ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

Р 50.1.100-

рекомендации ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ 2014

Статистические методы

ТРИ ПОДХОДА К ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ОЦЕНКЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

ISO/TR 13587:2012 (NEQ)

Предисловие

1    РАЗРАБОТАНЫ Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО «НИЦ КД»)

2    ВНЕСЕНЫ Техническим комитетом по стандартизации ТК125 «Применение статистических методов»

3    УТВЕРЖДЕНЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 11 ноября 2014 г № 1579-ст

4    Настоящие рекомендации разработаны с учетом основных нормативных положений международного документа ISO/TR 13587:2012 «Три статистических подхода к оценке и интерпретации неопределенности измерений» (ISOTTR 13587:2012 «Three statistical approaches for the assessment and interpretation of measurement uncertainty», NEQ)

5    ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ

Правила применения настоящих рекомендаций установлены в ГОСТ Р 1.0-2012 (раздел 8) Информация об изменениях к настоящим рекомендациям публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе •Национальные стандарты». а официальный текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящих рекомендаций соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя •Национальные стандарты» Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)

© Стандартинформ, 2015

Настоящие рекомендации не могут быть полностью или частично воспроизведены, тиражированы и распространены в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

Введение

Принятие Руководства ИСО/МЭК 98-3 (GUM)¹) привело к возрастающему признанию необходимости включать указание неопределенности в результаты измерений Аккредитация лабораторий на основе ГОСТ ИСО/МЭК 17025²⁾ ускорила этот процесс Признавая, что указание неопределенности необходимо для принятия решений, метрологи в лабораториях всех типов (от национальных институтов метрологии до коммерческих лабораторий калибровки) проявляют значительные усилия по разработке соответствующих оценок неопределенности для различных типов измеряемых величин и методов, приведенных в GUM

Некоторым преимуществом процедур, описанных и популяризированных в GUM, является стандартизированный подход к определению оценки неопределенности с адаптацией к источникам неопределенности, которая может быть статистической (тип А) или нестатистической (тип В), с акцентом на отчетах обо всех источниках рассматриваемой неопределенности В основе подхода распространения неопределенности GUM лежит линейная аппроксимация функции измерений Во многих пракп-меских ситуациях такой подход дает результаты, аналогичные полученным более формальными методами Таким образом, принятие GUM, произвело революцию в оценке неопределенности

Конечно, необходимо много усилий для улучдения оценки неопределенности в практических ситуациях Совместный комитет по руководствам в метрологии (JCGM), ответственный за GUM с 2000 года, закончил Дополнение 1 к GUM, а именно «Неопределенность измерения Часть 3 Руководство по выражению неопределенности измерения Дополнение 1 Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карпо» (называемый GUMS1). В настоящее время JCGM разрабатывает также другие дополнения к GUM в таких направлениях, как моделирование и модели с любым количеством выходных величин

Применительно к широкому кругу измерительных задач в Руководстве ИСО/МЭК 99:2007 (см. [4]) приведено достаточно общее определение неопределенности измерения как неотрицательного параметра, характеризующего разброс значений, приписываемых измеряемой величине, на основе используемой информации В результате определение и понимание функций различных статистических величин при определении оценки неопределенности, даже в хорошо понятных применениях измерений особенно интересны как статистикам, так и метрологам.

Ранее проводились исследования этих проблем с метрологической точки зрения Некоторые авторы последовали статистические свойства процедур, установленных в GUM В (5J показано, что к этим процедурам непосредственно не применимы байесовская и фидуциальная интерпретация В [6) предложено несколько модифицированных процедур GUM, которые дают результаты, более согласованные с интерпретацией Байеса в некоторых случаях. В [7] рассмотрено соотношение между процедурами определения оценки неопределенности, предложенной в GUMS1 (см (3)) и результатами байесовского анализа для моделей особого веда. В (8) рассмотрены возможные вероятностные интерпретации интервалов охвата и даны рекомендации по аппроксимации апостериорного распределения для этого класса байесовского анализа распределений вероятностей семейства распределений Пирсона.

В [9) приведено сопоставление частотного и байесовского подходов для определения оценки неопределенности Однако исследование выполнено только для измерительных систем, причем для всех источников неопределенности могут быть использованы оценки типа А Напротив, в настоящих рекомендациях рассмотрены и иллюстрированы несколькими примерами измерительные системы с источниками неопределенности, для которых использованы оценки типа А и В.

Статистики потратили много сил на использование методов определения оценок неопределенности, имеющих вероятностное обоснование или интерпретацию В результате их работы (часто вне метрологии) было разработано несколько подходов, относящихся к оценке неопределенности В настоящие рекомендациях представлены некоторые из этих подходов и со статистической точки зрения рассмотрена их связь с методами, используемыми в настоящее время в метрологии Статистическими подходами, для которых описаны различные методы определения оценки неопределенности, являются частотный, байесовский и федуциальный подходы, рассмотренные в настоящих рекомендациях.

