А. Д. ИГНАТЬЕВ, Н. Г. МАНОХИН, А. А. КАРЛЕНКОВ, В. С. БЕЛЯЕВ

МЕТОДИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Министерство угольной промышленности СССР Академия наук СССР Институт горного дела им. А. А. Скочинского

Лаборатория технологии струговой выемки

Канд. техн. наук А* Д. ИГНАТЬЕВ, инж• н. Г. МАНОХИН, канд. техн. наук А. А. КАРЛЕН КОВ, канд. техн. наук В. С. БЕЛЯЕВ

МЕТОД ИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРА.ЕОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Москва

1»70

ционарным, так как по одной осциллограмме можно определить функцию распределения параметра только в случае, если процесс протекает в стационарном режиме.

На выбранном участке определяется координатная сетка: за ось ординат принимается линия, проходящая через начальную точку выбранного участка осциллограммы, по направлению измерения исследуемого параметра, за ось абсцисс - любая линия, проведенная перпендикулярно оси ординат. Обычно берется прямая отметки времени.

Определяется также масштаб изображения на осциллограмме как исследуемого параметра (по оси ординат), так и отметки времени (по оси абсцисс), что необходимо для физической оценки исследуемого параметра.

Обработку осциллограммы для определения функции распределения и вычисления статистических характеристик можно выполнять двумя способами: группированием по "времени" или группированием по уровням.

В радиотехнике операция превращения непрерывного сигнала или непрерывной функции (в данном случае осциллограммы) в последовательность дискретных значений называется дискретизацией или квантованием *

При обработке осциллограммы группированием по времени (квантование по времени) выбранный участок осциллограммы продолжительностью Т разбивается на равноотстоящие сечения по оси абсцисс с интервалом д i (рис. 5).

m

Рис.5. Осциллограмма случайного процесса с интервалами дискретизации по времени

Величина интервала между сечениями д t выбирается в зависимости от вида исследуемой кривой. Для кривой, соответствующей

10

плавному, постепенному изменению параметра, интервала^ можно выбрать больше, чем для кривой, имеющей резко колебательный характер. Практически интервал берется такой, чтобы по точкам пересечения    ₉х_а    ),    соединяя их последовательно, мож

но было бы восстановить вид кривой. Как правило, на участке амплитудного изменения кривой наименьшего периода принимается не .менее 5 сечений.

Если по характеру кривой трудно определить интервал дискретизации д£ , то можно воспользоваться теоремой отсчетов (.теорема Котельника [2]), по которой непрерывная функция P(t) с ограниченным частотным спектром д F = ^_макс~ F_MUH длительностью t может быть дискретизщювана последовательностью    ^пР^и

Количество интервалов д £ на конечном участке записи осциллограммы t определится по формуле

К =    2i&F.    (*)

д t

Практически П. определяется следующим образом.

кривой для определения величины интервала дискретизации

На кривой (рис.6) измеряется наибольший и наименьший периоды колебаний, по ним определяется разность частот ^=6JM<Wfc*^&>MU4 но формуле

АЫшгкЦ---- )-£я:    ■    (5)

мин макс '    ^мо.кс    ^т„и„

и подставляя данные а со в формулу (4), по формуле

fyfCt (^мйкс ~ ^~мин ^

^макс ^Тм«„

Если при подсчете п получилось дробным числом, его округляют в сторону больших значений. Кроме того, учитывая неравномерность частотных характеристик кривой, п увеличивают на 15-20$* Этот метод обработки осциллограмм (метод группирования по времени) наиболее удобен, если предположить, что вид функции распределения заранее известен, а требуется определить только ее характеристики (математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение).

Вычисление этих характеристик производится по формулам: математическое ожидание

(?)

среднеквадратическое отклонение

Весь ход подсчета указанных характеристик записывается в табл. I.

Если подсчет выполняется на полноклавишных счетных машинах типа Seitton , то запись квадрата разности (х^-х)² можно не производить, так как счетная машина позволяет умножать (возводить в квадрат) и суммировать одновременно.

При вычислении 6* разность (х^х)можно заменить на    ),

так как квадраты этих разностей дают одно и то же число. Это облегчает вычисление разностей, если оно выполняется на полнокла-випшых машинах, для чего на регистре счетчика результатов устанавливается значение х , а вычитаемую величину при фиксированной клавиатуре сначала вычитают (результат заносится в таблицу), а затем ее прибавляют, чтобы получить искомую величину х . Лотом на клавиатуре набирается следующее вычитаемое (при фиксированной клавиатуре) и цикл повторяется снова для определения величины ( х - х. ).

