ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ОЦЕНКИ АНОРМАЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

ГОСТ 11.002-73 Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СТАНДАРТОВ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР Москва

РАЗРАБОТАН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор д-р экон. наук Гличев А. В.

Научный консультант д-р техн. наук. проф. Шор Я. Б.

Научный руководитель канд. техн. наук Бендерский А. М.

Исполнители: канд. техн. наук Лосицкий О. Г„ Филиппов Ю. Д., Воробьева В. К.

ВНЕСЕН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор д-р экон. наук Гличев А. В.

ПОДГОТОВЛЕН К УТВЕРЖДЕНИЮ Техническим управлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР

Начальник отдела общетехнических стандартов Талашов В, А.

Ст. инженер Распевакина Н. Т.

УТВЕРЖДЕН Государственным комитетом стандартов Совета Министров СССР от 29 сентября 1972 г. (протокол № 142)

Председатель отраслевой научно-технической комиссии зам. председателя Госстандарта СССР Ткаченко В. В.

Члены комиссии: Лямин Б. Н., Панфилов Е. А., Шаронов Г. Н., Гличев А. В., Верченко В. Р., Бурденков Г. К., Киселев Б. Р.

ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 15 января 1973 г. № 84

ГОСТ 11.002-73 Стр. 9

6. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПО МНОГИМ ВЫБОРКАМ (СРАВНЕНИЕ ЧАСТОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ ПОДОЗРИТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ С ВЕРОЯТНОСТЯМИ а И а*]

6.1. В некоторых случаях при обработке результатов наблюдений ставят задачу оценить анормальность результатов при условии, что имеете^ N выборок объемом п каждая и в т из них содержится по одному результату, вероятность которого в выборке как нормального равна а . Для решения этой задачи следует убедиться в том, что выборки независимые. Затем вычисляют вероятность того, что по крайней мере в т выборках из N будут результаты наблюдений, вероятность которых как нормальных равна а. Эту вероятность вычисляют по формуле

R_N.m= 2 (^)а‘

i~m

^приближенные значения К^,т приведены в табл. 5). Если она окажется малой величиной, то подозреваемые результаты можно считать анормальными и исключить, в противном случае их считают нормальными и не исключают.

Стр. 11

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к ГОСТ 11 М2—73 Рекомендуемое

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ОЦЕНКИ АНОРМАЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ

Пример 1* Определяют твердость образцов металла стальным шариком (по Брннеллю). При этом получено пять значений твердости:    НВ 180, НВ 182,

НВ 183!, НВ 184, НВ 196.

Требуется оценить результатов 196 при заданном « =Q/)50.

Для критерия и_п = -^п~^У вычисляют

_    180+    182    +    183 + 184 4- J 96

У=-5-=    185.

S =    -[-{(180    —    185)²    +    (182    —    185)² + (183—185)² -f (184—185)“+

+ (196-185)“} =6,3,

В табл. 1 настоящего стандарта для п—5 и а —0,050 находят f>=l,67.

Тотда U_n > р и результат НВ 196 можно считать анормальным и исключить. Более того, такой вывод можно сделать с большей вероятностью, так как при 5 и а — 0,025 3 =1,72.

Необходимость тщательного подхода к оценке анормальности можно показать на другом примере, в котором выборочные результаты наблюдений мало отличаются от приведенного.

Пример 2. Была получена твердость пяти деталей: НВ 178, НВ 180, НВ 184, НВ 186, НВ 197.

Вычисляют

178 4- 180 + 184 4- 186 + 197 У —-g-=    185;

^-{(178 - 185)³ -f- (180—185)² ~f- (184 — 185)² + (186—185)* + + (197 - 185)²}= 7,4,

откуда

197-185

В этом случае U(1,67) для п—Ь и а =0,050 и, следовательно, для исключения результата НВ 197 нет оснований.

Пример 3. Испытывают пробегом выборку 10 шнн. Получены следующие результаты пробега до полного износа в км: 65000, 66100, 65700, 65800,    66500,

67000, 64700, 65000, 64000, 60200. Генеральное среднеквадратическое отклонение ст *=970 км.

Требуется оценить результат 60200 км при заданном а = 0.00^

УДК 658.562.012.7(083.74)    Группа    Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

Прикладная статистика ПРАВИЛА ОЦЕНКИ АНОРМАЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Applied statistic. Methods of testing of outlying observations

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 15 января 1973 г. № 84 срок введения установлен

с 01.01.1974 г. до 01.01.1979 г.

