етодические рекомендации по применению вероятностных моделей при решении задач осушения

Белгород 1980

МИНИСТЕРСТВО ЧЕРНОЙ МЕТАЛЛУРГИИ СССР СОЮЗРУДА

Всесоюзный научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт по осушению месторождений полезных ископаемых,специальным горным работам,рудничной геологии и маркшейдерскому делу В И О Г Е М

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ПРИМЕНЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОСУШЕНИЯ

Белгород

1980

и перешли к узловому размещению.Приведенный анализ свидетельствует , что такое развитие событий можно было предвидеть на начальных стадиях проектирования.

Из изложенного наглядно видны преимущества применения вероятностных моделей при проектировании осушения.

3.ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

Изложенные в предыдущем разделе статистические методы выбора расчетных значений основных гидрогеологических параметров эффективны, когда свойства водоносного горизонта характеризуются достаточно большим числом определений.

В условиях недостатка гидрогеологической информации, что обычно имеет место на практике, наиболее действенным методом построения математической модели ГГО является идентификация его параметров. Согласно работе [21] идентификация есть определение параметров и структур математической модели, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных параметров модели и процесса при одинаковых входных воздействиях. Таким образом, под идентификацией ГГО понимается определение его основных гидрогеологических параметров по известным возмущениям (расходам дренажных устройств GL ) и реакциям (напорам (уровням) К в скважинах), т.е. установление его соответствия некоторой математической модели.

В связи с тем, что в настоящее время интенсивно развиваются вопросы, связанные с оперативным управлением технологическим процессом осушения (ТПО) [1б] , решение задачи идентификации ориентировано на использование ЭВМ [24] . К параметрам ГГО относятся во-допроводимость (    ),    упругая    и    гравитационная    водоотдаче    (    jj^    )

и т.п., которые в дальнейшем для обеспечения единства терминоло -гии, принятой в теории планирования эксперимента, будем называть факторами.

Основные трудности решения задачи идентификации связаны с их некорректностью, которая проявляется в том, что малые погрешности определения напоров и расходов могут стать причиной больших ошибок в определении, искомых параметров ГГО, а также в том, что задача может иметь множество решений. В настоящее время задачи идентификации решаются, как правило, на аналоговых вычислительных устройствах путем последовательных приближений к искомым параметрам или способом проб и ошибок с последовательным уточнением искомых параметров в ходе решения прямой задвчи.Такой перебор зачветую выполня-10

ется неоптимэльным обрезом, что приводит кэк к большим затратам машинного времени, так и к не всегда приемлемым результатам при решении задач управления технологическим процессом осушения,прогнозирования и т.д.

Дня идентификации параметров ГГО нами применены поисковые алгоритмы, базирующиеся на целенаправленной организации вычислительного эксперимента методами теории планирования оптимальных экспериментов [15]    .

Решение задачи комплексной идентификации параметров ГГО состоит из ряда последовательных этапов: математической постановки звдвчи;

гидрогеологической, геофильтрэционной и вычислительной схематизации;

выборе факторов и интервалов их варьирования; определения числа и мест расположения наблюдательных скважин (НС), а также выбора наиболее представительных участков кривых прослеживания h(t) , которые отражают наиболее существенные и закономерные стороны объекта;

поиска околооптимальной области идентификации; поиска решения в околооптимальной области; решения систем нелинейных алгебраических уравнений; регуляризации решения зэдачи идентификации параметров ГГО.

3.1. Математическая постановка зэдвчи идентификации параметров ГГО

Решение задачи идентификации параметров ГГО сводится к определению коэффициентов в дифференциальных уравнениях в честных производных, Исходя из ст8тистич0ской__поствновки задачи идентификации считаем, что входные переменные Q(-fc) (расходы множестве дренажных устройств), выходные k(i) (например , напоры в НС) и возмущающие Al(t) (гидрологометеорологические параметры) являются случайными.

где все эбозначения в дифференциальном операторе (3,1) общеприняты.

