Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1 

106 страниц

580.00 ₽

Купить Р 50-54-43-88 — бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль"

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Рекомендации распространяются на расчет трехмерных и плоских составных объектов, подверженных статическим нагрузкам при смешенных граничных условиях и различных вариантах сопряжения однородных элементов.

 Скачать PDF

Дефект оригинала

Оглавление

1. Принятые обозначения и сокращения

2. Постановка задачи

     2.1. Пространственные задачи теории упругости

     2.2. Плоские задачи теории упругости

3. Метод решения задачи

     3.1. Теорема о взаимности работ. Интегральные представления Сомилиана

     3.2. Универсальные вспомогательные состояния

     3.3. Дискретизация интегральных представлений

     3.4. Аналитическое определение усилий и перемещений вспомогательного состояния на неискривленных базисных фрагментах поверхности

4. Алгоритмы решения, перечень исходных данных и получаемых результатов

     4.1. Решение граничной задачи

     4.2. Определение напряженно-деформированного состояния во внутренних точках области

     4.3. Исходные данные и вывод получаемых результатов

5. Пакеты прикладных программ "Потенциал" и их использование

     5.1. Пояснительная записка

     5.2. Программная документация и контрольные примеры

     5.3. Примеры расчета

6. Приложение

     6.1. Аналитическое определение компонентов интегральных представлений трехмерных задач

     6.2. Аналитическое определение компонентов инте­гральных представлений двумерных задач

Литература

Стр. 1
стр. 1
Стр. 2
стр. 2
Стр. 3
стр. 3
Стр. 4
стр. 4
Стр. 5
стр. 5
Стр. 6
стр. 6
Стр. 7
стр. 7
Стр. 8
стр. 8
Стр. 9
стр. 9
Стр. 10
стр. 10
Стр. 11
стр. 11
Стр. 12
стр. 12
Стр. 13
стр. 13
Стр. 14
стр. 14
Стр. 15
стр. 15
Стр. 16
стр. 16
Стр. 17
стр. 17
Стр. 18
стр. 18
Стр. 19
стр. 19
Стр. 20
стр. 20
Стр. 21
стр. 21
Стр. 22
стр. 22
Стр. 23
стр. 23
Стр. 24
стр. 24
Стр. 25
стр. 25
Стр. 26
стр. 26
Стр. 27
стр. 27
Стр. 28
стр. 28
Стр. 29
стр. 29
Стр. 30
стр. 30

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ


М.


РАСЧЕТЫ И ИСПЫТАНИЯ НА ПРОЧНОСТЬ


Метод интегральных уравнений и программы расчёта на ЭВМ

плоских и пространственных

элементов конструкции


1ХЮУДАРСТВЕННЫЙ КШИГЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ (В)сстандарт СССР)

Всесоюзный научно-исследовательский институт по нормализации в машиностроении (ВНИИНМАЫ)

Утверждены Приказом ВНИИНМАШ # 274 от ОЗ^.В? г

Расчеты и испытания на прочность

Метод интегральных уравнений и программы расчета ЭШ плоских и пространственных элементов конструкций

Рекомендации Р 50-54-43-88

Москва 1988

10

3.2. Универсальные вспомогательные состояния

3.2.1. Для построения общего численно-аналитического метода во вспомогательном состоянии рассматривается область S 4 выделенная из бесконечного изотропного пространства S&o9 с физико-механическими характеристиками, соответствующими заданным для тела S в основном состоянии. Бесконечная среда S*. нагружена сосредоточенной силой    , под действием которой

на границе 3 € Sc* образуется система реактивных усилий F?M(N)

и перемещений Ut *Ш)    .    Образованное    таким образом вспо

могательное состояние будем называть универсальным. Источником получения универсальных вспомогательных состояний являются известные системы фундаментальных решений» определяющих поведение бесконечных или частично бесконечных сред под действием сосредоточенных нагрузок.

3.2.2.    Универсальное вспомогательное состояние для общего

случая исследования пространственного тела S строятся на основе решения задачи Кельвина [9,15]    ;

upb/^Mj = [ 16яр (1-1)г]'*[(э-4 Щ *лдг^ ,(3-3)

В соотношениях (ЗЛ)-(З.З) Г*я    -    расстояние

между точкой A'eS и точкой    ;    L =1,2,3 - индекс оси

системы координат    в    точке К , по направлений которой

действует единичная сосредоточенная сила &**** (К)=1; J =1,2,3-- индекс осн системы координат, относительно которой определяется перемещение.

