Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1
 

106 страниц

580.00 ₽

Купить официальный бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Официально распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль".

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Рекомендации распространяются на расчет трехмерных и плоских составных объектов, подверженных статическим нагрузкам при смешенных граничных условиях и различных вариантах сопряжения однородных элементов.

Оглавление

1. Принятые обозначения и сокращения

2. Постановка задачи

   2.1. Пространственные задачи теории упругости

   2.2. Плоские задачи теории упругости

3. Метод решения задачи

   3.1. Теорема о взаимности работ. Интегральные представления Сомилиана

   3.2. Универсальные вспомогательные состояния

   3.3. Дискретизация интегральных представлений

   3.4. Аналитическое определение усилий и перемещений вспомогательного состояния на неискривленных базисных фрагментах поверхности

4. Алгоритмы решения, перечень исходных данных и получаемых результатов

   4.1. Решение граничной задачи

   4.2. Определение напряженно-деформированного состояния во внутренних точках области

   4.3. Исходные данные и вывод получаемых результатов

5. Пакеты прикладных программ "Потенциал" и их использование

   5.1. Пояснительная записка

   5.2. Программная документация и контрольные примеры

   5.3. Примеры расчета

6. Приложение

   6.1. Аналитическое определение компонентов интегральных представлений трехмерных задач

   6.2. Аналитическое определение компонентов инте­гральных представлений двумерных задач

Литература

Показать даты введения Admin

Страница 1

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ

РАСЧЕТЫ И ИСПЫТАНИЯ НА ПРОЧНОСТЬ

Страница 2

1ХЗСУДАРСТВВННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ (Нестандарт СССР)

Всесоюзный научно-исследовательский институт по нормализации в ?иашмност роении (ВНИИШАЫ)

Утверждены Приказом ВНИИНМАН! » 274 от 03.Э.РГ? г

Расчеты и испытания на прочность

Метод интегральных уравнений и программы расчета да ЭЕМ плоских и пространственных элементов конструкций

Рекомендации Р 50-54-43-00

Москва 1968

Страница 3

УДК 539.3    Группа    Т    51

РЕКОМЕНДАЦИИ

Расчеты и испытания на прочность

Метод интегральных уравнений и программы расчета на ЭЕМ плоских и пространственных элементов конструкций

Рекомендации Р 50-54-43-88

01СТУ 4103

Настоящие рекомендации распространяются на расчет трехмерных и плоских составных объектов, подверженных статическим нагрузкам при смешанных граничных условиях и различных вариан тах сопряжения однородных элементов.

В рекомендациях приводится численно-аналитический метод потенциала [1-9] для решения линейных и нелинейных задач механики твердых деформируемых тел, принципиально отличающихся от других универсальных численных методов (конечных элементов сеток, вариационно-разностных), системные средства реализации которых получили наибольшее распространение.

Усилия и перемещения по произвольному множеству точек области определяются на основе дискретного анализа систем функциональных уравнений, сформированных относительно неизвестных перемещений и реакций на границе, и последующих независимых вычислений каждого отдельного компонента во внутренних точках. Поэтому при реализации метода потенциала дискретизации подвергаются только граница области и число определяющих неизвестных, полученных п результате решения зштрок-оимпруюией системы алгебраических уравнений, сокращается по

Страница 4

3

сравнению с сеточными методами. Отсюда повышение эффективности всего вычислительного процесса, в частности, сокращение объема и трудоемкости подготовки исходной информации.

Предлагаемый метод ориентировал на автоматизированное проектирование ответственных реальных объектов техники. D основ.® его лежит исследование напряженно-деформированных состояний конструкций в различных условиях их эксплуатации и изготовления с учетом сложности конфигурации, ограниченности или бесконечности области, варьирования смешанных граничных условий составных элементов, силовых и температурных нагрузок, линейности и нелинейности деформирования, полноты пространственного представления тела, введения различных упрощающих гипотез для исследования особенностей исследуемого состояния и т.п.

Численно-аналитический метод потенциала реализован в пакетах прикладных программ "Потенциал-2" и "Потенциал-3” в развитие ППП "Потенциал-1", сданного в Государственный и Республиканский фонды алгоритмов и программ [7] .

