

12

11

10

9

8

8

14

5

5

4

3

3

2

2

2

34

15

13

12

11

10

10

9

8

15

6

5

4

4

3

3

2

2

35

15

14

13

11

11

10

9

9

16

6

5

5

4

3

3

2

2

36

15

14

13

12

11

10

10

9

17

7

6

5

4

4

3

3

2

37

16

15

14

12

11

11

10

9

18

7

6

6

5

4

4

3

3

38

16

15

14

13

12

11

10

10

19

8

7

6

5

5

4

3

3

39

17

16

14

13

12

12

11

10

20

8

7

6

5

5

4

4

3

40

17

16

15

14

13

12

11

10

21

9

8

7

6

5

5

4

4

41

18

16

15

14

13

12

11

11

22

9

8

7

6

6

5

4

4

42

18

17

16

14

14

13

12

11

23

9

8

8

7

6

5

5

4

43

19

17

16

15

14

13

12

12

24

10

9

8

7

6

6

5

5

44

19

18

17

15

14

14

13

12

25

10

9

8

7

7

6

5

5

45

20

18

17

16

15

14

13

12

ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004

Окончание таблицы 1

Объем

выбор-

Значение к при уровне доверия. %

Объем

Змачс*мо к при уровне доверия %

--Т-

ки п

80

90

95

98

99

99.5

998

99,9

ки я

80

90

95

98

99

99.5

99.8

999

46

20

19

17

16

15

14

13

13

76

34

32

31

29

28

27

26

25

47

21

19

18

17

16

15

14

13

77

35

33

31

30

28

27

26

25

48

21

20

18

17

16

15

14

13

78

35

33

32

30

29

28

26

25

49

22

20

19

17

16

16

15

14

79

36

34

32

30

29

28

27

26

50

22

20

19

18

17

16

15

14

80

36

34

33

31

30

29

27

26

51

22

21

20

18

17

16

15

15

81

37

35

33

31

30

29

28

27

52

23

21

20

19

18

17

16

15

82

37

35

34

32

31

29

28

27

53

23

22

21

19

18

17

16

15

83

38

36

34

32

31

30

28

28

54

24

22

21

19

19

18

17

16

84

38

36

34

33

31

30

29

28

55

24

23

21

20

19

18

17

16

85

39

37

35

33

32

31

29

28

56

25

23

22

20

19

18

17

17

86

39

37

35

33

32

31

30

29

57

25

24

22

21

20

19

18

17

87

40

38

36

34

33

32

30

29

58

26

24

23

21

20

19

18

17

88

40

38

36

34

33

32

31

30

59

26

25

23

22

21

20

19

18

89

41

38

37

35

34

32

31

30

60

27

25

24

22

21

20

19

18

90

41

39

37

35

34

33

31

30

61

27

25

24

23

21

21

19

19

91

41

39

38

36

34

33

32

31

62

28

26

25

23

22

21

20

19

92

42

40

38

36

35

34

32

31

63

28

26

25

23

22

21

20

19

93

42

40

39

37

35

34

33

32

64

29

27

25

24

23

22

21

20

94

43

41

39

37

36

35

33

32

65

29

27

26

24

23

22

21

20

95

43

41

39

38

36

35

34

33

66

30

28

26

25

24

23

21

21

96

44

42

40

38

37

35

34

33

67

30

28

27

25

24

23

22

21

97

44

42

40

38

37

36

34

33

68

31

29

27

26

24

23

22

21

98

45

43

41

39

38

36

35

34

69

31

29

28

26

25

24

23

22

99

45

43

41

39

38

37

35

34

70

31

30

28

26

25

24

23

22

100

46

44

42

40

38

37

36

35

71

32

30

29

27

26

25

23

23

72

32

31

29

27

26

25

24

23

73

33

31

29

28

27

26

24

23

74

33

31

30

28

27

26

25

24

75

34

32

30

29

27

26

25

24

• Доверительные границы не могут быть определены для данного уровня доверия и данного объема выборки.