3.2.3.    Вели системы координат /*// и /tij} произвольно ориен

тированы в пространстве,то перемещения точки Л'аг в системе (/ij от единичных сил, прикладываемых в ^ по направлению {^j    ,

определяется выражением

* ctiu^u/^U'R,Ы) .    (3.4)

В (3.4) Сц - матрица направляющих косинусов, которая связывает системы {etj и (njJ :

ci£ = Ctk як ь    (3.5)

3.2.4.    Для определения компонентов тензоров напряжений во вспомогательном состояния при действии единичной силы & необходимо к компонентам матрицы перемещений Кельвина (3.3) при-

II

менять соотношение (2.2), Тогда U?}6f}1(X>N) = Са

V) - [81W-    1 V 4, „J-    (3>6)

-fy Я,) Г'3 1 3 ъ П; ле r'SJ,

Если в точках A/ef местная система координат ориентирована таким образом, что ось    совпадает    с    внешней нормалью,

то элементы матрицы векторов усилий определяются из (3.6):

tSe6vf1    =    Cek и1П>б/”и ,    (3,7)

3.2.5.    Компоненты тензора напряжений в точке К основного состояния, входящие в тождество Сомилиана (3.2), получим при действии соответствующих дифференциальных операторов на &/£2(%) :

£ы (1)-(S„eA е v + tye'V,Yv/'J(«;/=6%    (3.8)

Перемещения в интегральных представлениях (3.3) напряжений определяются выражением

12

+    +    ~    ^    ^    (3.II)

Компоненты векторов усилий на границе Г области аналогично (3.7) определяется как частный случай (З.П):

в%Р(П«А')=с^си    *)■    (зл2)

(3.13)


3.2.8. Для плоского напряженного состояния и плоской деформации универсальное вспомогательное состояние получаем, выделяя область в из соответствующей двумерной среды £<*> загруженной единичным сосредоточенным воздействием. Матрица Кельвина в этом случае имеет вид

- Hfanj г'1- defy 6,г).

где

н*[гх#{<+эе)Г‘;

se - 3-V - для плоской деформации;

эе*{з -    для плоского напряженного состояния.

3.2.9. Как видно из сравнения (3.4) и (3.13), между компонентами этих формул существует формальное соответствие. Поэтому можно ограничиться выражениями для перемещений и напряжений вспомогательного состояния при ос4- и . В этом случав компоненты напряжений универсального вспомогательного состояния для интегральных представлений перемещений имеют вид

а) - H/i[л) &• 4 V- fy -л. -J    (3.14)

- £ЪУ- 4*епу Г~*J.

Компоненты граничных усилий для двумерного напряженно-деформированного состояния определяются из (3,4), (3.14) при * 1,2.

3.2.10. Для интегрального представления напряжений в плоской задаче теории упругооти справедливы также формулы (3.9) и (ЗЛО). Компоненты тензоров напряжений универсального вспомогательного состояния образуются аналогично (З.П) и при oct =?/£,■ определяются соотношениями

V) * и '#[t V Я,-    Г-*    -


13

Уснлжя на границе Г также описываются выражениями (3.12).

3*3. Дискретизация интегральных представлений

3.3.1* Интегральные представления (3.2) формально позволяют свести задачу по определению компонентов, характеризующих напряженно-деформированное состояние объекта исследования для произвольного множества точек ^ е S , к последовательности независимых вычислений для каждой L -й точки.

Рассмотрим произвольный многогранник (многоугольник) St . близкий области 5 и используем его границу как оазу для аппроксимации действительной поверхности (контура) Г. Предположим, что для остается в силе критерий сгла-живаемости Ляпунова на тех участках границы, где он был справедлив до аппроксимации. Тогда соотношение (3.2) будет вквивалентно следующему выражению:

М = i    ""Мс/С    -

*    .    (3.16)

ft    F

если с - количество неискривленных базисных элементов -неограниченно возрастает с    , a S '-*■ S •

3.3.2. В (3.16) функции граничных плотностей властопотен-циалов, определягощне значения перемещений и усилий на границе г основного состояния, также следует заменить эквивалентными функциями на совокупности неискривленных базисных элементов.