Национальный стандарт ГОСТ Р 54500 3—2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 «Неопределенность измерения Часть 3 Руководство по выражению неопределенности измерения» идентичен 1ЭОЛЕС Guide 98-32008 (см [1D

^2> Национальный стандарт ГОСТ ИСО/МЭК 17025—2000 «Общие требования к компетентности испытательных и калибровочных лабораторий» идентичен ISO/1EC 17025:2005 (см. (2)).

P 50.1.100—2014

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

Статистические методы ТРИ ПОДХОДА К ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ОЦЕНКЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Statistical methods Three approaches for the interpretation and assessment of measurement uncertainty

Дата введения — 2015—12—01

1    Область применения

В настоящих рекомендациях рассмотрены три основных статистических подхода к интерпретации и оценке неопределенности измерений: частотный подход, байесовский подход и фидуциальный подход Общая черта этих подходов — четкая вероятностная интерпретация интервалов неопределенности Для каждого подхода описаны основной метод, предположения и вероятностная интерпретация неопределенности В настоящих рекомендациях также рассмотрено соотношение этих статистических подходов с методами, предложенными в ГОСТ Р 54500.3-2011 (далее GUM).

2    Нормативные ссылки

В настоящих рекомендациях использованы нормативные ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ ИСО/МЭК 17025—2009 Общие требования к компетентности испытательных и калибровочных лабораторий

ГОСТ Р 50779.10-2000 Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 5077911-2000 Статистические методы Статистическое управление качеством Термины и определения

ГОСТ Р 54500 3—2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения

ГОСТ Р 54500.3.1-2011/РуководствоИССУМЭК98-3:2008 Дополнение 1:2008Неопределенность измерения Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения по выражению неопределенности измерения Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло

Примечание — При пользовании настоящими рекомендациями целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю «Национальные стандарты, который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты» за текущий год Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящих рекомендаций в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссыпка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана осылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку

Издание официальное

5 Описание задачи

5.1 В настоящих рекомендациях рассмотрена модель измерений:

в = %|. -.Ир).

где р,.....Цр — входные величины.

0 — выходная велтина; f— функция измерений.

Функция f определена математически в виде формулы или алгоритма вычислений В GUM (примечание 1. 4.1) те же самые функциональные зависимости определены соотношением

.....XJ,

которое сложно отличить от функции измерений, определяющей зависимость случайной величины от результатов наблюдений входной величины

В соответствии с процедурой, рекомендованной GUM, для р неизвестных величин определяют оценки 1ц,.... Цр по значениям x_1f.... Хр, полученным при выполнении измерений или из других источников Соответствующие стандартные неопределенности также получают по имеющимся данным с помощью статистических мет садов или плотностей вероятностей, построенных на основе экспертных знаний о переменных. В GUM (см также п 4.5 в (11 ]) модель измерений, связывающую измеряемую величину 0 с входными величинами^,.... Цр, рекомендовано использовать также для вычисления функции, описывающей зависимость у от х₁.....х_р. Таким образом, результат измерений (или оценка) у для 0 имеют вид

у = фц,. .. Хр).

т. е. оценка Y, у =    ....    х^ представляет собой результат измерений 0. Оценки у. x_t.....х_р являются

реализациями случайных величин У, X,..... соответственно

5.2    В настоящих рекомендациях приведено три статистических подхода, обеспечивающих определение:

(а)    наилучшей оценки у для 0,

(б)    соответствующей стандартной неопределенности i/(y),

(в)    доверительного интервала или интервала охвата для 0 с заданной вероятностью охвата (обычно 95 %).

5.3    Необходимо различать оценки стандартной неопределенности, соответствующие оценкам различных величин и соответствующие теоретические значения стандартной неопределенности Теоретические значения стандартных неопределенностей обозначены соответственно о_ц или а_х, их оценки до и после наблюдений обозначены S* и s_x соответственно

6 Статистические подходы

6.1    Частотный подход

6.1.1    Статистический подход, позволяющий определить вероятностную оценку неопределенности, называют частотным Этот подход иногда называют «классическим» или «общепринятым» Однако в силу особенностей неопределенности в метрологических задачах методы этого семейства для определения частотного интервала неопределенности в реальных условиях часто требуют адаптации

6.1.2    При использовании частотного подхода входные значения jl,, .... ^ модели измерений (1) и выходную величину 0 рассматривают как неизвестные постоянные величины Полученные для каждой величины данные используют для определения оценки 0 с помощью модели измерений или других статистических моделей Для определения оценки О с помощью использования одного из математических методов (наименьших квадратов, максимального правдоподобия или бутстреп-метода) определяют доверительные интервалы с заданным уровнем доверия.

