МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ

(МГС)

INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION

(ISC)

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ

СТАНДАРТ

Статистические методы СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций

ISO 11453:1996 Statistical interpretation of data —

Tests and confidence intervals relating to proportions (IDT)

Издание официальное

Москва

Стандартинформ

2006

Предисловие

Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены ГОСТ 1.0-92 «Межгосударственная система стандартизации. Основные положения» и ГОСТ 1.2-97 «Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила, рекомендации по межгосударственной стандартизации. Порядок разработки, принятия, применения, обновления и отмены»

Сведения о стандарте

1    РАЗРАБОТАН Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем»(ОАО НИЦКД), Межгосударственным техническим комитетом по стандартизации МТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

2    ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии Российской Федерации

3    ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол № 28 от 9 декабря 2005 г.)

За принятие проголосовали:

Краткое наименование страны по МК (ИСО 3166) 004—97 Код страны по МК (ИСО 3166) 004—97 Сокращенное наименование национального органа по стандартизации Азербайджан AZ Азстандарт Армения AM Армстандарт Беларусь BY Госстандарт Республики Беларусь Казахстан КZ Госстандарт Республики Казахстан Кыргызстан KG Кыргызстандарт Молдова MD Молдова-Стандарт Российская Федерация RU Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии Таджикистан TJ Таджикстандарт Туркменистан TM Главгосслужба «Туркменстандартлары» Узбекистан UZ Узстандарт Украина UA Госпотребстандарт Украины

4    Настоящий стандарт идентичен международному стандарту ИСО 11453:1996 «Статистическое представление данных. Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций» (IS011453:1996 «Statistical interpretation of data — Tests and confidence intervals relating to proportions»).

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ 1.5.

Степень соответствия — идентичная (ЮТ).

Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 29 июня 2006 г. № 125-ст межгосударственный стандарт ГОСТ ИС011453—2005 введен в действие с 1сентября 2006 г.

5    ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация о введении в действие (прекращении действия) настоящего стандарта публикуется в указателе «Национальные стандарты».

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе (каталоге) «Национальные стандарты», а текст изменений — в информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе «Национальные стандарты»

© Стандартинформ, 2006

В Российской Федерации настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

Значение d, соответствующее выбранному уровню доверия, определяютпо следующей таблице.

1 — а	0,90	0,95	0,99
d	0,677	0,960	1,659

Pl,t = Р* + 0 — 2р*)с/ / (л + 1) + и_л _ _а/2 V Р* (1 — Р* )[1 — d / (л + 1)] / (л + 1) = где р* = х/(л + 1).

Результаты (искомый доверительный интервал):

Pl,t =

Pu,t =

Pl,t^P^Pu,t-

8.2 Формы В. Сравнение пропорции р с заданным значением р₀

8.2.1 Форма В-1. Сравнение пропорции р с заданным значением р0 для одностороннего критерия Н0: р > р0

Характеристика: Процедура определения: Элементы: Критерий для идентификации целевых элементов: Примечания: Данное значение р0 = Выбранный уровень значимости а = Объем выборки п = Число целевых элементов в выборке х = Процедура проверки гипотез I Критические значения известны (см. 7.2.1) п. . - □ '■ч о Гипотезу Нп отклоняют, если х < С, п; в противном случае гипотезу не отклоняют.

II Критические значения неизвестны    □

a) Случай х>р₀л    1—1 Гипотезу Н₀ не отклоняют

b)    Случай х < р₀ п    П

1)    Процедура для п < 30    СИ

По 8.1.1 (форма А-1) определяют одностороннюю верхнюю доверительную границу для п, х и уровня доверия (1 — а)

Ри, 0 =

Гипотезу Н₀ отклоняют, если р_{и 0}< р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

2)    Процедура для п > 30    О

- Случай х = 0    П

Ри, о = ¹ — ^а1/п =    [см.    8.1.1    в)    1)].

Гипотезу Н₀ отклоняют, если р_{и 0}< р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

-    Случай 0 < х < п    Q

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют и₁ _ _а =

= 2^(л —х)р₀ — (х +1)(1 р₀) j =

Гипотезу Н₀ отклоняют, если и_л> и_л__п, в противном случае гипотезу не отклоняют._

Результат проверки гипотезы:

Гипотеза Н₀ отклонена    СИ

Г ипотеза Н₀ не отклонена    СИ

Определение критических значений

С/ о — наименьшее неотрицательное целое число х, для которого процедура проверки гипотез по форме В-1(М) не ведет к отклонению гипотезы Н₀. Значение С/ ₀ определяют методом итераций путем повторного применения формы В-1 (II) с различными значениями х, пока не будут найдены такие два значения х, которые отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклонению нулевой гипотезы Н₀, а другое значение приводит к неотклонению нулевой гипотезы Н₀^ \ Начальное значение х_старт может быть получено следующим образом.

В качестве х*²) принимают значение пр₀, округленное до ближайшего целого числа Pi, olx = х* ⁼    (Р/, olx = х* определяют по 8.1.2, форма А-2)

х_старт = значение лр/ ₀|_х _ _х*, округленное до ближайшего целого числа =

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-1(М): для х < С/ о — 1 =    гипотезу    Н₀    отклоняют;

для х > С/ о =    гипотезу    Н₀    отклоняют

Результат: С/ ₀ =

¹) Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значений р₀ и/или для очень маленьких объемов выборок п.

