Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1 

25 страниц

456.00 ₽

Купить ГОСТ 11.010-81 — бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль"

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров биномиального и отрицательного биномиального распределений по совокупности статистических данных, полученных на производстве в процессе измерений, испытаний и анализов, если эти данные подчиняются биномиальному или отрицательному биномиальному распределениям.

 Скачать PDF

Отменен без замены.

Оглавление

1. Общие положения

2. Оценка параметра биноминального распределения

3. Определение доверительных границ для параметра биномиального распределения

4. Оценка параметра отрицательного биномиального распределения

5. Определение доверительных границ для параметра отрицательного биномиального распределения

Приложение 1 (справочное) Примеры применения правил стандарта

Приложение 2 (справочное) Теоретические основы стандарта

Литература

 
Дата введения01.01.1982
Добавлен в базу01.01.2019
Завершение срока действия01.03.1987
Актуализация01.01.2019

Организации:

30.03.1981УтвержденГосударственный комитет СССР по стандартам1666
ИзданИздательство стандартов1981 г.
РазработанМинистерство высшего и среднего специального образования СССР
РазработанГосударственный комитет СССР по стандартам

Applied statistics. Point and interval estimators for parameters of binomial and negative binomial distribution

Стр. 1
стр. 1
Стр. 2
стр. 2
Стр. 3
стр. 3
Стр. 4
стр. 4
Стр. 5
стр. 5
Стр. 6
стр. 6
Стр. 7
стр. 7
Стр. 8
стр. 8
Стр. 9
стр. 9
Стр. 10
стр. 10
Стр. 11
стр. 11
Стр. 12
стр. 12
Стр. 13
стр. 13
Стр. 14
стр. 14
Стр. 15
стр. 15
Стр. 16
стр. 16
Стр. 17
стр. 17
Стр. 18
стр. 18
Стр. 19
стр. 19
Стр. 20
стр. 20
Стр. 21
стр. 21
Стр. 22
стр. 22
Стр. 23
стр. 23
Стр. 24
стр. 24
Стр. 25
стр. 25

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО И ОТРИЦАТЕЛЬНОГО БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ГОСТ 11.010-81

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ Москва

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО И ОТРИЦАТЕЛЬНОГО БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

ГОСТ 11.010-81

Издание официальное

МОСКВА — 1981

^gXlO4 и ?нхЮ4 при односторонней доверительной вероятности 7 = 0,9950 и значении у

я-у

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

9950

0000

9975

0025

9983

0414

9987

1109

9990

1851

9992

2540

9993

3151

9994

3685

9994

4150

9995

4557

9995

4914

2

9293

0000

9586

0017

9706

0294

9771

0828

9813

1436

9842

2030

9863

2578

9879

3074

9891

3518

9902

3916

9910

4271

3

8290

0000

8891

0013

9172

0229

9337

0663

9447

1177

9525

1697

9584

2191

9630

2649

9667

3067

9697

3448

9722

3794

4

7341

0000

8149

0010

8564

0187

8823

0553

9001

0999

9132

1461

9232

1909

9312

2332

9376

2725

9429

3087

9474

3421

5

6534

0000

7460

0008

7970

0158

8303

0475

8539

0868

8717

1283

8855

1693

8966

2085

9058

2454

9134

2799

9199

3118

6

5865

0000

6849

0007

7422

0137

7809

0416

8091

0768

8307

1145

8478

1522

8617

1887

8733

2234

8830

2561

8914

2868

7

5309

0000

6315

0006

6926

0121

7351

0370

7668

0688

7915

1034

8113

1383

8276

1724

8413

2051

8529

2362

8629

2656

8

4843

0000

5850

0006

6482

0109

6933

0333

7275

0624

7546

0942

7766

1267

7949

1587

8103

1897

8236

2193

8351

2474

9

4450

0000

5443

0005

6085

0098

6552

0303

6913

0571

7201

0866

7439

1170

7638

1471

7807

1764

7953

2047

8081

2316

10

4113

0000

5086

0005

5729

0090

6206

0278

6579

0526

6882

0801

7132

1086

7344

1371

7526

1649

7684

1919

7823

2177

11

3822

0000

4770

0004

5410

0083

5892

0257

6273

0488

6585

0745

6846

1014

7068

1284

7260

1549

7428

1806

7576

2055

12

3569

0000

4490

0004

5123

0076

5605

0239

5991

0455

6310

0697

6579

0951

6809

1207

7009

1460

7185

1707

7340

1946

15

2976

0000

3814

0003

4413

0063

4884

0197

5271

0378

5598

0583

5878

0801

6123

1024

6338

1246

6530

1455

6702

1679

20

2327

0000

3043

0002

3577

0048

4012

0153

4379

0295

4698

0459

4977

0635

5226

0817

5449

1002

5651

1185

5834

1367

25

1910

0000

2529

0002

3004

0039

3399

0124

3740

0242

4040

0378

4308

0526

4550

0680

4769

0838

4970

0996

5155

1154

50

1005

0000

1368

0001

1663

0020

1921

0065

2153

0127

2366

0201

2563

0283

2747

0371

2919

0461

3082

0554

3235

0649

100

0516

0000

0713

0000

0877

0010

1025

0033

1162

0065

1290

0104

1411

0147

1527

0194

1637

0243

1743

0294

1846

0346

^gXlO4 и ?НХ104 при односторонней доверительной вероятности 7=0,9975 и значении у

