Инструкция по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ имени В.А. КУЧЕРЕНКО ГОССТРОЯ СССР

ИНСТРУКЦИЯ
ПО РАСЧЕТУ ПЕРЕКРЫТИЙ НА ИМПУЛЬСИВНЫЕ НАГРУЗКИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ

Москва - 1966

Настоящая инструкция содержит методы расчета и проектирования междуэтажных перекрытий зданий, подверженных воздействию эксплуатационных динамических нагрузок импульсивного характера.

Инструкция предусматривает правила расчета на прочность и деформативность несущих элементов перекрытий, находящихся под действием кроме статических нагрузок также однократных и периодических импульсов или ударов массивных тел.

Инструкция составлена в Центральном научно-исследовательском институте строительных конструкций (ЦНИИСК им. Кучеренко) докт. техн. наук, проф. Е.С. Сорокиным. Общая редакция инструкции выполнена руководителем лаборатории динамики ЦНИИСК докт. техн. наук, проф. Б.Г. Кореневым.

Таблицы балочных функций (прил. 5) составлены под руководством автора инструкции сотрудниками ЦНИИСК им. Кучеренко инж. Т.М. Кузнецовой и Г.В. Ивановым. Таблицы функций Φ_z и Φ_М (прил. 6) составлены Отделом вычислительных работ Гипротиса.

Дирекция ЦНИИСК им. Кучеренко

1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

1.1. В настоящей инструкции содержатся специальные указания по расчету и проектированию междуэтажных перекрытий, подверженных воздействию кроме статических также импульсивных нагрузок:

от устанавливаемых на перекрытиях машин (молоты, штампы и прессы ударного действия, долбежные станки, испытательные машины, электромашины с мгновенной нагрузкой при включении или коротком замыкании, типографские бумагорезальные машины, маслоизготовители в молочной промышленности и т.п.);

от внезапно приложенных, свободно падающих или летящих с большой скоростью грузов (мгновенное нагружение или разгружение перекрытия грузом, падение поковок в расположенных на перекрытиях кузнечных цехах, испытание материалов стреляющими установками, полет приборов вследствие разрыва креплений при испытаниях на центрифугах и т.п.);

от внезапного изменения давления газов или жидкостей в испытательных камерах (удар струи пара или жидкости в установленные на перекрытии резервуары, внезапное соединение камер высокого и низкого давления и т.п.).

Указания настоящей инструкции имеют целью ограничить допустимыми пределами наибольшие значения переменных перемещений и внутренних усилий, возникающих в несущих строительных конструкциях при действии импульсивных нагрузок.

Состав задания на проектирование

1.2. Задание на проектирование должно содержать следующие данные:

планы и разрезы здания с указанием пролетов и размеров поперечных сечений элементов несущих конструкций, а также характеристик материалов;

веса и схемы размещения на, перекрытиях оборудования и данные о полезных нагрузках;

характеристики импульсивных (в частности, ударных) нагрузок, действующих на перекрытия, а именно:

величину и направление импульса;

продолжительность действия импульса;

форму импульса (закон изменения внешней силы за время действия импульса);

способ приложения импульса к конструкции (распределенный импульс, сосредоточенный импульс).

Если импульсивная нагрузка представляет кратковременную силу, возникающую при действии машин, характеристики импульсивной нагрузки можно определить из рассмотрения динамики машины (кинематической схемы машины при заданных массах движущихся частей).

Если импульсивная нагрузка возникает вследствие удара тела по конструкции, но данные о величине и форме импульса неизвестны, необходимо знать:

массу ударяющего тела и форму его ударной части;

величину и направление скорости тела в начале удара;

коэффициент восстановления при ударе и оценить, хотя бы приблизительно, продолжительность удара, если она поддается такой оценке.

В случае повторных периодических импульсов (ударов) необходимо знать помимо указанных данных еще период импульсов (ударов).

Примечание. Уточнение понятия импульсивной нагрузки см. в пп. 2.1, 2.7, 2.8 и 2.9.

Указания по проектированию

1.3. Классификация импульсивных нагрузок по категориям в зависимости от интенсивности их воздействия на конструкции дается в табл. 1. Категория данной импульсивной нагрузки, воздействующей на данную конструкцию, устанавливается в этой таблице по величине эквивалентного мгновенного импульса, вызывающего собственные колебания данной конструкции по основному тону с той же начальной амплитудой, что и данная импульсивная нагрузка.

Величина эквивалентного по основному тону мгновенного импульса S₁ определяется (по п. 2.6) в зависимости от характеристик импульсивной нагрузки во времени и от основного периода собственных колебаний конструкции Т₁.

Таблица 1

Классификация импульсивных нагрузок по категориям

Примечания: 1. Мгновенный импульс, эквивалентный данной импульсивной нагрузке по основному тону собственных колебаний конструкции, не эквивалентен этой нагрузке по отношению к другим тонам собственных колебаний конструкции.

2. При определении категории импульсивной нагрузки, распределенной по длине или площади элемента перекрытия, величина ее импульса вычисляется соответственно по площади или объему эпюры нагрузки.

3. Категорию импульсивного момента можно определять по табл. 1, принимая величину импульса S₁ численно равной моменту эквивалентного мгновенного импульса силы, выраженному в кг∙м∙сек.

4. В тех случаях когда размеры (и, следовательно, период собственных колебаний) перекрытия заранее неизвестны, но сами должны быть установлены в результате расчета конструкции на импульс, категорию импульса следует оценивать в запас, принимая основной период равным 0,15 сек (низшая граница периодов собственных колебаний перекрытий и перегородок) и затем, после назначения размеров конструкции, уточнить категорию импульса по расчетному значению периода собственных колебаний конструкции.

5. Если перекрытие рассчитывается по приближенной схеме, предусматривающей расчленение на отдельные элементы (плиты, вспомогательные и главные балки), то категорию импульсивной нагрузки следует определять для каждого элемента отдельно.

1.4. Способность конструкции необратимо поглощать энергию колебаний вследствие внутреннего трения, обусловливающая затухание собственных колебаний и снижение переменных напряжений, вызванных действием импульсивной нагрузки, характеризуется коэффициентом поглощения ψ, представляющим отношение работы, необратимо поглощенной в конструкции (превращенной в тепло) за один полный цикл колебаний, к средней за тот же цикл полной механической энергии упругих колебаний в конструкции. Коэффициент поглощения ψ равен удвоенному логарифмическому декременту затухающих собственных колебаний конструкции δ. В расчеты входит коэффициент γ внутреннего трения (или коэффициент неупругого сопротивления), пропорциональный ψ или δ:

Значения коэффициента γ при изгибных колебаниях конструкций, выполненных из различных материалов, принимаются по табл. 2.

Таблица 2

Значения коэффициента внутреннего трения γ

Дифференциацией коэффициента γ по величине импульсов приближенно учитывается его зависимость от величины напряжений в конструкции.

Для балок и плит составного сечения из двух разных материалов с коэффициентами γ₁ и γ₂ общий коэффициент γ определяется по формуле

где D₁ и D₂ - жесткости составных частей относительно нейтральной оси (общей - для монолитного сечения, своей - для немонолитного).

1.5. Допускаемая амплитуда поперечных колебаний перекрытия при систематическом действии повторных импульсивных нагрузок определяется из условия нормальной работы обслуживающего персонала, а также машин и приборов, чувствительных к колебаниям, по формулам (3) и (4) соответственно для высоких и низких частот:

Здесь а₀ - допускаемая амплитуда колебаний в мм;

 - частота колебаний перекрытия в гц (кол/сек) (p₁ - круговая частота в рад/сек);

υ₀ и ω₀ - допускаемые амплитуды соответственно скорости в мм/сек и ускорения в мм/сек² при установившихся гармонических колебаниях с частотой n₁;

1 ³ d ³ 0 - параметр, повышающий допускаемую амплитуду колебаний, вычисляемый по формуле

где γ - коэффициент внутреннего трения, принимаемый по табл. 2;

 - период колебаний перекрытия;

T₀ > T₁ - период повторных импульсов;

при Т₀ £ Τ₁ параметр d принимается равным нулю.

При отсутствии данных о допускаемых значениях а₀, υ₀ и ω₀ следует руководствоваться табл. 3 и 4. Однако во всех случаях допускаемая амплитуда колебаний перекрытий и перегородок не должна превышать 1,2 мм (из условия обеспечения целостности штукатурки), если нет других, более жестких ограничений.

Таблица 3

Предельно допустимые гармонические колебания на рабочих местах в производственных помещениях (СН 245-63)

Примечания: 1. Промежуточные значения амплитуд следует определять по линейной интерполяции. При продолжительности воздействия не более 10 - 15 % рабочего времени указанные в табл. 3 амплитуды допускается увеличивать, но не более чем в 3 раза.

2. В качестве средних значений можно принимать ω₀ = 150 мм/сек² при n₁ < 10 гц и υ₀ = 2,4 мм/cек при n₁ ³ 10 гц.

1.6. Прочность материала перекрытия, подверженного действию статической нагрузки и одиночных импульсов (п. 2.8), характеризуется расчетным сопротивлением материала.

Таблица 4

Классы машин и приборов по чувствительности к гармоническим колебаниям основания

Примечание. Класс машины или прибора по чувствительности к колебаниям устанавливается технологами. При отсутствии данных разрешается руководствоваться ориентировочными указаниями табл. 5.

Таблица 5

Ориентировочное деление машин и приборов на классы по чувствительности к колебаниям

Примечание. Существенное повышение пределов прочности и текучести соответствует таким большим динамическим напряжениям и скоростям деформирования, которые в перекрытиях при обычных эксплуатационных импульсивных нагрузках не достигаются.

1.7. Прочность материала перекрытия, подверженного действию статической нагрузки и систематическому воздействию повторных импульсов (п. 2.8), характеризуется расчетным пределом выносливости материала. Расчетный предел выносливости σ_вын определяется по формуле

Здесь σ_расч - расчетное сопротивление материала;

ρ - коэффициент, принимаемый по табл. 6;

k_вын - коэффициент выносливости, определяемый по формуле

в которой s ³ 0 - отношение наибольшего динамического напряжения (усилия) к статическому напряжению (усилию);

α₀ - отношение предела прочности материала к пределу усталости материала при симметричных циклах напряжений, принимаемое по табл. 6;

μ* ³ 1 - коэффициент концентрации напряжений в соединениях элементов конструкций; для целых монолитных элементов μ* = 1.

Для соединений элементов из стали марки Ст.3 можно принимать значения μ*, приведенные в табл. 7.

Таблица 6

Значения коэффициентов α₀ и ρ

Таблица 7

Значения коэффициента концентрации напряжений μ*

1.8. Для восприятия импульсивных, в частности ударных нагрузок, рекомендуется применять перекрытия из материала, обладающего большой массой и большим внутренним трением. Этим требованиям лучше отвечают железобетонные монолитные перекрытия. Применение настилов по стальным балкам или деревянных перекрытий следует ограничивать импульсивными нагрузками I категории. Применение сборных железобетонных перекрытий с необеспеченной монолитностью соединений элементов следует ограничивать импульсивными нагрузками II категории.

При наличии машин, станков и приборов I и II классов по чувствительности к колебаниям (табл. 4), а также в других случаях, когда по условиям производства можно допустить лишь колебания с очень малыми амплитудами, рекомендуется применять железобетонные монолитные перекрытия.

Примечание. Сборные железобетонные перекрытия с надежно замоноличенными стыками элементов рассматриваются как монолитные.