²> х* — вспомогательная величина для нахождения х_старт

8.2.2 Форма В-2. Сравнениепропорциирсзаданнымзначениемр₀дляодностороннегокритерия с Н₀:р<р₀

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов: Примечания:

Заданное значение р₀ =

Выбранный уровень значимости а = Объем выборки п =

Число целевых элементов в выборке х =

Процедура проверки гипотез

I Критические значения известны (см. 7.2.1)

С_и, о ⁼

Гипотезу Н₀ отклоняют, если х > С_и 0, в противном случае гипотезу не отклоняют.

□

II Критические значения неизвестны

а) Случай х<р0п □ Гипотезу Н0 не отклоняют. Ь) Случай х > р0 л □ 1) Процедура для п < 30 □

По 8.1.2 (форма А-2) определяют одностороннюю нижнюю доверительную границу для п, х и уровня доверия (1 — а)

Pi, 0 =

Гипотезу Н₀ отклоняют, если Р/ ₀ > Ро> ^в противном случае гипотезу не отклоняют.

2) Процедура для п > 30    Q

- Случай х = п    Q

p_{l 0}=a^Vn=    [см.    8.1.2    b)    2)].

Гипотезу Н₀ отклоняют, если p_t 0 > р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

- Случай 0 < х < п    Q

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют и₁ _ _а =

и 2 ⁼ 2

л/*(1 — Ро)

j(n — х + 1)р₀

Гипотезу Н₀ отклоняют, если и₂> и-\ _ _ы> ^в противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотезы: Гипотеза /-/₀ отклонена Г ипотеза /-/₀ не отклонена

□

□

Определение критических значений

С_и о — наибольшее целое число х, для которого процедура проверки гипотез по форме В-2 (II) не ведет к отклонению нулевой гипотезы. Значение С_и 0 определяют методом итераций путем повторного применения формы В-2 (II) с различными значениями х, пока не будут найдены такие два значения, которые отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклонению нулевой гипотезы Н₀, а другое значение приводит к неотклонению нулевой гипотезы /-/q¹). Начальное значение х_старт может быть получено следующим образом

В качестве х*²) принимают пр₀, округленное до ближайшего целого числа: Ри, olx = х* ⁼    (Ри,    olx = х* определяют по 8.1.1, форма А-1)

х_старт = значение пр_и 0|_{х = х}*, округленное до ближайшего целого числа.

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-2 (II): для х<С_и о =    гипотезу    Н₀    не отклоняют;

для х > С_и о + 1 =    гипотезу    Н₀    отклоняют

Результат:

^си, о ⁼

^ Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значений д₀ и/или для очень маленьких объемов выборок п.

²) х* — вспомогательная величина для нахождения х_старт

8.2.3 Форма В-3. Сравнение пропорции р с данным значением р₀ для двустороннего критерия

Н₀ - р = р₀

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Заданное значение р₀ =

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки п =

Число целевых элементов в выборке х =

Процедура проверки гипотез

I    Критические значения известны (см. 7.2.1)    П

С[, t ~    С_и,    f    -

Гипотезу Н₀ отклоняют, если х < C_{t t} или х> С_{и t}, в противном случае гипотезу не отклоняют.

II    Критические значения неизвестны

a)    Процедура для п < 30    □

По 8.1.3 (форма А-3) определяют двусторонние доверительные границы для п, хи уровня доверия

(1 — а):

Pl,t =

Ри, t ~

Гипотезу Н₀ отклоняют, если p_{t t} > р₀ или р_{и t} < р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

b)    Процедура для п > 30    □

1)    Случай х = 0    CD

р_м=1_ (о/2)^ =

Г ипотезу Н₀ отклоняют, если р_{и t} < р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

2)    Случай х = п    П

p_/;f = (a/2)l/" =

Г ипотезу Н₀ отклоняют, если р/ ₍> р₀, в противном случае гипотезу не отклоняют.

3)    Случай 0 < х < п    □

По таблице 3 для q = (1 — a/2) определяют и₁ _ _а/2 =

и₁=2^(п — х)р₀ — V(x + 1)(1 —ро) ) =

и₂ = 2^VхО — Ро) — л/(^п — х + 1)Ро ] =

Г ипотезу Н₀ отклоняют, если и₁ > и₁__а/2илии₂ > ^и-\~_а12’ в противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза Н₀ отклонена    CD

Г ипотеза Н₀ не отклонена    П

Определение критических значений

С/ _t— наименьшее неотрицательное целое число х, а С_{и t}— наибольшее целое число х, для которого проверка гипотез по форме В-3 (II) не ведет к отклонению Н₀. Значения Сц и С_{и t} определяют методом итераций путем повторного применения формы В-3 (I I) с различными значениями х до тех пор, пока не будут определены такие две пары значений, у которых значения в каждой паре отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклонению нулевой гипотезы Н₀, а другое значение приводит к неотклонению нулевой гипотезы Н₀^. Начальное значение х_старт может быть получено следующим образом.

11

В качестве х*²) определяют значение пр₀, округленное до ближайшего целого числа.