,пя области фильтрации SI на участках границы заданы краевые условия

=%(*-№)    (3.2)

[T|4f,    . Т- -4.--%<’.**)■    I*-»

В начальный момент времени б₀ задано распределение напоров hCx,Lj,to    )= (x,u),    (3.4)

где    -    заданные    функции на участкзх границы

Г*.и Гг ; УзСх,у)    -    функция    начальных    усаовий;£^£и    -орты

внешней нормали;    ^    - удельный дебит на    границе    Гг    .

Для решения зэдэчи идентификации вводится векторный критериальный функционал вида ^h*(u,t,p*)^k(Q,t)| §(я,<0;Жг); Tct.-x.^ea; tf] =mU, (3.5) где h?(£,t,P*), Н.(Л>0 - векторы модельных и фактических напоров (уровней); t - интервал времени, для которого решается задаче идентификация;    -    расходы множества дренажных устройств; Ц(х) -

вектор шумов; - дополнительная геолого-гидрогеологическая информация.

Задача идентификации заключается в одновременной минимизации всех а критериев [19]

Fc(P*) = min ;    (.а    (3.6)

где П. - число НС;Рс(р*) - критериальный функционал по L -й НС. Причем, при    FCpJJ выполняется Р * У Р? • £саи жеР(Й*)=Р(^),

то искомые векторы    .

___л Решением зэдэчи идентификации (3.5) является множество Парето Р ^е&2* Поиск Р* на множестве Парето целесообразно производить с помощью аддитивного алгоритма сворачивания Ft(P*)

р(р‘) = 2:Ыр*) | W(t)-rain.

Так как на практике контроль нэпора в НС производится в дискретные моменты времени, то не интервале времени Со, t] функционирования системы осушения искомый вектор Р* должен удовлетворять уравнению

^    ^TjW(ti)-mca,

12

где W(tiJ - вес, определяемый значимостью каждой из выходных переменных    \    г    - число точек решетчатых функций h.*Gl,ti_t Р*)

и K(si,tc) .

Уравнение (3.7) справедливо дпя однородного водоносного горизонта (б*_т~0 ), для неоднородного ( 6 т > О ) - искомый вектор должен удовлетворять уравнению

где М - символ математического ожидания .    Р    ^e&i

Решением ряда тестов установлено, что для идентификации параметров целого ряда ГГО целесообразно воспользоваться известным интегральным критерием вида

(f ГлИ(о,и,Р»)| ftOtfi); й(п)-,и±;хмей;

^L'° I I P -    .    ⁶

*] W(i_t)}j^P = rtllYl,

где    P*)    =    h*(Q,ti,P!)    -

При P;=2 получим критерий минимума среднего квадрата ошибки.

При достаточно развитой наблюдательной сети в критерий целесообразно вводить члены с производными по координат8мЛ|^- ^и —V

_    \°х    дц/

Определение вектора К (ft,t,P*) при реализации вычислительного эксперимента на ЭВМ базируется на методе конечных эпементов (МКЭ). При этом решение (3.1) при условии (3.2), (3.3), (3.4) сводится к вариационной задаче минимизации функционала вида

1-1 [iKegsiEj .T(5£Srj) .»](«•

^а    7

-f(Q,k)    (n,t,    р*И^^г=гп<л;    с

гдеСР*Зс - матрица планирования L -го варианта моделирования Р^КЭ.

Разбив область фильтрации Л на М треугольных непересекаю-щихся подобластей Лг, i* i_tM , записав функционал (3.10) дпя одного треугольнике и выбрав функцию n*(Qt, Р*) в пределах каждого треугольника, после соответствующих преобразований подучим вначвле систему линейных дифференциальных , а затем - алгебраических уравнений. Из решения этой системы находится искомый вектор    .

Пример постановки задачи идентификации параметров ГГО. Требу -ется идентифицировать параметры ГГО шестиугольной гипотетической

13

области (рис.3.1). Предполагается, что процесс геофильтрации описывается дифферентааьныу уравнением Буссинескэ, известен входной одномерный вектор Q(-t) ¹ 1500 м^/сут (дренажный контур с постоянный расходом) и выходной вектор снижения в КС 1,1, 2,2' области фильтрации П (рис.3,2).