1.9. С целью ослабления воздействия импульсивной нагрузки на перекрытие, машины или установки, являющиеся источниками импульса, нередко целесообразно устанавливать на виброизоляторы (гибкие элементы), опирающиеся на перекрытие. При этом для обеспечения эффективности виброизоляции необходимо выполнить условие, чтобы период собственных колебаний виброизолированной установки превышал основной период собственных колебаний перекрытия не менее чем в 5 раз. Виброизоляция проектируется в соответствии с Инструкцией И 204-55 (Инструкция по проектированию и расчету виброизоляции машин с динамическими нагрузками и оборудования, чувствительного к вибрациям).

1.10. Размещаемые на перекрытиях здания машины и установки с импульсивным воздействием на основание рекомендуется располагать возможно дальше от станков и приборов I и II классов по чувствительности к колебаниям (табл. 4), например помещая те и другие в противоположных крыльях здания и на разных этажах.

Устанавливаемые вне здания на самостоятельных фундаментах машины с импульсивным воздействием на основание (молоты, копры и т.п.) рекомендуется располагать возможно дальше от здания, в котором размещаются станки и приборы I и II классов по чувствительности к колебаниям. При невозможности достаточного удаления рекомендуется устанавливать эти машины на виброизоляторы.

Основные расчетные положения

1.11. Расчет должен обеспечить прочность конструкции при совместной работе на статическую и динамическую импульсивную нагрузки и ограничить колебания конструкций, вызванные импульсивным воздействием, пределами, предотвращающими возможность вредного влияния их на работающих в здании людей и на технологический процесс.

Примечание. Перемещения от статических нагрузок ограничиваются требованиями действующих норм независимо от колебаний, вызываемых импульсивными нагрузками.

1.12. Перемещения и внутренние усилия в элементах конструкции, возникающие под действием статических нагрузок, определяются при помощи обычных методов расчета. Наибольшие перемещения и внутренние усилия в элементах конструкции, вызванные импульсивными нагрузками, определяются согласно указаниям настоящей инструкции.

Примечание. При определении перемещений и внутренних усилий от импульсивных нагрузок учитываются малые пластические деформации в материале путем введения в расчет неупругого сопротивления (внутреннего трения), которое существенно снижает внутренние усилия и перемещения в конструкции. Ввиду того что импульсивные эксплуатационные нагрузки на перекрытия, как правило, сравнительно невелики, больших пластических деформаций в элементах при колебаниях перекрытий обычно не возникает.

1.13. Прочность элементов перекрытий, подверженных воздействию поперечных статических и динамических импульсивных нагрузок, проверяют в случае одиночных импульсов (п. 2.8) исходя из условия статической прочности изгибаемых элементов в соответствии с п. 1.14, а в случае систематически действующих повторных импульсов (п. 2.8), кроме того, еще из условия выносливости изгибаемых элементов в соответствии с п. 1.15 настоящей инструкции.

1.14. Выполнение условия статической прочности изгибаемых элементов перекрытия, находящихся под действием статической и динамической импульсивной нагрузок, проверяется по формуле (7):

где Μ - расчетный предельный момент, определяемый по расчетному сопротивлению материала конструкции σ_расч в предположении статического действия нагрузки;

 - изгибающий момент от расчетной статической нагрузки;

М_д - изгибающий момент (с тем же знаком, что и ) от динамической импульсивной нагрузки, определяемый согласно разделу 4 настоящей инструкции.

Примечание. В тех исключительных случаях, когда требуется проверка прочности по поперечной силе, она производится по аналогичной формуле с аналогичными значениями входящих в нее величин.

1.15. Выполнение условия выносливости проверяется по формуле (8):

где М_вын - расчетный предельный момент, определяемый по расчетному пределу выносливости материала σ_вын так же, как Μ определяется в п. 1.14 по расчетному сопротивлению σ_расч (иначе говоря, путем замены σ_расч на σ_вын);

 - изгибающий момент от нормативной статической нагрузки;

М_д - изгибающий момент (с тем же знаком, что и ) от повторной динамической импульсивной нагрузки, определяемый согласно разделу 4 настоящей инструкции.

Примечания: 1. В тех исключительных случаях, когда требуется проверка выносливости по поперечной силе, она производится по аналогичной формуле с аналогичными значениями входящих в нее величин.

2. Проверка на динамическую устойчивость, целесообразная только для очень гибких сжатых стоек, настоящей инструкцией не предусматривается.

1.16. Наибольшее перемещение z_д при колебаниях перекрытия, вызываемых действием повторной импульсивной нагрузки, не должно превышать величины a₀:

Величина a₀ определяется в п. 1.5, а величина z_д - в соответствии с разделом 4 настоящей инструкции.

Если колебания данного элемента перекрытия в данном его сечении состоят из двух колебаний с различными основными частотами и  и соответствующими амплитудами  и , где  - основная частота собственных колебаний данного элемента, а  - основная частота собственных колебаний конструкции, на которую данный элемент опирается (например, главной балки) или которая на данный элемент опирается (например, виброизолированной установки), то при проверке колебаний по формуле (9) следует различать два случая:

а) Отношение наибольшей к наименьшей из частот  и  не превышает 2. В этом случае в формулах (3) и (4) п. 1.5 за частоту n₁ следует принимать ту из частот  и , которой соответствует наибольшая скорость колебаний (из двух:  и ), если n₁ ³ 10 гц, или наибольшее ускорение колебаний (из двух:  и ), если n₁ < 10 гц, а значение d вычислять для колебания с частотой n₁. В качестве z_д в формуле (9) следует принимать величину

б) Отношение наибольшей к наименьшей из частот  и  более 2. В этом случае каждое из двух колебаний проверяется по формуле (9) раздельно.

Примечание. Если колебания данного элемента состоят из трех колебаний с различными основными частотами (например, колебания вспомогательной балки, опирающейся на главную и несущей виброизолированную установку), то следует два из них с более низкими частотами привести к одному согласно указаниям п. 1.16, а или 1.16, б, а затем присоединив третье колебание, снова рассматривать их как два колебания согласно п. 1.16, а или 1.16, б.

1.17. При проверке прочности элементов перекрытия можно не учитывать импульсивные нагрузки:

I категории;

II категории, если они действуют на перекрытие через виброизоляторы;

всех категорий, если расчетное значение наибольшего поперечного перемещения элемента перекрытия, вызванного импульсивной нагрузкой, за вычетом перемещений опор от той же нагрузки, не превышает ¹/₅₀₀₀₀ пролета элемента.

1.18. Проверка перемещений элементов конструкции, вызванных действием импульсивных нагрузок, по формуле (9) не обязательна:

а) когда на перекрытии не требуется присутствия обслуживающего персонала и нет машин, станков и приборов I, II и III классов по чувствительности к колебаниям (табл. 4);

б) для одиночных импульсов и ударов (п. 2.8);

в) для импульсивных нагрузок I категории, действующих на перекрытие через виброизоляторы;

г) для вертикальных элементов здания (стоек, стен).

1.19. Расчет конструкции на импульсивные нагрузки рекомендуется производить в такой последовательности:

а) определяются импульсивные нагрузки согласно разделу 2 и классифицируются согласно п. 1.3 настоящей инструкции;

б) определяются частоты собственных колебаний конструкции согласно разделу 3 данной инструкции;

в) определяются наибольшие перемещения элементов конструкции под действием повторной импульсивной нагрузки согласно разделу 4 и проверяется выполнение требования п. 1.16 инструкции;

г) определяются наибольшие внутренние усилия в элементах конструкции от действия импульсивной нагрузки согласно разделу 4 инструкции и проверяется прочность конструкции согласно п. 1.13 инструкции.

Примечание. Случаи, когда учет импульсивных нагрузок не обязателен, указаны в пп. 1.17 и 1.18.

2. ИМПУЛЬСИВНЫЕ НАГРУЗКИ

2.1. Нагрузка называется импульсивной, если она действует на конструкцию в течение достаточно малого промежутка времени τ (рис. 1), достигая при этом достаточно большой величины, так что ее импульс (измеряемый на рис. 1 в выбранном масштабе заштрихованной площадью) представляет величину не малую. Продолжительность импульса считается достаточно малой, если τ £ 2,5Т₁, где Т₁ - основной период собственных колебаний конструкции, на которую действует импульсивная нагрузка.

Примечания: 1. При τ > 2,5Т₁ расчет конструкции на действие нагрузки Ρ(t) сводится к ее статическому расчету на действие эквивалентной нагрузки χР₀, где Р₀ - максимальное значение переменной нагрузки (рис. 1), а χ - коэффициент, определяемый по табл. 8 в зависимости от вида функции Ρ(t) и относительной продолжительности действия силы τ* = τ/T₁, стремящийся с увеличением τ к 1 или к 2.

2. Расчет конструкции на внезапную нагрузку или разгрузку производится также согласно примечанию 1. В этом случае Р₀ - величина приложенной или снятой нагрузки, а χ = 2 для внезапной нагрузки и χ = 1 для внезапной разгрузки.

3. Основной период собственных колебаний конструкции равен Т₁ = 2π/p₁, где p₁ - первая круговая частота собственных колебаний конструкции, определяемая согласно разд. 3 настоящей инструкции.

Рис. 1. График кратковременной силы

2.2. Импульсивная нагрузка определяется направлением (вертикальная, горизонтальная, наклонная), способом приложения к конструкции (сосредоточенная, распределенная) и характером действия во времени.

Примечание. Импульс можно считать сосредоточенным, если он приложен по площадке, размеры которой по осям рассматриваемого элемента перекрытия менее ¹/₅ размеров элемента вдоль этих осей.

2.3. По характеру действия во времени удобно различать два вида импульсивных нагрузок, действующих на конструкцию с n степенями свободы: кратковременный импульс и мгновенный импульс. Импульс считается кратковременным, если продолжительность его действия 0,1Т_n £ τ £ 2,5Т₁ и мгновенным, если τ < 0,1Τ_n.

Здесь Τ₁ - наибольший (основной), а Т_n - наименьший периоды собственных колебаний конструкции. Для конструкции с 1-й степенью свободы Т_n = Τ₁ а для конструкции с бесконечно большим числом степеней свободы при определении вида импульса можно принимать Т_n = 0,05Τ₁.

2.4. Кратковременный импульс определяется тремя характеристиками (рис. 1):

величиной импульса

формой импульса

и продолжительностью действия τ.

Мгновенный импульс определяется одной характеристикой - величиной импульса.

Примечания: 1. Размерность импульса определяется произведением размерности усилия на время. Различаются сосредоточенный импульс силы (кг∙сек), импульс сил, распределенных по длине (кг∙сек/м), или площади (кг∙сек/м²), сосредоточенный импульс момента (кг∙сек∙м).

2. Если о продолжительности кратковременного импульса данной формы известно только, что она заключена в пределах τ₁ £ τ £ τ₂, то при известной величине импульса следует принимать в дальнейших расчетах продолжительность τ = τ₁, а при известном среднем (или наибольшем) значении силы следует принимать: при определении величины импульса - продолжительность τ = τ₂, а в дальнейших расчетах - продолжительность τ = τ₁.

3. Если известны наибольшее значение силы и продолжительность ее действия, но неизвестна форма импульса, разрешается принимать в запас прочности и жесткости прямоугольную форму импульса.

4. Если известны величина импульса (или среднее значение силы) и продолжительность его действия, но неизвестна его форма, разрешается принимать в запас прочности и жесткости колоколообразную форму импульса (шестую форму на рис. 2).

