м

ШшШ ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПРОМЕРЗАНИЯ ГРУНТОВ НА ЭЛЕКТРОМОДЕЛЯХ

МИНИСТЕРСТВО ЧЕРНОЙ МЕТАЛЛУРГИИ СССР ГЛАВРУДА

Всесоюзный научно-исследовательский и проектноконструкторский институт по осушению месторождений полезных ископаемых, специальным горным работам, рудничной геологии и маркшейдерскому делу ВИОГЕМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПРОМЕРЗАНИЯ ГРУНТОВ НА ЭЛЕКТРОМОДЕЛЯХ

Белгород

1974

Af/iAI)-r (Л) ax ^ зх''^^Эф^0т'

Зависимости^ (T) и С_эф(Т) можно получить опытным путём, а можно воспользоваться аналитическими зависимостями, приведенными в работе Н.С.Иванова [llj.

1,2. Схемы конечно-разностных аппроксимаций уравнений теплопроводности. Вопросы устойчивости и сходимости. Электрическая реализация неявных разностных схем

Остановимся на конечно-разностных аппроксимациях пространственных производных и производной по времени на примере уравнения теплопроводности [l3j:

Первая производная от Т по времени в ( П - 1) момент может быть аппроксимирована тремя способами:

ат^Тп-и-.		- разность вперед;	(1.15)
л ~	дт
(?Г ^ Тп~1 Тп-2 —— -V. ■'—*“*		- разность назад;	(1.16)
Зт дт ЗТ^ Тп-Тп-2		- среднее из разностей
Эт"	2дт	вперед и назад.	(1.17)

Здесь индексы относятся к соответствующим моментам времени. Комбинации пространственных аппроксимаций с временными дают полностью дискретную аппроксимацию уравнения (1.10). Если уравнение (1.10) заменено конечноразностным уравнением

PI Ti,n-i ⁺ Тг.П-1^-2То,п-< ^ To,n~ To.n-«    (1    18)

АХ²    ~    д?

то говорят, что имеем конечно-разностную аппроксимацию по явной схеме.

Если уравнение (1.10) аппроксимировано уравнением

д Ti.n ⁺ Тг,п ~ 2 То.п Ten ~ То,п->    (1.19)

дх²    ДТ

то говорят, что имеем конечно-разностную аппроксима-шло по неявной схеме.

Схему

называют схемой Ричардсона.

Вычислительная схема является устойчивой, если ошибкв| сделанная в момент времени П (а при вычисле-

ниях ошибки округления неизбежны), в дальнейшем будет затухать, и неустойчивой, если такая ошибка возрастает и после сравнительно небольшого числа шагов увеличивается до неприемлемой величины. Явление вычислительной неустойчивости не связано с погрешностями округл е ни я, оно является свойством самой системы разностных ура в-нений.

Математическая теория устойчивости различных разностных схем подробно изложена в работах [20], [32] и др. Из указанных работ вытекает, что дискретизация производных по времени приводит к возможности появления неустойчивости. Схема (1.20) неустойчива при любых соотношениях интервалов пространства и времени.

Условие устойчивости для явной схемы [7] имеет вид:

„«г    '

Схема (1.19) является безусловно устойчивой. Условие устойчивости (1.21), как правило, вынуждает брать слишком малые интервалы времени и много раз повто^ рять одни и те же операции. По этой причине явная форма не получила распространения даже на быстродействующих цифровых вычислительных машинах.

Неявный метод обладает фундаментальным преимуществом: требование устойчивости решения здесь не накладывает никаких ограничений на величину временного шага. Его величину можно назначать в разумных пределах так, чтобы уменьшить время расчетов без потери точности решения.

Условие устойчивости (1.21) записано для одномерной задачи. Для двухмерной и трехмерной задачи условие устойчивости соответственно имеет вид:

где П - интервал пространства.

Помимо математического подхода к анализу вычислительной неустойчивости, существует физический подход, предложенный В.Карплюсом fl3j. Так как непрерывное проводящее поле может быть заменено сеткой сопротивлений, у которой уравнение узла или контура совпадает с конечно-разностной аппроксимацией дифференциального уравнения, описывающего поле, то можно считать, что всякому конечно-разностному уравнению соответствует своя сетка сопротивлений. Следует при этом ожидать, что вычислительная неустойчивость в соответствующей сетке сопротивлений будет проявляться в виде электрической неустойчивости, т.е. любое флуктуационное отклонение напряжения в узловой точке от номинала, изображающего истинную величину решения, приводит к лавинообразному нарастанию токов и напряжений.