3.2.    Гидрогеологическая,, геофильтрационная и вычиспи-

тельная схематизации

Ввиду достаточно подробного изложения вопросов гидрогеологической, геофильтрациовной и вычислительной схематизации в литературе¹ [п, 12] в данной работе они иллюстрируются только тестовыми примерами.

Пример гидрогеологической, геофидьтрэционной и вычисдитедьной схематизации. Гипотетическая область фильтрации (рис.3.1) представ-ляет собой замкнутый шестиугольный пласт площадью 2,6 . 10V. В центре области фильтрации на дренажном контуре звданы граничные условия 2-го poflaQ(t)= 1500 м /сут. Граничные условия на внешнем контуре показаны на рис.3.1. Область фильтрации Я разделена прямолинейной границей, например, тектонического происхождения на две зоны и 0₂с различными фильтрационными свойствами.

Режим фильтрации напорный, нестационарный (h ¹ 100 м), маг временной дискретизации д! = 30 сут. Пространственная дискретизация выполнена равномерной треугольной сеткой (рис.3.3)¹ йоде -дирование процесса геофильтрации должно выполняться МКЭ, про -граммы которого реализованы на алгоритмическом языке ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-4М².

3.3.    Выбор факторов и интервалов их варьирования

Фактор считается заданным, если указаны его название, размерность и область определения. При идентификации выбранные факторы

Рис.3.1. Гипотетическая область фильтрации.

должны быть управляемыми (управлять фактором - значит задавать требуемое значение и поддерживать его постоянным иаи менять по заданной программе в процессе моделировония), однозначными, совместными и линейно некоррелированными. Не первом этапе идентификации параметров ГГО необходимо выявить факторы, которые, по мнению гидрогеолога, могут оказывать наибопее значительное влияние на критерий идентификации (результаты моделирования). Такой выбор

Рис.3.2. Снижения напоров в наблюдзтепьных скважинах.

15

УДК 622,5:551,49:62,505

работе излагается методика учета вероятностного характера фильтрационной неоднородности при проектировании осушения месторождений твердых полезных ископаемых. При ее разработке решен комплекс взаимосвязанных гидрогеологических задач, в том числе: статистический анализ исходных денных, выбор расчетных схем для проектирования, оценка достоверности проектного эффекте осушения. Показано, что применение дая этих целей вероятностных моделей позволяет существенно расширить- круг инженерных задач по сравнению с существующей практикой.

Для построения расчетных схем при проектировании разработан алгоритм идентификации параметров ГГО, базирующийся на методах математического планирования экспериментов. Алгоритм реализован набором программ "Спектр","фильтр I","Фильтр 2","Тренд","Дискр", "График", "Инфор", "Конкор", "Взкорр", "Поиск I", "Поиск 2", "Синел I" - "Синел 6", "Стох I", "Стох 2", "Идент I", "Идент 2", которые составлены на алгоритмическом языке ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-4Ы.

Алгоритм может быть использован для комплексной идентификации параметров как однослойных, так и многослойных водоносных толщ, для интерпретации данных олыгно-фильтрационных работ, а также для выбора конкурирующих фильтрационных схем.

Все это может служить предпосылкой применения методов системного анализа при проектировании осушитеаьных мероприятий, что в конечном итоге повысит их качество. Предлагаемые методические положения иллюстрированы численными примерами.

Рекомендации могут быть использованы в производственной и проектной работе специалистами в области осушения месторождений полезных ископаемых. Работа выполнена главным инженером проектов кэнд.техк.наук ^.С.Гладченко и старшим научным сотрудником А.Н.Павловым, утверждена секцией НТС 19 декабря 1979 г. в качестве методических рекомендаций.

Всесоюзный научно-исследовательский и проектио-конструкторский институт по осушению месторождений пололных ископаемых, специальным гор -ным работам, рудничной геологии и маркшейдерскому делу (ВИОГЕМ), 1980.