Pi, t lx =Х* ~    Ри, t lx =х* ^_

Pt _t |_{х =х}* и    Р_{и t}\x =х* определяют по 8.1.3 (форма А-3);

х_СТарт (нижнее) = значение пр[ _t \_х =х*, округленное до ближайшего целого числа, =

^хстарт (верхнее) = значени пр_{и t} |_{х =х}*, округленное до ближайшего целого числа, =_

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-3 (II): для х < С/ _t — 1 =    гипотезу    Н₀    отклоняют;

для х = С/ _t=    и    х=    С_и    t=    гипотезу    Н₀    не отклоняют;

для х > С_{и t} + 1 =_гипотезу    Н_п    отклоняют_

Результаты проверки гипотез:

^си⁼_’    ^cu.t⁼_

^ Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значений д₀ и/или для очень маленьких объемов выборок п.

²) х* — вспомогательная величина для нахождения х_отарт

8.3 Формы С. Сравнение двух пропорций

8.3.1 Форма С-1. Сравнение двух пропорций для одностороннего критерия Н₀: р₁ > р₂

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки 1: л₁ =

Объем выборки 2: п₂ =

Число целевых элементов в выборке 1: х₁ =

Число целевых элементов в выборке 2: х₂ =

Проверка для тривиального случая

^1>^2 Л1 п₂'

Неравенство является истинным    □

Неравенство не является истинным    □

Если неравенство является истинным, нулевую гипотезу не отклоняют и результат проверки гипотез может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к отклонению или к неотклонению гипотезы Н₀.

Процедура проверки гипотез для нетривиальных случаев

Если, по крайней мере, одно из четырех значений п^,п₂, (х₁ +х₂), (л₁ + п₂ — х₁ —х₂) меньше или равно (л₁ + л₂)/4, то применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы; в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в II настоящей формы. Однако даже если вышеупомянутое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих условия:

-    при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 F-распределения необходимо использовать интерполяцию;

-    п₁ и п₂ или (х₁ + х₂) и (л₁ + п₂ — х₁ — х₂) попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (продолжить с I)    □

Должна применяться нормальная аппроксимация (продолжить с II)    □

ГОСТ ИСО 11453-2005

I Биномиальная аппроксимация

Определение величин:    К₂,ц-\,    г|₂

Если [л₂ < л₁ и п₂< (х₁ + х₂)] или [(л₁ + п₂ — х₁ — х₂) < л₁ и (л₁ + п₂ — х₁ — х₂) < (х₁ + х₂)], искомые величины определяют следующим образом:

Л1 = ^п2 =

Ч2^=п-\ =

К, = п₂ — х₂ =

К₂ ⁼ п-\ — х₁ =

В противном случае:

’ll =    =

Т12 - Л₂ -^ = Х₁ =

К₂ - х₂ ⁼

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4 а) Случай г)! < К^ + К₂    □

_F    (тц    -К|)(К|    +2К₂)

²    (К,    +    1)(Л1    +    2^2    —К\—    2    К₂    +    1)

Числа степеней свободы F-распределения:

^=2(^ + 1) = f₂ = 2bu-K,) =

Потаблице4дляс/ = (1 — а), ^ и f₂ (при необходимости применяютинтерполяцию)определяют:

F-\-aVl>f2) =

Ь) Случай г) ₁ > К_л + К₂

_F    K₂(2rft    —К,)

²    (К₁₊1)(2л2-К_2    +    1)

Число степеней свободы F-распределения:

f₁₌2(K_{1 +} 1) = f₂ = 2 К₂ =

По таблице 4 для q = 1— a, fj и f₂ определяют    _ _а(^ , f₂) =

(при необходимости применяют интерполяцию)

Заключение в нетривиальном случае для биномиальной аппроксимации:

Гипотезу Н₀ отклоняют, если F₂ >F₁ __а (f,, f₂), в противном случае гипотезу Н₀ не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3

_z    Щ(х-|    +    х₂)    (х₁    +    1/2)(л₁ + п₂)

²    д/^П1^П2(Х1 +Х₂)(л₁ +Л₂ — X! — Х₂)1(П1 +п₂₎

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют и_л _ _а =

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации:

Гипотезу Н₀ отклоняют, если z₂ > и₁ _ _а, в противном случае гипотезу Н₀ не отклоняют.

Результат проверки гипотез: Гипотеза Н₀ отклонена Г ипотеза Н₀ не отклонена

□

□

8.3.2 Форма С-2. Сравнение двух пропорций для одностороннего критерия Н₀: р_л < р₂

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов: Примечания:

Выбранный уровень значимости а =

Объем выборки 1: л₁ =

Объем выборки 2: п₂ =

Число целевых элементов в выборке 1: х₁ = Число целевых элементов в выборке 2: х₂ =

Проверка гипотез для тривиального случая

Xi ^Х2 «1 п₂ '

Неравенство является истинным    □

Неравенство не является истинным    □

Если неравенство является истинным, гипотезу не отклоняют и результат проверки гипотезы может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к отклонению или к неотклонению гипотезы Н₀.