Настоящий стандарт устанавливает правила оценки анормальности результатов наблюдений в условиях производства. Требования стандарта должны использоваться при обработке результатов наблюдений случайной величины, заведомо подчиняющейся нормальному закону распределения.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1.    Анормальным называется результат наблюдения, резко отклоняющийся от группы результатов наблюдений, которые являются нормальными.

1.2.    При оценке анормальных результатов наблюдений следует рассмотреть альтернативу:

резко отклоняющийся результат наблюдения получен в тех же условиях, что и остальная группа результатов наблюдений, принадлежит к той же генеральной совокупности, но вероятность получения его мала. В этом случае оцениваемый результат наблюдений не следует исключать и расчет выборочных характеристик для оценки параметров генеральной совокупности (средняя и дисперсия) должен производиться с учетом всех без исключения результатов наблюдений;

резко отклоняющийся результат наблюдения вполне мог бы быть следствием случайного нарушения нормальных условий или грубых ошибок при наблюдении или расчете. В этом случае указанный результат наблюдений не принадлежит той же генеральной совокупности, что и остальные, поэтому он может быть исключен из общей выборки. Тогда расчет выборочных характеристик

Издание официальное

© Издательство стандартов, 1973 г.

Стр. 2 ГОСТ 11.002-73

для оценки параметров генеральной совокупности должен производиться по выборке, из которой исключен анормальный результат наблюдения.

1.3.    Следует иметь в виду, что решение такой задачи в любом случае с определенной малой вероятностью можегг оказаться ошибочным:

а)    принимается решение о том, что подозреваемый результат наблюдения нормален и он оставляется, в то время как в действительности он анормален и подлежит исключению;

б)    принимается решение об исключении результата наблюдения как анормального, в то время как он нормален и его следует оставить.

Поэтому при принятии решения об исключении или сохранении резко отклоняющихся результатов наблюдений нужно проявлять большую осторожность и перед этим внимательно анализировать условия, в которых получился резко отклоняющийся результат наблюдения.

1.4.    Когда определенно известно, что резкое отклонение одного из результатов наблюдений возникло при воздействии факторов, не свойственных условиям получения остальных результатов наблюдений, следует исправить этот результат пересчетом его для условий, при которых исключается несвойственный фактор. Если такой прием оказывается невозможным, то надо обратиться к методам статистической оценки.

Этими же методами необходимо пользоваться и в тех случаях, когда причина резкого отклонения одного из результатов наблюдений от остальных в условиях эксперимента остается незамеченной.

1.5.    Принцип решения вопроса об анормальности заключается в том, что по результатам наблюдений рассчитывается определенная функция от случайной величины, для которой известно распределение вероятностей. Вычисленное по выборочным данным значение этой функции сравнивается с ее предельным значением, соответствующим заранее принятой малой вероятности. Если при этом выясняется, что вероятность подозреваемого в анормальности результата наблюдений меньше принятой, то выносится решение о том, что оцениваемый результат анормальный и подлежит исключению, в противном случае его считают нормальным и не исключают.

1.6.    При выборе критерия оценки анормальности результатов наблюдений надо руководствоваться следующими принципами:

а)    используемые в настоящем стандарте методы и критерии оценки предполагают нормальное распределение измеряемой величины. Поэтому предварительно экспериментатор должен тщательно оценить возможность принятия гипотезы нормального распределения;

б)    надо всегда иметь в виду, что результаты обработки наблю-

ГОСТ 11.002-73 Стр. 3

дений будут тем точнее, чем больше информации будет использовано. Поэтому, когда известно генеральное среднеквадратическое отклонение или когда оно может быть найдено в результате обработки предшествующих опытов, следует пользоваться критериями* основанными на использовании известного среднеквадратического отклонения. И только когда оно неизвестно и нет возможности его получить на основании предшествующих опытов, следует пользоваться критериями, основанными на использовании выборочного среднеквадратического отклонения.

1.7.    Критериям анормальности, приведенным в стандарте, равноценны критерии, приведенные в приложении 2.

1.8.    Теоретическое обоснование критериев рассмотрено в справочном приложении 3.

2. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ АНОРМАЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ ГЕНЕРАЛЬНОМ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕ.СКОМ ОТКЛОНЕНИИ о

2.1. Для упорядоченной выборки результатов наблюдений случайной величины

У1<Уг<- ■ ■    'У.,

подсчитывают выборочное среднее

у=—Ху<    (1)

" г=1

и выборочное среднеквадратическое отклонение

^<2)

Чтобы оценить принадлежность у_п или у\ к данной нормальной совокупности и принять решение об исключении или оставлении Уп{У\) в составе выборки, находят отношение

U_n = ^Уп~¹- или £/,= ^У~^У1 .    (3)

Результат сравнивают с величиной Р, взятой из табл. 1 для данного объема выборки п и принятого уровня значимости а.