п у

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

9975

0000

9987

0013

9992

0292

9994

0875

9995

1546

9996

2195

9996

2788

9997

3315

9997

3782

9997

4194

9998

4559

2

9500

0000

9708

0008

9793

0207

9839

0651

9869

1195

9889

1747

9904

2272

9915

2755

9924

3193

9931

3590

9937

3948

3

8643

0000

9125

0006

9349

0161

9480

0520

9566

0977

9628

1457

9674

1926

9710

2367

9739

2776

9763

3153

9782

3498

4

7764

0000

8454

0005

8805

0131

9023

0434

9172

0828

9282

1252

9665

1675

9431

2080

9485

2462

9529

2817

9566

3147

5

6983

0000

7805

0004

8253

0111

8543

0372

8748

0718

8902

1098

9021

1483

9117

1857

9196

2214

9261

2550

9317

2865

6

6316

0000

7212

0004

7728

0096

8074

0326

8325

0635

8517

0979

8669

1331

8792

1678

8893

2013

8979

2331

9053

2631

7

5751

0000

6685

0003

7245

0085

7633

0290

7920

0569

8143

0883

8322

1208

8468

1532

8591

1846

8695

2147

8785

2434

8

5271

0000

6218

0003

6807

0076

7224

0261

7538

0515

7786

0804

7987

1107

8154

1409

8295

1705

8415

1991

8519

2265

9

4861

0000

5806

0003

6410

0069

6847

0237

7183

0471

7450

0739

7669

1021

7953

1305

8009

1585

8143

1867

8260

2119

10

4507

0000

5441

0002

6052

0063

6502

0218

6853

0434

7135

0683

7369

0947

7566

1215

7735

1481

7881

1740

8009

1991

11

4200

0000

5116

0002

5729

0058

6187

0201

6547

0402

6841

0635

7086

0884

7295

1137

7474

1390

7631

1637

7769

1877

12

3930

0000

4826

0002

5436

0054

5897

0187

6265

0375

6567

0594

6821

0828

7038

1069

7227

1309

7392

1546

7538

1776

15

3293

0000

4119

0002

4704

0044

5162

0154

5536

0311

5850

0497

6120

0697

6354

0905

6560

1116

6743

1325

6906

1531

20

2589

0000

3304

0001

3833

0034

4262

0119

4623

0243

4934

0390

5206

0552

5448

0722

5665

0896

5860

1071

6038

1245

25

2131

0000

2755

0001

3230

0027

3623

0097

3961

0199

4257

0322

4521

0457

4758

0601

4973

0749

5170

0899

5350

1049

50

1129

0000

1501

0000

1801

0014

2063

0051

2297

0105

2512

0171

2710

0246

2894

0327

3067

0411

3229

0499

3383

0589

100

0582

0000

0785

0000

0954

0007

1105

0026

1245

0054

1375

0088

1499

0128

1616

0171

1728

0217

1835

0264

1939

0314

0вХЮ4 и #НХ104 при односторонней доверительной вероятности 7=0,9990 и значении у

п-у

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

9990

0000

9995

0005

9997

0184

9997

0640

9998

1220

9998

1814

9999

2375

9999

2887

9999

3349

9999

3763

9999

4134

2

9684

0000

9816

0003

9870

0130

9899

0476

9917

0940

9930

1438

9940

1927

9947

2388

9952

2815

9957

3207

9961

3564

3

9000

0000

9360

0003

9524

0101

9621

0379

9684

0767

9730

1196

9763

1629

9790

2046

9811

2441

9828

2808

9842

3149

4

8222

0000

8780

0002

9660

0083

9233

0316

9352

0648

9438

1025

9504

1413

9556

1794

9598

2159

9632

2503

9662

2827

5

7488

0000

8186

0002

8562

0070

8804

0270

8975

0562

9102

0898

9201

1249

9279

1599

9344

1938

9398

2262

9443

2568

б

6838

0000

7625

0001

8073

0060

8371

0237

8587

0496

8751

0799

8880

1120

8984

1443

9071

1759

9143

2064

9206

2355

7

6272

0000

7113

0001

7612

0053

7954

0210

8206

0444

8401

0721

8557

1016

8684

1316

8791

1612

8881

1899

8959

2176

8

5783

0000

6651

0001

7185

0048

7559

0189

7841

0402

8062

0656

8241

0929

8388

1209

8513

1487

8619

1760

8711

2023

9

5358

0000

6237

0001

6793

0043

7192

0172

7497

0365

7738

0602

7936

0857

8101

1119

8240

1381

8361

1639

8465

1890

10

4988

0000

5866

0001

6436

0039

6851

0158

7173

0338

7432

0557

7645

0794

7824

1041

7977

1289

8110

1535

8225

1775

11

4663

0000

5534

0001

6109

0036

6537

0146

6871

0314

7143

0517

7369

0741

7560

0974

7724

1209

7867

1443

7993

1672

12

4377

0000

5234

0001

5812

0034

6246

0135

6590

0292

6872

0483

7108

0694

7309

0915

7483

1139

7635

1362

7769

1582

15

3690

0000

4495

0001

5060

0027

5499

0112

5856

0242

6154

0404

6409

0584

6630

0774

6824

0969

6996

1166

7149

1361

20

2921

0000

3630

0000

4151

0021

4569

0086

4920

0189

5222

0317

5485

0462

5718 ; 0616

5926

0777

6113

0940

6282

1105

25

2414

0000

3040

0000

3512

0017

3901

0070

4234

0155

4524

0261

4782

0382

5013

0512

5223

0649

5413

0788

5588

0930

50

1290

0000

1671

0000

1977

0009

2242

0037

2479

0081

2695

0139

2894

0205

3078

0278

3251

0356

3413

0437

3566

0520

100

0657

0000

0878

0000

1052

0004

1208

0019

1351

0042

1484

0072

1609

0106

1729

0145

1842

0187

1951

0231

2056

0277

Таблица 9

у

Значение коэффициента ZB при односторонней доверительной вероятности if