Проверка гипотез для нетривиальных случаев

Если, по крайней мере, одно из четырех значений п_л,п₂,(х_л +х₂), (л₁ + п₂ — х₁ —х₂) меньше или равно (л₁ + л₂)/4, то применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы; в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в II настоящей формы. Однако даже если вышеупомянутое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих условия:

-    при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 F-распределения необходимо использовать интерполяцию;

-    п₁ и п₂ или (х₁ + х₂) и (л₁ + п₂ — х₁ — х₂) попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (продолжить I)    Г~1

Должна применяться нормальная аппроксимация (продолжить II)    □

I Биномиальная аппроксимация

Определение величин К_ь К₂,ч\_л, ц₂

Если [л₂ < л₁ и л₂ < (х₁ + х₂)] или [(л₁ + п₂ — х₁ — х₂) < п₁ и (л₁ + п₂ — х₁ — х₂) < (х₁ + х₂)], величины определяют следующим образом:

Т|1 = Л₂ =

Л2 ^=П1 =

К_л = п₂ — х₂ =

К₂ = п-\ — х₁ =

В противном случае: т|1 = л-| =

42= ^п2 =

К_л = х₁ =

К₂ - х₂ -

ГОСТ ИСО 11453-2005

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4

a)    Случай г) 1 <К_Л+ К₂    □

_F _ K|(r|i +2г|₂ — К, — 2К₂) _

¹    (_Л1_К₁+1)(К₁+2К₂+1)

Числа степеней свободы F-распределения:

f₁=2(₁₁₁-K₁ + 1) =

f₂ = 2K,=

По таблице 4 для g = (1 — а), ^ и f₂ определяют F₁ _ _a(/i, f₂) = (при необходимости применяют интерполяцию).

b)    Случай г11 > К-| + К₂    П

_F _    К^2т\₂—К₂)    _

¹    (К_{2 +} 1)(2_Л1-К_{1 +} 1)

Числа степеней свободы F-распределения:

f, =2(/С₂+ 1) =

f₂ = 2K,=

По таблице 4 для g = (1 — а), ^ и f₂ определяют F₁ _ _a{f_v f₂) = (при необходимости применяют интерполяцию)

Заключение в нетривиальном случае биномиальной аппроксимации:

Гипотезу Н₀ отклоняют, если F₁ > F₁ _ _a(f^, f₂), в противном случае гипотезу Н₀ не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3 _z _    (^    —    1/2)(/?i    +л₂)    —    п₁(х₁    +    х₂)

¹    _л1п₁п₂(х₁    +    Х₂)(п₁    +П₂—Х1—Х₂)1(П1+    п₂₎

По таблице 3 для g = (1 — а) определяют и-, _ a =

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации: Гипотезу Н0 отклоняют, если z1 >ил _а, в противном случае гипотезу Н0 не отклоняют. Результат проверки гипотез: Гипотеза Н0 отклонена □ Г ипотеза Н0 не отклонена □

8.3.3 Форма С-3. Сравнение двух пропорций для двустороннего критерия Н₀: р₁ = р₂

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень значимости a =

Объем выборки 1: л₁ =

Объем выборки 2: п₂ =

Число целевых элементов в выборке 1: х₁ = Число целевых элементов в выборке 2: х₂ =

Проверка гипотез для тривиального случая

*1 ₌^2 Щ п₂

Равенство является истинным    Ц

Равенство не является истинным    Q

Если равенство является истинным, нулевую гипотезу Н₀ не отклоняют и результат проверки гипотез может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к отклонению или к неотклонению гипотезы Н₀.

Процедура проверки гипотез для нетривиальных случаев

Если, по крайней мере, одно из четырех значений л₁,л₂,(х₁ + х₂), (л₁ + п₂ — х₁ —х₂) меньше или равно (л₁ + л₂)/4, применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы; в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в 11 настоящей формы. Однако даже если вышеупомянутое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих условия:

-    при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 F-pacnределения необходимо использовать интерполяцию;

-    л₁ и л₂ или (х₁ + х₂) и (л₁ + п₂ — х₁ — х₂) попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (продолжить с I) □

Должна применяться нормальная аппроксимация (продолжить с II)    □

I Биномиальная аппроксимация

Определение величин К_ь К₂,ц-\, ц₂

Если [л₂ < л₁ и л₂ < (х₁ + х₂)] или [(л₁ + л₂ — х₁ — х₂) < п_л\л (п_л + п₂ — х₁ — х₂) < (х_л + х₂)], величины определяют следующим образом: r|i = п₂ =

Г|₂ =«i =

К-\ ^{= п}2 — ^х2 =

К₂ ⁼ п-\ — х₁ =

В противном случае: rii = л-1

Т|₂ ⁼ П₂ = х₁ =

К₂ - х₂ -

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4 а) Случай г)! <К^ + К₂    □

1) Случай — > —    О

Л1 Л2

Значения F_vf^ и f₂ определяют по 8.3.2 (форма С-2)

F-\=    ,11 =    ;f₂    =

Потаблице4дляс/ = (1 —а/2), ^ и f₂(npn необходимости применяют интерполяцию)определяют

^F1 - а/2 (^f1- h) =

2) Случай^<^-    □

Л1 Л2

Значения F₂, ^ и f₂ определяют по 8.3.1 (форма С-1)

1=2=    ’    U    =    ’^f2    =

ГОСТ ИСО 11453-2005

По таблице4 для q = (1 — aJ2),f^ и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют

^F1 - а/2 (^f1 > h) ⁼

b) Случай г\_л> К^ + К₂    СИ

1) Случай — > —    □

Л1 Л2

Значения и f₂ определяют по 8.3.2 (форма С-2)