С этой целью могут применяться различные варианты аппроксимаций полиномиальными (сплайновыми) функциями на построенном базисе[3].

В настоящей работе для решения задач различных классов будем использовать Простейший, но в то же время достаточно общий способ кусочно-постоянного представления усилий и перемещений основного напряженно-деформируемого состояния исследуемого объек та .5    , отождествляемого с многогранником S' • Это допущение

приводит к преобразованию (3.16) в виде

f    (3    17)

- fitn)W Л [V*, KWh IК

3.4. Аналитическое определение усилий и перемещений вспомогательного состояния на неискривленных базисных фрагментах поверхности

3.4.1. Для вычисления дискретных компонентов (3.17) разра-

14

ботаяа универсальная методика [1-^ , позволяющая путем простейших преобразований свести Задачу получения значений определениях интегралов к серии операций над матрицами, обладающими большой компактностью и хорошо исследоваными свойствами.

3.4.2.    Рассмотрим произвольный плоский базисный фрагмент, ограниченный замкнутым многоугольником Af Ал Aj . В точке

Н имеется некоторая прямоугольная система координат /*>_/    .

Разместим в точка К еще одну систему координат { fij таким образом, чтобы координатная ось п4 была перпендикулярна к плоскости A, At .. Ay . Координатные системы    и /Ч j

взаимосвязаны с помощью матрицы направляющих косинусов (рис.3.1) .

3.4.3.    Используя только преобразования вращения систем координат, из соотношений (3.3), (3.4), (3.5), (3.8),

(ЗЛО) получим выражения для перемещений и напряжений, вызванных произвольно ориентированными воздействиями во вспомогательных состояниях.

Значения интеграла функций усилий и перемещений вспомогательного состояния по области плоского многоугольника определяются в результате последовательного суммирования по треугольным подобластям Н4 А, А,^ , где s 4f    А,ал

(рис. 3.1) или

Рис. 3.1. Приведение к базисной системе интегрирования в трехмерной задаче

15


3.4.4. Вычисление значений определенных интегралов по формуле (3.13) упрощается при использовании преобразования вращения в единой фиксированной системе координат {*ij : ось s zпроходит через точки М и ; ось ^ перпендикулярна к параллельна    •

Тогда


где £/;


ъ.


ь ■*/ >


матрица поворота вокруг оси


4    0    0

О Со$6 - SwQ

о Sin9 COSlB


(3.19)

для каждой стороны (3.20)


3.4,5. Используя матрицу вращения (3.20), получим формулы для преобразования компонентов напряженно-деформированного состояния:


J    *    у*/    А    'А-    *

J К*(/df= jr s<r» 4»    \

'**<**,'    /О


(3.21)


2 s/m 4J&Tr7

3.4.6. Представление функций под знаком интеграла (3.21) позволяет построить матрицы характеристик напряженно-деформированного состояния в замкнутом виде и обеспечить эффективность вычислительного процесса. При этом интегралы не расчленяются на сумму простейших, что позволяет сохранить их физический смысл. Интегральные характеристики величин усилий и перемещений на не-искривленных базисных фрагментах в системе (} определяются выражением    „

.//(3.22)


о О


где a    f ~ расстояние от точки ^    до прямой А/Aj+s j

£    - длина прямой, отсчитанная от точки пересечения

прямой Ау£у+* с перпендикуляром & , в формулах, приведенных далее, отождествляется с ^    ,    характеризуя    линейный размер и

направление; /> - проекция радиуса-вектора А на плоскости, 3.4.7, Замкнутые аналитические выражения, определяюище все интегральные характеристики перемещений и усилий на границе вспомогательного состояния системы алгебраических аналогов интегральных представлений (3.12), приведены в приложениях.


16

4. АЛГОРИТМЫ РЖЁВИЯ, ПЕРЕЧШЬ ИСХОДШ

данных; и получашл результатов

4.1* Решение граничной задачи

4.1.1.    На нервом этапе расчета построенные функциональные уравнения решаются на основе численно-иналитического метода Ври

этом аппроксимирующие линейные ал1ебраичесние системы можно представить в общем матричном виде

№}--М{у),    (4Л)

где jxj и ]i/j объединяют соответственно неизвестные и известные дискретные значения плотностей эластопотенциалов в зави-' самости от граничных условий и нагружения тела; г 4] я [з] -матрицы, члены которых вычисляются как интегралы функций компонентов вспомогательных состояний (см. разд. 3.2).