Подлинники программ хранятся в Киевском ордена Трудовою Красного Знамени инженерно-строительном институте.

Рекомендации предназначены для специалистов НИИ, КБ и заводских лабораторий, занимающихся расчетами на нрочность изделий машиностроения.

I. ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

В - модуль упругости, Па;

/и - модуль сдвига, Па;

i - коэффициент Пуассона;

НДС - напряженно-деформированное состояние;

ППП - пакет прикладных программ;

ВС - единая серия;

ЭРМ - электронно-вычислительная машина;

ОС - операционная система;

МД - магнитный диск (том прямого доступа);

МЛ - магнитная лента;

ПЗУ - внешние запоминающие устр)йства;

АЦПУ - алфавитно-цифровое печатающее устройство;

Страница 5

4

м

а'ОиГЫ перемещения точки fJ в направлении оси hj. при действии в точке К единичной сосредоточенной силы в направлении оси еСс ;

Mb    •    компоненты    тензора напряжений в точке д/

в направлении осей k £ при действии в точке £ единичной сосредоточенной силы вдоль оси рСс •

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2.1.    Пространственные задачи теории упругости

2.1.1.    Исследуется напряженно-деформированное состояние объекта, который занимает область £ с ослаблениями So и имеет границу Г (рис.2.1).

Страница 6

5

пространственного объекта

Для описания геометрии используется общая декартова система координат Ох,хАХл . в общем случае рассматривается составной объект с кусочно-постоянными характеристиками. Деформируемое тело находится под действием статически уравновешенной системы внешних сил и реакций связей. Обобщенные нагрузки могут представляться полем массовых внутренних сил, которые в каждой точке заданы проекциями векторов «£V на координатные оси О x,XtXj и системой поверхностных нагрузок Р} приложенных на границе Г . Поверхностные усилия Р определяются своими проекциями /? как в системе (, так и в местной системе ортогональных координат {ni} , связанной с произвольной точкой Nj . Компоненты напряженно-деформированного состояния в точке Л' с S будем считать отнесенными к ортогональной системе координат fa/J с центром в точке А' .

2.1.2.    При решении статических задач состояние тела характеризуется полями перемещений U , имеющих проекции Uj на выбранные системы координат. Относительные деформации €,j описываются производными по координатам от U j [lb]

£//■ = 0.5(UitJ +Uj,i),    .    (2.1)

Примечание. Здесь и далее индексы, встречающиеся в левой и правой частях формул, будем считать свободными и суммирование по ним не производить.

2.1.3.    Напряжение    и деформации €ty связаны между со

бой законом Гука

<о,у -    *2/u£ij\    (2.2)

где Е - модуль упругости, 0 - коэМ-ициент Пуассона,

Страница 7

6

- коэффициент Л яме.    Л/ ш & 55ft+$)- модуль

сдвига,    отыоситвльная    объемная    деформация.

(6]j    с *j),(djj -О, / *J)    -    символ    Лронеквра.

2.1.4.    Справедливы уравнения равновесия

6у,к ■* X,- = о ,    (2.3)

2.1.5.    Граничные условия могут задаваться в напряжениях

(2.4)

где 5/    ~ направляющие косинусы нормали к поверхности •

2.1.6.    Систему дифференциальных соотношений (2.1)-(2.4) завершают условия неразрывности деформаций

<?,* V%. * гя tju)euj - - (X(J Vх.л).    (2.5)

V2->aa " оператор Лапласа.