Для выяснения вопроса вычислительной неустойчивости конечно-разностного уравнения строится соответствующий ему электрический конструктивный блок. Если он содержит только положительные сопротивления, то цепь должна быть устойчивой, так как она имеет в этом случае только элементы, рассеивающие энергию.

Если помимо положительных сопротивлений имеются отрицательные, то цепь будет устойчивой только в том случае, если суммы всех отрицательных сопротивлений больше суммы всех положительных.

Вторая проблема, возникающая при конечно-разностном представлении временной переменной в дифференциальных уравнениях с частными производными, связана с возможностью отсутствия сходимости. Говорят, что конечно-разностная аппроксимация 'сходится*, если приближенное решение конечно-разностного уравнения стремится к точному по мере измельчения сетки конечных разностей при условии, что отношение пространственных шагов сетки вдоль различных координат сохраняется постоянным [l3j. Общего критерия сходимости в литературе не имеется. Однако устойчивость всегда предполагает сходимость, хотя обратное не всегда верно. Но, так как одним из важнейших требований к вычислительным алгоритмам является требование устойчивости, рассмотрение вопроса сходимо-

14

сти не представляет дополнительной проблемы*

При моделировании процесса промерзания грунтов на Я - сетках будем использовать, как наиболее распространенную, только неявную конечно-разностную аппроксимацию типа (1*19). Детальное описание различных видов неявных разностных схем изложено в работе [9].

Б 1956 г* Дж.Либман предложил оригинальный метод решения задач нестационарной теплопроводности [38]. Метод представляет собой реализацию неявной конечно-разностной схемы на электрической модели. Б качестве примера рассмотрим реализацию схемы (1*19) по Лнбману.

Соберем электрическую цепь, как показано на рис.1 Л*

Рис. 1.1. Узел сетки сопротивлений в точке 0.    ,    I    „

3, I 3₃i J3 -токи в ветвях цепи. Vr,n    ¹

Vo, л-1

(1.24)

^Jy Rr '

(1.25)

Здесь « R*- сопротивление цепи, a Rt связано с

соотношением

Уравнение (1*25) формально тождественно с уравнением в конечных разностях (1.19) при условии (1*26).

Следовательно, уравнение напряжений в рассматривае-

15

мой uoini (J.25) моделирует уравнение в конечных разностях (1*19), а уравнение в конечных разностях аппроксимирует дифференциальное уравнение в частных производных (1.2 0) с точностью, определяемой выбором интервалов пространства и времени.

Другую оригинальную реализацию неявной конечно-разностной схемы на электромодели предложил В.Карплюс [13]. Принципы, положенные им в основу построения дискретной сеточной модели, является развитием метода Либмана.

1.3. Правила моделирования. Электротепловая аналогия

При составлении электрических моделей для исследования нестационарных задач теплопроводности следует руководствоваться следующими правилами [37]:

1)    электрическая модель должна быть геометрич е с к и подобна исследуемому объекту;

2)    явления в модели и в исследуемом объекте должны принадлежать к одному и тому же классу, то есть описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями;

3)    граничные условия должны быть подобными.

Кроме того, при электрическом моделировании на R -

сетках необходимо выполнение условия [16]

При электрическом моделировании на RC-сетках выполняется условие

( Рх² 6с    _ / 2х Е с 2*о\ _ [НбГП

^ 2% ^Уэ (1.28)

где Е - масштаб;

С - удельная теплоемкость;

Z - удельное тепловое сопротивление;

Я₀- удельное электрическое сопротивление.

Индексы Т и Э относят выражения соответственно

к тепловой и электрической системам.

Выражения (1.27) и (1.28) аналогичны.

В табл. 1 приведена наиболее часто встречающаяся система электротепловых аналогий (ЭТА).

Аналогия между тепловыми и электрическими величинами [34]

Таблица 1

Тепловая система Электрическая система Величина Размерность Величина Размерность Т-температура град V -напря в -коэффициент жение -удель теплопроводности ккал/м*часр ная проводи град мость 1/ом*м Q, -количество -количе тепла ккал ство элект кулон ст«с#ч/ - теплоемкость ккал/град ричества С-ёмкость ф RT* тепловое град • R -электриче сопротивление час/ккал ское сопротив- ом ление - время час t время час , . атт ккал/час q J~dn, а расход тепла - сила тока или » — "тт

1)    - объём, м³.

2)    При моделировании на R С-сетках электрическое время обычно выражается в секундах.

17

В основу метода ЭТА положена аналогия между лиф-ференциальными уравнениями процесса распростран е н и я тепла и распределения потенциалов в электропроводной среде.