F₁ -    >    ^—    >    ^2    ”

По таблице 4 для g = 1 — а/2, ^ и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют

^F1 - а/2 (^1 > h) ⁼

2) Случай ^ ^    СП

Л1 Л2

Значения F₂, и f₂ определяют по 8.3.1 (форма С-1).

f2=    ;*i=    ;^f2    =

По таблице 4 для g = (1 — а/2), Г, и f₂ (при необходимости применяют интерполяцию) определяют

F-\ - а/2 (^f1 ■ h) ⁼__

Заключение в нетривиальном случае для биномиальной аппроксимации Гипотезу Н₀ отклоняют, если

Fi > Fi _ _а/2 (f,, f₂) в случае ^ ^

Л1 Л2

ИЛИ

F₂ > Fi _ _а/2 (f,, f₂) в случае ^,

Л1 Л2

в противном случае гипотезу Н₀ не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3

a) Случай — >—    П

«1 п₂

Значение z₁ определяют по 8.3.2 (форма С-2) ^zi =

По таблице 3 для g = (1 — а/2) определяют и₁ __а/2 =

b) Случай    <^~    □

«1 п₂

Значение z₂ определяют по 8.3.1 (форма С-1)

^z2 =

По таблице 3 для g = (1 — а/2) определяют и₁ _ _а/2 =_

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации Гипотезу Н₀ отклоняют, если:

^zi ^1-«/2^вспУ^чае? >-

^П1 ^п2

xi

«1

или

z₂ > и₁ _ _а/2 в случае

в противном случае гипотезу Н₀ не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза Н₀ отклонена    СИ

Гипотеза Н₀ не отклонена_П_

ГОСТ ИСО 11453-2005

Содержание

1    Область применения............................................1

2    Нормативные ссылки............................................1

3    Определения................................................1

4    Символы..................................................2

5    Точечная оценка пропорции р.......................................2

6    Доверительные границы для пропорции р................................2

7    Проверка гипотез для пропорции р....................................3

7.1    Общие требования...........................................3

7.2    Сравнение пропорции с заданным значением р₀..........................3

7.3    Сравнение двух пропорций......................................4

8    Формы ...................................................5

8.1    Формы А. Доверительный интервал для пропорции р.......................5

8.2    Формы В. Сравнение пропорции р с заданным значением р₀...................8

8.3    Формы С. Сравнение двух пропорций...............................12

9    Таблицы и номограммы..........................................18

9.1    Интерполяция в таблице 4 квантилей F-распределения.....................18

9.2    Пример................................................18

Приложение А (обязательное) Вычисление оперативной характеристики критерия для формы В. . 33

Приложение В (справочное) Примеры заполненных форм.......................35

Приложение С (справочное) Сведения о соответствии межгосударственных стандартов ссылочным

международным стандартам...............................45

Приложение D Библиография.......................................45

9 Таблицы и номограммы

9.1 Интерполяция в таблице 4 квантилей F-распределения

Необходимо определить, что F_q(f_v f₂) = F(f_v f₂). Предположим, что в таблице 4 приведены смежные значения F (f_11; f₂) и F (f₁₂ f₂) с fn <    <    f₁₂. Тогда

/= (fb h) = F(*n, h) ~ [F(f,b h) - ^12-    '

'1 V'12 —'IV

Интерполяцию no f₂ выполняют аналогичным способом, если в таблице приведены смежные значения F(f_b f₂₁) и F(f_b f₂₂) с f₂₁ <f₂< f₂₂

F (f_b f₂) = F ft, f₂₁) - [F(f_b f₂₁) - F(f₂, f₂₂)M(k=lZL\

'2 V'22 —'21 у

Если искомое значение ни по f^ ни по f₂ не приведено в таблице, необходимо выполнить три шага интерполяции.

Сначала выполняют два параллельных шага по одному из двух показателей числа степеней свободы, а затем — следующий шаг по другому показателю числа степеней свободы.

Если 7, > 30 и f₂ > 30, квантиль F-распределения вычисляют по следующим уравнениям:

'9 ^Fo,i

1,1131 ■sjh— 0,77

0,527д;

•д ^0,05 -

1,4287 h —0,95

0,681 д;

>д ^Fo,025 ~

17023 ^/7 —1,14

0,846д;

19 f0,01

2,0206 V/1 — 1,40

1,073д;

!д ^0,005

22373 V /7 — 1,61

1,250д;

!g ^o.ooi

где g =

/7 =

1_1-<1 *2 ’ 2^2 ■ f,₊f₂ ’

2,6841 V /7— 2,09

1,672g,

F_q(f_bf₂) = F_q-

9.2 Пример

Пример для определения критического значения С/ ₀ для нулевой гипотезы /-/₀: р >Ро отмечен в номограмме (рисунок 2) полужирной линией (см. 7.2.1). Заданы значения р₀ = 0,15, а = 0,05 и л = 35. По номограмме определяют значение х между прямыми линиями 1 и 2. Таким образом, С/ ₀ = 2.