2.Х.7. Решение задачи линейной теории упругости описывается системой трех уравнений эллиптического типа в перемещениях

JU v*Ui +{Л +/f)e,i t-х,- -о.    (2.6)

2.1.8. Однозначное определение функций, входящих в уравнения (2.1 )-(2.б), при заданной системе внешних нагрузок X/ н А} зависит от точности удовлетворения граничных условий на Г . Часть граничной поверхности Ги может находиться под действием такой системы нагрузок, при которой в произвольной точке Л/е/1 перемещения U/ определяются заданной кинематической функцией f. /W) (первая краевая задача [о]    ):

=    (2.7)

В этом случае граничными неизвестными являются компоненты вектора поверхностных усилий ff . На другой части границы ГР известны статические условия

pt -- ftw),    <2*8)

а точки AVr Гр свободны в своих перемещениях ЦСУ) (вторая крвэвая задача). Может также задаваться сочетание кинематических и статических граничных условий

Страница 8

(2.9)

7

ик ГЛ) -£ (N), Pt M~/fat), tieruP>

Неизвестными являются недоопределенные компоненты вектора перемещений    ■ усилий {л) (третья краевая задача).

Используем еще два типа граничных условий. Так, если между векторами граничных усилий и перемещений имеется некоторая функциональная связь вида

= J[ut M)]f    (2.10)

то задача нахождения неизвестных компонентов формально разрешается определением f?GV) или    Г    . Частный случай такого

типа граничных условий - связь между контактными усилиями /? и перемещениями U; на поверхности тела, опирающегося на упругое параметрическое основание, работа которого описывается гипотезой Винклера [ю]

R (N) = -к{ Ui {Л/J,    (2.II)

где Л/ - коэффициент постели упругого основания (скалярная величина).

Еще один вариант граничных условий возникает на участке контакта двух упругих тел. Хотя в этом случав граничные условия для каждого тела неизвестны, могут быть сформулированы функции связи этих элементов (неразрывность, проскальзывание, трение или другие комбинации). На участке сопряжения двух тел выделяются 6 независимых компонентов векторов усилий и перемещений. Тогда остальные 6 компонентов известны или выражаются через независимые неизвестные и краевая задача также однозначно разрешима.

Например, в случае неразрывности усилий и перемещений на границе контакта имеются 6 соотношений вида

=    и'%)(2.12)

В (2.12) индексами I и 2 отмечены компоненты граничных условий, относящиеся соответственно к первому и ко второму телам.

Во многих случаях граничные условжя удобно задавать, заменяя Utи компонентами Ufn' и f*(n) , ориентация которых определяется ортогональными направлениями внешней нормали //, и осей nt , /25 , обычно связываемых с главными кривизнами поверхности Г .

Страница 9

8

2.2. Плоские задачи теории упругости

2.2.1.    Рассмотренные соотношения классической теории упругости удовлетворяются при исследовании массивных тел, имеющих протяженность одного порядка во всех трех направлениях. При значительном уменьшении одного из характерных размеров по сравнению с остальными становится возможным переход к специально построенным упрощенным расчетным моделям. В частности, если внутри области S все площадки одного направления (например, перпендикулярные к оси X'j ) являются заведомо главными, пространственная задача вырождается в плоскую [15] •

2.2.2* При выводе основных соотношений плоской задачи предполагается, что    а Sjs или равняется нулю (плоское

напряженное состояние), или выражается через и 6**а (плоская деформация). Разрешающая система двух уравнений ( ш /,г ) остается подобной (2.6), где вместо -Л записывается (-Я„=л - для плоской деформации, Л0-2~    -    для плоско

го наг,ряженного состояния):

juv/ut *    *    К “<?.    (2.13)

Граничные условия также представляются независимо от .

3. МЕТОД РЗШИЯ ЗАДАЧИ

3.1, Теорема о взаимности работ. Интегральные представления Сомилнана

3.1.1.    Метод решения граничных задач основан на применении принципа взаимности обобщенных работ двух объектов, между множествами точек которых можно установить однозначное соответствие. Напряженно-деформированное состояние одного тела - ооъвкта исследования назовем основным, а другого - вспомогательным. Предполагается, что оба тела выполнены из изотропного материала

с одинаковыми фиэико-механическими характеристиками. Они геометрически тождественны друг другу и различаются лишь нагружением и закреплением.

3.1.2.    При построении разрешающих интегральных соотношения численно-аналитического метода потенциала целесообразно ограничить систему внешних воздействий во вспомогательном состоянии сооредоточенными единичными нагрузками, не накладывая каких-либо ограничений на нагружение тела в основном состоянии. Под дейст-

Страница 10

9

вием единичной силы 8?ъ в точкв к 5 на граыжцв /“ вспо_ могательного тела возникает система реактивных усилий ^(/V*(Afa перемещений U/***(№) • ориентированных в местной системе координат [/ij) в точках А/е Г .