Таблица I

Рабочие формулы n xi xr* Л I х - а 2 x< 3 хъ -3 £! И L-4 п- / * - I Л-/ jc 2 ' a-4 Е: Л = 2* a ** ~ Z sc n. 2 - — г 2 =. Z.(xrx)2 X — — 2* — S —

Построение гистограммы или многоугольника распределения, а также выравнивание их функцией распределения подробно описано в учебных пособиях по курсу теории вероятностей ГЗ, 43.

Группирование статистических данных в так называемый статистический рад Можно производить непосредственно на осциллограмме, разбивая на интервалы кривую осциллограммы линиями, параллельными оси абсцисс. Это облегчает нахождение частот р_L статистического рада.

При обработке осциллограмм группированием по уровню непрерывное значение функции Р(£) заменяется количеством пересечений кривой Pit) уровней (рис.7), т.е. горизонтальных линий, равноот—

ЛЧ1Л ennrv nrvrn лф гтгтю ис т)о1штгитт А П .....-......-    j    j,    J    ***-*■    чхахt-ь г

Этот метод обработки осциллограммы применяется тогда, когда необходимо знать графически вид функции распределения и ориентировочно определить числовые характеристики распределения.

Уровень группирования ДР выбирается таким, чтобы в каждом интервале содержалось хотя бы пять точек пересечений. Если длина интервала д Р слишком мала, то в каждый интервал попадает мало пересечений и будут доминировать случайные флуктуации.Если длина интервала будет слишком велика, то могут не проявиться детали

13

вида функции распределения. Слишком малый интервал А Р оправдывается только тогда, когда осциллограмма имеет большой промежуток времени Т (т.е. когда число реализаций достаточно велико).

Гистограмму или многоугольник распределения можно построить при группировании по дР различной длины, но во всех случаях значения /я - Д Р должны быть велики.

Для построения гистограммы на каждом уровне Лс. U) определяется частота, равная

где ni' - количество пересечений кривой P(t) уровня Рх^ U) .

общее количество пересечений кривой Р&) всеми уровнями.

Строятся прямоугольники по длине, пропорциональные соответствующим частотам pi (рис.7) й выравниваются кривой» соответствующей плотности распределения. При этом общая площадь прямоугольников должна быть равна единице.

P(£)i

Рис. 7. Осциллограмма случайного процесса с интервалами дискретизации группированием по уровням

Часто при обработке осциллограмм вначале ориентировочно определяют среднее значение исследуемого параметра (на рис. 7 указано Р_Ср ), затем проводят горизонтальные линии (как при обработке осциллограмм группированием по уровням), после чего на каждой горизонтальной линии ftг (О определяется не суша пересечений кривой уровня а суммарная дайна отрезков = Д t + д 1 + + д + ... + д t , на которых параметр Р_х был выше данного уров-

14

ня. Если длина осциллограммы равна Г , то отношение —у^ соответствует вероятности появления исследуемого параметра Р (t) больше уровня Р_х^ По данным вычислений —р^Сс для всех горизонтальных линий строится кривая, соответствующая плотности распределения»

В последнее время для решения многих практических задач определяют функцию распределения (или числовые ее характеристики) длительности нахождения исследуемого параметра выше заданного уровня    P_Q (теория выбросов).

Для иллюстрации возьмем, например, определение функции распределения усилия в рабочей или холостой цели струга, превышающего уровень P_Q . Тогда можно определить как функцию распределения длительности интервалов л t^ , в которых усилие выше (или ниже) заданного уровня Р (рис. 8), так и функцию распределения

количества пересечений заданного уровня Р₀ кривой P(t) снизу вверх (или сверху вниз) в единицу времени. Такая постановка вопроса может быть справедлива только для стационарного случайного процесса, эргодичеокого по отношению к математическому ожиданию.

Определение функций распределения выбросов или числа пересечений заданного уровня Р₀ в единицу времени производится аналогично. Интервалы выбросов группируются по длительности в статистический ряд, строится гистограмма распределения и производится выравнивание (сглаживание) статистического ряда.