Определение неизвестных fxj связано с определенными грудностями как теоретического, так и вычислительного характера.

Хотя применение метода потенциала на единицу снижает размерность разрешающих соотношений по сравнению с размерностью самой задачи, порядок алгебраических систем (4.1) при расчете реальных объектов весьма высок (особенно при исследовании трехмерных тел).

Кроме того, коэффициент заполнения матрицы [А] , представляющий собой отношение количества ненулевых элементов к общему числу элементов матрицы, обычно блиэок я единице. Поэтому для формирования и решения системы (4.1) при численной реализации необходимо использовать внешние запоминающие устройства ЭВМ, что существенно усложняет вычислительный процесс.

4.1.2.    В настоящей работе приводится прямой алгоритм решения граничной задачи. При его использования матрицы [А] и [S] формируются последовательным обходом границы объекта и вычислением для каждой узловой точки Л > строки коэффициентов при неизвестных в узлах /Уа/п по формулам (3.21), где принят кусочно-постоянный закон изменения неизвестных в пределах элементов границы , центры тяжести которых отождествляются с узловыми точками ,V

17

4,1.3. Построение прямого алгоритма и его сходимость при сгущении сети элементов на границе Г покажем на примере следую-* щей трехмерной задачи теории упругости. Квадратная з плане пластина (рис. 4.1) защемлена по боковым граням, к плоскости хг приложена равномерно распределенная нагрузка единичной интенсивности, поверхность    свободна.    Отношение    толщины М к

размеру в плане/; #/& « 1/4; 1/2 и I. Модуль упругости плиты условно принят единичным, а коэффициент Пуассона    0,3,    Гранич

* £/г

ные условия задачи характеризуются соотнесениями у /л ш

-«О-.и гU "Р    НУеШ

Рис. 4.1. Толстая защемленная плита


\^i

'кг т%

Сгущение разбивочной сети на граничной поверхности плиты производилось в соответствии со схемой на рис. 4.2 (тонкой линией показан принцип сгущения) при выборе по толщине плиты /? = 4, 6,8,10 фрагментам. При использовании кусочно-постоянной аппроксимации неизвестных разрешающая сиотема имеет вид: для Л? . € Г (/* t *mt)

tt’V

IQ

(4.2)


+ (mt + i &m,)-

ди Noj e Гу * Ги (m, -rl *■ t < тг)


yml



-2



-4


UC?U!:4uoj3N)olr].

(4*3)


УК'1 УК

\sXfx

у^5-Д

/^ssK V4x\ *V

ж


Рио. 4.2. Фрагментация граничной поверхности

Для оценки влияния изменения разливочной сети граничной поверхности на точность результатов прк различных значениях вычислялись перемещения af и напряжения сг в точках, расположен ных внутри объекта вдоль прямой хг    Результаты    вычислений

показаны на рис* 4*3 в виде графиков изменения иг и вдоль оси хг.


19

Рис* 4*3. Напряжение &fl и перемещение иг в толстой пластине при

Ив них следует, что для    *    1,0    и    0,5 достаточно шее-

ти фрагментов по толщине плаотины, а для /f/б * 0,25 - восьми фрагментов. При этом значения перемещений ^ при контрольном сгущении сетки ( /? * 8 при М/.2 * 1,0 и 0,5 и /I « 10 при МД* ш 0,25) отличаются от предыдущих в пределах ~ Сходимость напряжений & ухудшается при приближении точек к граничной поверхности плиты, где особенно сильно ощущается погрешность кусочно-постоянной аппроксимации плотностей, Тем не менее напряжения бг совпадают в большинстве точек прямой для тех же значений параметра разбивочной сети /Т, что я перемещения иг.

Груша Т 51

УДК 539.3

РЕКШВДАЦИИ

Расчеты и испытания на прочность

Метод интегральных уравнений и программы расчета на ЭШ плоских и пространственных элементов конструкций

Рекомендации Р 50-54-43-88

ОКСТУ 4103

Настоящие рекомендации распространяются на расчет трехмерных и плоских составных объектов, подверженных статическим нагрузкам при смешанных граничных условиях и различных вариантах сопряжения однородных элементов.