0,80

0.90

0,95

I 0,975

0,990

0,995 |

0,9975

0,999

1

5,989

7,779

9,488

11,143

13,277

14,860

16,424

18,467

2

8,558

10,645

12,592

14,449

16,812

18,548

20,249

22,458

3

11,030

13,362

15,507

17,535

20,090

21,955

23,774

26,125

4

13,442

15,987

18,307

20,483

23,209

25,188

27,112

29,588

5

15,812

18,549

21,026

23,337

26,217

28,300

30,318

32,910

6

18,151

21,064

23,685

26,119

29,141

31,319

33,426

36,123

7

20,465

23,542

26,296

28,845

32,000

34,267

36,456

39,253

8

22,760

25,989

28,869

31,526

34,805

37,156

39,422

42,313

9

25,037

28,412

31,410

34,170

37,566

39,997

42,336

45,315

10

27,301

30,813

33,924

36,781

40,289

42,796

45,204

48,268

П

29,553

33,196

36,415

39,364

42,980

45,559

48,034

51,179

12

31,795

35,563

38,885

41,923

45,642

48,290

50,829

54,052

13

34,027

37,916

41,337

44,461

48,278

50,993

53,594

56,893

14

36,250

40,256

43,773

46,979

50,892

53,672

56,333

59,703

15

38,466

42,585

46,194 ;

49,480

53,486

56,328

59,046

62,487

16

40,676

44,903

48,602

51,966

56,061

58,964

61,738

65,248

18

45,076

(49,513

53,384

56,896

61,162

64,182

67,063

70,703

20

49,456

54,090

58,124

61,777

66,206

69,336

72,320

76,084

25

60,331

65,423

69,832

73,810

78,616

82,001

85,220

89,272

30

71,125

76,630

81,381

85,654

90,801

94,419

97,852

102,17

40

92,538

98,780

104,14

108,94

114,70

118,73

122,54

127,32

50

113,79

120,68

126,57

131,84

138,13

142,53

146,69

151,88

60

134,92

142,40

148,78

154,46

161,25

165,98

170,44

176,01

70

155,95

163,98

170,81

176,88

184,12

189,15

193,90

199,82

80

176,92

185,45

192,70

199,13

206,79

212,11

217,12

223,36

90

197,83

206,84

214,48

221,25

229,30

234,89

240,15

246,69

100

218,69

228,15

236,16

243,25

251,68

257,52

263,02

269,85

150

323,47

333,89

343,53

352,04

362,10

369,06

375,58

383,68

200

425,65

438,74

449,75

459,44

470,89

478,79

486,19

495,35

300

630,99

646,88

660,19

671,88

685,65

695,13

703,99

714,95

Примечание. Значения коэффициента ZBi отсутствующие в таблице, вычисляют по формуле

Z4=2 (>' + 1)(1- 9(у+1)+“Г VэГу+Ту) ■

ГОСТ 11.010-81 Стр. 11

Значения коэффициента и^ приведены в табл. 12.

Стр. 12 ГОСТ 11.010-81

Таблица 10

Значение коэффициента ZH при односторонней доверительной вероятности 7

0,90

0,95

0,975 |

1 0,990

0,995

0,9975

0,999

0,211

0,103

0,051

0,020

0,010

0,005

0,002

1,064

0,711

0,484

0,297

0,207

0,145

0,091

2,204

1,635

1,237

0,872

0,676

0,527

0,38!

3,490

2,733

2,180

1,647

1,344

1,104

0,857

4,865

3,940

3,247

2,558

2,156

1,827

1,479

6,304

5,226

4,404

3,571

3,074

2,661

2,214

7,790

6,571

5,629

4,660

4,075

3,582

3,041

9,312

7,962

6,908

5,812

5,142

4,573

3,942

10,865

9,391

8,231

7,015

6,265

5,623

4,905

12,443

10,851

9,591

8,260

7,434

6,723

5,921

14;041

12,338

10,982

9,543

8,643

7,865

6,983

15,659

13,848

12,401

10,856

9,886

9,044

8,085

17,292

15,379

13,844

12,198

11,160

10,256

9,222

18,939

16,928

15,308

13,565

12,461

11,497

10,391

20,599

18,493

16,791

14,953

13,787

12,765

11,588

22,271

20,072

18.291

16,362

15,134

14,056

12,811

25,643

23,269

21,336

19,233

17,887

16,700

15,324

29,051

26,509

24,433

22,164

20,707

19,417

17,916

37,689

34,764

32,357

29,707

27,991

26,464

24,674

46,459

43,188

40,482

37,485

35,535

33,791

31,738

64,278

60,391

57,153

53,540

51,172

49,043

46,520

82,358

77,929

74,222

70,065

67,328

64,858

61,918

100,62

95,704

91,572

86,923

83,852

81,072

77,755

119,03

113,66

109,14

104,03

100,66

97,591

93,926

137,55

131,76

126,87

121,35

117,68

114,35

110,36

156,15

149,97

144,74

138,82

134,88

131,31

127,01

174,84

168,28

162,73

156,43

152,24

148,43

143,84

269,07

260,88

253,91

245,97

240,66

235,81

229,96

364,21

354,64

346,48

337,16

330,90

325,18

318,26

556,06

544,18

534,02

522,37

514,53

507,34

498,62

коэффициента Z ( отсутствующие в таблице, вычисляют по формуле

приведены в табл. 12.

ГОСТ 11.010-81 Стр. 13


3.5. В Случае у=0 верхнюю доверительную границу находят по формуле


нижняя доверительная граница qH=0-

3.6. В случае 0<у^п—у доверительные границы qB и qB определяют по формулам:


2 tB+ZB-[2-(y»+2y)+yZB-2*]H6te) ’


2^н+^„—[2(У2—1)+(У—1)^„—ZB]H5tH)’


(6)

(7)


где tB = 2n—у, t„=2n—у+1,

а коэффициенты ZB и ZH находят соответственно из табл. 9 и 10 по значениям у и у.

3.7. В случае у>п—у доверительные границы qB и qn определяют по формулам:


9в=1—Рн,    (8)

qH=\—pB)    (9)


где рв и рн находят в соответствии с пп. 3.3—3.6 как доверительные границы qB и qn, однако значение у заменяют на п—у, а п у на у.

3.8. Доверительные границы рв и рв для параметра р= 1—q находят по формулам (8), (9).