Более подробно о теории выбросов можно ознакомиться в монографиях [5, 6].

15

При обработке осциллограмм наблюдений можно определить также функцию распределения экстремальных значений случайного процесса (максимумов или минимумов) в единицу времени, или экстремальных значений, превышающих заданный уровень P_x(i)^ss P_Q , При этом задача состоит не только в определении функции распределения экстремумов в единицу времени, а и, в том, чтобы предсказать те экстремумы, которые могут иметь место при последующих испытаниях. Теория экстремальных значений подробно описана в работе [7].

Определение функции распределения при наличии нескольких осциллограмм наблюдений

Если имеется п осциллограмм наблюдений исследуемого параметра нестационарного случайного процесса в интервале времени 0- t , то можно определять функцию распределения параметра только для каждого фиксированного значения i- (Q^ t ) в отдельности. Количество независимых опытов, проведенных в одинаковых условиях и, следовательно, количество необходимых осциллограмм зависит от точности соблюдения одинаковых условий и независимости эксперимента, иииши и читают малую выоорку хо—осциллограмм.

Таблица 2

\*. \ L a Nv	*#		£г			tfC
					.. .
I			*/У			Vy	X, (tK )
2		w	-vy	W		хгак)	£z(tK)
;	:	•	:	I	j	\	•
Л					•• *	W
2		—		—			—
X (t{)	х(^)	—	x(t2)	—		iaK)	-
Ег	-		—			—
&(tL)	—	*at)	—		...	—	»•««>

На каждой кривой строго определяется единое начало отсчета, выбирается единая координатная сетка и берется ряд одинаковых

no t сечений , равноотстоящих или неравноотстоящих друг от друга.

Для фиксированных значений £< по выбранной координатной сетке определяются значения функций Р:    и    составляется    матрица

(табл. 2).    ®

Вычисления математического ожидания и среднеквадратического отклонения для каждого сечения £ ■ производится по формулам (7, 8).

Анализируя изложенный в данном разделе материал, необходимо отметить следующее.

Методика обработки осциллограмм наблюдений может быть применима не только для определения функций распределения случайных величин,но также функций распределения аргумента случайной функции. Осциллограмму наблюдения всегда можно представить как случайную функцию исследуемого процесса.

Однако определение функций распределения случайных величин по осциллограмме наблюдения нерационально, так как при этом информация о вероятностных характеристиках случайной функции, содержащаяся в осциллограмме, используется далеко не полностью. Внутреннюю структуру случайной функции, степень зависимости между сечениями функции могут дать только статистические характеристики случайного процесса (математическое ожидание и корреляционная функция).

ОПРЕДЕЛЕНА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Стационарный случайный процесс

Обработка осциллограммы наблюдения проводится с целью определения статистических (оценочных) характеристик случайного процесса, т.е. определения функции математического ожидания    и

корреляционной (автокорреляционной) функции К^(Т) случайного процесса. Вычисления характеристик случайного процесса по результатам опытов очень трудоемки, поэтому целесообразно использование вычислительной техники.

В данном разделе приводится методика обработки осциллограммы наблюдения в предположении стационарности случайного процесса.

17

зргодпческого по отношению к корреляционной функции или в предположении нормально распределенного случайного процесса. Характеристики таких процессов могут быть приближенно определены по одной осциллограмме наблюдения как средние значения по времени

Эргодичность случайного процесса определяется сначала на основании физических исследований*, связанных с существом процесса (его предположительной разложимостью на элементарные процессы различного типа), потом проверяется поведением корреляционной функции при достаточно большом значении t-t*.

Методы определения математического ожидания и корреляционной функции не отличаются от методов определения соответствующих вероятностных характеристик случайных величин.

Для определения статистических характеристик исследуемого яедхзцесса необходимо выбрать участок осциллограммы с установившимся периодом, исключая первоначальный участок пуска и конечный участок остановка, в которых предполагается не стационарность исследуемого процесса.

Продолжительность реализации Т , т.е. длина стационарного участка осциллограммы, должна быть достаточно большой, но не менее чем 5 Г( Г ST).

Выбранный участок разбивается на п равных интервалов длиной b't- —- (интервал квантования), Длина интервала квантования выбирается из условия, что на участке осциллограммы длиной в один период наиболее высокочастотной гармоники располагалось не менее десяти точек (интервалов) [8].