В етом случае уравнение (3.9) принимает вид

Соотношение (ЗЛ) - интегральное представление переуещеиий произвольной точки Л' по направлению «*/ , выраженному функционально через перемещения U^n,(W) и усилия Pfn)(vi на границе. Г.

3.1.3. Рассматривая (3,1) как функционал перемещений основного состояния и применяя к ыему дифференциальные операторы деформаций (2.1) или закон Гука (2,2), получаем полную систему интегральных представлений компонентов векторов перемещений и теи-зоров деформаций и напряжений. Для выражения системы интегральных представлений введем символ    ,    указываю

щий на произвольный характер интегрального представления. Для линейного напряженно-деформированного состояния SBjty может рассматриваться как лмф*еренциалышй оператор (2.1) или (2.2), действующий на функционалы перемещений и напряжений вспомогательного состояния. Это эквивалентно действию во вспомогательном состоянии отличного от единичной силы источника, взаимного    и    вызывающего    на    границе    /”    соответствующие

ему перемещения    U,    <%J?K    ft)    и    реактивные    усилия

Я?/р/'*'(*,*')

Таким образом, обобщенная система интегральных представлений будет иметь вид

Обычно в (3.2) краевые условия определяют лишь половину компонентов усилий и перемещений на границе г основного состояния, другая половина компонентов должна быть найдена в процессе решения граничной эяцачи.

Страница 11

10

3.2. Универсальные вспомогательные состояния

3.2.1. Для построения общего численно-аналитического метода во вспомогательном состоянии рассматривается область S t выделенная из бесконечного изотропного пространства Soс физико-механическими характерастикгми, соответствующими заданным для тела S в основном состоянии. Бесконечная среда S*. на-гружона сосредоточенной силой    9    под действием которой

на границе *5 € S*o образуется система реактивных усилий

и перемещений *(М)    .    Образованное    таким образом вспо

могательное состояние будем называть универсальным. Источником получения универсальных вспомогательных состояний являются известные системы фундаментальных решений, определяющих поведение бесконечных или частично бесконечных сред под действием сосредоточенных нагрузок.

3.2.2.    Универсальное вспомогательное состояние для общего

случая исследования пространственного тела S строится на основе решения задачи Кельвина [9,15]    :

и'Ъ/^х.л) = [ I6jcju0-yry‘[(z>-it)\j rfijns*} .(3'3)

В соотношениях (ЗЛ)-(З.З) Г*я <*/    *<*/    -    расстояние

между точкой XgS и точкой Mg Г • I Л,2,3 - индекс оси системы координат    в    точке    К    ,    по направлению которой

действует единичная сосредоточенная сила <Г** (К)= / / J =1,2,3-- индекс оси системы координат, относительно которой определяется перемещение.

3.2.3.    Если системы координат faj и fbj] произвольно ориентированы в пространстве,то перемещения точки А'еГ в системе (flj от единичных сил, прикладываемых в ^ по направлению {°Lcj , определяется выражением

л)* Си uf’Oj е^(% М) „    (3.4)

В (3.4) Сц - матрица направляющих косинусов, которая связывает системы {<*,)    »А7-

oil = Си n-t .    (3.5)

3.2.4.    Для определения компонентов тензоров напряжений во вспомогательном состоянии при действии единичной силы необходимо к компонентам матрицы перемещений Кельвина (3.3) при-

Страница 12

II

манить соотношение (2.2). Тогда

■ са

uibj""(x,N) [s*(t-0l’'№'■*•№//л; v ~    (3t6)

-£ijn,)r's * й/l; ЯуЛ(Г'*J.