4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ОТРИЦАТЕЛЬНОГО БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ


4.1. Оценку максимального правдоподобия параметра q отрицательного биномиального распределения (2) вычисляют по формуле


v

Я =


k

k-\~x


(10)


4.2. Несмещенную оценку параметра отрицательного биномиального распределения вычисляют при k^2 по формуле


л    к— 1

<7=


к+х—\


(Н)


Стр. 14 ГОСТ 11.010-81


4.3. Оценку максимального правдоподобия (10) используют в следующих случаях:

при значении &=1 для любых значений параметра q\ при значениях £ = 2, 3,..., 22 для q^q*.

Несмещенную оценку (11) используют в следующих случаях: при значениях &>22 для любых значений параметра q\ при значениях k = 2, 3,..., 22 для q<q*\

при k^2 и отсутствии предварительных сведений о величине параметра q.

Значения величины q* для k — 2, 3,..., 22 приведены в табл. 11.

Таблица 11


k

д*

k

Q*

k

Q*

2

0,367

9

0,548

16

0,571

3

0,444

10

0,552

17

0,573

4

0,483

11

0,558

18

0,575

5

0,506

12

0,561

19

0,576

6

0,522

13

0,564

20

0,577

7

0,533

14

0,567

21

0,578

8

0,542

15

0,569

22

0,579


4.4. Для квадратической функции потерь оценки максимального правдоподобия


R{q)=M{q-q?    (12)

несмещенную оценку в случае k^3 вычисляют по формуле A v v v    kx    (k—i)(k—2)

Я{Я) = {й)2—^Я+^    —    (£+*—1 )(£+*—2) •    Г3)

4.5. Для квадратической функции потерь (дисперсии) несме* щенной оценки


Л    Л

Vq=M{q-q)*


несмещенная оценка при имеет следующий'вид


л л


Vq=


х (k— 1)

(k+x-\)*(k+x-2) ’


(14)

(15)


5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРА ОТРИЦАТЕЛЬНОГО БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

5.1. Верхнюю и нижнюю доверительные границы qB и qs для параметра q отрицательного биномиального распределения при


ГОСТ 11.010--81 Стр. 15

заданной односторонней доверительной вероятности у или двусторонней доверительной вероятности у* = 2у— 1 выражают через соответствующие границы для биномиального распределения.

5.2.    Верхнюю доверительную границу qB определяют согласно пп. 3.3—3.7, где y=k—1, п—у = х.

5.3.    Нижнюю доверительную границу qa определяют согласно пп. 3.3—3.7, где y=k7 п—у=х.

5.4.    Доверительные границы рв и ря для параметра р= 1—q определяют по формулам (8) и (9) через доверительные границы для параметра q отрицательного биномиального распределения.

Таблица 12

т

0,80

0,90

0,95

0,975

0,990

0,995

0,9975

0,999

и

т

0,842

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

2,807

3,090

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Справочное

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ СТАНДАРТА

1. Примеры биномиального распределения

Пример 1. При статистическом приемочном контроле качества по одноступенчатому плану в выборке объемом л=250 было обнаружено у=2 дефектных изделий. Требуется оценить входной уровень дефектности q и точность этой оценки.

2

250


Л

Я =


0,0080.


Решение. Используя формулу (3), находим оценку параметра q

2-(250—2) 2502.(250—1)


ЛЛ


0,000031.


Vq=


Точность полученной оценки характеризует несмещенная оценка дисперсии, вычисляемая по формуле (4):

Пример 2. При испытаниях на безотказность 100 изделий отказов получено не было. Найти верхнюю доверительную границу qB для вероятности q отказа изделия за время Т при односторонней доверительной вероятности у=0,95.

Решение. При    по    табл. 3 для £/=0 и п—у= 100 находим

q& — 0,0295.

Пример 3. По результатам аттестационных испытаний 110 изделий к первому сорту были отнесены 10 изделий, остальные —к высшему сорту. Найти оценку и построить доверительный интервал для вероятности q выпуска изделия первого сорта с доверительной вероятностью у* = 0,90.

Л

я=


10

по


=-0,0909.


Решение. Здесь у= 10,    110. Используя формулу (3), вычисляем оценку

1+Y*


1+0,90

2


0,95.


2


В соответствии с п. 3.2 настоящего стандарта устанавливаем, что у* — 0,90 соответствует односторонняя доверительная вероятность

При y=0>95 по табл. 3 для £/=10, п—г/= 100, пользуясь п. 3.3 находим

Яи = 0,0502, ?в = 0,1493

Пример 4. В условиях примера 2 найти нижнюю доверительную границу для вероятности р безотказной работы изделия за время Т при односторонней доверительной вероятности у=0,95.

Решение. Так как вероятность безотказной работы связана с вероятностью отказа q соотношением р— 1—q, воспользуемся п. 3.8 настоящего стандарта. Согласно примеру 2 верхняя доверительная граница для вероятности отказа </*= 0,0295. Тогда по формуле (8) получаем

ри =1 —?в = 1 -0.0295= 0,9705.

ГОСТ 11.010-81 Стр. 17


Пример 5. При статистическом контроле по одноступенчатому плану в выборке объемом л=200 дефектных изделий обнаружено не было. Найти верхнюю доверительную границу дв для входного уровня дефектности при односторонней доверительной вероятности у=0,99.

Решение. Здесь #=0, п—#=200. При у=0,99 в табл. 5 доверительные границы для пары #=0, п—у —200 отсутствуют. Поэтому значение #в вычисляем согласно п. 3.5 по формуле (5):

200_

<7в=1—0,99 = 0,0288.


Пример 6. При статистическом контроле по одноступенчатому плану в выборке объемом 200 было обнаружено 2 дефектных изделия. Найти верхнюю доверительную границу #в при односторонней доверительной вероятности у=0,99 для входного уровня дефектности q.