Как при обработке опытных данных для определения функций распределения случайных величин, на выбранном участке осциллограммы наносится координатная сетка и проводятся для каждой точки (начала интервалов ) прямые, параллельные оси ординат, до пересечения с кривой.

Измеряются ординаты каждой точки кривой x(t^) . Результаты измерения записываются в табл. 3.

Оценочные (статистические) значения математического ожидания дисперсии д _х , корреляционной функции К_х СС) и нормированной корреляционной функции р_х (Т) вычисляются по формулам:

(9)

(10)

18

Результаты подсчета этих характеристик записываются в соответствующей строке табл. 3.

Таблица 3

Рабочие формулы - п л ft.) xft-)- m. 4 X t M x(t)£u- ) t L*nr X г 3 4 5 6 • * * 8 X аг)жх(^Утх £ x(t) ~ _ £=/ 1 I x(t4) X(if)x(tt) г X(t2) £(tg)£(i3) . . . т. “- jc а 7> — lsI 3 X(t3) £(ts )£(tj * • * • Д-/ ^ “ /Гг р ft) -ё— ■'х я /1 i tfn) — - 2 — г п - — - sz - - — - К - - — — кхю - — ** (r=f) кх fr-m) Рхт — - X

При подсчете указанных характеристик на полноклавишных вычислительных машинах трудность состоит в пересчете результатов наблюдений на центрированный масштаб по формуле

Эти величины записываются в столбце 5 табл.З со своим знаком. Возведя в квадрат л (t^) и одновременно суммируя, овределя-

19

УДК 519.2.001.5

Настоящая работа посвящена статистической обработке экспериментальных данных при исследовании процессов, подчиняющихся закономерностям случайных функций. Рассмотрены методы определения случайных величин, установлены статистические характеристики эр-годического, стационарного и нестационарного случайных процессов, дана оценка точности и достоверности случайного процесса.

Работа представит интерес для аспирантов, научных и инженерно-технических работников, занимающихся вопросами Формирования нагрузок на различных элементах горнодобывающих машин и изучением стохастических процессов.

ем сумму квадратов центрированных величин. В результате деления ее на (л - /) получаем статистическую дисперсию Л случайного процесса.

Для подсчета значений корреляционной функции    при    раз

личных Т необходимо согласно формуле (II) перемножить центрированные величины    ,    разделенные интервалами Т = 1,2*... яг,

сложить их, после чего суммы разделить соответственно Т нал-/,

. - у ^а‘~^/71 • При перемножении и суммировании величин необходимо учитывать их знаки. Произведения jc    и    сумма    про

изведений записываются в соответствующих столбцах табл. 3.

Если вычисление производится на полноклавишных машинах, то jsgjL опытного оператора необязательно записывать произведения x(L) х    в    таблице,    а непосредственно суммировать эти про

изведения со своими знаками на машине.

Нормированная корреляционная функция j> (Т) вычисляется согласно формуле (12) делением корреляционной функции К /“?) на статистическую дисперсию Ъ_х • По результатам подсчета строится график нормированной корреляционной функции.

Часто полученные статистические значения нормированной корреляционной функции дают не вполне гладкий ход кривой, что можно объяснить недостаточным объемом выборки (малой продолжительностью опыта) или большим интервалом квантования, вследствие чего случайные неоднородности не успевают сглаживаться. Сглаживание и адроксимацию кривой целесообразно производить методом наименьших квадратов.

Если нормированная корреляционная функция имеет отрицательные значения, это говорит о том, что в структуре случайного процесса имеются некоторые элементы периодичности (с периодом,приблизительно равным 2*Г , где ^fC_Q — расстояние от начала координат до первого пересечения корреляционной кривой оси абсцисс) [8, 10].Оценка первоначально предполагаемого сувдения о стационарности и эргодичности случайного процесса определяется по поведению кривой корреляционной функции или нормированной корреляционной функции.