Если U_n У/ Р, то подозреваемый в анормальности результат наблюдения анормален и может быть исключен, в противном случае его считают нормальным и не исключают.

Оценка результата наблюдения у\ производится аналогично.

Примеры применения критериев оценки анормальности результатов наблюдений при неизвестном среднеквадратическом отклонении приведены в приложении 1 (примеры 1 и 2).

ГОСТ 11.002-73 Стр. 5

3.2. Для упорядоченной выборки результатов наблюдений

0i<0><- • •<0я

подсчитывают выборочное среднее

0 = дг² 0*

и вычисляют отношение

которое сравнивается с величиной Р, взятой из табл. 2 для данного объема выборки п и принятой вероятности а.

Таблица 2

Предельные значения р для случая известного генерального среднеквадратического отклонения о и неизвестного среднего а

а = Вер(> р), а = Вер^ У    >    р)    и а* — Bep^maxj--*-— У | > р) k=\,n

Объем выборки л Предельное значение (5 при уровне значимости а 0,100 0,050 0,010 0,005 3 4,497 1,738 2,215 2,396 4 1,696 1,941 2,431 2,618 5 1,835 2,080 2,574 2,764 6 1,939 2,184 2,679 2,870 7 2,022 2,267 2,761 2,952 8 2,091 2,334 2,828 3,019 9 2,150 2,392 2,884 3,074 10 2,200 2,441 2,931 3,122 И 2,245 2,484 2,973 3,163 12 2,284 2,523 3,010 3,199 13 2,320 2,557 3,043 3,232 14 2,352 2,589 3,072 3,261 15 2,382 2,617 3,099 3,287 16 2,409 2,644 3,124 3,312 17 2,434 2,668 3,147 3,334 18 2,458 2,691 3,168 3,355 19 2,480 2,712 3,188 3,375 20 2,500 2,732 3,207 3,393 21 2,519 2,750 3,224 3,409 22 2,538 2,768 3,240 3,425 23 2,555 2,784 3,255 3,439 24 2,571 2,800 3,269 3,453

Предельное значение 0 при уровне значимости а*

Если t_n У/ р , то результат наблюдения у_п анормален и может быть исключен, в противном случае его считают нормальным и не исключают. Оценка анормальности результата наблюдения у\ производится аналогично.

Пример применения критерия оценки анормальности результатов наблюдений при известном генеральном среднеквадратическом отклонении и неизвестном генеральном среднем приведен в приложении 1 (пример 3).

4. КРИТЕРИЙ ОЦЕНКИ АНОРМАЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ ИЗВЕСТНОМ ГЕНЕРАЛЬНОМ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОМ ОТКЛОНЕНИИ а И ИЗВЕСТНОМ ГЕНЕРАЛЬНОМ СРЕДНЕМ а

4.1.    В практике такой случай встречается, когда надо проверить, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет среднее а при условии, когда известно генеральное среднеквадратическое отклонение о .

4.2.    Для оценки анормальности результата наблюдений у_п, где

У1<У2< ■ ■ ■ <Уп,

подсчитывают величину

Г_я=3£-^£_.    (о)

Величину V_n сравнивают с величиной |3, взятой из табл. 3 для принятой вероятности.

Если V _пу_ур , то у_п можно считать анормальным и исключить из выборки, в противном случае его считают нормальным и не исключают.

Оценка анормальности результата наблюдения у\ производится аналогично.

Пример применения критерия анормальности при известном генеральном среднеквадратическом отклонении и генеральном среднем приведен в приложении 1 (пример 4).

Таблица 3

Предельные значения р для случая известного генерального среднеквадратического отклонения о и известного генерального среднего а

а = Вер( а > р) или я = Вер(~-^ > р)

Объем выборки п Предельное значение 3 при уровне зна шмости а 0,100 0,050 0,0010 0,005 0.001 1 1,282 1,645 2,326 2,576 3,090 2 1,632 1,955 2,575 2,807 3,290 3 1,818 2,121 2,712 2,935 3,403