Если в точках //<£/* местная система координат ориентирована таким образом, что ось    совпадает    с    внешней    нормалью,

то элементы матрицы векторов усилий определяются из (3.6):

0 = Сек    .    (3.7)

3.2.5. Компоненты тензора напряжений в точке К основного состояния, входящие в тождество Зомилиана (3.2), получим п-ри действии соответствующих дифференциальных операторов на    :

М* [$r»{A е(*}+J[Ot) щ (з.8)

Перемещения в интегральных представлениях (3.3) напряжений определяются выражением

cmtcM.    (3-9)

3.2.3. Вследствие тождественности дифференциальных операторов, действующих на матрицу Кельвина при формировании компонентов перемещений интегральных представлений напряжений и компонентов напряжений интегральных представлений перемещений в местной системе координат (nt-J в К е S , совпадают величины

. <ЗЛ0)

3.2.7. Применяя дифференциальный оператор напряжений (3.8) к компонентам интегрального представления перемещений (3.6), получим составляющие тензоров напряжений интегральных представлений напряжений

<“4'VY/^= С* Сееб^вГ.^л) ,

*2)г%,г§ * 3fa$rTL*&/ n.nj * •V/’Ж<5','

Страница 13

12

Компоненты векторов усилий на границе Г области аналогично (3.7) определяется как частный случай (ЗЛ1):

/#/v7W=cmt си    vj.

(3.12)

3.2.8. Для плоского напряженного состояния и плоской деформации универсальное вспомогательное состояние получаем, выделяя область д5 из соответствующей двумерной среды 6Л<, загруженной единичным сосредоточенным воздействием. Матрица Кельвина в этом случае имеет вид

u?u™'(W) • Си    («>*),

- Hfaq г-1- aeSy Ьг),

где и * /    эе)7';

ге - 3-^ - для плоской деформации;

эе-(з    для    плоского    напряженного    состояния.

3.2.9. Как видно из сравнения (3.4) и (3,13), между компонентами этих формул существует формальное соответствие. Поэтому можно ограничиться выражениями для перемещений и напряжений вспомогательного состояния при ос, и Л/£$ . В этом случав компоненты напряжений универсального вспомогательного состояния для интегральных представлений перемещений имеют вид

- <£• 4,/г - 4 Пу Г Компоненты граничных усилий для двумерного налряженио-деформирован но го состояния определяются из (3.4), (3.14) при

■ 1,2.

3.2.10. Для интегрального представления напряжений в плоской задаче теории упругости справедливы также формулы (3.9) ж (3.10). Компоненты тензоров напряжений универсального вспомогательного состояния образуются аналогично (3.II) и при <* ш/1у

определяются соотношениями

*Smi Л*У

15)

Страница 14

13

У синя на гранте Г также описываются выраженжямж (3.12).

3.3.    Дискретизация интегральных представлений

3.3.1.    Интегральные представления (3.2) формально позволяют

свести задачу по определению компонентов, характеризующих напряженно-деформированное состояние объекта исследования для произвольного множества точек    е Ь , к последовательности независимых вычислений для каждой    t -й точки.

Рассмотрим произвольный многогранник (многоугольник) St . близкий области Ъ и используем его границу как оазу для аппроксимации действительной поверхности (контура) Г. Предположим, что для остается в силе критерий сгла-живаемости Ляпунова на тех участках границы, где он был справедлив до аппроксимации. Тогда соотношение (3.2) будет эквивалентно следующему выражению:

9%М * iГ)гоГЩ2%?-

если С - количество немскривленных базисных элементов -неограниченно возрастает С о , a S S .

3.3.2.    В (3.16) функции граничных плотностей эластопотен-циалов, определяющие значения перемещений и усилий на границе

г основного состояния, также следует заменить эквивалентными функциями на совокупности неискривленных базисных элементов.

С этой целью могут применяться различные варианты аппроксимаций полиномиальными (сплайновыми) функциями на построенном базисе[3].