I.ВВЕДЕНИЕ

В последнее время наблюдается тенденция все более широкого вовлечения в сферу инженерной деятельности месторождений полезных ископаемых, характеризующихся весьма сложными гидрогеологически»; условиями, что вызывает серьезные технологические трудности разработка этих месторождений. Практика свидетельствует о том, что во многих случаях фактический ход водопонижения значительво отличается от проектного, это приводит к необходимости осуществления в сжатые сроки дополнительных, ранее не планируемых , дренажных мероприятий или корректировки технологической схемы ведения горных работ. Характер и объем инженерных мероприятий, направленных на компенсацию отклонений фактических гидрогеологических условий осушаемых месторождений от принимаемых при проектировании, в настоящее время целиком зависит от опыта и интуиции проектировщиков. Нельзя недооценивать этот опыт и интуицию, во многих случаях эвристические проектные решения близки к оптимальным.Однако систематическое увеличение затрат на осушение, с одной стороны, и интенсивное развитие научно-методических разработок в области инженерной геологии и инженерной гидрогеологии , с другой - обуславливают необходимость на этапе проектирования интуитивные сообра -женин обосновывать строгим (в рамках принятой модели) инженерным расчетом.

Совершенно очевидно, что повышение точности прогнозе эффективности системы осушения как в целом эффективное решение вопросов, связанных с использованием гидрогеологических объектов в процессе инженерной деятельности, предполагает построение при проектировании вдекввтных ему матемвтвческих моделей.

Практика свидетельствует, что фактических данных, получаемых не стадии предварительной и даже детальной разведки, двя реализации указанного положения только традиционными методами недостаточно. Принимая во внимание огромные масштабы геологоразведочных работ, выполняемых в настоящее время, было бы нереально связывать повышение достоверности математических моделей исключитепьно с увеличением объемов гидрогеологических исследований. Представляется необходимым при проектировании опираться не более совершенную научно-методическую основу, базирующуюся на применении современных математических методов и ЭВМ. В частности, многие положитель-

3

ные результаты в этом плаве, гак аоказели исследования, могут быть подучены при использовании вероятностных моделей ³ [б, 7, 22, 25] .

Г.адь настоящих методических рекомендаций - предложить проектировщикам систему методов, базирующихся на применении вероятностных моделей и охватывающих весь спектр задач, связанных с гидрогеологическим обоснованием систем осушения, т.е. выбором и оценкой расчетных значений фильтрационных параметров, идентификации параметров гидрогеологического объекта (ГГО), оценка достоверности проектируемого эффекта осушения и на этой основе выбор резерва дренажных устройств. Очевидно, оптимальные результаты могут быть получены при разумном сочетании вероятностных и детерминированных моделей (нри использовании системы моделей). Применение вероят -ностных моделей, как впрочем и любых других, должно быть оправдано геологжчеокими предпосылками, т.е. генетическим типом месторождения, условиями осадконакопления, развитием вторичных геологических процессов, структурными особенностями и т.д.

В геологических исследованиях наибольшее применение нвходят статистические модели независимых случайных величин, которые и использованы при составлении настоящих рекомендаций. Исследования, выполненные как в института ВИОГЕМ, так и другими организациями показали, что распределение водопроводимости в зависимости от литологического составе , условий осадконакоплэния, развития вторичных геологических процессов и т.п, подчиняется нормальному или лог -нормальному закону. Применительно к этому и рассматриваются в данных рекомендациях вопросы использования вероятностных моделей при проектирования осушения.

В основу рекомендаций легпи результаты исследований, выполнен-an j институте ВИОГЕМ [5, 7, 15, 1^, ПНИИИС [го]и ВСЕГИНГЕО [2, 2б].

Методические рекомендации рассчитаны на инженеров, знакомых с теорией вероятностей и математической статистикой в объеме учебного пособия доя техникумов.

2. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ВЫБОРА РАСЧЕТНЫХ ЗНАЧНШЙ ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ И ОЦЕНКИ ИХ ДОСТОВЕРНОСТИ

Инженер-проектировщик при разработке расчетной гидрогеологической схемы имеет депо с совокупностью единичных значений фильтрационных параметров (дня определенности в дальнейшем будем оперировать коэффициентами фильтрации мои водопроводимостьв).