Таблица 2 — Значения А для определения границ двустороннего доверительного интервала при объеме выборки от 5 до 100 элементов

Объем

выбор-

Значение к при уровне доверия. %

_

Объем

Значение к при уровне доверия. %

ки л

80

90

95

98

99

99.5

99.8

99.9

ки я

80

90

95

98

99

99,5

99.8

99.9

5

1

1

6

2

1

1

1

16

5

5

4

3

3

3

2

2

7

2

2

1

1

1

17

6

5

5

4

3

3

2

2

8

3

2

2

1

1

1

18

6

6

5

4

4

3

3

2

9

3

3

2

2

1

1

1

19

7

6

5

5

4

4

3

3

10

4

3

2

2

1

1

1

20

7

6

6

5

4

4

3

3

11

3

3

2

2

1

1

1

1

21

8

7

6

5

5

4

4

3

12

4

3

3

2

2

1

1

1

22

8

7

6

6

5

5

4

4

13

4

4

3

2

2

2

1

1

23

8

8

7

6

5

5

4

4

14

5

4

3

3

2

2

2

1

24

9

8

7

6

6

5

5

4

15

5

4

4

3

3

2

2

2

25

9

8

8

7

6

6

5

5

ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004

Окончание табпицы 2

Обьем

выбор-

Значение к при уровне доверия. %

Обьем

выбор-

Значение к при уровне доверия. %

ни п

80

90

95

98

99

99.5

99.8

99.9

КИ л

80

90

95

98

99

99.5

99.8

99.9

26

10

9

8

7

7

6

5

5

66

28

26

25

24

23

22

21

20

27

10

9

8

8

7

6

6

5

67

28

27

26

24

23

22

21

20

28

11

10

9

8

7

7

6

6

68

29

27

26

24

23

23

21

21

29

11

10

9

8

8

7

6

6

69

29

28

26

25

24

23

22

21

30

11

11

10

9

8

7

7

6

70

30

28

27

25

24

23

22

21

31

12

11

10

9

8

8

7

7

71

30

29

27

26

25

24

23

22

32

12

11

10

9

9

8

7

7

72

31

29

28

26

25

24

23

22

33

13

12

11

10

9

9

8

7

73

31

29

28

27

26

25

23

23

34

13

12

11

10

10

9

8

8

74

31

30

29

27

26

25

24

23

35

14

13

12

11

10

9

9

8

75

32

30

29

27

26

25

24

23

36

14

13

12

11

10

10

9

8

76

32

31

29

28

27

26

25

24

37

15

14

13

11

11

10

9

9

77

33

31

30

28

27

26

25

24

38

15

14

13

12

11

10

10

9

78

33

32

30

29

28

27

25

25

39

16

14

13

12

12

11

10

9

79

34

32

31

29

28

27

26

25

40

16

15

14

13

12

11

10

10

80

34

33

31

30

29

28

26

25

41

16

15

14

13

12

12

11

10

81

35

33

32

30

29

28

27

26

42

17

16

15

14

13

12

11

11

82

35

34

32

31

29

28

27

26

43

17

16

15

14

13

12

12

11

83

36

34

33

31

30

29

28

27

44

18

17

16

14

14

13

12

11

84

36

34

33

31

30

29

28

27

45

18

17

16

15

14

13

12

12

85

37

35

33

32

31

30

28

27

46

19

17

16

15

14

14

13

12

86

37

35

34

32

31

30

29

28

47

19

18

17

16

15

14

13

12

87

38

36

34

33

32

30

29

28

48

20

18

17

16

15

14

13

13

88

38

36

35

33

32

31

30

29

49

20

19

18

16

16

15

14

13

89

38

37

35

34

32

31

30

29

50

20

19

18

17

16

15

14

14

90

39

37

36

34

33

32

30

30

51

21

20

19

17

16

16

15

14

91

39

38

36

34

33

32

31

30

52

21

20

19

18

17

16

15

14

92

40

38

37

35

34

33

31

30

53

22

21

19

18

17

16

15

15

93

40

39

37

35

34

33

32

31

54

22

21

20

19

18

17

16

15

94

41

39

38

36

35

33

32

31

55

23

21

20

19

18

17

16

15

95

41

39

38

36

35

34

33

32

56

23

22

21

19

18

18

17

16

96

42

40

38

37

35

34

33

32

57

24

22

21

20

19

18

17

