Товары в корзине: 0 шт Оформить заказ
Стр. 1
 

36 страниц

487.00 ₽

Купить ГОСТ Р 54521-2011 — бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль"

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

В стандарте приведены общие сведения о математических символах и знаках, их значениях, устных эквивалентах и применении. Рекомендуемые в стандарте символы и знаки предназначены главным образом для использования в стандартах, но могут быть использованы также и в других областях. Приведенные в стандарте математические символы соответствуют требованиям ИСО 80000-2 [1], ГОСТ 1.5.

 Скачать PDF

Оглавление

1 Область применения

2 Нормативные ссылки

3 Переменные, функции и операторы

4 Математическая логика

5 Множества

6 Стандартные множества чисел и интервалы

7 Разные знаки и символы

8 Элементарная геометрия

9 Операции

10 Комбинаторика

11 Функции

12 Показательная и логарифмическая функции

13 Тригонометрические и гиперболические функции

14 Комплексные числа

15 Матрицы

16 Система координат

17 Скаляры, векторы и тензоры

18 Преобразования

19 Специальные функции

Приложение А (обязательное) Шестнадцатеричные коды символов

Библиография

 
Дата введения01.12.2012
Добавлен в базу01.09.2013
Актуализация01.01.2019

Этот ГОСТ находится в:

Организации:

24.11.2011УтвержденФедеральное агентство по техническому регулированию и метрологии595-ст
ИзданСтандартинформ2012 г.
РазработанАНО НИЦ КД

Statistical methods. Mathematical signs and symbols to be used in the standards

Стр. 1
стр. 1
Стр. 2
стр. 2
Стр. 3
стр. 3
Стр. 4
стр. 4
Стр. 5
стр. 5
Стр. 6
стр. 6
Стр. 7
стр. 7
Стр. 8
стр. 8
Стр. 9
стр. 9
Стр. 10
стр. 10
Стр. 11
стр. 11
Стр. 12
стр. 12
Стр. 13
стр. 13
Стр. 14
стр. 14
Стр. 15
стр. 15
Стр. 16
стр. 16
Стр. 17
стр. 17
Стр. 18
стр. 18
Стр. 19
стр. 19
Стр. 20
стр. 20
Стр. 21
стр. 21
Стр. 22
стр. 22
Стр. 23
стр. 23
Стр. 24
стр. 24
Стр. 25
стр. 25
Стр. 26
стр. 26
Стр. 27
стр. 27
Стр. 28
стр. 28
Стр. 29
стр. 29
Стр. 30
стр. 30

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ( СТАНДАРТ V ) РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

ГОСТ Р 54521 — 2011

Статистические методы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ЗНАКИ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ В СТАНДАРТАХ

Издание официальное

Москва

Стандартинформ

2012

Предисловие

Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. № 184-ФЗ «О техническом регулировании», а правила применения национальных стандартов Российской Федерации — ГОСТ Р 1.0-2004 «Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения»

Сведения о стандарте

1    ПОДГОТОВЛЕН Автономной некоммерческой организацией «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АНО «НИЦ КД») на основе собственного аутентичного перевода на русский язык стандарта, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 24 ноября 2011 г. № 595-ст

4    Настоящий стандарт разработан с учетом основных требований международного стандарта ИСО 80000-2:2009 «Величины и единицы. Часть 2. Математические символы и знаки для применения в естественных науках и технологиях» (ISO 80000-2:2009 «Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology»)

5    ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты», а текст изменений и поправок — в ежемесячно издаваемых информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования— на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

©Стандартинформ,2012

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

Окончание таблицы 7.1

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

7.15

©о

Бесконечность

Данный символ не обозначает число, но является часто используемым в различных выражениях, относящихся к границам интервалов.

Также используют обозначение +оо, -©о

7.16

х -> а

х стремится к а

Данное выражение часто используют в различных выражениях для описания границ интервалов.

Вместо а могут быть использованы <х>, +<», или —

7.17

т\п

т нацело делит п, п делится на т без остатка

Для целых тип:

Эке Z такое, что т ■ к = п

7.18

п = k mod т

п конгруэнтно (сравнимо) с к по mod т (остатку от деления на т)

Для целых чисел п, kv\ т\ т\(п - к) (см. 7.1)

7.19

(а + Ь) [а + Ь] {а + Ь}

{а+Ь)

Круглые скобки Квадратные скобки Фигурные скобки Угловые скобки

Рекомендуется по возможности использовать только круглые скобки, т. к. у квадратных и фигурных скобок есть определенное значение в специфических областях

8 Элементарная геометрия

Знаки, символы, выражения, используемые в элементарной геометрии, приведены в таблице 8.1.

Таблица 8.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в элементарной геометрии

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

8.1

AB||CD

Прямая АВ параллельна прямой CD

Записывают g || h, если g и h — прямые линии, проходящие через точки А, В и С, D соответственно.