В рекомендациях приводится численно-аналитический метод потенциала {.I-9J для решения линейных и нелинейных задач механики твердых деформируемых тел, принципиально отличающихся от других универсальных численных методов (конечных элементов, сеток, вариационно-разностных), системные средства реализации которых получили наибольшее распространение.

Усилия и перемещения по произвольному множеству точек области определяются на основе дискретного анализа систем функциональных уравнений, сформированных относительно неизвестных перемещений и реакций на границе, и последующих независимых вычислений каждого отдельного компонента во BiiyT— реняих точках. Поэтому при реализации метода потенциала дискретизации подвергаются только граница области и число определяющих неизвестных, полученных в результате решения аппроксимирующей системы алгебраических уравнений, сокращается по

20

На рас. 4.4. изображены результаты решения граничной задачи в ваде эпюр напряжений ^ (сплошная линия) и (пунктирная линия) ВДОЛЬ прямой Хг*1/21 JCj-»#, При ///I = 1} 0,5 для приводимых результатов принято разбиение ^=6; при 0,25 п = 10. Необходимость использования более гуотой разбивочной сети при меньшей толщине пластины связана с увеличением градиентов напряжений при приближении к свободным граням (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Граничные напряжения 5/ и ^ в толстой пластине приx.^LjitXytO

4.1.4. При вычислении коэффициентов разрешающих сис-

тем с помощью соотношений разд. 3.4 различия между основными вариантами реализации практически несущественны. Для иллюстрации воз-

3

сравнению с сеточными методами. Отсюда повышение эффективности всего вычислительного процесса, в частности, сокращение объема и трудоемкости подготовки исходной информации.

Предлагаемый метод ориентирован на автоматизированное проектирование ответственных реальных объектов техники. В основ.» его лежит исследование напряженно-деформированных состояний конструкций в различных условиях их эксплуатации и изготовления с учетом сложности конфигурации, ограниченности или бесконечности области, варьирования смешанных граничных условий составных элементов, силовых и температурных нагрузок, линейности и нелинейности деформирования, полноты пространственного представления тела, введения различных упрощающих гипотез для исследования особенностей исследуемого состояния и т.п.

Численно-аналитический метод потенциала реализован в пакетах прикладных программ "Потенциал-2" и "Потенциал-3" в развитие ППП "Потенциал-1", сданного в Государственный и Республиканский фонды алгоритмов и программ [?] .

Подлинники программ хранятся в Киевском ордена Трудовох-о Красного Знамени инженерно-строительном институте.

Рекомендации предназначены для специалистов НИИ, КБ и заводских лабораторий, занимающихся расчетами на нрочность изделий машиностроения.

I. ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

Е -модуль упругости, Па;

/к - модуль сдвига, Па;

Ь - коэффициент Пуассона;

НДС - напряженно-деформированное состояние;

ППП - пакет прикладных программ;

ВС - единая серия;

ЭШ - электронно-вычислительная машина;

ОС - операционная система;

МД - магнитный диск (том прямого доступа);

МЛ - магнитная лента;

ПЗУ - внешние запоминающие устройства;

АШУ - алфавитно-цифровое печатающее устройство;

4

u€ ^Ui    перемещения    точки    // в направлении оси

при действии в точке К единичной сосредоточенной силы в направлении оси de ;

Uh !*)(K,t/) - компоненты тензора напряжений в точке А/ в направлении осей к I при действии в точке £ единичной сосредоточенной силы вдоль оси etc *

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2.1.    Пространственные задачи теории упругости

2.1.1.    Исследуется напряженно-деформированное состояние объекта, который занимает область »$ с ослаблениями Зо и имеет границу Г (рис.2.1).

5

/    2.1.    Геометрические    характеристики

пространственного объекта

Для описания геометрии используется общая декартова система координат Ох,хлТл , в общем случае рассматривается составной объект с кусочно-постоянными характеристиками. Деформируемое тело находится под действием статически уравновешенной системы внешних сил и реакций связей. Обобщенные нагрузки могут представляться полем массовых внутренних сил, которые в каждой точке заданы проекциями векторов XV на координатные оси Ox¥xtXj и системой поверхностных нагрузок Р} приложенных на границе Г . Поверхностные усилия Р определяются своими проекциями /? как в системе (, так и в местной системе ортогональных координат (niJ f связанной с произвольной точкой Nj £    .    Компоненты

напряженно-деформированного состояния в точке    будем

считать отнесенными к ортогональной системе координат fa/j с центром в точке А' .