5. Если для кратковременного импульса известна только его величина S, а продолжительность его действия не поддается даже грубой оценке, разрешается в запас прочности и жесткости принимать ее равной наименьшему значению τ_мин = 0,001 сек для обычных эксплуатационных импульсивных нагрузок.

2.5. Перемещения и внутренние усилия в конструкции, вызванные действием кратковременного импульса, зависят от величины импульса S, продолжительности τ его действия и от его формы f(t).

Перемещения и внутренние усилия в конструкции, вызванные действием мгновенного импульса, зависят только от величины импульса.

Примечание. Перемещения и внутренние усилия в конструкции при действии мгновенного импульса больше, чем при действии кратковременного импульса той же величины (при любой его форме).

2.6. При расчете конструкций с n степенями свободы на импульсивные нагрузки согласно настоящей инструкции кратковременный импульс, действующий на конструкцию, заменяется в целях удобства и единства метода расчета совокупностью n эквивалентных мгновенных импульсов, соответствующих различным тонам собственных колебаний конструкции.

Эти мгновенные импульсы определяются по формуле

Здесь S_i - мгновенный импульс, эквивалентный кратковременному по начальной амплитуде i-го тона собственных колебаний конструкции;

ε_i < 1 - коэффициент, зависящий от отношения продолжительности t кратковременного импульса к периоду Т_i собственных колебаний конструкции по i-му тону, а также от формы импульса f(t) и определяемый по табл. 8 или по графику рис. 2; S - фактическая величина кратковременного импульса, определяемая по формуле (10).

Примечание. При действии на конструкцию мгновенного импульса следует положить все ε_i = 1 и S_i = S. Следует, однако, подчеркнуть, что в перекрытиях импульс, как правило, нельзя считать мгновенным, что следует из его определения в п. 2.3 и примечания 5 к п. 2.4, если учесть, что для элементов перекрытий период Τ₁ мал (Τ₁ » 0,15 ¸ 0,05 сек). Мгновенным импульс может оказаться для конструкций, которые можно трактовать как системы с одной степенью свободы, в частности для виброизолированных установок.

Рис. 2. Зависимости коэффициентов ε_i и χ
от отношения  для импульсов различных форм

Таблица 8

Значения коэффициентов e_i и χ

2.7. Удар по конструкции движущимся или падающим телом является более сложным случаем кратковременной импульсивной нагрузки, когда величина, продолжительность и форма импульса зависят от характеристик ударяющего тела и конструкции (инерционных, упругих, неупругих и геометрических). При известных продолжительности, форме и силе удара (силе, возникающей во время контакта ударяющего тела с конструкцией) величина кратковременного импульса определяется по формуле (10), а величины эквивалентных мгновенных импульсов определяются по формулам (12). При отсутствии данных для определения величины кратковременного ударного импульса, что является обычным, можно определять ее по формуле

где m - масса ударяющего тела;

υ₀ - скорость ударяющего тела в начале удара (в начальный момент контакта тела с конструкцией), нормальная к поверхности конструкции;

ν - коэффициент восстановления при ударе.

При отсутствии данных о коэффициенте ν разрешается принимать для него ориентировочные значения по табл. 9.

Примечания: 1. Все примечания к п. 2.4 остаются справедливыми и для ударного импульса, возникающего при соударении жестких тел.

При сильно деформирующемся ударяющем теле (падение пластичной массы, прыжок человека и т.п.) неизвестную продолжительность удара нельзя принимать равной τ_мин (примечание к п. 2.4), но необходимо оценить ее опытным или расчетным путем.

2. Коэффициент восстановления ν равен отношению нормальных составляющих скоростей ударяющего тела в конце и начале удара. При 0 < ν < 1 удар называется упругим, а при ν = 0 - абсолютно неупругим. Явление повторного удара свободно летящего груза, наблюдаемое при упругом ударе, в настоящей инструкции не учитывается.

3. При отсутствии данных о форме ударной части ударяющего тела следует считать ее сферической.

Таблица 9

Ориентировочные значения коэффициента ν восстановления при ударе

2.8. При проверке конструкции на прочность и колебания следует различать одиночные и повторные импульсы и удары. Импульс (удар) называется одиночным, если он прикладывается эпизодически (например, случайное падение груза, короткое замыкание в электромашинах, удар струи газа или жидкости при наполнении резервуара и т.п.).

Импульсы (удары) называются повторными, если их повторение обусловлено технологией производства и носит систематический характер (например, многократные удары молотов, штампов, периодические вспышки газов в камере топки и т.п.).

2.9. При расчетном определении перемещений и внутренних усилий в конструкции под действием импульсивной нагрузки повторные импульсы (удары) целесообразно разделять на однократные и периодические.

Повторный импульс (удар) считается однократным, если промежуток времени между любыми смежными импульсами (ударами) больше , где Τ₁ и γ определены в п. 1.5. Одиночный импульс, определенный в п. 2.8, относится к однократному.

Повторные импульсы (удары) считаются периодическими, если промежутки времени между смежными импульсами (ударами) одинаковы и меньше 2T₁/γ.

В этом случае промежуток времени между импульсами (ударами) называется периодом импульсов (ударов) и обозначается через Т₀.

2.10. При проверке перекрытия на воздействие расположенной на нем виброизолированной установки с импульсивной нагрузкой, виброизоляция которой удовлетворяет условию п. 1.9, влияние виброизолированной установки на перекрытие можно учитывать путем статического расчета перекрытия на две различные эквивалентные постоянные нагрузки:

приложенные к установке там же и так же, как и импульсивная нагрузка и соответствующие колебаниям перекрытия с двумя различными периодами Т_в и Т₁.

Здесь S - величина кратковременного импульса, действующего на виброизолированную установку в кг∙сек;

τ - продолжительность импульса в сек;

Т_в и Т₁ - основные периоды собственных колебаний виброизолированной установки и перекрытия соответственно в сек;

 - коэффициенты приведения импульса к мгновенному, определяемые по табл. 8 в зависимости от формы импульса и значений  и соответственно;

 - коэффициент, определяемый по табл. 8 в зависимости от  для силы, изменяющейся по форме полуволны синусоиды (форма 4);

γ_в и γ - коэффициенты внутреннего трения виброизоляторов (И 204-55) и перекрытия (табл. 2) соответственно.

В случае если импульсивная нагрузка возникает в результате прямого удара тела массой m, отличие будет состоять в том, что роль S играет ударный импульс (п. 2.7), а роль нагрузки Р_в играет нагрузка , вычисляемая по формуле

Указания по определению перемещений и внутренних усилий в элементах перекрытия от действия на него виброизолированной установки даны в п. 4.7 инструкции, а указания по проверке допустимости возникающих в перекрытии колебаний для людей и оборудования даны в п. 1.16, б.

Примечание. Допускается при определении периода Т_в считать перекрытие абсолютно жестким, а при определении периода Т₁ не учитывать жесткость виброизоляторов и массу виброизолированной установки.

3. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

3.1. Определение частот собственных поперечных колебаний конструкции необходимо для вычисления зависящих от них перемещений и внутренних усилий, возникающих в конструкции при действии на нее импульсивной нагрузки.

Частоты собственных поперечных колебаний следует определять для элементов перекрытия, на которые импульсивная нагрузка действует непосредственно или передается через опирающиеся на них другие элементы перекрытия, а также через виброизоляторы.

Примечание. Для смежного перекрытия, отделенного стеной или деформационным швом от перекрытия, на которое действуют импульсивные нагрузки, частоты собственных колебаний определять не надо.

3.2. Для определения частот собственных колебаний должны быть подсчитаны полные (собственные и присоединенные) массы и изгибные жесткости элементов перекрытия и выбраны соответствующие расчетные схемы.

3.3. Полная масса элемента перекрытия определяется делением на ускорение силы тяжести (g = 9,8 м/сек²) всех фактически действующих на него статических нагрузок (распределенных и сосредоточенных), обладающих весом (вес конструкции, машин, их постаментов и других весовых нагрузок). Статические нагрузки, не обладающие весом (реакции пружин, давления газов, силы трения и т.п.), при определении масс не учитываются. Импульсивные и другие динамические нагрузки не влияют на частоты собственных колебаний и при определении последних не принимаются во внимание. Из полезных весовых статических нагрузок учитываются лишь наиболее вероятные и длительно действующие в нормальных условиях эксплуатации (вес оборудования, сырья, фабрикатов и пр.). Случайные и кратковременные статические нагрузки (эпизодическое скопление людей в производственном помещении, ремонтные нагрузки и т.п.) не учитываются.

Распределение масс по элементу перекрытия принимается в соответствии с фактической схемой передачи статических нагрузок на элемент.

Примечание. Статическую нагрузку, учитываемую при определении масс, не следует смешивать с нормативной или расчетной нагрузкой, определяемой действующими нормами.

3.4. При определении частот собственных колебаний за изгибную жесткость элемента перекрытия можно принимать величину EI, где I - момент инерции полного поперечного сечения несущего элемента (для армированных сечений - без учета арматуры), а Ε - модуль упругости. При этом в качестве Ε следует принимать:

для стальных конструкций - модуль продольной упругости по СНиП II-В.3-62;

для бетонных и железобетонных конструкций - модуль упругости бетона при сжатии Е_б по СНиП ΙΙ-В.1-62;

для каменных и армокаменных конструкций - начальный модуль упругости кладки Е₀ по СНиП ΙΙ-Β.2-62;

для деревянных конструкций Ε = 100 000 кг/см² независимо от породы древесины по СНиП ΙΙ-Β.4-62.

Для элементов балочных перекрытий можно принимать следующие моменты инерции:

для балок при уложенном по балкам немонолитном настиле - момент инерции поперечного сечения балки;

для балок при уложенной по балкам монолитной железобетонной плите - сумму моментов инерции сечений балки и плиты; при этом расчетная ширина сечения плиты принимается равной расстоянию между осями балки, но не более половины пролета балки;

для балок ребристого монолитного перекрытия - момент инерции монолитного таврового сечения с шириной плиты, указанной выше (п. 3.4); если стальные балки обетонированы железобетонной плитой поверху или понизу, перекрытие рассматривается как ребристое монолитное;

для балочных плит - момент инерции поперечного сечения плиты шириной, равной пролету плиты;

для крупнопанельных плит определяется цилиндрическая жесткость плиты.

Если постамент под машину монолитно связан с перекрытием, его следует учитывать при определении жесткости соответствующего элемента перекрытия.

3.5. Расчетную схему перекрытия при определении частот собственных колебаний следует выбирать руководствуясь соображениями наилучшего ее соответствия фактическим условиям работы конструкции. При этом рекомендуется учитывать обычно пренебрегаемые факторы в тех случаях, когда они способны оказывать существенное влияние на частоты, например податливость опор, изгибную жесткость стоек и т.п.

В приближенных расчетных схемах перекрытие можно рассматривать расчлененным на элементы (балки и плиты). Возможные приближенные расчетные схемы приведены в табл. 10.

Таблица 10

Приближенные расчетные схемы для элементов перекрытий

Примечания: 1. При расчете следует учитывать фактическое количество пролетов неразрезных элементов, но не более 5.

2. Концы балок перекрытия, опирающиеся на стены, а также края крупнопанельных плит, опирающиеся на ригели рам, можно считать свободно опертыми.

3. Схему рамы рекомендуется применять в случаях, когда обобщенная жесткость стойки  превышает обобщенную жесткость ригеля.