Водопроводимость дренируемого водоносного горизонте в целом ипи его отдельных зон характеризуют обычно средними значениями, определенными с той или иной точностью. Ошибка (стандарт) определения среднего значения, как известно из математической статистики, выражается формулой

^ЛК= ' (2.1)

где бк - ошибке единичного определения.

Таким образом, увеличивая число определений, можно вычислить среднее значение параметра с какой угодно точностью. Однако нецелесообразно требовать , чтобы точность среднего значения быке выше точности единичных определений.

Исследованлями установлено, что точность единичных определен ний фильтрационных параметров составляет обычно 20-23%. Эта величине и принята в качестве предельной ошибки определения среднего при рвсчете необходимого количества гидрогеологических скважин в зависимости от принятой условной достоверности и степени неоднородности пород.

Методами математической стэтистики[з,9] нами расочитаио необходимое число опытных гидрогеологических скважин дия достоверного определения параметров дня нормального (табл. 2.1) и логнормального (табл. 2.2) распределений водопроводижостн при различной степени неоднородности водоносных горизонтов.

Анализ табл. 2.1 и 2.2 показывает, что количественные критерии достаточности гидрогеологической изученности для целей осуио-ния являются разумными и подтверждаются опытом проектирования и строительства систем осуаения.

Преобладающие значения достоверности параметров дкя различных литологических разностей пород выбираются из табл.2.3 [20].

5

Таблице 2.1

т г 6 =0,25к б. =0,5к S *i ,0к VK 0,68 0,9 0,95 0,68 0,9 0,95 0,68 0,9 0,95 0,1 I I I I I I I I I 0,2 I 2 2 I I I I I I 0,3 I 4 5 I I I I I I 0,4 3 7 10 I 2 2 I I I 0,5 4 II 15 I 3 4 I I I 0,6 6 16 22 I 4 5 I I I 0,7 8 21 - 2 5 7 I I 2 0,8 10 28 - 3 7 10 I 2 2 0,9 13 - - 3 9 12 I 2 3 1.0 16 * 4 II 15 I 3 4

Таблице 2.2

I to	5	«0,25а	кт		50,5а*™		£*1,0а*т
	0,68	0,9	0,95	0,68	0,9	0,95	0,68	0,9	0,95
0,1	I	2	3	I	I	I	I	I	I
0,2	4	10	14	I	3	4	I	I	I
0,3	9	25	-	2	6	9	I	2	2
0,4	19	-	-	5	13	19	I	3	5
0,5	35	-	-	9	24	-	2	6	8
0,6	-	-	-	15	-	-	4	10	14
0,7	-	-	-	24	-	-	6	16	23
0,8	-	-	-	36	-	-	9	25	35
0,9	-	-	-	-	-	-	13	36	-
1.0							19

В процессе проектирования повысить гидрогеологическую изученность месторождения, как правило, не представляется возможным и проектировщик вынужден решать другую задачу: оценив достоверность имеющихся данных, в проекте выбрать расчетные значения параметров и предусмотреть инженерные мероприятия дня компенсации возможных отклонений фактических свойств водоносных горизонтов от принятых в проекте.

Расчетные значения гидрогеологических параметров следует принимать в зависимости от законе распределения водопроницаемости.

Для нормальной модели оценки параметров рассчитываются по формулам

(2.2)

а для логнормальной - соответственно по формулам

Натуральные значения параметров дня выполнения гидрогеологических расчетов системы осушения получаются потенцированием оценок (2,3).

В тех случаях, когда водоносный горизонт характеризуется существенной асимметрией фильтрационных свойств (6^ >    0,196),

Ачисон и Браун (1957 г.) рекомендуют пользоваться при расчетах оценкой , полученной по методу максимального правдоподрбия.

^а*- ^в    к),    (2.4)

~ обозначение величины, имеющей порядок-^- .