Предположим, что объем выборки л не определен. Если помимо этого задано, что р = 0,10 и р' = 0,039, то вторую линию проводят отр' к 1 — р для определения объема выборки. По точке пересечения этих двух линий в номограмме определяют, что л = 50 и х = 3. Таким образом, нулевую гипотезу Н₀ принимают, если х <3, в противном случае принимают альтернативную гипотезу.

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

Статистические методы

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций

Statistical methods. Statistical interpretation of data.

Tests and confidence intervals relating to proportions

Дата введения — 2006—09—01

1    Область применения

Настоящий стандарт содержит описание статистических методов, предназначенных для решения следующих задач:

a)    Дана совокупность элементов, из которых отобрана выборка из п элементов, и у х элементов выборки обнаружена некоторая характеристика. Какая доля (пропорция) совокупности имеет эту характеристику (см. 8.1)?

b)    Отличается ли пропорция, определенная в соответствии с задачей а), от номинального указанного значения (см. 8.2)?

c)    Даны две различные совокупности. Различаются ли доли элементов с заданной характеристикой в этих двух совокупностях (см. 8.3)?

d)    Выборки какого объема следует отбирать для решения задач Ь) и с), чтобы быть достаточно уверенным в правильности решения (см. 7.2.3 и 7.3.3)?

Важно, чтобы метод отбора выборок не оказывал заметного влияния на совокупность. Если взятая случайным образом выборка составляет менее 10 % совокупности, как правило, это является приемлемым. Если выборка составляет более 10 % совокупности, надежные результаты можно получить только возвращая каждый отобранный элемент перед отбором следующего элемента.

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использована нормативная ссылка на следующий стандарт:

ИСО 3534.1:1993 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1: Вероятность и основы статистики

3    Определения

В настоящем стандарте применены термины по ИСО 3534.1, а также следующий термин с соответствующим определением:

3.1 целевой элемент (target item): Элемент, в котором обнаружена указанная характеристика.

Издание официальное

4    Символы

В настоящем стандарте использованы следующие символы: а    —    выбранный уровень значимости;

а'    —    достигнутый уровень значимости;

(1 — а) — выбранный уровень доверия;

Р    —    вероятность ошибки второго вида;

л; /7.|; п₂ — объем выборки; объем выборки 1; объем выборки 2;

X    —    число целевых элементов в выборке (случайная величина);

х    —    значение X;

р    —    доля (пропорция) целевых элементов совокупности;

р_и 0    —    верхняя граница одностороннего доверительного интервала для р;

р₁ 0    — нижняя граница одностороннего доверительного интервала для р;

р_{и t}    — верхняя граница двустороннего доверительного интервала для р;

р_/ (    —    нижняя граница двустороннего доверительного интервала для р;

Т    —    значение, используемое для определения доверительных границ;

С/ Q    —    критическое значение    при    проверке нулевой гипотезы    Н₀:    р > р₀;

С и о    —    критическое значение    при    проверке нулевой гипотезы    Н₀:    р < р₀;

С/₁    —    нижняя граница критической области при проверке нулевой гипотезы Н₀: р = р₀;

С_{и t} — верхняя граница критической области при проверке нулевой гипотезы Н₀: р = р₀; р₀    —    заданное значение для р;

р'    —    значение р, для которого определяется вероятность неоткпонения нулевой гипотезы

р_а;

Р_а    — вероятность неоткпонения    нулевой гипотезы;

^ f₂ — числа степеней свободы F-распределения;

Fj, F₂ — тестовые статистики;

Fq (£|>    —    квантиль уровня q F-распределения с fj и f₂ степенями свободы;

z^, z₂    — тестовые статистики;

u_q — квантиль уровня q стандартного нормального распределения; q,r\, К — вспомогательные величины.

5    Точечная оценка пропорции р

Оценку р по выборке из п элементов с х целевыми элементами определяют по формуле

Эта оценка является несмещенной, если выборка отбиралась случайным образом, независимо от объема выборки и размера совокупности, даже если выборка составляетзаметную часть совокупности.

6 Доверительные границы для пропорции р

Процедуры определения границ доверительного интервала для р приведены в 8.1 (формы А-1—А-3).

Границы доверительного интервала зависят от объема выборки п, числа целевых элементов в выборке х и выбранного уровня доверия (1 — а). Невозможно точно достичь заданного уровня доверия из-за дискретности х. Приведенная в стандарте процедура дает минимальное значение уровня доверия, не превосходящее (1 — а).

В настоящем стандарте при определении границ двустороннего доверительного интервала для заданного уровня доверия (1 — а) используется процедура определения нижних границ одностороннего доверительного интервала для уровня доверия (1 — а/2). Это гарантирует, что вероятность ошибки меньше или равна а/2 с каждой стороны интервала.

ГОСТ ИСО 11453-2005

7 Проверка гипотез для пропорции р

7.1    Общие требования

Для решения практических задач в формах В-1 — В-3 (8.2) и С-1 — С-3 (8.3) приведены нулевые гипотезы для пропорций и схемы их проверки. Сначала должны быть выбраны соответствующая нулевая гипотеза, объем выборки п (объемы выборок п₁ и п₂) и уровень значимости. Поскольку основные используемые распределения дискретны, процедуры разработаны так, чтобы достичь самого близкого к выбранному значению уровня значимости, который меньше или равен этому значению. В формах не приведены альтернативные гипотезы, так как в каждом случае неявно предполагается, что альтернативная гипотеза является дополнительной к нулевой гипотезе.