Решение. Здесь # =2, л=200. Для #=2, п—#=198 доверительные границы в табл. 1—8 отсутствуют. Учитывая, что в данном примере 0<#<1л—#, поступаем согласно п. 3.6.

Вычисляем tB — 2-200—2=398. По у=0,99 и #=2 в табл. 9 находим коэффициент ZB =16,812. Искомую доверительную границу определяем по формуле (6):


Чв —


_2-16,812_

2-398+16,812—[2 (2а+2-2)+2-16,812—16,8122]/(6 398)


=0,0414.


Пример 7. При аттестационных испытаниях 500 изделий к первому сорту были отнесены 350, остальные — к высшему сорту. Найти доверительные границы #н, qв для вероятности q выпуска изделия первого сорта при односторонней доверительной вероятности у=0,80.

Решение. Здесь #=350, я=500. Для пары #=350, п—#=150 доверительные границы не приведены в таблицах. Так как у>п—#, пользуемся указаниями п. 3.7 и ищем доверительные границы рн и рв для пары #=150, п—# = 350. Поскольку для этой пары значения доверительных границ в таблицах не приведены, а у +0, то поступаем согласно п. 3.6. Вычисляем ^в = 2-500—150=850, *п=2«500—150+1=851. Далее из табл. 9 и 10 соответственно по #=150 и у=0,8 находим коэффициенты ZB=322,47 и ZH=279,21. По формулам (6)—(7) вычисляем рн и рв


Рн —


_2-279,21_

2*850+179,21—[2*(150а—1)+(150—1)*279,212]/(6-851)


-0,2821;


Рв —


_2*322,47_

2-850+322,47—[2-(1502+2* 150)+150*322,47—322,472]/(6-850)


=0,3186.


По формулам (8)—(9) определяем искомые доверительные границы #н и qB. qB= 1—0,3186=0,6814; #в = 1—0,2821 = 0,7179.

Пример 8. Для ускорения процесса испытаний 56 одинаковых полупроводниковых приборов было решено разбить на 4 группы и провести испытания на безотказность за время Т для каждой из групп одновременно. Результаты испытаний зафиксированы в виде таблицы.


Номер группы

1

2

3

4

Объем группы

20

20

10

6

Число отказавших приборов

3

2

1

2


РАЗРАБОТАН Государственным комитетом СССР по стандартам Министерством высшего и среднего специального образования СССР

ИСПОЛНИТЕЛИ

▲. М. Бендерский, канд. техн. наук; Я. П. Лумельский, канд. физ.-мат. наук; А. А. Богатырев, канд. экон. наук; Ю. Д, Филиппов; Л. С. Сипатрина; Н. Г. Миронова; Л. А. Фомина; Н. Е. Бобров; В. В. Чичагов; В. Н. Сенотова

ВНЕСЕН Государственным комитетом СССР по стандартам

Член Госстандарта Б. Н. Лямин

УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 30 марта 1981 г. № 1666

Стр. 18 ГОСТ 11.010-81

Требуется по результатам испытаний оценить q — вероятность отказа прибора за время Т и построить верхнюю доверительную границу qB с доверительной вероятностью у = 0,9.

Решение. Здесь в соответствии с п. 1.2    я=20+20+10+6=56,

у=3+2+1+0=6. По формуле (3) находим оценку параметра

А 6

?=-ii-=01071-

В табл. 2, отвечающей у=0,90, по значениям у=6 и п—£/=50 находим искомую верхнюю доверительную границу

?в=0,1805.

2. Примеры отрицательного биномиального распределения

Пр и м е р 9. Производится непрерывный статистический контроль партий при нормальном процессе производства до выявления трех забракованных партий. Остановка контроля произошла после проверки 53-й партии. Требуется оценить риск поставщика (вероятность забракования партии), если известно, что q^ 0,2.

А

Ч =


3—1

3+50—1


=0,0385.


Решение. Здесь k—3y х=БЗ—3=50. Из табл. 11 для k=3 находим </*=0,444. Так как q<^0,2<q*, то в соответствии с п. 4.3 пользуемся несмещенной оценкой (11) при оценивании параметра q.

50-(3—1) (3+50-1). (3+50—2)


ЛЛ


=0,0007.


Vq=


Точность полученной оценки характеризует несмещенная оценка дисперсии, вычисляемая по формуле (15):

Пример 10. В условиях примера 9 найти доверительные границы <7Н и q* для вероятности q забракования партии при односторонней доверительной вероятности у=0,9.

Решение. Для определения верхней доверительной границы используем п. 5.2. При у = 0,9 по табл. 2 для пары у=к—1=3—1=2, п—у=х=Ъ0 находим <7в=0,0991.

Нижнюю доверительную границу qH определяем согласно п. 5.3 для пары у—3, п—у=50 также с помощью табл. 2 г7н—0,0210.

Пр и мер II. Проведено 5 серий испытаний на безотказность одинаковых полупроводниковых приборов за время Г. Испытания в i-й серии проводились до получения ki отказов (i'=l, 2, 3, 4, 5).

Исходные данные и результаты испытаний зафиксированы в виде таблицы

Номер серии

1

2

3

4

5

Х1

70

80

100

150

300

h

3

3

2

2

8

Xi

57

77

98

148

292

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

Прикладная статистика

ГОСТ

11.010-81

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО И ОТРИЦАТЕЛЬНОГО БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Applied statistics. Point and interval estimators for parameters of binomial and negative binomial distribution

с 01.01 1982 г.

Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 30 марта 1981 г. № 1666 срок введения установлен

Настоящий стандарт устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров биномиального и отрицательного биномиального распределений по совокупности статистических данных, полученных на производстве в процессе измерений, испытаний и анализов, если эти данные подчиняются биномиальному или отрицательному биномиальному распределениям.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1.    Биномиальное и отрицательное распределения имеют место при независимых испытаниях, в каждом из которых с вероятностью <7 появляется событие А.