2.1.2.    При решении статических задач состояние тела характеризуется полями перемещений U , имеющих проекции Uj на выбранные системы координат. Относительные деформации £,у описываются производными по координатам от Uj [l§]

£ =0.5(Uit; +Uj,i),    '    (2.1)

Примечание. Здесь и далее индексы, встречающиеся в левой и правой частях формул, будем считать свободными и суммирование по ним не производить.

2.1.3.    Напряжение    и    деформации    €tJ    связаны    между    со

бой законом Гука

<Oiy = S^Je    (2.2)

где £ ~ модуль упругости, ))    -    коэффициент    Пуассона,

б

А-£ж[{*+1>Х1-2$ - коэффициент Ляме, А/ш&.5Efi+i)J- модуль сдвига, e-d^- относительная объемная деформация.

/Яу t "JJ, (Ь -<?, £*J)    -    символ    Кронекера.

2Л.4. Справедливы уравнения равновесия

e<j,k * X; =0,    (2.3)

2Л.5. Граничные условия мохут задаваться в напряжениях

** " V у    (2.4)

где    ~    направляющие косинусы нормали % поверхности -

2Л.6. Систему дифференциальных соотношений (2Л)-(2.4) завершают условия неразрывности деформаций

V%J +2 ft Же - - (XU +xJ l);    (2.5)

V~ оператор Лапласа.

2Л.7. Решение задачи линейной теория упругости описывается системой трех уравнений эллиптического типа в перемещениях

JJ v*ut + ft y/)e,i +Х; -О.    (2.6)

2Л.8, Однозначное определение функций, входящих в урав-нения (2Л)-(2.б), при заданной системе внешних нагрузок X/ и Р; зависит от точности удовлетворения граничных условий на Г . Часть граничной поверхности Гw может находиться под действием такой системы нагрузок, при которой в произвольной точке перемещения U'•    определяются заданной кинематической функцией

Ш) (первая краевая задача [о]    ):

UiOt) = fW)>    (2.7)

В этом случае граничными неизвестными являются компоненты вектора поверхностных усилий ff . На другой части границы известны статические условия

/7 , fJM),    (2.8)

а точки Nfzfp свободны в своих перемещениях UL (X) (вторая крнэвая задача). Может также задаваться сочетание кинематических у статических граничных условий

7

(2.9)

uk M) =fk (N), Pt M ~fe M), tieruP/ ^=3,

Неизвестными являются недоопределенные компоненты вектора перемещений    и усилий (л/) (третья краевая задача).

Используем еще два типа граничных условий. Так, если между векторами граничных усилий и перемещений имеется некоторая функциональная связь вида

в (У) = //Ui M)]t    (2.10)

то задача нахождения неизвестных компонентов формально разрешается определением f^(N) или Ut W)}l^€ Г . Частный случай такого типа граничных условий - связь между контактными усилиями и перемещениями U; на поверхности тела, опирающегося на упругое параметрическое основание, работа которого описывается гипотезой Винклера [ю]

=    (2.II)

где к} - коэффициент постели упругого основания (скалярная величина ).

Еще один вариант граничных условий возникает на участке контакта двух упругих тел. Хотя в этом случае граничные условия для каждого тела неизвестны, могут быть сформулированы функции связи этих элементов (неразрывность, проскальзывание, трение или другие комбинации). На участке сопряжения двух тел выделяются 6 независимых компонентов векторов усилий и перемещений. Тогда остальные 6 компонентов известны или выражаются через независимые неизвестные и краевая задача также однозначно разрешима.

Например, в случае неразрывности усилий и перемещений на границе контакта имеются 6 соотношений вида

f? = в "Ш = и™0*).    (2.12)

В (2.12) индексами I и 2 отмечены компоненты граничных условий, относящиеся соответственно к первому и ко второму телам.