3.6. Для каждого элемента перекрытия определяется спектр круговых частот собственных колебаний, т.е. последовательность круговых частот p_i, расположенных в порядке их возрастания:

p₁ < p₂ < ... < p_i < ... < p_n.

Круговая частота p_i (рад/сек), отвечающая i-му тону собственных колебаний конструкции, выражается через соответствующую частоту n_i (гц) и период T_i (сек) собственных колебаний равенствами:

Для конструкций, которые можно рассматривать как системы с конечным числом n степеней свободы (прил. 1, разд. А), определяется n круговых частот собственных колебаний p_i (i = 1, 2, ..., n).

Для конструкций, которые теоретически представляют системы с бесконечно большим числом степеней свободы (прил. 1, разд. Б), количество вычисляемых частот, обеспечивающее допустимую погрешность результата расчета, составляет:

при определении перемещений

однопролетных балок - 2;

N-пролетных неразрезных балок - Ν + 1;

однопролетных плит - 4;

при определении изгибающих моментов в

однопролетных - балках - 5;

в N-пролетных неразрезных балках - 3N + 1;

в однопролетных плитах - 25.

Примечание. Для железобетонных балок и прямоугольных плит с типичными видами закрепления опор (прил. 2, разд. Б) даны таблицы коэффициентов Ф_z и Φ_М для определения соответственно наибольших во времени перемещений и изгибающих моментов, возникающих при действии сосредоточенного или распределенного мгновенного импульса (прил. 6). В этом случае требуется вычислить только одну первую (наинизшую) круговую частоту собственных колебаний р₁, как это видно из формул прил. 2, так как влияние высших частот учтено табулированными коэффициентами Ф_z и Φ_М.

3.7. Круговые частоты собственных колебаний конструкций определяются с учетом указаний настоящего раздела по формулам и таблицам приложения 1.

Примечание. Если расчетный случай выходит за рамки приложения 1, расчет следует вести общими методами динамики сооружений, изложенными в соответствующих руководствах.

4. НАИБОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИМПУЛЬСИВНЫХ НАГРУЗОК

4.1. Под действием импульсивной нагрузки конструкция приходит в сложное колебательное движение, представляющее сумму свободных затухающих колебаний с различными частотами и начальными скоростями. Определению подлежат наибольшие во времени перемещения и внутренние усилия, возникающие при этих сложных колебаниях.

4.2. Наибольшие во времени перемещения z_д, изгибающие моменты М_д и поперечные силы Q_д определяются для элементов перекрытия, на которые импульсивная нагрузка действует непосредственно либо передается через другие элементы перекрытия или через виброизоляторы.

Примечание. Для элемента перекрытия, опирающегося на другие податливые элементы, должны определяться помимо перемещений точек самого элемента также перемещения его опор. Суммарное перемещение точки элемента в этом случае будет состоять из упругого перемещения элемента с основной частотой его собственных колебаний и перемещения его как твердого тела (обусловленного перемещением опор) с основной частотой собственных колебаний опорных элементов. Проверка амплитуд допускаемых колебаний в этом случае производится согласно примечанию к п. 1.16.

4.3. Массы, жесткости и расчетные схемы элементов перекрытия при определении перемещений и внутренних усилий, вызываемых импульсивной нагрузкой, принимаются, как и при определении частот собственных колебаний, согласно разделу 3 инструкции.

4.4. При определении перемещений z_д и внутренних усилий М_д и Q_д учитывается внутреннее трение в конструкции, снижающее величины переменных усилий и перемещений, возникающих при действии однократных и периодических импульсивных нагрузок. Значения коэффициента внутреннего трения γ принимаются по табл. 2 в зависимости от категории импульса.

Примечания: 1. Если на данный элемент перекрытия действует одновременно несколько импульсивных нагрузок разной категории, разрешается принимать из табл. 2 одно значение γ, соответствующее наибольшей категории этих нагрузок.

2. При расчете на однократные импульсы и удары конструкций, которые можно рассматривать как системы с одной степенью свободы, внутреннее трение можно не учитывать.

4.5. При одновременном действии на элемент перекрытия нескольких импульсов или ударов наибольшие во времени суммарные перемещения и внутренние усилия в данном сечении элемента не равны сумме соответстствующих величин, отвечающих каждому импульсу в отдельности, но определяются по правилам, указанным в приложениях 3 и 4 соответственно.

Примечания: 1. При расчете конструкций на мгновенные импульсы с помощью таблиц прил. 6 суммарные значения перемещений и изгибающих моментов разрешается определять в запас жесткости и прочности как сумму их значений, отвечающих отдельным импульсам.

2. Если знаки или фазы одновременно действующих на элемент перекрытия однократных или периодических импульсов и ударов неизвестны, они выбираются из условия, чтобы суммарные перемещения и внутренние усилия получились наибольшими по абсолютному значению.

4.6. При передаче импульсивной (ударной) нагрузки на данный элемент перекрытия через опору другого элемента перекрытия, поддерживаемого данным (например, на главную балку - через опору вспомогательной балки), разрешается в запас прочности и жесткости считать приближенно, что величина передающегося через опору импульса (удара) составляет от величины импульса (удара), действующего на поддерживаемый элемент, такую же долю, какую составляет реакция этой опоры от величины статической нагрузки, приложенной к поддерживаемому элементу там же и таким же образом (т.е. сосредоточенной в той же точке или распределенной на том же участке), как и импульсивная (ударная) нагрузка.

Примечание. Эта приближенная схема передачи импульсивной нагрузки выполняется тем точнее, чем жестче поддерживаемый элемент в сравнении с поддерживающим. В случае виброизолированной установки, опирающейся на перекрытие, эту схему передачи нагрузки применять нельзя; в этом случае следует руководствоваться указаниями п. 4.7.

4.7. При передаче импульсивной нагрузки на данный элемент перекрытия через виброизоляторы возникают колебания этого элемента с двумя различными круговыми частотами  (п. 2.10) и наибольшими амплитудами z_в и z₁.

Амплитуды перемещений z_в и z₁ можно определять как прогибы при статическом действии эквивалентных нагрузок Р_в и Р₁, вычисляемых по формулам (14) п. 2.10, а отвечающие им скорости и ускорения элемента перекрытия определять произведениями амплитуды перемещения соответственно на круговую частоту и ее квадрат. Внутренние усилия можно определять статическим расчетом на нагрузку Р_в.

В случае виброизолированной установки с ударной нагрузкой роль амплитуды z_в играет амплитуда , которая определяется как прогиб при статическом действии нагрузки , где  определяется по формуле (15) п. 2.10, , а внутренние усилия определяются статическим расчетом на нагрузку .

4.8. При непосредственном действии на конструкцию импульсивной нагрузки наибольшие во времени перемещения z_д и внутренние усилия М_д и Q_д в конструкции определяются с учетом указаний настоящего раздела и вычисляются:

при действии однократных импульсов - по формулам прил. 2, полагая z_д = z₀, M = М₀, Q_д = Q₀;

при действии однократных ударов - по формулам прил. 3, полагая

при действии периодических импульсов и ударов - по формулам прил. 4, полагая

Примечания: 1. Если расчетный случай выходит за рамки рассмотренного в приложениях, расчет следует вести общими методами динамики сооружений, изложенными в соответствующих руководствах, но с учетом внутреннего трения и конечной продолжительности импульса.

2. В прил. 6 даны таблицы, позволяющие немедленно определять величины наибольших во времени перемещений z₀ и изгибающих моментов М₀ для железобетонных балок и плит при действии однократных мгновенных импульсов и ударов. При действии кратковременных (не мгновенных) импульсов и ударов эти таблицы можно использовать для проверки с заведомым запасом условий прочности и жесткости. Если эти условия выполняются в предположении, что импульс или удар мгновенны, дальнейшего расчета производить не требуется. В противном случае необходимо определить величины z₀ и М₀ с учетом продолжительности импульса или удара по формулам прил. 2 или 3, привлекая таблицы прил. 6.

5. СПОСОБЫ УМЕНЬШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В КОНСТРУКЦИЯХ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИМПУЛЬСИВНЫХ НАГРУЗОК

5.1. В случаях, когда не выполняются требования пп. 1.14, 1.15 и 1.16, обеспечивающие прочность или допустимые колебания конструкций, находящихся под действием импульсивных нагрузок, рекомендуется применять указанные ниже способы уменьшения амплитуд колебаний и переменных внутренних усилий в конструкциях.

При выборе способа следует руководствоваться в каждом конкретном случае соображениями целесообразности, эффективности и экономичности его применения. Ожидаемые результаты осуществления выбранного способа должны проверяться повторным расчетом конструкции на импульсивную нагрузку при изменившихся условиях.

Увеличение массы конструкции

5.2. С увеличением массы конструкции путем присоединения дополнительной массы при постоянстве прочих независимых параметров (размеров поперечных сечений, пролета, импульса) переменные перемещения и изгибающие моменты уменьшаются обратно пропорционально квадратному корню из полной массы конструкции, приведенной к равномерно распределенной в пролете или к сосредоточенной в точке приложения импульса (удара).

Этот способ применим в случаях, когда переменные перемещения и изгибающие моменты, вызываемые импульсивной нагрузкой, составляют существенную долю соответственно от прогиба и момента, вызываемых статической нагрузкой (собственным весом и полезными грузами). В противном случае, даже при значительном уменьшении колебаний этим способом, условие прочности может не удовлетвориться вследствие повышения статических напряжений с увеличением постоянной нагрузки на конструкцию.

Способ может оказаться эффективным в применении к конструкциям, находящимся под действием импульсов IV категории, а также к конструкциям, характеризующимся небольшими статическими напряжениями (например, к перегородкам, подверженным действию импульсов или ударов).

Увеличение жесткости конструкции

5.3. С уменьшением пролета конструкции при постоянстве прочих независимых параметров (масс, поперечных сечений, импульса) переменные перемещения уменьшаются пропорционально квадрату пролета, а переменные изгибающие моменты не меняются.

Уменьшение пролета возможно в случаях, когда требуется резко снизить только переменные перемещения конструкции.

С увеличением момента инерции поперечных сечений конструкции при постоянстве прочих независимых параметров (масс, пролетов, импульса) переменные перемещения уменьшаются обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции, а переменные изгибающие моменты увеличиваются пропорционально той же величине.

Способ применим в случаях, когда амплитуды колебаний (перемещений) ограничены жестким требованием (например, при наличии на перекрытии чувствительного к колебаниям оборудования), а в конструкции имеются неиспользованные запасы прочности. При этом необходимо учитывать, что с увеличением жесткости напряжения от статических нагрузок уменьшаются в большей степени, нежели увеличиваются напряжения от импульсивных нагрузок. Это обстоятельство расширяет область применения способа.

Примечание. Если продолжительность действия импульса больше 0,1T₁ (T₁ - основной период собственных колебаний конструкции), то способы, изложенные в п. 5.3, уменьшая Τ_i, приводят к некоторому уменьшению эквивалентных импульсов S_i (см. п. 2.6 и рис. 2) и тем самым к дополнительному уменьшению перемещений и напряжений.

Одновременное увеличение массы и жесткости конструкции

5.4. Путем одновременного увеличения массы и жесткости конструкции можно обеспечить, как это видно из указаний пп. 5.2 и 5.3, существенное уменьшение переменных перемещений при некотором уменьшении суммарных изгибающих моментов (от статической и импульсивной нагрузок).