1.2.    Если общее число испытаний п задано, то число испытаний У, в которых появилось событие А, имеет биномиальное распределение.

Для биномиального распределения вероятность принятия случайной величиной У значения у определяется формулой

Р(У=у1д, «)=* (")<7У(1—я)п~у, у=о,1    0)


где

Издание официальное

1.3. Если испытания проводят до появления события А точно k раз, то число испытаний X, в которых событие А не появилось, имеет отрицательное биномиальное распределение.

Перепечатка воспрещена © Издательство стандартов, 1981

Стр. 2 ГОСТ 11.010-81

Для отрицательного биномиального распределения вероятность принятия случайной величиной X произвольного целого неотрицательного значения х вычисляют по формуле

P(X=xjq, к) = (kt±T')-<?k (W)*> ^=°>1 > • • •    (2)

Общее число испытаний здесь является случайной величиной

(Х+к).

1.4. В справочном приложении 1 приведены примеры применения правил стандарта, в справочном приложении 2 — теоретические основы стандарта.

2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

А

2.1.    Несмещенная оценка q для параметра q биномиального распределения совпадает с оценкой максимального правдоподо-

д

бия и вычисляется по формуле q=y[n.

л

2.2.    Несмещенную оценку дисперсии Vq находят при п^2 по формуле

(4)

ал у-(п~у) Vq~ п*-(п— 1)

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРА БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

3.1.    Верхнюю и нижнюю доверительные границы qB и qH для параметра q биномиального распределения определяют по наблюденному значению у при односторонней доверительной вероятности у из следующего ряда: 0,8000; 0,9000; 0,9500; 0,9750; 0,9900; 0,9950; 0,9975, 0,9990.

3.2.    Доверительные границы qH и qB образуют доверительный интервал для параметра q, соответствующий доверительной вероятности у* = 2у—1.

3.3.    Доверительные границы qB и qB для параметров биномиального распределения приведены в табл. 1—8 для пар значений у9 п—у (у=0, 1,..., 10; п—у= 1,2,..., 12, 15, 20, 25, 50, 100). Каждая из таблиц отвечает одному из значений у, перечисленных в л. 3.1. В выбранной по значению у таблице паре значений у и п—у соответствуют два числа, верхнее из которых равно 10000 qB9 нижнее— 10000 qn.

3.4.    Доверительные границы параметра q в случае значений у и п таких, что пара у и п—у отсутствует в табл. 1—8, определяются согласно пп. 3.5—3.7.

Таблица 1

ffBXW4 и £Hxl04 при односторонней доверительной вероятности 7=0,8000 и значении у

/1-у

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

8000

0000

8944

1056

9283

2871

9457

4175

9564

5098

9635

5776

9686

6291

9725

6696

9755

7022

9779

7290

9899

7514

2

5528

0000

7129

0717

7877

2123

8314

3266

8601

4146

8805

4832

8956

5379

9074

5823

9167

6191

9244

6499

9307

6762

3

4152

0000

5825

0543

6734

1686

7314

2686

7717

3501

8014

4163

8243

4709

8424

5163

8571

5548

8693

5876

8796

6161

4

3313

0000

4902

0436

5854

1399

£499

2283

6968

3032

7325

3661

7606

4191

7833

4643

8021

5032

8178

5369

8312

5664

5

2752

0000

4224

0365

5168

1195

5837

1986

6339

2675

6732

3268

7047

3779

7307

4221

7524

4606

7709

4945

7868

5444

6

2353

0000

3709

0314

4621

1044

5291

1757

5809

2394

6221

2953

5559

3441

6840

3870

7079

4249

7284

4585

7461

4884

7

2054

0000

3304

0275

4177

0926

4837

1576

5357

2167

5779

2693

6130

3160

6426

3574

6679

3944

6899

4274

7091

4572

8

1822

0000

2978

0245

3809

0833

4452

1429

4968

1979

5394

2476

5751

2921

6056

3321

6320

3680

6550

4004

6753

4298

9

1637

0000

2710

0221

3501

0756

4124

1307

4631

1822

5055

2291

5415

2716

5726

3101

5996

3450

6233

3767

6444

4056

10

1487

0000

2486

0201

3238

0693

3839

1204

4336

1688

4756

2132

5116

2539

5428

2909

5702

3247

5944

3556

6160

3840

11

1361

0000

2296

0184

ЗОН

0639

3592

1117

4076

1572

4489

1994

4846

2383

5159

2740

5435

3067

5680

3368

5900

3646

12

1255

0000

2133

0170

2814

0593

3373

1041

3848

1471

4251

1873

4604

2245

4915

2589

5191

2906

5438

3199

5660

3471

15

1017

0000

1758

0138

2352

0488

2853

0865

3285

1233

3665

1584

4001

1914

4302

2223

4573

2512

4819

2782

5043

3034

20

0773

0000

1660

0106

1846

0376

2268

0675

2642

0972

2978

1260

3282

1536

3559

1799

3813

2049

4044

2285

4263

2509

25

0623

0000

1108

0085

1519

0306

1882

0553

2209

0802

2507

1047

2781

1283

3034

1511

3268

1730

3487

1939

3691

2140

50

0317

0000

0576

0044

0805

0159

1016

0291

1213

0428

1399

0567

1576

0704

1744

0840

1904

0974

2058

1105

2205

1233

100

0160

0000

0294

0022

0415

0081

0529

0149

0638

0222

0443

0296

0844

0370

0942

0445

1037

0520

ИЗО

0594

1220

0668

2 Зак. 722

Таблица 2

£ВХ104 и ?ЯХ104 при односторонней доверительной вероятности 7=0,9000 и значении у