6.1.3    Поскольку 0 рассматривают как постоянную величину, вероятностное утверждение, относящееся к доверительному интервалу для 0, не является прямым утверждением относительно значения 0. Это утверждение лишь указывает, как часто доверительный интервал, полученный с применением данной процедуры, накрывает измеряемую величину при многократном повторении процедуры Повторение процедуры означает, что определение оценки неопределенности повторяют много раз с использованием различных данных, взятых из одних и тех же распределений Частотный подход

3

обеспечивает выполнение вероятностного утверждения о свойствах процедуры построения интервала неопределенности в конкретных условиях процесса измерений на достаточно большом количестве повторений процедуры

6.1.4    В большинстве практических метрологических задач интервалы неопределенности должны учитывать как неопределенность, соответствующую оценкам величин, полученным с использованием результатов измерений, так и неопределенность, соответствующую экспертным оценкам Для получения интервала неопределенности, аналогичного доверительному интервалу, оценки величин, не основанные на результатах измерений, рассматривают как случайные величины с распределениями вероятностей (величины, оценки которых могут быть получены с использованием статистических данных, рассматривают как неизвестные постоянные величины)

6.1.5    Традиционная частотная процедура построения доверительного интервала может быть модифицирована для обеспечения заданного уровня доверия после усреднения по возможным значениям величин, имеющих экспертные оценки (5). Это позволяет использовать вероятностные утверждения, аналогичные утверждениям в случае доверительных интервалов для величин, которые не были измерены

616 В таблице 1 приведено краткое описание частотного, байесовского и фидуциального подходов к оценке неопределенности

Таблица 1 — Интерпретации частотного, байесовского и фидуциального подходов

Наименование подхода Характеристика величии модели измерений в = .....v Интервал неопределенности для выходной величины В Примечания Частотный 9 и — неизвестные постоянные величины Доверительный интервал накрывает 0 с заданной вероятностью, при длительном повторении процедуры Классический частотный подход применяют для объединения неопределенностей, которые не являются статистическими оценками Байесовский 0 и ц*—случайные величины, распределения вероятностей которых основаны на предварительной информации о значениях входных и выходных величин Интервал охвата для 0 рассчитывают на основе апостериорного распределения 0 Возможна неоднозначность интервала, обусловленная выбором априорных распределений Фидуциальный ^ — случайные величины, распределения которых получены на основе предположений о наблюдаемых данных, использованных для определения оценок р,-и экспортных знаниях о ^ Интервал охвата для 0 рассчитывают на основе фидуциального распределения 0 Не единственность интервала, обусловленная выбором структурного уравнения

6.2    Байесовский подход

Второй подход называют байесовским подходом в честь фундаментальной теоремы Байеса [12], на которой он основан. В этом подходе параметры модели измерений (1) щ,.... Цр рассматривают как случайные величины с соответствующими распределениями вероятностей Теорема Байеса позволяет получить распределение вероятностей на основе данных наблюдений и параметров, определенных в соответствии с функцией f или эквивалентными статистическими моделями. Полученное распределение вероятностей учитывает знания о распределении и информацию о наблюдаемых данных. Из этого распределения могут быть получены интервалы неопределенности, которые накрывают 0 с заданной вероятностью Поскольку знания о параметрах заданы в виде распределений вероятностей, байесовский метод обеспечивает возможность прямых вероятностных утверждений о значениях 0 и других параметров, используя определение вероятности, как меры уверенности.

6.3    Фидуциальный подход

6.3.1 Федуциальный подход разработан Р Фишером (13) в 1930-ых годах. В этом подходе распределение вероятностей для 0, названное фидуциальным распределением, является условным (по данным) и получено на основе взаимосвязи 0 и ц* описанной функцией f, предположениями о рас-

P 50.1.100—2014

пределении данных, используемых для определения оценки Фидуциальное распределение может быть использовано для определения интервалов неопределенности, которые содержат 0 с заданной вероятностью

6.3.2 Обоснование процесса определения фидуциального распределения иллюстрирует следующий пример Предположим, что величину У можно описать уравнением Y = ц ♦ 2. где р — измеряемая величина, Z — случайная величина, подчиняющаяся нормированному нормальному распределению Если у— реализация случайной величины Y, a z — реализация случайной величины Z, то р = у - z. Знание распределения z позволяет определить совокупность возможных значений ц Распределение вероятностей Z может быть использовано для вывода распределения вероятностей р. Процесс преобразования соотношения р = у - г в соотношение р = у - Z и есть суть фидуциального подхода Фццуци-альное распределение р представляет собой распределение вероятностей случайной величины (у-Z) при фиксированном у