Изменение мест приложения импульсов или ударов на перекрытии

5.5. Переменные перемещения и изгибающие моменты в перекрытии можно уменьшить, если:

установки с импульсивным воздействием на основание располагать на тех элементах перекрытия, которые имеют наибольшую массу;

установки, порождающие импульсы сил вертикального направления, располагать вблизи опор конструкций;

установки, порождающие импульсы моментов, действующих в плоскости изгиба элемента, располагать в середине пролета элемента.

Виброизоляция установок с импульсивными нагрузками

5.6. Наиболее эффективным способом уменьшения скоростей и ускорений колебаний перекрытия, а в определенных случаях и изгибающих моментов в перекрытии, вызванных действием импульсивных нагрузок, является виброизоляция установок, порождающих эти нагрузки, т.е. передача импульсов или ударов на достаточно большие массы, опирающиеся на перекрытие через гибкие элементы (пружины) и обладающие низкой частотой собственных колебаний в сравнении с перекрытием (пп. 1.9 и 2.10). Такими массами могут служить в случае установок, порождающих импульсы, либо сами установки, если они достаточно массивны, либо установки с присоединенным к ним постаментом, а в случае ударов свободно летящих тел - массивные постаменты. Расчет и проектирование виброизоляции производятся в соответствии с указаниями инструкции И 204-55.

Эффективность виброизоляции установок с импульсивными нагрузками тем выше, чем больше период собственных колебаний виброизолированной установки и чем меньше продолжительность действия импульса в сравнении с основным периодом собственных колебаний перекрытия. Эффективность виброизоляции можно оценивать:

а) с точки зрения влияния колебаний на людей и прецизионное оборудование - отношением ускорений или скоростей перекрытия, возникающих под действием невиброизолированной и виброизолированной установки с импульсивной нагрузкой, вычисляемым по формуле

б) с точки зрения прочности перекрытия - отношением амплитуд колебаний перекрытия, возникающих под действием невиброизолированной и виброизолированной установки с импульсивной нагрузкой, вычисляемым по приближенной формуле

Из этих формул видно, что виброизоляция установок с импульсивными нагрузками особенно эффективна в тех случаях, когда требуется резко уменьшить скорость или ускорение колебаний перекрытия с целью исключения их вредного влияния на людей и на работу точного оборудования. В тех же случаях когда требуется снизить переменные напряжения, виброизоляция оказывается эффективной только для импульсивных нагрузок малой продолжительности действия, для которых коэффициент  не мал в сравнении с единицей (п. 2.6).

Приложение 1

А. КОНСТРУКЦИИ, КОТОРЫЕ МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Конструкции, рассматриваемые как системы с одной степенью свободы

Как системы с одной степенью свободы могут рассматриваться конструкции, имеющие только одну низкую частоту собственных колебаний в данном направлении (следующие частоты конструкции в десятки раз выше первой частоты). Таковы легкие конструкции, несущие тяжелый сосредоточенный груз, по сравнению с которым собственный вес конструкции пренебрежимо мал. В таких конструкциях низкая частота обусловлена влиянием массы тяжелого груза, а высокие частоты - влиянием собственной массы конструкции.

Примерами подобных конструкций являются установки на виброизоляторах, весьма податливых в сравнении с перекрытием (рис. 3, а и б), балки, плиты и рамы с присоединенным сосредоточенным грузом, превышающим во много раз их собственный вес (рис. 3, в, г, д, е и ж), массивные фундаменты на грунте и т.п., если рассматривать соответственно только поступательные или только вращательные колебания груза (поступательные - на рис. 3, а, в, д, ж, и, вращательные - на рис. 3, б и г).

Рис. 3. Различные схемы систем с одной степенью свободы - а, б, в, г, д, е, ж, и

Круговая частота собственных поступательных колебаний (рад/сек) определяется по формуле

где k_i - обобщенная жесткость конструкции в кг/м, определяемая как сила, которую надо приложить в центре масс груза, чтобы получить единичное перемещение в направлении колебаний;

δ₁₁ - перемещение груза от единичной силы, приложенной в центре масс груза в направлении колебаний, в м/кг;

m₁ - масса груза в кг∙сек²/м.

Иногда удобнее формула

где z_ст -прогиб в см от силы, равной m₁g, приложенной в центре массы и действующей в направлении колебаний.

Круговая частота собственных вращательных колебаний определяется по формуле

где k_θ - обобщенная жесткость конструкции на поворот относительно центра вращения (кг∙м), определяемая как момент, вызывающий единичный угол поворота в направлении колебаний;

d_θ - угол поворота груза от приложенного к нему единичного момента в направлении колебаний (рад/кгм);

Θ - момент инерции массы относительно оси, проходящей через центр вращения перпендикулярно к плоскости колебаний (кг×м×сек²).

Конструкции, рассматриваемые как системы с двумя степенями свободы

Как системы с двумя степенями свободы можно рассматривать конструкции, имеющие только две низкие частоты собственных колебаний (следующие частоты в десятки раз выше второй частоты).

Таковы легкие балки и плиты с двумя присоединенными сосредоточенными массами, имеющими пренебрежимо малые моменты инерции относительно осей, проходящих через центры масс перпендикулярно плоскости колебаний (рис. 4, а, б, в). Такова же виброизолированная установка на рис. 4, г, жесткость пружин которой сравнима с жесткостью поддерживающей их балки, а центр масс и центр жесткости лежат на одной вертикали, если рассматривать только поступательные колебания установки.

Рис. 4. Различные схемы систем с двумя степенями свободы - а, б, в, г

Круговые частоты собственных колебаний p₁ и р₂ для таких конструкций определяются по формулам:

где ζ₁ и ζ₂ - корни частотного уравнения;

причем ζ₁ > ζ₂.

Здесь обозначено:

m₁ и m₂ - массы грузов в кг×сек²/м;

δ₁₁ - перемещение 1-й массы от действия единичной силы на 1-ю массу в м/кг;

δ₂₂ - перемещение 2-й массы от действия единичной силы на 2-ю массу в м/кг;

δ₁₂ = δ₂₁ - перемещение 1-й (или 2-й) массы от действия единичной силы на 2-ю (или 1-ю) массу в м/кг.

Раскрытие определителя (20) приводит к квадратному уравнению

где обозначено

Корни уравнения (21)

Конструкции, рассматриваемые как системы с тремя степенями свободы

Как системы с тремя степенями свободы можно рассматривать конструкции, имеющие только три низкие частоты собственных колебаний (следующие частоты в десятки раз выше третьей частоты). Примеры таких конструкций легко составить, добавляя к конструкциям с двумя степенями свободы (рис. 4) еще одну степень свободы (одну массу или одно направление колебаний).

Круговые частоты собственных колебаний р₁, р₂, р₃ для таких конструкций определяются формулами:

где ζ₁ > ζ₂ > ζ₃ - корни частотного уравнения

Здесь δ_kr - перемещение k-й массы в направлении ее колебаний от действия единичной силы на r-ю массу в направлении ее колебаний в м/кг; при этом δ_kr = δ_rk при k ¹ r;

m_k - масса с номером k в кг∙сек²/м.

Раскрытие определителя (25) дает кубическое уравнение

где

Вычислив значения Α₁, А₂ и A₃, можно определить наибольший корень ζ₁ уравнения (26) методом последовательных попыток, задаваясь вначале приближенным значением

Определив корень ζ₁ с достаточно высокой точностью, следует разделить левую часть уравнения (26) на ζ - ζ₁ и из полученного в результате деления квадратного уравнения определить корни ζ₂ и ζ₃.

Конструкции, рассматриваемые как системы с n степенями свободы

Здесь имеются в виду конструкции, у которых наблюдается n низких частот собственных колебаний, а следующие частоты в десятки раз выше n-й частоты.

Круговые частоты р_i собственных колебаний подобных конструкций определяются по формулам:

где ζ_i - корни частотного уравнения

Здесь δ_kr определено выше.

Раскрытие определителя (29) приводит к уравнению n-й степени относительно ζ:

коэффициенты которого представляются выражениями:

Возрастающей последовательности частот (28) соответствует убывающая последовательность корней

Определение корней уравнения (30) после вычисления коэффициентов (31) можно производить методом последовательных попыток. При этом в качестве первых приближений можно задаваться следующими значениями крайних корней ζ₁ и ζ_n:

Б. КОНСТРУКЦИИ, КОТОРЫЕ СЛЕДУЕТ РАССМАТРИВАТЬ КАК СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Здесь имеются в виду конструкции с распределенными массами (с распределенными собственным весом и весом полезных нагрузок), а также конструкции, несущие присоединенные сосредоточенные массы, по сравнению с которыми распределенной массой пренебрегать нельзя. К подобным конструкциям относятся, как правило, элементы перекрытий и перегородок (балки, плиты, рамы).

Ниже даются формулы и таблицы для определения спектра круговых частот р_i (рад/сек) собственных поперечных колебаний конструкций, представляющих различные элементы перекрытий в соответствии с ориентировочными расчетными схемами (табл. 10).

1. Однопролетные балки

Балки с равномерно распределенной массой

Круговые частоты собственных поперечных колебаний определяются по формуле

Здесь i = 1, 2, 3... - номер частоты, соответствующий номеру тона собственных колебаний;

l - пролет балки в м;

D = EI - жесткость балки в кг∙м²;

Ε - модуль нормальной упругости в кг/м²;

I - момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси, постоянный по ее длине в м⁴;

 - погонная масса балки в кг∙сек²/м²;

q₀ - погонная нагрузка (собственная и полезная) в кг/м;

g = 9,8 м/сек² - ускорение силы тяжести;

λ_i - коэффициент i-й частоты собственных колебаний, квадраты которого даны в табл. 11 в зависимости от i и вида закрепления концов балки.

Таблица 11

Квадраты коэффициентов частоты () для однопролетных балок

Балки с равномерно распределенной и сосредоточенными массами (рис. 5)

Рис. 5. Схема однопролетной балки
с равномерно распределенной и сосредоточенными массами

Круговые частоты собственных колебаний определяются по формуле

где μ_i - приведенная погонная масса в кг∙сек²/м², соответствующая i-му тону колебаний, вычисляемая по приближенной формуле

Здесь k - номер сосредоточенной массы на балке;

n - количество сосредоточенных масс на балке;

m - сосредоточенная масса номера k в кг∙сек²/м;

 - относительная абсцисса массы m_k на балке;

x_k - абсцисса массы m_k в м;

 - коэффициент приведения массы к равномерно распределенной;

X_i(α_k) - значение нормированной балочной функции в точке x_k, определяемое из табл. 20 - 25 прил. 5 в зависимости от вида закрепления концов балки, номера тона колебаний и значения α = α_k.

Обозначения остальных величин см. выше.

Погрешность формулы (34) тем меньше, чем симметричнее расположены на балке сосредоточенные массы, чем меньше их величины и чем меньше они различаются между собой.

Для более точного определения приведенных погонных масс составляются уравнения вида

где a_i, a_j - параметры, подлежащие исключению;

i = 1, 2, ..., s;

s - количество определяемых частот колебаний;

n - количество сосредоточенных масс на балке;

ζ - неизвестное, подлежащее определению.

Число уравнений (35) равно s. После исключения параметров a получается уравнение s-й степени относительно ζ. С помощью корней этого уравнения, расположенных в порядке убывания,

ζ₁ > ζ₂ > ζ₃ > ... > ζ_s,

определяются приведенные массы μ_i по формуле

2. Неразрезные балки

Равнопролетные балки с постоянными по длине жесткостью и массой

Круговые частоты собственных колебаний определяются по формуле (32), в которой D и μ₀ сохраняют прежнее значение, l - расстояние между соседними опорами в м; λ_i - коэффициент частоты i-го тона колебаний, квадраты которого даны в табл. 12.