п-у

0

1

2

3

4

5

б

7

8

9

10

1

9000

0000

9487

0513

9655

1958

9740

3205

9791

4164

9826

4897

8651

5474

9869

9838

9884

6316

9895

6632

9905

6898

2

6838

0000

8042

0345

8574

1426

8878

2466

9074

3332

9212

4038

9314

4618

9392

5099

9455

5504

9505

5848

9548

6145

3

5358

0000

6795

0260

7534

1122

7991

2009

8304

2786

8531

3446

8705

4006

8842

4483

8952

4892

9043

5247

9120

5557

4

4377

0000

5839

0209

6668

0926

7214

1696

7603

2397

7896

ЗОЮ

8124

3542

8308

4005

8458

4410

8584

4766

8691

5080

5

3690

0000

5103

0174

5962

0788

6554

1469

6990

2104

7327

2673

7995

3177

7813

3623

7995

4018

8449

4369

8280

4683

6

3187

0000

4526

0149

5382

0686

5994

1295

6458

1876

6823

2405

7118

2882

7663

3309

7568

3691

7744

4035

7896

3446

7

2803

0000

4062

0131

4901

0608

5517

1158

5995

1692

6377

2187

6691

2637

6954

3046

7178

3415

7371

3750

7539

4055

8

2501

0000

3684

0116

4496

0545

5108

1048

5590

1542

5982

2005

6309

2432

6585

2822

6822

3178

7027

3504

7208

3802

9

2257

0000

3368

0105

4152

0495

4753

0957

5234

1416

5631

1851

5965

2256

6250

2629

6496

2973

6712

3288

6902

3579

10

2057

0000

3102

0095

3855

0452

4443

0880

4920

1309

5317

1720

5654

2104

5945

2461

6198

2792

6421

3098

6618

3382

11

1889

0000

2875

0087

3598

0417

4170

0815

4640

1218

5035

1606

5374

1972

5667

2314

5925

2633

6152

2929

6356

3205

12

1746

0000

2678

0081

3372

0387

3928

0759

4389

1138

4781

1506

5118

1855

5413

2183

5673

2491

5905

2778

6112 3046

15

1423

0000

2222

0066

2837

0317

3344

0629

3775

0951

4149

1269

4477

1575

4768

1867

5029

2144

5264

2406

5477

2653

20

1087

0000

1729

0050

2242

0244

2678

0489

3059

0747

3397

1006

3700

1260

3974

1505

4224

1741

4452

1968

4663

2184

25

0880

0000

1415

0040

1853

0199

2232

0400

2570

0615

2874

0834

3150

1050

3404

1261

3638

1466

3855

1665

4056

1857

50

0450

0000

0741

0021

0991

0103

1217

0210

1426

0327

1621

0449

1805

0573

1979

0697

2144

0820

2301

0942

2451

1063

100

0228

0000

0380

0010

0513

0052

0637

0107

)

0754

0169

0865

0233

0972

0300

1076

0368

1175

0436

1272

0504

1366

0573

<7ВХЮ4 и <7нхЮ4 при односторонней доверительной вероятности 7 = 0,9500 и значении у