Во многих случаях граничные условия удобно задавать, заменяя U£ и Pt компонентами /У/'1' и , ориентация которых определяется ортогональными направлениями внешней нормали /?, я осей пг , Пъ t обычно связываемых с главными кривизнами поверхности Г .

8

2.2. Плоские задачи теории упругости

2.2.1.    Рассмотренные соотношения классической теории упру

гости удовлетворяются при исследовании массивных тел, имеющих протяженность одного порядка во всех трех направлениях. При значительном уменьшении одного из характерных размеров по сравнению с остальными становится возможным переход к специально построенным упрощенным расчетным моделям. В частности, если внутри области S все площадки одного направления (например, перпендикулярные к оси 0С3    ) являются заведомо главными, простран

ственная задача вырождается в плоскую [15] •

2.2.2* При выводе основных соотношений плоской задачи предполагается, что 6^,    a 6j5 или равняется нулю (плоское

напряженное состояние), или выражается через и    (плоская деформация). Разрешающая система двух уравнений (4/'-<,г    )

остается подобной (2.6), где вместо Л записывается ^о (А0~Л - для плоской деформации, A0-2JW&+Z#J~=£    -    ДЛЯ плоско

го напряженного состояния):

jUVf*Vi *    +К    =0*    (2.13)

Граничные условия также представляются независимо от •

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

3.1, Теорема о взаимности работ. Интегральные представления Сомилиана

3.1 Л. Метод решения граничных задач основан на применении принципа взаимности обобщенных работ двух объектов, между множествами точек которых можно установить однозначное соответствие. Напряженно-деформиройанное состояние одного тела - ооъекта исследования назовем основным, а другого - вспомогательным. Предполагается, что оба тела выполнены ив ивотропного материала с одинаковыми фиэико^механическими характеристиками. Они геометрически тождественны друг другу и различаются ливь нагружением и закреплением.

3.1.2.    При построении разрешающих интегральных соотношения численно-аналитического метода потенциала целесообразно ограничить систему внешних воздействий во вспомогательном состоянии сосредоточенными единичными нагрузками, не накладывая каких-либо ограничений на нагружение тела в основном состоянии. Иод дейст-

9

визы единичной силы    в    точке    MeS    на    границе /*" вспо

могательного тела возникает система реактивных усилий перемещений Ц/***(№) , ориентированных в местной системе координат [ nj в точках А/еГ .

В этом случае уравнение (3.9) принимает вид

5^}* UL (к) = J Xi U-с/5 + j^uJ")M)uf)${*)*(H>N)cir"

-Jr С ij = i, 2,5),

Соотношение (ЗЛ) - интегральное представление перемещений произвольной точки X по направлению , сраженному функционально через перемещения    и    усилия    РГп)(ы) на

границе. Г.

3.1.3. Рассматривая (3.1) как функционал перемещений основного состояния и применяя к нему дифференциальные операторы деформаций (2.1) или закон Гука (2,2), получаем полную систему интегральных представлений компонентов векторов перемещений и тензоров деформаций я напряжений. Для выражения системы интегральных представлений введем символ SS/cJ * указывающий на произвольный характер интегрального представления. Для линейного напряженно-деформированного состояния SBfY может рассматриваться как дифференциальный оператор (2.1) или (2.2), действующий на функционалы перемещений и напряжений вспомогательного состояния. Это эквивалентно действию во вспомогательном состоянии отличного от единичной силы источника, взаимного £ и вызывающего на границе Г соответствующие ему перемещения &/Y    Pj    и    реактивные    усилия

Я?/р/п> *(К,Н)

Таким образом, обобщенная система интегральных представлений будет иметь вид

Обычно в (3.2) краевые условия определяют лишь половину компонентов усилий и перемещений на границе г основного состояния, другая половина компонентов должна быть найдена в процессе решения граничной задачи.

1

   (3'9)

3.2.6.    Вследствие тождественности дифференциальных опера

торов, действующих на матрицу Кельвина при формировании компонентов перемещений интегральных представлений напряжений и компонентов напряжений интегральных представлений перемещений в местной системе координат [tyj в X е $    ,    совпадают вели

чины

2

u;%yJY«, mj -    . <з10)

3.2.7.    Применяя дифференциальный оператор напряжений (3.8) к компонентам интегрального представления перемещений (3.6), получим составляющие тензоров напряжений интегральных представлений напряжений