16

97

42

40

39

37

36

35

33

32

58

24

23

22

20

19

18

17

17

98

43

41

39

38

36

35

34

33

59

25

23

22

21

20

19

18

17

99

43

41

40

38

37

36

34

33

60

25

24

22

21

20

19

18

17

100

44

42

40

38

37

36

35

34

61

25

24

23

21

21

20

19

18

62

26

25

23

22

21

20

19

18

63

26

25

24

22

21

20

19

19

64

27

25

24

23

22

21

20

19

65

27

26

25

23

22

21

20

19

* Доверительные границы не могут быть определены для данного уровня доверия и данного объема выборки.

6.4 Метод определения границ доверительного интервала для больших выборок (я > 100)


В случае объема выборки более 100 значение к для заданного уровня доверия определяется как целая часть величины у, рассчитанной по уравнению


У


1

2


(1)


где и — квантиль стандартного нормального распределения.

В таблице 3 приведены значения и и с для определения границ одностороннего доверительного


5


ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004

интервала. В таблице 4 приведены значения и и г для определения границ двустороннего доверительного интервала.

Таблица 3 — Значения и и с для определения границ одностороннего доверительного интервала

Уровень доверия, %

Значение и

Значение с

80.0

0.841 621 22

0.7500

90.0

1.281 551 56

0.9030

95,0

1,644 853 64

1.0870

98.0

2.053 748 92

1.3375

99.0

2.326 347 88

1.5360

99.5

2.575 829 30

1.7400

99.8

2,878 161 73

2.0140

99.9

3,090 232 29

2.2220

Значения к, полученные с применением уравнения (1), соответствуют значениям, приведенным в таблицах 1 и 2. При сохранении при расчетах восьми десятичных знаков данный метод является чрезвычайно точным и дает правильные значения к для восьми значений уровня доверия и всех объемов выборки от 5 до 280000 для определения гран иц ка к одностороннего, так и двустороннего доверительных интервалов.

Примеры вычисления доверительных границ для больших выборок приведены в приложении В.

Примечание — Для простоты значения в таблицах 3 и 4 приведены с минимально необходимым для обеспечения приемлемой точности уравнения (1) количеством десятичных знаков.

Таблица 4 — Значения миг для определения границ двустороннего доверительного интервала

Уровень доверия, %

Значение и

Значение с

80.0

1.281 551 56

0.903

90,0

1,644 853 64

1,087

95.0

1.959 964 00

1.274

98,0

2.326 347 88

1.536

99,0

2.575 829 30

1.740

99,5

2,807 033 76

1,945

99,8

3.090 232 29

2.222

99.9

3,290 526 72

2.437

6


Приложение А (справочное)


Классический метод определения границ доверительных интервалов для медианы


Предположим, что выборка объема п выбрана случайным образом из непрерывной генеральной совокупности. Тогда вероятность того, что точно к выборочных значений будут менее медианы совокупности, описывается биномиальным распределением:



Это является также и вероятностью того, что точно к выборочных значений будут более медианы совокупности.

Нижней и верхней границами двустороннего доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности (1 - а), являются достаточные статистики и х^я t.,| соответственно. Значение величины к должно удовлетворять следующим неравенствам:



то есть



(А.2)


(АЗ)



(А 4)


При определении границ одностороннего доверительного интервала в уравнениях (А.1) — (А.4) необходимо заменить а/2 на а.


7