Если нормированная корреляционная функция с ростом *С стремится к нулю (рис. 9), значит цредположение об эргодичности случайного процесса сделано правильно. Если нормированная корреляционная функция не убывает и, начиная с некоторого Т* остается приблизительно постоянной (рис.10), это говорит о том, что случайный процесс состоит из двух слагаемых: эргодического про-

20

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе развития горной науки для исследования закономерностей работы различных горнодобывающих машин характерно применение методов теории вероятностей. Это обусловливается в первую очередь случайным процессом формирования нагрузок на элементах мащин. Основные положения теории вероятностей позволяют определить действующие нагрузки для расчета машин на выносливость и текучесть с использованием параметров случайного процесса и случайной величины, что отвечает требованиям достоверности исходных данных и методическому расчету при конструировании и усовершенствовании машин*

Широкое применение аппаратуры для машинной записи изменения исследуемого процесса во времени (осциллографирование, телеизмерение и тензометрирование с применением магнитной записи и т.п.) требует получения обобщающего математического описания процесса, которое, как известно, основано на статистической обработке экспериментального материала.

Первоначальной ступенью обработки экспериментального материала является оценка и определение функций распределения или параметров случайного процесса.

Однако в различной математической литературе обработка экспериментальных данных и определение статистических характеристик трактуется по разному и без учета специфики исследуемого процесса.

Опыт применения теории вероятностей и математической статистики показывает необходимость индивидуального методического подхода к решению задач горного дела: все это послужило поводом для составления специального методического руководства по обработке экспериментальных данных.

Настоящая работа ставит своей целью, основываясь на методах теории вероятностей и математической статистики и анализируя

3

опыт применения этих методов в различных технических задачах_f определить наиболее рациональные методические подходы и особенности при обработке осциллограмм наблюдений применительно к решению задач горного дела.

ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ АППАРАТУРЕ

Измерительная аппаратура должна отвечать следующим основным техническим требованиям: учитывать влияние внешних возмущающих воздействий, осуществлять точную и синхронную регистрацию информации, определяемой заданной погрешностью при обработке данных; частотный и динамический диапазоны аппаратуры должны соответствовать диапазонам регистрируемых сигналов.

Измерительный тракт аппаратуры содержит первичные преобразователи исследуемых величин (датчики), блоки усиления и преобразования сигнала; канал связи; обратные преобразователи полученной информации, регистрирующие устройства.

Б реальных каналах связи дискретные и непрерывные сигналы характеризуются ограниченным спектром. При ограничении полосы спектра сигнала относительная погрешность % определяется через

л£=Е-Е_о,    (D

где Е - напряжение сигнала с датчика, тождественное изменению механической величины без ограничения спектра;

Е - напряжение сигнала после ограничения спектра.

Уровень напряжения Е определяется в результате разложения исследуемой функции в ряд Фурье:

_ а₀    2лх    2жх    а_л 2хх

Е = ~ + dj cos-J-    +а^ cos2~y~~ * * • • ⁺ ~2~~ ^{003 а} ~у ⁺

, , ЕЖХ    .    2жх    _д    ./ л ЕЖХ

+ sia    scn.2~jr- + .., + бд,, sui(n~f)-yT- 9 (2)

где cl_{q 9} cl₄ 9...,    ,    S,,. .,&£■ коэффициенты ряда, вычисляемые из

вестным способом тригонометрической интерполяции.

Уровень напряжения Е₀ для текущей координаты х определяется согласно выражению (2) после ограничения спектра до любой гармонической составляющей.

4

Проведенный анализ показывает, что при ограничении спектра исследуемого процесса шестой гармонической составляющей погрешность составляет 3,3% [I], В этом случае аппаратура, имеющая верхний частотный диапазон / , позволяет регистрировать со средней точностью процессы, имеющие среднюю частоту .

Одним из основных требований при исследовании динамических процессов является необходимость записи в полном амплитудном или динамическом диапазоне. Вполне удовлетворительно, если осуществлена запись в 36 диапазоне для нормального закона распределения ( б - среднеквадратическое отклонение) или десятикратных величин от среднего значения для асимметричных законов распределения.

Динамический диапазон, определяемый как

для различных типов систем измерения находится в пределах 30-40 дб, Это позволяет определить нижний диапазон (через Е _мин ) первичных преобразователей (датчиков) и начальный уровень исследуемого процесса.

ОБРАБОТКА ОПЫТОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Постановка вопроса

Определение функций распределения исследуемого параметра может быть произведено в результате обработки экспериментальных данных, подученных при записи на одной или нескольких осциллограммах наблюдений* Если имеется одна осциллограмма, то запись изменения величины исследуемого параметра должна быть произведена в достаточно большом непрерывном промежутке времени. Если имеется несколько осциллограмм, то запись их должна быть произведена в одинаковых условиях.