Продолжение

Объем выборки л Предельное значение (5 при уровне значимости сь 0.100 0,050 0,0010 0,005 0.001 4 1,943 2,234 2,806 3,023 3,481 5 2,036 2,319 2,877 3,090 3,540 6 2,111 2,386 2,934 3,143 3,588 7 2,172 2,442 2,981 3,188 3,628 8 2,224 2,490 3,022 3,227 3,662 9 2,269 2,531 3,057 3,260 3,692 10 2,309 2,568 3,089 3,290 3,719 15 2,457 2,705 3,207 3,402 3,820 20 2,559 2,799 3,289 3,480 3,890 25 2,635 2,870 3,351 3,539 3,944 30 2,696 2,928 3,402 3,587 3,988 40 2,792 3,015 3,480 3,662 4,054 50 2,860 3,082 3,541 3,716 4,108 100 3,076 3,285 3,723 3,892 4,263 250 3,339 3,534 3,946 4,108 4,465 300 3,528 3,703 4,108 4,263 4,607

5. КРИТЕРИЙ ОЦЕНКИ АНОРМАЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПО МОДУЛЮ ИХ ОТКЛОНЕНИЯ ОТ СРЕДНЕГО

5.1.    В некоторых случаях при обработке результатов наблюдений требуется оценивать анормальность, исходя из того, что его отклонение от среднего с заданной вероятностью а * по крайней мере будет больше заданной величины ра или меньше величины — pa при известном о и соответственно р£ и ^PS при неизвестном а.

5.2.    В случае неизвестного генерального среднеквадратического отклонения максимальным по модулю отклонением может быть U*n = U_nj если U_n > (—и_г) или Un = U_t, если U_n < (-Ui).

Величина U_n сравнивается с величиной Р, взятой из табл. 1 для данного объема выборки п и вероятностна*.

Если U*n> Р, то можно результат наблюдения , соответствующий U_n, считать анормальным и исключить, в противном случае его считают нормальным и не исключают.

5.3.    При известном генеральном среднеквадратическом отклоне

нии и неизвестном среднем максимальном по модулю отклонениями могут быть t_n = t_n и V*_n = V_n, если соответственно t_n > (~/_х) и V_п > (—Vj)    или t_n = t_x и V_n=Vu если соответственно

*л <( —*i) и v_n <(—V%

Величины С и V*_n сравнивают с величинами Р , взятыми соответственно для in из табл. 3 и для V_n из табл. 4 для данного объема выборки п и вероятности а*. Если величина t_n или V_n окажется больше р, то соответствующий результат наблюдения уь можно считать анормальным и исключить, в противном случае его считают нормальным и не, исключают.

Таблица 4

Предельные значения р для случая известного генерального среднеквадратического отклонения а и известного генерального среднего а а* = Bep^maxj yk g ■■] > р) k~l tn.

Объем Предельное значение | 3 при уровне значимости а* выбор 0,001 ки п 0,500 0,200 олоэ 0,050 0.020 0,010 0,002 1 0,674 1,281 1,646 1,963 2,327 2,577 3,089 3,292 2 1,052 1,619 1,949 2,239 2,577 2,806 3,292 3,480 3 1,261 1,801 2,111 2,388 2,711 2,934 3,399 3,588 4 1,410 1,929 2,226 2,489 2,806 3,022 3,480 3,662 5 1,518 2Г01? 2,313 2,570 2,873 3,089 3,541 3,716 6 1,605 2,091 2,381 2,624 2,934 3,143 3,588 3,764 7 1,673 2.152 2,435 2,648 2,981 3,190 3,629 3,804 8 1,733 2,206 2,482 2,725 3,022 3,224 3,662 3,838 9 1,787 2,246 2.522 2,765 3,065 3,258 3,689 3,868 10 1,835 2,286 2.556 2,799 3,039 3,292 3,716 3,892 15 2,003 2.435 2,698 2,927 3,204 3,399 3,818 3,986 20 2,118 2,543 2,792 3,015 3,285 3,480 3,892 4,054 25 2,206 2,617 2.867 3,082 3.352 3,541 3,946 4,108 30 2,273 2.678 2,921 3,157 3,399 3,399 3,986 4,148 40 2,381 2,772 3,003 3,224 3,480 3,662 4,054 4,214 50 2,462 2,846 3,076 3,285 3,534 3,716 4,108 4,263 100 2,698 3,055 3,278 3,474 3,728 3,892 4,263 4,418 250 2,995 3,325 3,528 3,710 3,939 4,108 4,465 4,607 500 3,197 3,514 3,703 3,878 4,108 4,263 4,607 4,755

5.4. Следует иметь в виду, что а*~2а и поэтому для оценки анормальности результатов наблюдений по модулю отклонения от среднего в табл. 1—2 внизу даны числовые значения для замены а на 2а.

Примеры применения критериев оценки анормальности результатов наблюдений по модулю отклонения от среднего приведены в приложении 1 (примеры 5 и 6).