В настоящей работе для решения задач различных классов будем использовать простейший, но в то же время достаточно общий способ кусочно-постоянного представления усилий и перемещений основного напряженно-деформируемого состояния исследуемого объек та .$    , отождествляемого с многогранником S' • Это допущение

приводят к преобразованию (3.16) в виде

'    У/2    (3    17)

3.4.    Аналитическое определение усилий и перемещений

вспомогательного состояния на неискривленных базисных фрагментах поверхности

З.4.Т. Для вычисления дискретных компонентов (3.17) разра-

Страница 15

14

ботаяа универсальная методика [i-'/j , позволяющая путем простейших преобразований свести задачу получения значений определениях интегралов к серии операций над матрицами, обладающими большой компактностью и хорошо исследованнми свойствами.

3.4.2.    Рассмотрим произвольный плоский базисный фрагмент, ограниченный замкнутым многоугольником А, Ал А/ • В точке

Н имеется некоторая прямоугольная система координат /wj . Разместим в точке К во» одну систему координат    та

ким образом, чтобы координатная ось /?, была перпендикулярна к плоскости А, Ас .. Ау . Координатные системы {*;} и {л,} взаимосвязаны с помощью матрицы направляющих косинусов Су (рис.3.1) .

3.4.3.    Используя только преобразования вращения систем координат, из соотношений (3.3), (3.4), (3.5), (3.0),

(ЗЛО) получим выражения для перемещений и напряжений, вызванных произвольно ориентированными воздействиями во вспомогательных состояниях.

Значения интеграла функций усилий и перемещений вспомогательного состояния по области плоского многоугольника определяются в результате последовательного суммирования по треуголь-. ним подобластям К, А, Л,,, , гда к, с А, Аа Ау , Л'*', 1 A,jt ...а-(рис, 3.1) или

Ряс. 3.1. Приведение к базисной системе интегрирования в трехмерной задаче

Страница 16

15

3.4.4. Вычисление значений определенных интегралов по формуле (3.18) упрощается при использовании преобразования вращении в единой фиксированной системе координат (**/    :    ось    л,    zr

проходит через точки Л7 и Ht ; ось г* перпендикулярна к А/ ^    )    ^5    параллельна    Л    V/-/ •

Тогда

где ^

V/

(3.19)

для каждой стороны

матрица поворота вокрут оси •/ О о

О соъв-змв    (3.20)

О Si^9 с010    “

3.4.5. Используя матрицу вращения (3.20), получим формулы для преобразования компонентов напряженно-деформированного состояния:

far = ^    ^

..А,

и»

л *,*/*/„

j

2 s‘~    # KJ6?'!

Af.-Aj    *K,Aj'Aj+i

21)

3.4.6.    Представление функций под знаком интеграла (3.21)

позволяет построить матрицы характеристик напряженно-деформированного состояния в замкнутом виде и обеспечить эффективность вычислительного процесса. При этом интегралы не расчленяются на сумму простейших, что позволяет сохранить их физический смысл. Интегральные характеристики величин усилий и перемещений на не-искрнвленных базисных фрагментах в снстеме (} определяются выражением    » ^jr

fsFsZ'M* * // sZ’sffosM* ом

где a    f    -    расстояние    от    точки    до прямой Л/4/+* /

0- длина прямой, отсчитанная от точки пересечения прямой A; fa* с перпендикуляром с? , в формулах, приведенных далее, отождествляется с ^    , характеризуя линейный размер н

направление; - проекция радиуса-вектора А на плоскости.

3.4.7.    Замкнутые аналитические выражения, определяющие все интегральные характеристики перемещений и усилий на границе вспо

могательного состояния системы алгебраических аналогов интегральных представлений (3.12), пригедэнн в приложениях.

Страница 17

16

4. АЛГОРИТМ РШЕНИЯ, ПЕРЕЧЕНЬ ИСХОДНЫ!

ДАННЫХ И ШЛУЧАШЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

4.1. Решение граничной задачи

4.1.1.    На первом этапе расчета построенные функциональные уравнения решаются на основе численно-аналитического метода Ори

этом аппроксимирующие линейные ал! ебраичесние системы можно представить в общем матричном виде

[fj\\z) -- [3] { у],    (4.1)

где )/] и j4j объединяют соответственно неизвестные я известные дискретные значения плотностей эластопотенциалов в зависимости от граничних услови.1 и нагружения тела; r4j и [з] -матрицы, члены которых вычисляются как интегралы функций компонентов вспомогательных состояний (см. разд. Я.2).