Равнопролетные балки постоянной жесткости при наличии сосредоточенных масс (рис. 6)

Круговые частоты p_i определяются по формуле (33), в которой D, l и  имеют значения, определенные в п. Б.1 настоящего приложения, а приведенная погонная масса μ_i определяется по приближенной формуле

Здесь: μ₀ - постоянная погонная масса в кг∙сек²/м²;

k - номер сосредоточенной массы, отсчитываемый от левого конца балки;

n - число всех сосредоточенных масс на балке;

 - относительная абсцисса массы m_k, отсчитываемая от левого конца пролета, в котором она расположена;

x_k - абсцисса массы m_k, отсчитываемая от левого конца пролета, в котором она расположена;

l - пролет между соседними опорами;

X_i(α_k) - значение нормированной балочной функции в точке x_k, определяемое для балки с опертыми крайними концами из табл. 26 - 39 прил. 5 в зависимости от числа пролетов балки N, номера пролета r, в котором расположена данная сосредоточенная масса, и от номера тона колебаний i.

Погрешность формулы (37) тем меньше, чем симметричнее расположены массы на балке, чем меньше их величина и меньше они различаются между собой.

Рис. 6. Схема неразрезной равнопролетной балки
с равномерно распределенной и сосредоточенными массами

Неразрезные балки в общем случае

Для неразрезных балок с различными длинами пролетов или с различными жесткостями в разных пролетах не существует удобных приближенных формул для определения спектра круговых частот p_i. В таком случае следует применять общие методы динамики стержневых систем.

Таблица 12

Квадраты коэффициентов частоты () для неразрезных равнопролетных балок (для N-пролетной балки дается 3N + 1 значений )

Однако при определении перемещений неразрезных балок, вызванных импульсивной нагрузкой, нередко можно ограничиться в качестве первого приближения учетом только одного первого (основного) тона колебаний. В этом случае, если длины, жесткости и массы пролетов не очень сильно отличаются между собой, первую круговую частоту собственных колебаний неразрезной балки можно оценивать следующим приближенным способом.

Неразрезная балка (рис. 7, а) мысленно разрезается над всеми промежуточными опорами и в местах разрезов ставятся подвижные или неподвижные шарнирные опоры (рис. 7, б). Тогда каждый пролет будет находиться в условиях однопролетной балки, причем внутренние пролеты будут представлять свободно опертые балки, а крайние пролеты - балки, одним концом свободно опертые, а другим концом закрепленные так же, как и соответственные крайние концы неразрезной балки.

Рис. 7. Расчетная схема для приближенной
оценки основной частоты собственных колебаний
неразрезных балок

а - неразрезная балка; б - расчлененная балка

Если первые круговые частоты этих однопролетных балок обозначить через

p₁₁, p₁₂, ..., p_1r, ..., p_1N,

где первый индекс указывает на 1-й тон колебаний, а второй - на номер пролета N-пролетной балки, то круговую частоту неразрезной балки можно оценить по приближенной формуле (38):

Частоты p_r1 вычисляются в соответствии с указаниями раздела Б, п. 1 настоящего приложения.

Формула (38) дает тем меньшую погрешность, чем меньше отличаются между собой частоты p_1r.

Если наименьшая и наибольшая из этих частот отличаются между собой более чем вдвое, формула (38) может быть использована лишь для ориентировочной оценки первой частоты.

3. Однопролетные прямоугольные плиты

Плиты с равномерно распределенной массой

Круговые частоты собственных колебаний определяются по формуле

Здесь  - цилиндрическая жесткость плиты в кг∙м;

Ε - модуль нормальной упругости в кг/м²;

h - толщина плиты в м;

ν₀ - коэффициент поперечной деформации;

μ₀ - интенсивность равномерно распределенной массы (собственной и присоединенной) на единицу площади в кг∙сек²/м³;

l и b - размеры плиты в направлениях осей х и у соответственно в м;

λ_i = λ_rj - коэффициент частоты i-го тона собственных колебаний плиты, зависящий от отношения η, четвертые степени которого даны в табл. 13 для 25 тонов колебаний плит с шестью различными видами закрепления концов;

r, j - индексы нормированных балочных функций Х_r(х) и Y_j(y), произведение которых Х_r(х) Y_j(y) определяет i-ю форму собственных колебаний плиты; при этом балочная функция Х_r(x) определяется для балки, имеющей тот же вид закрепления концов, как и стержень-полоска, вырезанная из плиты вдоль оси х; балочная функция Y_j(у) определяется для стержня-полоски, вырезанной из плиты вдоль оси у (рис. 8).

Рис. 8. Схема, показывающая характер соответствия
между плитой и воображаемыми балками

Не существует единого соответствия между номерами i тонов колебаний плиты и индексами r и j балочных функций, определяющих форму колебаний плиты, для которого во всех случаях получалась бы монотонно возрастающая последовательность частот р_i. Здесь принято наиболее естественное соответствие, отраженное в первых трех графах табл. 13, которое определяет в общем возрастающую (но не монотонно возрастающую) последовательность частот.

Таблица 13

Четвертые степени коэффициентов частоты () для прямоугольных плит

Продолжение табл. 13

Плиты с равномерно распределенной и сосредоточенными массами

Круговые частоты собственных колебаний определяются по формуле

где все величины, кроме μ_i, определены выше в п. 3; приведенная масса на единицу площади плиты μ_i вычисляется по приближенной формуле

Здесь  - относительные координаты центра массы (рис. 8);

k - номер сосредоточенной массы;

n - количество всех сосредоточенных масс;

X_r(α_k), Y_j(β_k) - нормированные балочные функции, отвечающие i-му тону колебаний плиты (см. выше), значения которых в точке приложения массы m_k с координатами x_k и y_k определяются из табл. 21, 22 и 24 прил. 5.

Формула (40) тем точнее, чем меньше сосредоточенные массы, чем меньше отличаются они друг от друга и чем симметричнее они расположены на плите.

Примечание. Для определения значения Y_j(β_k) из указанных таблиц в них следует заменить обозначения X на Υ, α на β и i на j.

Приложение 2

Приводимые ниже формулы соответствуют импульсу, направленному нормально к поверхности элемента перекрытия. В случае косого импульса в эти формулы должна быть подставлена нормальная составляющая импульса.

А. КОНСТРУКЦИИ, КОТОРЫЕ МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Конструкции, рассматриваемые как системы с одной степенью свободы

Примеры таких конструкций и обозначения величин см. в прил. 1, раздел А.

Наибольшее во времени перемещение z₀₁ центра массы, на которую действует сосредоточенный кратковременный импульс S⁽¹⁾ определяется по формуле

Значение коэффициента ε₁ принимается согласно п. 2.6. Для значений γ, принятых в табл. 2, множители  даны в табл. 14.

Таблица 14

Значения множителя

Наибольшие во времени значения изгибающего момента М₀₁ и поперечной силы Q₀₁ в конструкции определяются как от статического действия сосредоточенной силы приложенной к центру массы в направлении действия импульса.

Если импульс S⁽¹⁾ приложен не к центру массы, а к другой точке О конструкции (рис. 9, а), для определения перемещения центра массы следует принять эквивалентную расчетную схему (рис. 9, б), в которой к центру массы А приложен импульс S_A, равный

где δ_АO и δ_АA - перемещения в точке А от единичной силы, действующей соответственно в точках О и А.

Рис. 9. Схема замены импульса эквивалентным, приложенным в центре массы

а - схема приложения импульса; б - эквивалентная расчетная схема

Если к массе, способной совершать вращательные колебания (см. рис. 3, б и г) и имеющей момент инерции Θ₁относительно оси вращения, приложен момент импульса S⁽¹⁾h (кг∙м∙сек), то наибольшее во времени угловое перемещение массы равно:

а наибольшее линейное перемещение ее равно:

Наибольшие во времени перемещения и внутренние усилия в системе определяются как прогибы и усилия при статическом действии внешнего момента

приложенного к массе в плоскости и в направлении действия момента импульса.

Конструкции, рассматриваемые как системы с двумя степенями свободы

Примеры таких конструкций, а также обозначения величин см. в прил. 1, раздел А.

Иллюстрирующей расчетной схемой для таких конструкций на действие импульсов может служить легкая балка с двумя сосредоточенными массами, к которым приложены сосредоточенные импульсы (рис. 10), хотя приводимые ниже формулы сохраняют свою силу для любых конструкций (неразрезных балок, плит и т.д.), если последние можно трактовать как системы с двумя степенями свободы.

Рис. 10. Схема системы с двумя степенями свободы, на которую действуют два импульса

Кратковременные импульсы приложены к центрам масс, направлены вниз (положительны) и действуют одновременно. В случае если импульс S⁽²⁾ (или S⁽¹⁾) действует вверх, он должен приниматься со знаком минус. При отсутствии импульса S⁽²⁾ (или S⁽¹⁾) в формулах должно быть положено S⁽²⁾ = 0 (или S⁽¹⁾ = 0).

Наибольшие во времени перемещения точек 1 и 2 выражаются формулами:

где

Здесь i = 1, 2 - номер тона собственных колебаний системы;

p_i - круговая частота собственных колебаний, определяемая в прил. 1, раздел А;

γ - коэффициент внутреннего трения, принимаемый по табл. 2 для импульса, имеющего наибольшую категорию из двух импульсов S⁽¹⁾ и S⁽²⁾;

 - коэффициент, определяемый согласно п. 2.6 для импульса S^(k) и i-гo тона колебаний.

Через |αφ| обозначен модуль (абсолютное значение) величины αφ.

Знак перемещения в формуле (47) определяется как знак слагаемого, наибольшего по модулю из двух, заключенных в прямых скобках.

Наибольшие во времени изгибающие моменты и поперечные силы определяются как их статические значения при действии в точках 1 и 2 сил:

При этом перемещения z₀₁ и z₀₂ берутся со своими знаками, определенными выше.

Конструкции, рассматриваемые как системы с тремя степенями свободы

Иллюстрирующей расчетной схемой для таких конструкций на действие импульсов может служить легкая балка с тремя сосредоточенными массами и приложенными к ним импульсами (рис. 11). Однако приводимые ниже формулы справедливы для любых других конструкций, которые можно рассматривать как системы с тремя степенями свободы.

Рис. 11. Схема системы с тремя степенями
свободы, на которую действуют три импульса

Обозначения входящих в формулы величин см. в прил. 1, раздел А.

Приложенные к массам кратковременные импульсы S⁽¹⁾, S⁽²⁾, S⁽³⁾ действуют одновременно и считаются положительными. Если импульс S^(k) отрицателен (действует вверх), то в формулах следует заменить S^(k) на -S^(k). Если на массу номер «k» импульс не действует, в формулах надо положить S^(k) = 0.

Наибольшие во времени перемещения точек 1, 2 и 3 системы определяются по формулам:

где a_i и  представляются выражениями:

Здесь i = 1, 2, 3 - номер тона собственных колебаний системы;

р_i - круговые частоты собственных колебаний, определяемые в прил. 1, раздел А;

γ - коэффициент внутреннего трения, принимаемый по табл. 2 для наибольшей категории действующих импульсов;

 - коэффициент, принимаемый согласно п. 2.6 для импульса S^(k) и для i-гo тона колебаний.