Уравнения, описывающие нестационарные поля температур и электрических потенциалов, в простейшем случае имеют вид:

где - удельное электрическое сопротивление, ом.м;

С₀ - удельная электрическая емкость (на единицу объёма), ф/м³.

Электромодель R С-сетка решает уравнение (1.30) , которое аналогично уравнению (1.29), если соответствующим образом рассчитать параметры R С-сетки.

При электрическом моделировании на R -сетках используется аналогия между конечно-разностным выражением уравнения нестационарной теплопроводности и законом Кирхгофа для токов электрической цепи, сходящейся в узел

Тк-1,П ~Т*'П ^    ^    Тк,Л-1    “    ТХ,П _ f) .

h^a    \?    адТ    '^U'

1^-- о-

Ri ’

где A Vi - разность потенциалов в узлах на концах сопротивления Ri .

Методика электрического моделирования применительно к процессу промерзания грунта на R и R С—сетках излагается ниже.

1.4. Расчёт параметров К - сетки

К расчёту параметров R -сетки (или R С-сетки) для решения уравнения процесса промерзания грунтов, как и

вообще краевых задач, возможны два подхода [7]:

1)    физический метод, основанный на аналогии уравнений;

2)    математический метод, исходящий из приближенного выражения решения для данного уравнения.

Первый метод (так называемый метод замещения) применяется как при физическом, так и при математическом моделировании. При этом сплошная среда заменяется сосредоточенными элементами. Такая замена обладает преимуществом физической наглядности и в простейших случаях может давать верный результат. Вопрос о погрешности при такой замене остается открытым. В сложных случаях, как показано в [7], погрешность может оказаться довольно большой, а нахождение эквивалентных элемен т о в затруднительно.

Второй метод заключается в том, что дифференциальное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением для узловых точек сетки, а электрические сетки понимаются как счетно-решающие механизмы. Элементы соединяются между собой так, чтобы выполнялись указанные уравнениями операции. При таком способе составления электрических схем теряется физическая наглядность, но появляется наглядность математическая, позволяющая оценить погрешность. Этот метод наиболее точный, и в дальнейшем электрические параметры будут рассчитываться главным образом исходя из него.

Уравнения, описывающие процесс промерзания грунтов, могут быть записаны в любой системе координат, луч ш е всего соответствующей геометрии поля. Наиболее часто встречаются прямоугольные и цилиндрические координатные системы.

Расчет параметров R -сетки ^ля решения уравнения процесса промерзания грунта.

записанного в прямоугольной системе координат

При исследовании температурных полей в промерз а кэшем влажном грунте (двумерный случай) уравнение теплопроводности имеет вид:

19

Настоящие указания составлены в лаборатории математического моделирования и электронно-вычислительных средств института ВИОГЕМ инженером НЛЧПрокофьевым*

В работе приводится методика электромоделирования задач промерзания грунтов на моделях-аналогах R и R С-сетках, излагаются воп росы применения теории подобия к расчёту температурных полей в грунтах, показаны различные способы учёта скрытой теплоты льдообразования для случаев, когда Д Т =0 и Д Т_кр *0. Описан комбинированный способ решения задач, описываемых уравнениями типа теплопроводности, на R С-сетках.

Указания утверждены научно-техническим советом института ВИОГЕМ от 11 ноября 1971 г.

Научный редактор канд.техн.наук В.М.Чуйко.

Всесоюзный научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт но осушению месторождений полезных ископаемых, специальным горным работам, рудничной геологии и маркшейдерскому делу ( ВИ0ГЕМ),1Ы74г.

Эх^ах^ау ^ау^'^ат⁺ ^

где JL    " ^в общем случае функции пространственных

координат х, у, температуры и времени^

OJ - функция тепловых источников, определяющая приток тепла в единице объёма и в единицу времени. Функция <х/ имеет различные выражения для случаев Т_Кр * 0 и    I* 0, о чём будет сказано более подроб

но ниже. Граничное условия заданы обычно в виде условий 1 или Ш рода.

Начальные условия задаются в виде распреде л е н и я температур в начальный момент времени Т ^жТ (х, у, о). Пусть Д-область моделирования плоскости хоу. Покроем её сеткой прямых, параллельных осям координат. Точки пересечения этих прямых будем называть узлами оетки, или узловыми точками. Расстояние между соседними узлами называют щагом сетки.