Пример — При работе с формами В (процедура сравнения пропорции с заданным значением) вначале необходимо выбрать одну из следующих трех нулевых гипотез Н₀ (с дополнительной альтернативной гипотезой Н_Л), где р₀ — заданное значение:

a)    односторонний критерий с Н₀: р>р₀и Н_Л: р< р₀;

b)    односторонний критерий с Н₀: р<р₀ и Н^: р> р₀;

c)    двусторонний критерий с Н₀: р = р₀ и Н_Л: р * р₀.

Результатом проверки гипотезы является отклонение или неотклонение нулевой гипотезы.

Отклонение нулевой гипотезы означает, что принимается альтернативная гипотеза. Неотклонение нулевой гипотезы не означает, что принимается нулевая гипотеза (см. 7.2.2).

7.2    Сравнение пропорции с заданным значением р₀

7.2.1    Процедура проверки гипотез

Процедуры проверки нулевых гипотез:

Но- Р > Ро;

Н₀- р < Ро;

Н₀- Р = Ро>

гдер₀ — заданное значение, описаны в формах В-1 — В-3. Эти процедуры особенно просты для применения, если известны критические значения для заданных значений п, р и а. Если критические значения неизвестны, их можно определить при выполнении процедуры в соответствии с формами В (8.2).

7.2.2    Оперативные характеристики

Вычисление оперативных характеристик (включая вероятность ошибки первого рода, достигнутого уровня значимости и вероятности ошибки второго рода) описаны в приложении А. Для вычисления этих характеристик критические значения должны быть известны (см. 7.2.1) и должна быть выбрана альтернативная гипотеза р = р-₍, для которой пределяется вероятность ошибки второго рода.

7.2.3    Определение объема выборки п

Если объем выборки не определен (например, по экономическим или техническим причинам), его минимальное значение должно быть задано таким, чтобы для выбранной нулевой гипотезы Н₀ (см. 7.2.1) достигнутое значение уровня значимости не превосходило выбранного или заданного значения. Кроме того, достигнутое значение ошибки второго рода (вероятность (3) должно быть приблизительно равно выбранному или заданному значению р, если р равно выбранному значению р'. Для этой цели р₀ и р' должны быть отмечены на шкале р, а а, (1 — а), а/2, (1 —а/2) — на шкале Ри прямых линиях 1 и 2 в соответствии с таблицей 1 и номограммой Ларсона (рисунок 2).

Таблица 1 — Процедура определения объема выборок по номограмме Ларсона (рисунок 2)

Нулевая гипотеза Заданное значение Прямая линия 1 из точки р0 в точку Прямая линия 2 из точки р' в точку Н0:р>р0 Р'<Р0 а 1-р Н0:р<р0 Р'>Р0 1 —а р Н0'- Р = Ро Р'>Ро 1 — а/2 р Н0'- Р = Ро Р'<Р0 а/2 1-р

Точка пересечения прямых линий 1 и 2, указанных в таблице 1, дает значения С/ ₀ (С_и 0) на шкале х. Если х — не целое число, его следует округлить до ближайшего целого числа.

7.3 Сравнение двух пропорций

7.3.1    Процедура проверки гипотез

Процедуры проверки для нулевых гипотез:

"о: Pi ^ р₂;

Н₀: p-i < р₂;

Н₀■ Pi = Р₂.

где Pi — доля (пропорция) целевых элементов в совокупности 1, а р₂ — доля (пропорция) целевых элементов в совокупности 2, описаны в формах С-1 — С-3 (8.3). Эти процедуры можно использовать для анализа независимости двух атрибутов (дихотомических характеристик) элементов совокупности.

7.3.2    Оперативные характеристики Предположения:

a)    для одностороннего критерия Н₀\ Pi< р₂ мощность (1 — р) определяют для заданной пары пропорций pi и р₂, где Pi > р₂;

b)    для проверки гипотез используют две выборки одного и того же объема, то есть r>i= п₂ = п. Если а — уровень значимости, то достаточно точное приближенное значение мощности может

быть получено обратным преобразованием по [1]:

1 — р =Ф (Z — Ui__a),

где Ф— функция распределения стандартного нормального распределения; и-1 _ _а — квантиль стандартного нормального распределения уровня (1 — а);

z =V2n^arcsin-Jp.| — (1/ 2п) —arcsinyjp₂—(1/2n) j.

Это приближение может также использоваться и для двустороннего критерия Н₀: р₁ = р₂ с альтернативной гипотезой Hi'. Pi > р₂, если а заменить в формуле на а/2.

7.3.3    Определение объема выборки п

Если объемы выборок л₁ и л₂ не заданы, их минимальные значения должны быть выбраны такими, чтобы мощность критерия была не менее (1 — р), а уровень значимости — не менее а.

Предполагается, что нулевая гипотеза является односторонней H₀ :pi< р₂. Однако приведенные процедуры применимы также для двустороннего критерия Н₀: р₁ = р₂ с альтернативной гипотезой Н₁: Pi > р₂, если заменить а на а/2.