Через |αφ| обозначен модуль величины αφ.

Остальные обозначения см. в прил. 1, раздел А.

За знак перемещения z_0k в (53) принимается знак слагаемого, наибольшего по модулю из трех слагаемых, заключенных в прямые скобки.

Наибольшие во времени изгибающие моменты и поперечные силы определяются как их статические значения при действии сил Р₁, Р₂, Р₃, приложенных в точках 1, 2 и 3 и имеющих величины:

где z₀₁, z₀₂ и z₀₃ - принимаются со своими знаками, определенными выше.

Здесь c_kr - коэффициенты влияния, определяемые выражениями:

где

Конструкции, рассматриваемые как системы с n степенями свободы

Импульсы S⁽¹⁾, S⁽²⁾ , ..., S⁽ⁿ⁾ приложены к центрам масс m₁, m₂, ..., m_n и действуют одновременно.

Наибольшие во времени перемещения точек 1, 2, ..., n выражаются формулами (60), в которых через |αφ| обозначен модуль величины αφ. Знак перемещения z_0k точки k совпадает со знаком слагаемого, наибольшего по модулю из n слагаемых, заключенных в прямых скобках.

Параметры  определяются из уравнений:

где p_i - круговые частоты собственных колебаний, определяемые в прил. 1, раздел А.

i = 1, 2, ..., n - номера тонов колебаний системы; постоянные a_i представляются выражением:

Значения коэффициентов  принимаются в соответствии с п. 2.6 для импульса S^(k) и для i-го тона колебаний. Значение γ принимается из табл. 2 для наибольшей категории действующих импульсов.

Величины m_k и δ_kr определены в прил. 1, раздел А.

Наибольшие во времени внутренние усилия в системе определяются как соответствующие внутренние усилия в той же системе, находящейся под действием внешних сил P₁, Р₂, ..., Р_n, приложенных статически в точках 1, 2, ..., n системы и определяемых из уравнений:

Здесь z₀₁, z₀₂, ..., z_0n - прогибы, вычисляемые по формулам (60), знаки которых определены выше.

Б. КОНСТРУКЦИИ, КОТОРЫЕ СЛЕДУЕТ РАССМАТРИВАТЬ КАК СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

1. Однопролетные балки

Балки с равномерно распределенной массой

Наибольшие во времени значения перемещения (z₀), изгибающего момента (М₀) и поперечной силы (Q₀) в сечении с относительной абсциссой  при действии кратковременного импульса S (сосредоточенного или распределенного) определяются по формулам:

Здесь S - импульс (кг∙сек), равный в случае сосредоточенного импульса его величине, а в случае распределенного импульса постоянной интенсивности s₀ кг∙сек/м - произведению s₀l;

x - абсцисса точки оси балки в м;

l - пролет балки в м;

EI - жесткость поперечного сечения балки в кг∙м²;

m₀ = μ₀l - масса балки в кг∙сек²/м;

μ₀ - интенсивность равномерено распределенной массы в кг∙сек²/м²;

p₁ - первая (основная) круговая частота собственных колебаний балки в рад/сек, определяемая в прил. 1.

Безразмерные коэффициенты Φ_z, Φ_М, Φ_Q представляют собой функции относительной абсциссы α и выражаются следующими рядами:

где прямые скобки означают, что берется модуль заключенной в них величины.

Знаки величин Φ_z, Φ_М, Φ_Q принимаются совпадающими со знаками наибольших по модулю членов соответствующих рядов, если в них отбросить прямые скобки.

В формулах (65) введены следующие обозначения:

i - порядковый номер последовательных тонов собственных колебаний балки, совпадающий с номером члена ряда;

 - соответственно нормированная балочная функция и ее вторая и третья производные по α (величины безразмерные); для значений i = 1, 2, 3, 4, 5 функции  представлены табл. 20 - 25 (прил. 5);

a_i - безразмерный коэффициент, определяемый по формуле

где γ - коэффициент внутреннего трения, принимаемый по табл. 2;

p_i - круговая частота i-гo тона собственных колебаний, определяемая в прил. 1, раздел Б, п. 1;

ε_i - коэффициент, определяемый согласно п. 2.6.

Безразмерный коэффициент b_i определяется для сосредоточенного импульса, приложенного в точке с относительной координатой , по формуле

а для импульса, равномерно распределенного в пролете, по формуле

Значения b_i по формуле (67) берутся из табл. 20 - 25 прил. 5 в зависимости от значения α = α₀, а значения b_i по формуле (67') берутся из табл. 15.

Таблица 15

Значения коэффициента b_i для однопролетных балок при действии равномерно распределенного импульса

При одновременном действии па балку нескольких сосредоточенных импульсов S⁽¹⁾, S⁽²⁾, ..., S⁽ⁿ⁾ и распределенного импульса S⁽ⁿ⁺¹⁾ = s₀l, имеющих различные продолжительности, коэффициенты a_i вычисляются по формуле

Здесь  - определены выше, но соответствуют импульсу S^(k);

S - любой из импульсов S^(k), введенный в формулу для сохранения безразмерности коэффициента a_i и сокращающийся с тем же импульсом S, входящим в формулу (64);

γ - определяется из табл. 2 для наибольшей из категорий действующих импульсов.

Ряды (65) в общем случае сходятся неравномерно (т.е. некоторый последующий член ряда может превысить предшествующий), но тем быстрее, чем больше коэффициент внутреннего трения γ и продолжительность импульса τ. При прочих равных условиях ряд для Φ_z сходится быстро, ряд для Φ_M - значительно медленнее, а ряд для Φ_Q - еще медленнее.

Вычисление сумм рядов (65) производится последовательно, начиная с первого члена. Для получения суммы ряда с приемлемой для практики точностью достаточно удержать число членов ряда, равное числу частот p_i, указанному в п. 3.6. Для приближенного определения перемещения z₀ можно ограничиться обычно одним первым членом ряда для Φ_z.

Для случая действия на железобетонные балки мгновенного импульса (т.е. когда все ε_i = 1) значения функций Φ_z и Φ_M представлены в прил. 6 таблицами 40 - 43 (для сосредоточенного импульса) и табл. 44 (для равномерно распределенного импульса). О возможности использования этих таблиц при действии кратковременных (не мгновенных) импульсов сказано в прим. 2 к п. 4.8 инструкции.

Балки с равномерно распределенной и сосредоточенными массами

Наибольшие во времени значения z₀, М₀ и Q₀ в сечении балки с относительной абсциссой  определяются по формулам:

Здесь m₁ = μ₁l кг∙сек²/м - приведенная масса, соответствующая первому тону колебаний балки, определяемая согласно прил. 1, раздел Б, п. 1;

p_i - круговые частоты (p₁ - первая круговая частота) собственных колебаний по i-му тону, определяемые с учетом сосредоточенных масс там же.

Все остальные величины определены в предыдущем пункте.

2. Неразрезные балки

Равнопролетные балки с постоянными по длине жесткостью и массой

Наибольшие во времени величины  в пролете номер r балки определяются по формулам:

Здесь  - относительная абсцисса точек оси данного пролета балки с началом в левом конце этого пролета;

x - абсцисса точек оси того же пролета в м;

l - длина одного пролета балки в м;

r = 1, 2, ..., N - номер пролета балки;

N - число пролетов балки;

m₀ = μl - масса одного пролета балки в кг∙сек²/м;

μ - погонная масса балки в кг∙сек²/м²;

ЕI - жесткость поперечного сечения балки в кг∙м²;

p₁ - первая круговая частота собственных колебаний балки в рад/сек, определяемая в прил. 1, раздел Б, п. 2;

S - импульс (сосредоточенный или распределенный), приложенный в каком-либо одном пролете балки, в кг∙сек.

Функции Φ^(r)(α) выражаются модульными рядами:

Знаки величин  принимаются совпадающими со знаками наибольших по модулю членов соответствующих рядов, получаемых отбрасыванием прямых скобок.

Здесь i - номер члена ряда, совпадающий с номерами последовательных тонов собственных колебаний балки;

а_i - безразмерный коэффициент, одинаковый для всех пролетов балки, определяемый по формуле

где p_i - круговые частоты собственных колебаний в рад/сек, определяемые согласно прил. 1 раздел Б, п. 2;

γ - коэффициент внутреннего трения (табл. 2);

ε_i - коэффициент, принимаемый согласно п. 2.6 инструкции.

Для сосредоточенного в пролете номер j импульса

где α₀ - относительная абсцисса точки приложения импульса в пролете номер j; значения  берутся из табл. 26 - 39 прил. 5.

Для равномерно распределенного в пролете номер j импульса

значения коэффициента b_i (74) даны в табл. 16. В формулах (71),  соответственно нормированная балочная функция для i-гo тона колебаний в пролете номер r балки и ее вторая и третья производные по α. Значения  представлены табл. 26 - 39 в прил. 5.

Таблица 16

Значения коэффициента b_i для неразрезных равнопролетных балок при действии равномерно распределенного импульса в одном из пролетов

При одновременном действии на балку нескольких сосредоточенных импульсов и равномерно распределенного импульса с различными продолжительностями коэффициент a_i вычисляется по формуле (68).

Сказанное выше о сходимости рядов (65) справедливо и для рядов (71), однако ряды (71) сходятся медленнее рядов (65). Для получения суммы рядов (71) с приемлемой для практики точностью достаточно удержать число членов, равное указанному в п. 3.6 числу частот р_i.

Для случая действия на неразрезные железобетонные балки мгновенного импульса (т.е. когда все ε_i = 1) значения функций  представлены в прил. 6 табл. 45 - 52 (для сосредоточенного импульса) и табл. 53 (для равномерно распределенного импульса).

О возможности использования этих таблиц при действии кратковременных (не мгновенных) импульсов сказано в прим. 2 к п. 4.8 инструкции.

Равнопролетные балки с постоянной жесткостью при наличии сосредоточенных масс

Для приближенного определения величин  можно пользоваться формулами (70), если в них вместо m₀ подставить приведенную массу одного пролета балки

где μ₁ определяется в прил. 1, раздел Б, п. 2, а входящие в формулы (70) и (72) круговые частоты ρ вычислять с учетом сосредоточенных масс согласно прил. 1, раздел Б, п. 2.

Погрешность определения перемещений и усилий указанным приближенным способом тем меньше, чем симметричнее расположены сосредоточенные массы в каждом пролете, чем меньше различие в расположениях масс в разных пролетах и чем меньше величины сосредоточенных масс.

Неразрезные балки в общем случае

Предполагается, что поперечные сечения балки в разных пролетах различны, но постоянны в пределах одного пролета.

Для грубой оценки величин  в пролете номер r балки можно применять формулы:

где I_r, l_r и m_r - соответственно момент инерции балки в пролете номер r, длина и масса этого пролета;

p₁ - круговая частота первого тона, определяемая по формуле (38), прил. 1;

 - функции, определяемые по формулам (71), причем частоты, входящие в эти формулы, определяются общими методами динамики стержневых систем.

При этом для опорных изгибающих моментов можно принимать среднее из двух значений, полученных при движении к опоре слева и справа.

Формулы (76) дают тем лучшую оценку, чем меньше отличается балка от равнопролетной с постоянными жесткостью и массой. Для уточнения значений  следует применять общие методы динамики стержневых систем.