7 Примеры

7.1 Общие положения

Примеры связаны с корректировкой некоторой физьтдеской величины на фоне помех В таблице 2 приведено описание и обозначение используемых величин, в 7.2—7.4 приведены примеры определения оценок

Примечание —Описание величин, несущественных для целей настоящего примера, не приведено Таблица 2 — Пояснения к примеру

Величина Обозначение Исследуемая физическая величина (измеряемая) е Величина, обнаруженная методом измерений при измерении фонового шума (т. е среднее В) Р Исследуемая физическая величина, обнаруженная методом измерений (т. е среднее У) у-е + р Стандартное отклонение метода измерений при измерении исследуемой физической величины (стандартное отклонение У) Оу Стандартное отклонение метода измерений при измерении фонового шума (стандартное отклонение 8) °в

7.2    Пример а)

Наблюдаемой величиной является композиция сигнала и фонового шума В результате измерений получено пять независимых значений Предполагается, что каждое значение у является реализацией случайной величины У, подчиняющейся нормальному распределению со средним у = 0 ♦ р и стандартным отклонением о у. Результаты измерена у составили:

3,738;    3 442;    2 994,    3 637;    3 874.

Выборочные среднее и стандартное отклонение равны у = 3,537 и Sy = 0,342

Аналогично определено пять результатов измерений фонового шума Эти значения, как предполагается, являются реализацией случайной величины В, подчиняющейся нормальному распределению со средним р и стандартным отклонением о_в Наблюдаемые значения фонового шума составили:

1,410,    1,085;    1,306;    1,137;    1,200.

Поскольку имеются результаты измерений для каждой величины, которая является источником неопределенности, то на основе данного примера может быть показана статистическая интерпретация каждого подхода

7.3    Пример б)

Пример б) идентичен примеру а), но оценки параметров фонового шума определяют не на основе экспериментальных данных, а на основе предыдущего опыта или экспертных данных В этом случае величина р подчиняется равномерному распределению на интервале с конечными точками 1,126 и 1,329.

5

Поскольку использована экспертная оценка, неопределенность, соответствующая фоновому шуму, получена с использованием оценки типа В Пример б) ближе к реальной ситуации, чем пример а).

7.4 Пример в)

Пример в) идентичен примеру б) за исключением того, что сигнал 0 ближе по характеристикам к фоновому шуму Наблюдаемые данные «сигнал плюс фоновый шум» в этом случае составили

1,340,    1.078;    1,114;    1,256;    1,192.

Для сигнала, почти совпадающего с фоновым шумом, в примере в) показано, как физические ограничения могут быть использованы при определении оценки неопределенности в каждом подходе

8 Частотный подход

8.1 Основной метод

811 При частотном подходе параметры рассматривают как неизвестные постоянные величины Далее случайные переменные обозначены прописными буквами, а соответствующие им наблюдаемые значения —строчными Доверительный интервал может быть получен на основе функции №(У 0) от У и параметра 0, которая может быть многомерной Распределение вероятностей параметра 0 не имеет неизвестных параметров (если такое распределение может быть определено). Тогда доверительный интервал уровня 100 (1 - а) % для 0 может быть определен через нижнюю и верхнюю процентили t₀ и u_v удовлетворяющие условию Р₀ (t_e s УЦ У 0) й uj = 1 - а

8.1 2 Например, если У = (У^.....У„)    —    случайные    величины,    подчиняющиеся нормальному рас-

пределению Пусть необходимо определить оценку ц при известном значении о Величина подчиняется N(0,1).

Тогда границы доверительного интервала для ц имеют вид

^9tTn²°l*    ⁽⁴⁾

где — квантиль уровня а/2 нормированного нормального распределения

Если о неизвестно, можно использовать в качестве его оценки выборочное стандартное отклонение

\ЬугЪ²

1    л-1

Оценку ц получают, заменяя о на S.

Величина

ITTn^ "'I    ⁽⁵⁾

подчиняется распределению Сгыодента с числом степеней свободы (л -1) Доверительный интервал для ц определяют по формуле

где f_n_t.i-a/2 — квантиль распределения Стыодента с (л -1) степенями свободы

8.1.3    Вместо точных оценок, которые можно получить только в простых ситуациях, обычно используют приближенные оценки Для больших выборок приближенные доверительные интервалы могут быть получены на основе центральной предельной теоремы.

8.1.4    Дополнительные методы определения доверительных интервалов приведены в (14J. Некоторые из них упомянуты в примерах При построении доверительного интервала для обратных величин б