Таблица 3

п-у

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

9500

0000

9747

0253

9830

1354

9873

2486

9898

3426

9915

4182

9927

4793

9936

5293

9943

5709

9949

6058

9953

6356

2

7764

0000

8646

0170

9024

0976

9236

1893

9372

2713

9466

3413

9536

4003

9590

4504

9632

4931

9667

5299

9695

5619

3

6316

0000

7514

0127

8107

0764

8468

1532

8712

2253

8889

2892

9023

3449

9127

3934

9212

4356

9281

4727

9340

5054

4

5271

0000

6574

0102

7287

0628

7747

1288

8071

1929

8312

2514

8500

3035

8649

3498

8771

3909

8873

4274

8960

4600

5

4507

0000

5818

0085

6587

0534

7108

1111

7486

1688

7776

2224

8004

2712

8190

3152

8343

3548

8473

3904

8583

4226

6

3930

0000

5207

0073

5997

0464

6551

0977

6965

1500

7288

1996

7547

2453

7760

2870

7939

3250

8091

3596

8222

3910

7

3482

0000

4707

0064

5496

0410

6066

0873

6502

1351

6848

1830

7130

2240

7364

2636

7563

3000

7733

3334

7881

3640

8

3123

0000

4291

0057

5069

0368

5644

0788

6091

1229

6452

1657

6750

2061

7000

2437

7214

2786

7399

3108

7560

3406

9

2831

0000

3942

0051

4701

0333

5273

0739

5726

1127

6096

1527

6404

1909

6666

2267

6892

2601

7088

2912

7261

3201

10

2589

0000

3644

0047

4381

0305

4946

0660

5400

1040

5774

1417

6090

1778

6360

2119

6594

2440

6799

2739

6980

3020

11

2384

0000

3387

0043

4101

0281

4657

0611

5108

0967

5483

1321

5803

1664

6078

1990

6319

2297

6531

2587

6719

2858

12

2009

0000

3163

0039

3854

0260

4398

0568

4844

0903

5219

1238

5540

1563

5819

1875

6064

2171

6281

2450

6475

2713

15

1810

0000

2640

0032

3262

0213

3767

0470

4191

0753

4556

1041

4874

1324

5155

1599

5405

1863

5629

2116

5832

2356

20

1391

0000

2067

0024

2595

0164

3036

0365

3418

0590

3754

0823

4054

1056

4323

1285

4567

1509

4790

1725

4994

1933

25

1129

0000

1698

0020

2153

0133

2542

0298

2884

0485

3190

0681

3467

0878

3719

1074

3951

1268

4165

1456

4363

1640

50

0582

0000

0897

0010

1162

0069

1398

0156

1615

0257

1817

0365

2006

0477

2183

0591

2351

0705

2511

0820

2663

0933

100

0295

0000

0461

0005

0604

0035

0736

0080

0859

0132

0975

0189

1087

0249

1194

0311

1297

0374

1397

0438

1493

0502

2*

0вХЮ4 и 0НХ1О4 при односторонней доверительной вероятности 7=0,9750 и значении у

я—у

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ш

1

9750

0000

9874

0126

9916

0943

9937

1941

9949

2836

9958

3588

9964

4212

9968

4735

9972

5175

9975

5550

9977

5872

2

8419

0000

9057

0084

9324

0676

9473

1466

9567

3338

9633

2904

9681

3491

9719

3999

9748

4439

9772

4822

9791

5159

3

7076

0000

8059

0063

8534

0527

8819

1181

9010

1841

9148

2449

9251

2993

9333

3475

9398

3903

9451

4281

9496

4619

4

6024

0000

7164

0051

7772

0433

8159

0990

8430

1570

863G

2120

8784

2624

8907

3079

9008

3489

9091

3857

9161

4190

5

5217

0000

6412

0042

7096

0367

7551

0852

7880

1327

8129

1871

8325

2338

8483

2767

8614

3158

8724

3514

8818

3838

6

4593

0000

5787

0036

6509

0319

7007

0749

7376

1216

7662

1675

7891

2109

8078

2513

8234

2886

8366

3229

8480

3543

7

4096

0000

5265

0032

6001

0281

6525

0667

6921

1093

7233

1517

7487

1922

7696

2304

7873

2659

8025

2988

8156

3292

8

3694

0000

4825

0028

5561

0252

6097

0602

6511

0992

6842

1386

7114

1766

7341

2127

7535

2465

7702

2781

7847

3076

9

3363

0000

4450

0025

5178

0228

5719

0549

6443

0909

6486

1276

6771

1634

7012

1975

7219

2298

7398

2602

7555

2886

10

3085

0000

4128

0023

4841

0209

5381

0504

5810

0839

6162

1182

6457

1520

6708

1844

6924

2153

7114

2445

7280

2720

11

2849

0000

3848

0021

4545

0192

5080

0466

5510

0779

5866

1102

6167

1421

6425

1730

6650

2025

6847

2306

7022

2571

12

2646

0000

3603

0019

4281

0178

4809

0433

5238

0727

5596

1031

5901

1334

6164

1629

6395

1912

6598

2182

6779

2439

15

2180

0000

3023

0016

3644

0146

4142

0358

4557

0605

4910

0866

5218

1128

5487

1386

5727

1638

5941

1880

6133

2113

20

1684

0000

2382

0012

2916

0112

3359

0278

3738

0474

4070

0683

4365

0897

4628

4444

4867

1322

5083

1528

5081

1729

25

1372

0000

1964

0010

2429

0091

2,823

0227

3166

0389

3472

0564

3747

0745

3997

0928

4226

1109

4436

1288

4630

1464

50

0711

0000

1045

0005

1321

0047

1566

0118

1789

0206

1995

0302

2188

0403

2368

0508

2538

0615

2699

0722

2852

0829

100

0362

0000

0539

0003

0690

0024

0828

0060

0956

0106

1076

0156

1191

0211

1302

0267

1407

0325

1510

0385

1608

0445

ГОСТ 11.010-81 Стр. 7

Таблица 5

<?вх104 и ?НХ104 при

односторонней доверительной 7=0,9900 и значении у

вероятности

п-у

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

9900

0000

9950

0050

9967

0589

9975

1409

9980

2221

9983

2943

9986

3566

9987

4101

9989

4560

9990

4956

9991

5302

2

9000

0000

9411

0033

9580

0420

9673

1056

9732

1731

9773

2363

9803

2932

9826

3437

9845

3883

9859

4277

9872

4627

3

7846

0000

8591

0025

8944

0327

9153

0847

9292

1423

9392

1982

9467

2500

9525

2971

9572

3396

9610

3778

9642

4122

4

6838

0000

7779

0020

8269

0268

8577

0708

8790

1210

8947

1710

9068

2183

9163

2622

9241

3024

9305

3391

9360

3726

5

6019

0000

7057

0017

7637

0227

8018

0608

8290

1053

8496

1504

8656

1940

8785

2349

8892

2729

8981

3080

9056

3403

б

5358

0000

6434

0014

7068

0197

7500

0533

7817

0932

8060

1344

8254

1746

8412

2129

8543

2488

8654

2823

8749

3134

7

4821

0000

5899

0013

6563

0174

7029

0475

7378

0837

7651

1215

7871

1588

8053

1947

8205

2287

8335

2607

8448

2906

8

4377

0000

5440

ООП

6117

0155

6604

0428

6976

0759

7271

1108

7512

1457

7713

1795

7883

2117

8029

2422

8156

2710

9

4005

0000

5044

0010

5723

0141

6222

0390

6609

0695

6920

1019

7177

1346

7393

1665

7578

1971

7737

2263

7876

2540

10

3690

0000

4698

0009

5373

0128

5878

0358

6274

0640

6597

0944

6866

1251

7094

1552

7290

1844

7460

2124

7610

2390

11

3421

0000

4395

0008

5062

0118

5567

0331

5969

0594

6299

0878

6577

1168

6814

1454

7020

1733

7199

2001

7358

2257

12

3187

0000

4128

0008

4783

ОНО

5285

0307

5690

0554

6025

0822

6309

1096

6553

1368

6766

1634

6953

1891

7119

2138

15

2644

0000

3488

0006

4099

0090

4583

0254

4983

0461

5321

0688

5613

0925

5868

1162

6094

1397

6295

1625

6476

1848

20

2057

0000

2768 0005 :

3305

0069

3745

0196

4118

0360

4443

0542

4729

0734

4984

0929

5214

1125

5422

1318

5612

1508

25

1682

0000

2293

0004

2766

0056

3162

0160

3505

0295

3808

0447

4080

0609

4325

0774

4549

0942

4754

1109

4943

1274

50

0880

0000

1232

0002

1520

0029

1773

0084

2002

0156

2213

0239

2408

0328

2591

0423

2762

0520

2925

0619

3078

0718

100

0450

0000

0639

0001

0799

0015

0942

0043

1076

0080

1201

0123

1320

0171

1433

0222

1542

0274

1647

0329

1748

0384