3. Однопролетные прямоугольные плиты

Плиты с равномерно распределенной массой

Наибольшие во времени перемещения z₀, изгибающие моменты  и поперечные силы  в точках срединной плоскости плиты с относительными координатами  определяются по формулам:

Здесь x, у - координаты точек срединной плоскости плиты с началом отсчета в левом нижнем углу;

l, b - размеры плиты в плане в м; ;

 - изгибающие моменты, действующие соответственно в плоскостях, параллельных xz и уz, в кг∙м/м;

 - поперечные силы, лежащие соответственно в плоскостях, параллельных xz и уz, в кг/м;

S - импульс в кг∙сек, сосредоточенный или равномерно распределенный по площади плиты; в последнем случае он равен S = s₀lb, где s₀ в кг∙сек/м² - постоянная интенсивность распределенного импульса на единицу площади;

 - цилиндрическая жесткость плиты в кг×м, определенная в прил. 1, раздел Б, п. 3;

m₀ = μ₀lb - масса плиты в кг∙сек²/м;

μ₀ - интенсивность равномерно распределенной массы на единицу площади в кг∙сек²/м³;

p₁ - круговая частота собственных колебаний плиты по первому тону, определяемая в прил. 1, раздел Б, п. 3.

Функции Φ (α, β) выражаются рядами:

причем прямые скобки указывают на то, что складываются модули членов ряда.

За знак величины Φ(α, β) принимается знак наибольшего по модулю члена соответствующего ряда, получаемого отбрасыванием прямых скобок.

Здесь a_i - безразмерный коэффициент, вычисляемый по формуле

где γ - коэффициент внутреннего трения, принимаемый по табл. 2;

р_i - круговая частота собственных колебаний плиты по i-му тону, определяемая согласно прил. 1, раздел Б, п. 3;

ε_i - коэффициент, принимаемый согласно п. 2.6 инструкции;

b_i - коэффициент, определяемый для сосредоточенного импульса по формуле

в которой α₀ и β₀ - относительные координаты точки приложения импульса,

а для импульса, равномерно распределенного на площади плиты, по формуле

В формулах (80) и (81) функции X_r(α) и Y_j(β) являются балочными функциями от аргументов α и β, соответствующими условиям на концах стержня-полоски, вырезанной из плиты соответственно вдоль осей x и у (см. прил. 1, раздел Б, п. 3).

Соответствие между номером i и индексами r и j дается в первых трех графах табл. 13. Значения функций Х_r(α₀) и Y_j(β₀) берутся из табл. 21, 22 и 24, как показано в прил. 1, раздел Б, п. 3.

Значения коэффициентов (81) даны в табл. 17. Функции  представляются выражениями:

Здесь одним, двумя и тремя штрихами обозначены соответственно первая, вторая и третья производные балочной функции по соответствующему аргументу, значения которых берутся из табл. 21, 22 и 24 прил. 5.

При одновременном действии на плиту нескольких сосредоточенных импульсов, а также равномерно распределенного импульса, имеющих различные продолжительности, коэффициент a_i определяется по формуле (68).

Сказанное выше относительно сходимости рядов (65) относится и к рядам (78), однако ряды (78) для Φ_М и Φ_Q сходятся значительно медленнее рядов (65).

Для определения перемещения z₀ в первом приближении можно ограничиться одним первым членом ряда (78) для Φ_z. Для получения суммы рядов (78) с приемлемой для практики точностью достаточно удержать в этих рядах число членов, равное указанному в п. 3.6 инструкции числу частот p_i.

Для случая действия на железобетонные прямоугольные плиты с тремя основными видами закрепления краев мгновенного импульса (когда все ε_i = 1) значения функций Φ_z и  представлены в прил. 6 таблицами 54 - 56 (для сосредоточенного импульса) и таблицами 57 - 59 (для равномерно распределенного импульса).

О возможности использования этих таблиц при действии кратковременных (не мгновенных) импульсов сказано в прим. 2 к п. 4.8 инструкции.

Плиты с равномерно распределенной и сосредоточенными массами

Величины  можно приближенно оценивать по формулам предыдущего параграфа, если в выражения (77) подставить вместо m₀ массу m = μ₁lb, где μ₁ определяется в прил. 1 по формуле (40), а входящие в выражение (79) круговые частоты собственных колебаний p_i вычислять с учетом сосредоточенных масс согласно прил. 1, раздел Б, п. 3.

Таблица 17

Значения коэффициента b_i для прямоугольных плит при действии равномерно распределенного импульса

Приложение 3

Приводимые ниже формулы соответствуют прямому удару тела по элементу перекрытия, когда скорость в начале удара нормальна к поверхности элемента перекрытия. В случае косого удара в эти формулы должна быть подставлена нормальная составляющая ударного импульса, при этом влиянием касательной составляющей удара пренебрегается.

А. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

При прямом однократном ударе одного тела по конструкции наибольшее во времени переменное перемещение , по которому проверяется выполнение условия (9), а также наибольшие во времени переменные изгибающий момент  и поперечная сила  в данном сечении конструкции, по которым проверяется выполнение условий (7) и (8), можно определять по следующим приближенным формулам:

Здесь z_ст, M_ст, Q_ст - соответственно перемещение, изгибающий момент и поперечная сила в данном сечении конструкции при статическом действии силы mg, приложенной к конструкции в точке удара по направлению удара, в м;

m - масса ударяющего тела в кг∙сек²/м;

g = 9,8 м/сек² - ускорение силы тяжести;

φ₀ - угол между направлением прямого удара и вертикалью;

γ - коэффициент внутреннего трения, принимаемый по табл. 2;

 - коэффициент, учитывающий, влияние затухания на действие силы mg; для значений γ в табл. 2 его можно с достаточной точностью вычислять по формуле

Величины z₀, M₀ и Q₀ вычисляются по формулам прил. 2, при этом кратковременный импульс S, входящий в эти формулы, равен теперь ударному импульсу, определяемому согласно п. 2.7 инструкции, а круговые частоты собственных колебаний, входящие в те же формулы, определяются теперь с учетом присоединенной массы m ударяющего тела по формулам прил. 1.

При одновременном ударе двух или более тел величины  вычисляются также по формулам (83), но с тем различием, что теперь величины z_ст, M_ст и Q_ст получаются суммированием их частных значений, отвечающих весам отдельных ударяющих тел, величины z₀, M₀ и Q₀ вычисляются в прил. 2 с применением формулы (68), а круговые частоты собственных колебаний определяются по формулам прил. 1, но с учетом присоединенных масс ударяющих тел.

При вертикальном ударе по горизонтальному элементу перекрытия (φ₀ = 0) формулы (83) принимают вид:

При горизонтальном ударе по вертикальному элементу конструкции (по стене, перегородке и т.д.) формулы (83) принимают вид

Ниже рассматриваются частные случаи удара, классифицированные в зависимости от отношения массы m ударяющего тела к полной массе m₀ конструкции, для которых величины  можно оценивать по более удобным, но более приближенным формулам.

Б. МАССА УДАРЯЮЩЕГО ТЕЛА m ВЕЛИКА В СРАВНЕНИИ С МАССОЙ КОНСТРУКЦИИ, ВОСПРИНИМАЮЩЕЙ УДАР

Этот случай определяется условием

m > 10m₀,

где m₀ - масса конструкции, воспринимающей удар, которой можно пренебречь.

Формулы (83) в этом случае принимают более простой вид (обозначения см. выше, раздел А)

Здесь ω - динамический коэффициент для внутренних усилий, определяемый по формуле

в которой ξ - коэффициент удара, определяемый выражением

В формуле (88)

ε₁ - коэффициент, зависящий от продолжительности и формы ударного импульса, принимаемый согласно п. 2.6 инструкции;

S - ударный импульс в кг∙сек, определяемый согласно п. 2.7;

p₁ - круговая частота собственных колебаний конструкции с присоединенной массой ударяющего тела в рад/сек, определяемая по формуле

k_i - обобщенная жесткость конструкции в точке удара в кг/м;

δ₁₁ - перемещение элемента конструкции в точке удара от действия единичной силы в той же точке по направлению удара в м/кг;

g = 9,8 м/сек² - ускорение силы тяжести.

При вертикальном ударе (φ₀ = 0) формулы (86) и (87) принимают вид:

При горизонтальном ударе  формулы (86) и (87) переходят в следующие:

В. МАССА УДАРЯЮЩЕГО ТЕЛА m БОЛЬШЕ МАССЫ КОНСТРУКЦИИ m0, НО СРАВНИМА С НЕЙ

Этот случай определяется условием 10m₀ ³ m ³ m₀.

Величины перемещений и внутренних усилий в конструкции в этом случае можно приближенно оценивать по формулам (86), принимая для ω выражение (87). Что касается коэффициента удара ξ, то он определяется по приближенным формулам, приводимым ниже, в зависимости от расчетной схемы конструкции.

1. Конструкции, которые можно рассматривать как системы с одной степенью свободы

Если удар приложен к центру сосредоточенной массы m₀ системы, коэффициент ξ определяется выражением (88), в котором частота p₁ определяется теперь по формуле

Если удар приложен к точке конструкции, не совпадающей с центром ее массы m₀, коэффициент ξ определяется как для системы с двумя степенями свободы по формулам следующего параграфа.

2. Конструкции, которые можно рассматривать как системы с несколькими степенями свободы

Точка приложения удара может и не совпадать с центром какой-либо из сосредоточенных масс, присоединенных к конструкции.

Обозначения:

k - номер сосредоточенной массы на конструкции;

n - число сосредоточенных масс на конструкции;

m_k - сосредоточенная масса номер k в кг∙сек²/м;

 - полная масса конструкции в кг∙сек²/м;

0 - точка удара;

δ_k0 - поперечное перемещение центра массы m_k - под действием единичной силы, приложенной в точке удара по направлению удара, в м/кг;

δ₀₀ - перемещение точки удара от той же единичной силы в м/кг.

Остальные обозначения см. выше.

Коэффициент ξ определяется по формуле

где p₁ - основная круговая частота собственных колебаний конструкции, определяемая с учетом массы ударяющего тела выражением

где χ₁ и χ₂ - коэффициенты приведения масс в точку удара соответственно по кинетической энергии и по количеству движения, определяемые по формулам:

где |δ_k0| и |δ₀₀| - абсолютные значения перемещений.

3. Однопролетные балки

Балки с равномерно распределенной массой

Коэффициент ξ определяется по формуле (93), в которой теперь m₀ - масса балки, p₁ - основная круговая частота собственных колебаний балки, вычисляемая по формуле (94), a χ₁ и χ₂ равны соответственно определенным интегралам:

Здесь δ_α0 - перемещение любой точки оси балки с относительной абсциссой  от единичной силы, приложенной в точке удара 0 в направлении удара, в м;

δ₀₀ - перемещение точки удара от той же единичной силы в м;

x - абсцисса точек оси балки в м;

l - пролет балки в м.

Значения интегралов i₁ и i₂ в зависимости от точки приложения удара и видов закрепления концов балки даны в табл. 18.

Балки с равномерно распределенной и сосредоточенными массами

Коэффициент ξ и частота р₁ определяются по формулам (93) и (94), в которых теперь m₀ - полная масса балки, включая и сосредоточенные массы, а коэффициенты χ₁ и χ₂ представляются выражениями:

Здесь m_б - равномерно распределенная масса балки в кг∙сек²/м.

δ_k0 - перемещение центра массы m_k от единичной силы, приложенной в точке удара.

Обозначения остальных величин см. п. 2 и 3 настоящего раздела.

Значения i₁ и i₂ даны в табл. 18.