Прежде чем приступить к определению функции распределения исследуемого параметра, необходимо:

установить, что изменение записанного параметра действительно есть случайное и* следовательно, можно воспользоваться законами теории вероятностей;

определить стабильность условий испытания. Если условия испытания были нестабильны, то нужно выяснить, чем вызвана неста-

5

бильность: закономерным или случайным изумлением условий испытаний. От этого зависит методика определения закона распределения исследуемого параметра;

оценить погрешность воспроизведения на осциллограмму изменения параметра, т.е. установить, не было ли при записи систематической ошибки контрольно-записыващей аппаратуры (КЗА), которая могла бы исказить истинное изменение во времени исследуемого параметра (обычно считают, что определение временных отметок на осциллограмме производится без ошибок или с такими незначительными ошибками, которыми можно пренебречь);

на основании изучения физической сущности процесса и по виду осциллограммы оценить стационарность исследуемого параметра. Ос* циллограмма изменения параметра во времени есть одна из случайных реализаций возможных значений случайного процесса, который может быть нестационарным, стационарным в широком или узком смысле или эргодическим по отношению к математическому ожиданию или корреляционной функции.

При стационарности исследуемого параметра для определения функции распределения достаточно иметь одну осциллограмму на довольно большом промежутке времени. Если исследуемый процесс нестационарный. то для определения функции распределения параметра на участках нестационарности необходимо иметь несколько осциллограмм.

На рис* I показана осциллогромща нестационарного случайного процесса. Характеристики такого процесса зависят от времени (или начала) отсчета.

Этот процесс начинается с нестационарной стадии - переходного процесса, что соответствует отрезку йЬ на осциллограмме, затем с известной степенью приближенности можно считать процесс стационарным - установившимся режимом (отрезок Sc ) и заканчивается нестационарным режимом-процессом затухания (участок cd ).

Для определения функции распределения случайного параметра РШна нестационарных участках (dS ) и (cd ) необходимо несколько осциллограмм, а на стационарном участке (Sc ) достаточно одной осциллограммы, если она была выполнена на сравнительно большом промежутке времени Т.

На рис. 2 изображен нестационарный случайный процесс.Математическое ожидание этого процесса изменяется в зависимости от времени линейно по прямой гпШ + 6 (на осциллограмме показано пунктирной линией). Однако для определения функции распреде-

6

летя исследуемого параметра в данном случае необходима одна осциллограмма. Отсчет изменения величины P(t) можно производить от линии математического ожидания fli(i) или от любой линии, параллельной т (£) . Найденная функция распределения совместно с уравнением прямой для математического ожидания ffi(t) будет характеризовать изменение исследуемого параметра во времени. Фактически определена функция распределения колебания параметра P(t) относительно своего среднего значения (линии лг(£) ), т.е. функция распределения центрированной случайной величины [Р(£)-т (£)] .

Резкие изменения кривой, как указано на рис.З, говорят о нестабильности условий испытаний или погрешности контрольно-зали-сывающей аппаратуры (КЗА).

Б этом случае функция распределения исследуемого параметра изменяется скачкообразно и ее приближенно можно определить на отдельных участках. А если известно, что нестабильность была вызвана изменением условий испытаний, то, независимо от величины и количества скачков, с известной степенью точности можно определить функцию распределения центрированного случайного параметра [£(£)    (£)]. Средние значения функции rh^(t) определяются для

каждого участка осциллограммы отдельно.

Если наблюдаются колебательные изменения параметра как среднего значения, так и относительно него (рис.4), то сначала определяется на глаз функция изменения среднего значения m(t), затем функция распределения центрированного параметра [P(t}-m(t) ] относительнот(t) ж после этого (при наличии осциллограмш на достаточно большом промежутке времени) - функция распределения параметра m(t).

Яо для того, чтобы определить функцию распределения параметра^) для каждого значения t, необходимо иметь несколько осциллограмм наблюдений.

Определение функции распределения при наличии одной осшшюграммы наблюдения

Пусть имеется осциллограмма, на которой показано изменение величины исследуемого параметра на достаточно большом промежутке времени. Требуется определить дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) данного параметра.

Исследуя характер изменения записанного на осциллограмме параметра, выбираем участок, на котором процесс можно считать cra

ft