Определение неизвестных jx j связано с определенными грудностями как теоретического, так и вычислительного характера.

Хотя применение метода потенциала на единицу снижает размерность разрешающих соотношений по сравнению с размерностью самой задачи, порядок алгебраических систем (4.1) при расчете реальных объектов весьма высок (оообенно при исследовании трехмерных тел).

Кроме того, коэффициент заполнения матрицы [/4] , представляющий собой отношение количества ненулевых элементов к общему числу элементов матрицы, обычно бливок в единице. Поэтому для формирования и решения системы (4.1) при численной реализации необходимо использовать внешние запоминающие устройства ЭВЫ, что существенно усложняет вычислительный процесс.

4.1.2.    В яаотоящей работе приводится прямой алгоритм решения граничной задачи. При его использовании матрицы [/1] я [£] формируются последовательным обходом границы объекта и вычислением для каждой узловой точки Л ■ строки коэффициентов при неиэвест-ных в узлах /У0/п по форм/лам (3.21), где принят кусочно-постоянный закон изменения неизвестных в пределах элементов границы Г/п% центры тяжести которых отождествляются с узловыми точками .V

Страница 18

17

4*1.3. Построение прямого алгоритма п его сходимость при сгущении сети элементов на границе Г пскэяем на примере следующей трехмерной задачи теории упругости. Квадратная з плане пластина (рис. 4.1) защемлена по боковым граням, к плоскости Xприложена равномерно распределенная нагрузка единичной интенсивности, поверхность хг»0 свободна. Отношение толщины М к размеру в плане/: Н/1 = 1/4; 1/2 и I. Модуль упругости плиты условно принят единичным, а коэффициент Пуассона    0,3.    Гранич

ные условия задачи характеризуются соотношениями и<Л)/А Л ti/

-о!',);    (V-

Рис. 4.1. Толстая защемленная плита

Сгущение разбнвочной сети на граничной поверхности плиты производилось в соответствии оо схемой на рис. 4.2 (тонкой линией показан принцип сгущения) при выборе по толщине плиты /7=4, 6,8,10 фрагментам, при использовании куоочно-поотоянной аппроксимация неизвестных разрешающая система имеет вид:

Для € Г (/* t * /nf)

2^:, 12.”:, p;n,(v«)jui\in%,N)c(r -

Страница 19

10

''    v

+ (mt + i*t *>тг)\

(4.2)

для fi/oj € Гу t Ги (tn, + f *t< /пг)

2Д„ /л.;, Ч1«4,<Л'Ч,"^Г-

'G

1

~ ч ^/4 */ у?P"\N0;N)clГ] =

('и*Гр/

-г2?ъ[и?иУл/9;/и)а1г}.

С»

OVf/

XX”5/X

Г/

хг*х:

N^5^1

(/♦д /6/

Ж

Рис, 4.2. Фрагментация граничной поверхности

Для оценки влияния изменения разбнвочной сети граничной поверхности на точность результатов прь различных значениях вычислялись перемещения г/ и напряжения ст в точках, расположен них внутри объекта вдоль прямой Х£ ■»#, Результаты вычислений показаны на рис. 4.3 в виде графиков изменения Uf и ^ вдоль оси хг.

Страница 20

19

Рве* 4*3. Напряжение &п к перемещение и в толстой пластине при х^-х.^0

Ив них следует, что для H/i * 1,0 в 0,5 достаточно шео~ тв фрагментов по толщине пластины, а для Н/£ * 0,25 - восьми фрагментов. При этом значения перемещений ^ при контрольном сгущении сетки ( /7*8 при А/1 * 1,0 и 0,5 ж п *= 10 при НА* ш 0,25) отличаются от предыдущих в пределах ~ 2£. Сходимость напряжений ухудшается при приближении точек к граничной поверхности плиты, где оообенно сильно ощущается погрешность кусоч-но-поотоянной аппроксимации плотностей, Тем не менее напряжения <?ti совпадают в большинстве точек прямой для тех же значений параметра разбивочной сети /7, что и перемещения и,.