Уравнение /1.337при выборе неравных пространственных интервалов можно приближенно представить для узла О в виде [2J:

Ti.*-Tc,n То.п'Ъ.п ■% То.п Тв'П _ д Тс.» ~ Tt,rr

Г>|Я, ь, ~м Ьг ]\[^Л* ^{hi Лц}

AT

Умножив обе части уравнения (1,34) на получим:

у1/(7?з ⁺ ^^)/_т т V /} hi + h* /-г _Т ) --gjj- (kn Is }

ВВЕДЕНИЕ

В гидротехническом и шахтном строительстве при проведении земляных работ в зимнее время, назначении глубин залегания фундаментов сооружений, разработке мероприятий по борьбе с пучинами на дорогах и в других случаях возникает потребность в научно обоснованном расчёте температурных полей во влажных грунтах.

При изучении вопроса расчёта промерзания грунтов наиболее перспективным является метод математического моделирования.

Математическая модель процесса промерзания грунта - это основные уравнения, описывающие явления, и уравнения для краевых условий. Эта модель в настоящей работе изучается с помощью электрической аналогии, когда соответствующее электрическое явление имеет такое же математическое описание.

Опыт показывает, что для решения задачи промерзания грунта эффективнее применять аналоговые вычисли -тельные машины по сравнению с электронными цифровыми вычислительными машинами, хотя последние имеют принципиально неограниченные возможности. Это объясняется, с одной стороны, практически мгновенным быст -родействием аналоговых машин и относительно небольшой потребной точностью решения данной инженерной задачи, с другой стороны, - большим объёмом работ по составлению программ для ЭЦВМ при решении нелинейных задач.

Из аналоговых вычислительных машин для реш ени я нелинейных теплофизических задач (а задача промерз а -ния грунтов относится к этому классу) нашли приме не -ние главным образом модели-аналоги, структурные ж е модели почти не применяются. Среди моделей-анало г о в для расчёта нестационарных полей в промерзающих грунтах наиболее широкое распространение получили гидравлические интеграторы системы В.С.Лукьянова. Однако нельзя соглашаться с утверждением Б.А.Волынского [Q], что они являются пока единственными, которые позволяют учитывать скрытую теплоту при исследовании тепловых процессов, ибо такие процессы могут быть изучены и на электрических моделях.

3

Однако электрические модели не нашли пока широкого применения для этих целей, несмотря на ряд их преимуществ перед гидравлическими (стабильность результатов, высокая точность, быстрота и удобство электрических измерений, сравнительно невысокая стоимость электромоделей, простота устройства и эксплуатации). Сказанное выше относится к электромоделям-сеткам омических сопротивлений, где задача решается по методу, предложенному Либманом [38], [39]. Метод Либмана позволяет решать задачи замораживания не только одномерные, но и двух- и трёхмерные.

Этот метод, однако, лишён наглядности и довольно трудоёмок (особенно для уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами). Кроме того, измерение потенциальной картины во времени ведется ручным измерительным устройством, что еще увеличивает время решения. Большой объём работ, производимых вручную, не позволяет применять этот метод для решения задач с большим количеством узловых точек.

Не нашел пока широкого применения для решения задач замораживания метод решения при помощи стати чес-кого электроинтегратора, разработанного в проблемной лаборатории процессов горения и теплообмена Казахского университета группой Л.А.Булиса и А.Т.Лукьянова. Удобство этого метода заключается в использовании подвижного счётного элемента, который может быть аналогом любого разностного оператора. Вместе с тем нужно отметить, что при этом методе требуется дополнительное цифровое устройство для использования итеративного метода решения.

На статическом электроинтеграторе Л.А.Вулиса и А.Т. Лукьянова можно реализовать самые различные конечно-разностные аппроксимации дифференциального уравнения теплопроводности.

Что касается электронных аналоговых математических машин на RС-сетках, то в Советском Союзе отсутствуют такие, на которых решаются в настоящее время подобные задачи и, как пишет один из авторов математической машины УСМ-1 Н.С.Николаев [28], было бы большим

4

достижением обеспечение возможности решения тепловых задач в средах с изменяющимся фазовым состоянием на этих машинах.

Во НИИУВМ (г.Пенза) в первой половине 60-х годов велись работы по созданию аналоговой математической машины на RС-сетках, способной решать задачи с фазовыми переходами f43]. К сожалению, эта машина не была создана. Такая машина была создана в США [40].

В настоящей работе предпринята попытка систематически изложить методику применения электромоделей R и R С-сеток для расчёта теплопередачи в промерзающих влажных грунтах.

Автор благодарит к.т.н. В.М.Чуйко-научного редактора, чьи советы и критические замечания содействовал и улучшению формы и содержания пособия, а также инженера В.И.Ростовцева, оказавшего большую помощь при постановке задач на моделях и создании необходимых приборов.