Т очн ые значения объема выборок приведены в таблицах 5 и 6 и в [2] для выбранных значений аир. Эти таблицы предполагают, что объемы выборок равны, т.е. п = rii= п₂

Для сочетаний а, Pi, р₂ и (1 — Р), не приведенных в таблицах 5 и 6, может использоваться следующее приближение, которое учитывает неравные объемы выборок, однако необходимо, чтобы отношение г объемов выборок riiln₂ было выбрано заранее.

-|₂

1 +

₁ ,    2(r    + 1)

rn'(pi —р₂)

^п2 ^{= п}^^г ’

Ui__aJ(r + 1 )гр + Ui_pyl[rpi(1 — Pi) + р₂(1 — р₂)]

_У

r(Pi —р₂)²

Р-Ф1 +Р2.

^Н Г + 1    ’

Я= 1— Р-

П =

ГОСТ ИСО 11453-2005

8 Формы

Для простоты применения форм необходимо отметить квадратики, представляющие активизированную часть формы, а затем выполнить необходимые действия, вводя необходимые данные.

8.1    Формы А. Доверительный интервал для пропорции р

8.1.1    ФормаА-1 — Одностороннийдоверительныйинтервалсверхнейграницейдпяпропорциир

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень доверия 1 — а =

Объем выборки л =

Число целевых элементов в выборке х =

Определение границы доверительного интервала а) Процедура для л < 30    □

1) Случай х = п □ Ри, 0 = 1 2) Случай х < п □

По таблице 2 для известных значений л, Х= х и q = (1 — а) определяют Ри, 0^=Г1-а (">*) =

Ь) Процедура для л > 30    СИ

1)	Случай х = 0	□
	Ри, 0 = 1- «1/П =
2)	Случай х = л	□
	Ри, о = 1	□
3)	Случай 0 < х < л

По таблице 3 для q = (1 — а) определяют _ _а =

Значение d, соответствующее выбранному уровню доверия, определяютпо следующей таблице.

1 — а	0,90	0,95	0,99
d	0,411	0,677	1,353

Ри, о = Р* + (1 — 2 pjd / (п + 1) + ui _ _а Vp*0 — Р* )[1 — dl(n + 1)]/(л + 1) = где р* = (х + 1 )/(л + 1).

Результат (искомый доверительный интервал):

Р -Ри,о =

8.1.2 Форма А-2. Односторонний доверительный интервал с нижней границей для пропорции р

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов: Примечания:

Выбранный уровень доверия 1 —а = Объем выборки п = Число целевых элементов в выборке х	-
Определение границы доверительного интервала
а) Процедура для п < 30	□
1) Случай х = 0	□
^3 О II О
2) Случай х > 0	□
По таблице 2 для известных значений п,Х = п — хир = (1 — а) определяют:
Т^_а(п,п — х) = Pi, о = 1 — Г1-а (п,п — х) =
Ь) Процедура для п > 30	□
1) Случай х = 0	□
Хз О II о	□
2) Случай х = п
ъ о II II
3) Случай 0 < х < п	□

По таблице 3 для q = 1 — а определяют и_л _ _а =

Значение d, соответствующее выбранному уровню доверия, определяютпо следующей таблице.

1 — а	0,90	0,95	0,99
d	0,411	0,677	1,353

Р/,о = Р* + (1 — 2р* )d / (п + 1) — и_л _ _а V р* (1 — р* )[1 — d / (п + 1)] / {п + 1) = где р* = х/(п + 1).

Результат (искомый доверительный интервал):

Р^Р/, о =

8.1.3 Форма А-3. Двусторонний доверительный интервал для пропорции р

Характеристика:

Процедура определения:

Элементы:

Критерий для идентификации целевых элементов:

Примечания:

Выбранный уровень доверия 1 —а =

Объем выборки п =

Число целевых элементов в выборке х =

Определение границ доверительного интервала

a)    Процедура для п < 30    □

1)    Определение верхней границы доверительного интервала:

-    Случай х = п    1—1

-    Случай х < п    □

По таблице 2 для известных значений п, Х= х и g = (1 — а/2) определяют

Pu,t= ^ТЛ-Ы2 (^П’^Х) =

2)    Определение нижней границы доверительного интервала:

-    Случай х = 0    □

-    Случай х > 0    П

По таблице 2 для известных значений п,Х = п — х и g = (1 — а/2) определяют: T_A-_ai₂(n,n — x) =

Pl,t= ¹ — ^Т1-а/2(п,П — Х) =

b)    Процедура для л > 30    □

1) Определение верхней границы доверительного интервала:

-    Случай х = 0    □

p_ut=1-(aJ2)V" =

-    Случай х = п    □

^PtU⁼¹    г-,

-    Случай 0 < х < п    |_|

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют и₁ _ _а/2 =

Значение d, соответствующее выбранному уровню доверия, определяютпо следующей таблице.

1 — а	0,90	0,95	0,99
d	0,677	0,960	1,659

Pu,t =Р* + 0 — ²P*)d / (п + 1) + и_л _ _а/2 V Р* (1 — Р* )[1 — d / (п + 1)] / (п + 1) = гд ер* =(х+ 1)/(/? + 1).

2) Определение нижней границы доверительного интервала:

-    Случай х = 0

Р/ _f = 0    □

-    Случай х = п

p_lt=(aJ2)^Vn=    1-1

-    Случай 0 < х < п

По таблице 3 для q = (1 — а/2) определяют и₁ _ _а/₂^

7