Поскольку и единичные значения параметра и среднее содержат различного рода ошибки, проектировщика интересует величина возможного отклонения параметра от оценки его среднего значения.Ддя этого вычисляются гарантированные значения парэметпоь по формуле

Аналогично вычисляется гарантирояазгше показатели при логнормальном распределении.

;«эссмотр*м, какие преимущества дав? лякенеру-проектировщяку статистический выбор расчетных параметров по сравнению с простым осреднением на конкретном примере.

При проектировании осушения карьере рудника Южного (проектное задание 1964 г.) коэффициент фидьтрвции по 12 определениям был принят близким к среднеарифметическому Красч =0,85 ы/сут, с использованием этой величины выполнены гидрогеологические расчеты и принята схема осуоения.Вначале определим целесообразный тип вероятностной модели.Водоносный горизонт на месторождении представлен мощной толщей эффузивов, прорванных жил8ми кварца и подвергвихся выветриванию. Все это позволяет сделать предположение о логнормальном законе распределения водопроводимости. Проверка просто йены графическим способом показывает, что эта статистическая гипотеза не противоречит эмпирическому материалу.

Максимально правдоподобная оценка коэффициента фильтрации а_к , вычисленная по формуле (2.4) , равна 0,76 м/сут. Доверительные интервалы дня различных условных достоверностей приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.3

Количество определений п, необходимое для получе -ния заданной точности it*) в процентах от среднего вна -чения при той же условной достоверности, приведено в табл.2.5.

Таблица 2.5

&1к)уУо ак 25 50 68 95 99,7 68 95 99,7 »г 6 25 51,0 2 6 13,0

Таким образом, имеющиеся даыные обеспечивает точность определения среднего значения не выше 25% (при Р&85%). С практической точки зрения быпо -бы нецелесообразным стремиться в денном случае повысить точность Soo и условную достверность Р, так как это потребовало бы бурения значительного числа скввжин без существенного увеличения информации .Так для достижения Р=0,95 потребовалось бы пробурить дополнительно 13 скважин и выполнить из нжх откачки, хотя это не внесло бы серьезных изменений в представление о гидрогеологических условиях. Поэтому следует признвть, что имеющихся данных достаточно дня составления проектного задания. В соответствии с приведенными в табл. 2.4 данными можно.утверждать, что на данном месторождении с условной достоверностью Р=0,95 средний коэффициент фильтрации будет не выше 1,02 м/сут и не ниже 0,5м/сут, тогда как без тэкого анализа можно было бы вычислить только среднее значение.

Кроме того, зв8яб^_к =0,25 м/сут и средний логарифм коэффициента фильтрации Ь}к =-0,175, можно утверждать с той же условной достоверностью Р=0,95, что на данном месторождении не могут быть получены значения fyK>-0,33. Наличие таких значений будет свидетельствовать об особых условиях в точке опробования. Здесь либо опытные работы выполнены с грубой ошибкой, либо имеет место неоднородность более низкого порядке и нужно исследовать окрестности участка с аномальным результатом. На Южном месторождении из 12 единичных определений три превышают и два практически совпадают с критическим значением . Поскольку грубых ошибок при производстве откачек и в расчетах не имеется, этот фэкт ставит под сомнение целесообразность рассмотрения массива водоносных пород кэк изотропного. И действительно,впоследствии по результатам эксплуатационных работ проектировщики отказались от контурного размещения водопонижаюиих скввжин, характерного доя изотропного массива,

9

1

Рекомендации по разработке фильтрационной модели и оптимизации системы осушения нижнекаменноугольного водоносного горизонта Яков-левского рудника, фонды ВИОГЕМ, Белгород, 1978, 82 с.

2

Разработке алгоритмов и программ по реализации метода конечных элементов в задачах осушения и геомеханики дня ЭЦВМ БЭСМ-4¹(. Отчет по НИР 32-76.Фонды ВИОГЕМ. Белгород,1978, 198 с.

14

3

Разработка методов учета вероятностного характера эффекта осушения при проектировании дренажных работ на месторождениях попезных ископаемых . Отчет по НИР 5а-72. Фонды ВИОГЕИ.Боогород, 1975, 97 с.