Условные обозначения

Т - температура, град С; дТ - перепад температур, град С;

X - время, час;

-    плотность теплового потока, ккал/м^ час;

Д- коэффициент теплопроводности, ккал/м час град; С “ удельная теплоемкость, ккал/кг град;

С - объемная теплоемкость, ккал/м³ град;

удельный или объемный вес, кг/м³; а- коэффициент температуропроводности, м^/час;

-    коэффициент теплоотдачи, ккал/м^ час-град;

W- влажность, доли единицы;

t - льдистость, доли единицы; б" - теплота льдообразования, ккал/кг; и) - источник тепла, ккал/м³ час;

\f - объем, м³;

G - количество тепла, ккал;

^ - граница промерзания, м;

Л - нормаль, м;

Х,у - координаты, м; h - интервал пространства, м;

€ - масштаб; оЦ;е- масштабные коэффициенты перехода;

Тэ - полный период решения на УСМ-1, сек;

R - электрическое сопротивление, ом;

V - электрический потенциал, в;

3 - сила тока, а;

количество электричества, кул.

Индексы

П - момент времени;

0,1, ...» 4 - номера узлов сетки; о - внутренний узел; п - поверхность; с - среда;

м - максимальное значение; н - начальное значение; эф - эффективное;

е

т - тепловая система; э - электрическая система;

Т - временное; кр - кристаллизация.

Сокращения терминов

R - сетка - сетка сопротивлений;

RC“ сетка - сетка сопротивлений и емкостей.

Глава 1

МЕТОДИКА РАСЧЁТА ПРОМЕРЗАНИЯ ГРУНТА НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ-СЕТКАХ ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

1.1. Математическая теория вопроса

В соответствии с задачей дать доступный для практики и в основном правильно учитывающий главные факторы метод расчёта промерзания влажного грунта следует [22]i

1)    считать главным фактором, определяющим тепловой режим грунта, процесс теплопередачи, происходящий в нем как в 'истинно твердом теле', т.е. в таком, в котором отсутствует перенос тепла за счёт взаимного перемещения отдельных частиц тела;

2)    полагать возможным при исследовании теплового режима промерзшего влажного грунта в большинстве случаев не учитывать процесс миграции влаги. Наличие ж е влаги в грунте следует учитывать путем учёта выделяемого влагой тепла, при изменениях фазового состояния, и путём учёта изменения при этом теплофизических характеристик грунта;

3)    различать случаи замерзания влаги в грунте при постоянной температуре, ДТ_Кр^в0, т.е. случаи промерзания грунта с образованием границы промерзания и случаи промерзания влаги в грунте в некотором диапазоне температур Д Т_кр/0, т.е. случаи промерзания грунта с образованием зоны промерзания.

При Д Т_Кр=0 промерзают крупнозернистые грунты,например пески, размеры пор которых сравнительно велики и влага очень мало связана со скелетом грунта.

При д Т_кр*0 замерзают пылеватые и глинистые грунты, размеры пор которых малы, и вода, заполняющая эти поры, находится в связанном состоянии.

Напишем для простоты одномерную математическую модель промерзания грунта с поверхности для слу чая дТ_кр-0 [23]. Принимаем, что коэффициент теплопров од-ности и объёмная теплоёмкость С грунта меняются скачкообразно при переходе температуры через 0°С от значений при положительных температурах Т^и С2 До величин*

8

соответствующих отрицательным температурам Л \ и Cj. Замерзание всей термоактивной грунтовой влаги, сопровождающееся выделением скрытых теплот, происходит при 0°С.

Температурное поле в грунте в этом случае описывается следующей системой дифференциальных уравнений; на поверхности грунта

-l,fbot(Te-Tn),    О.»

где Т_в - температура воздуха; в мерзлой зоне

д afT. р ат, .

^л Зх^2-Ц зг '

в талой зоне

_Tl =Т2 “0°С;    (1.3)

на границе промерзания

Т_{ “Т₂ «0°С.    (1.4)

Перемещение этой границы во времени определяется уравнением

(1.5)

где Т - температура;

Т - время;

X- координата;

^(i)~ уравнение сдвижения границы раздела двух фаз; q_o - содержание скрытых теплот замерзания воды в единице объёма грунта.

Таким образом, задача о промерзании грунта в этом случае может быть сформулирована как задача о сопряжении двух температурных полей при наличии особого условия на движущейся границе раздела.

При промерзании грунта с поверхности с образованием

9