В качестве эквивалентной используют запись AB//CD

8.2

AB1CD

Прямая АВ перпендикулярна прямой CD

Записывают g ± h, если g и h — прямые, проходящие через точки А, В и С, D соответственно. На графике прямые линии должны пересекаться под прямым углом

8.3

5 АВС

Угол при вершине В треугольника АВС

В общем случае угол имеет направление и для него справедливы следующие соотношения:

<sABC = <sCBA,

0 < 5 АВС < к рад

8.4

АВ

Отрезок прямой от А до В

Отрезок прямой — множество точек между точками А и В на прямой АВ

8.5

> 1 ТО ф

Вектор от А до В

Если AB=CD, то В находится на таком же расстоянии от А, как D от С. Из этого следует, что А = С и В = D

8.6

d (А, В)

Расстояние между точками А и В

_ —У

Длина отрезка АВ, а также величина вектора АВ

9 Операции

Знаки, символы, выражения, используемые для обозначения операций, приведены в таблице 9.1.

Таблица 9.1 — Знаки, символы, выражения, используемые для обозначения операций

Номер знака, символа,

Знак, символ,

Значение и устный

Примечания, примеры

выражения

выражение

эквивалент

9.1

а + b

а плюс b

Эту операцию называют операцией сложения.

Символ «+» является знаком сложения

9.2

а - b

а минус b

Эту операцию называют операцией вычитания.

Символ «-» является знаком вычитания

9.3

а ± b

а плюс/минус b

Это — комбинация двух значений в одном выра-

жении

9.4

а + Ь

а минус/плюс b

-(а±Ь) = -а + Ь

Эту операцию называют операцией умножения. Символом умножения является точка (•) или косой

а • b

крестик (х).

9.5

а х Ь

Умножение а на b

Знак умножения может быть опущен, если ошиб-

а b

ка исключена.

ah

См. также 5.16, 5.17, 17.11, 17.12, 17.23 и 17.24

для использования точки и крестика в различных случаях

-=а ■ Ь~\

а

b

См. также 7.1.3 [3].

9.6

Деление а на b

Для деления применяют также знак (:).

alb

Пример — Отношение высоты h к ширине b лис-

та А4 равно h : Ь = Г-

Не следует использовать знак •+•

9.7

п

5>,

/=1

ai + а2 + ... + а„, сумма а-|, а2,..., а„

Применимы также выражения S/=ia/’ Хае

м

jto

м

п

ai ■ а2 ■... • а„,

Применимы также выражения П/=1а/» Па/’

/

9.8

Па,

произведение

/=1

а-!, а2, ..., а„

П,а/ и Па/

9.9

ар

Устным эквивалентом а2 является а в квадрате.

а в степени р

Устным эквивалентом а3 является а в кубе

ат

а в степени V2.

Если а > 0, то П > 0.

9.10

Га

Для обозначения квадратного корня не следует

Корень квадратный из а

применять символ Va.

См. 9.11

аМп

Если а >0, то Т>0.

9.11

а в степени 11n.

Для обозначения корня n-й степени не следует

Корень n-й степени из а

применять Va.

Для исключения ошибки в сложных случаях следует применять круглые скобки

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

9.12

X

<*>

Выборочное среднее х. Среднее арифметическое х

Другие выборочные значения:

-    гармоническое среднее обозначают добавлением индекса h,

-    среднее геометрическое обозначают добавлением индекса д,

-    квадратный корень из среднего арифметического квадратов или среднеквадратичное значение обозначают добавлением индекса q.

Индекс может быть опущен только для среднего арифметического.

В математике х используют также для обозначения комплексного числа, сопряженного с х (см. 14.6)

9.13

sgn а

Сигнум а

Для действительного а:

И, еслиа>0

_____ _ \ 0, если а = 0

sgn а =

-1, если а<0

См. 14.7

9.14

infM

Инфинум М

Наибольшая нижняя грань непустого множества, ограниченного снизу

9.15

sup М

Супремум М

Наименьшая верхняя грань непустого множества, ограниченного сверху

9.16

N

Абсолютное значение а. Модуль а.

Абсолютная величина а

Обозначение abs а также может быть использовано.

Абсолютное значение действительного числа а. Модуль комплексного числа а (см. 14.4). Модуль вектора а (см. 17.4, 5.5)

9.17

LaJ

Округление а до ближайшего целого в меньшую сторону (антье).

Наибольшее целое число, равное действительному числу а или меньше его

Обозначение ent а также может быть использовано.

Примеры —

[2,4 J =2,

[- 2,4 J = - 3

9.18

Га1

Округление а до ближайшего целого в большую сторону.

Наименьшее целое число, больше или равное действительному числу а

Примеры — [2,4] =3,

[- 2,4] = - 2

9.19

int а

Целая часть действительного числа а

int а = sgn а ■ [|а|]

Примеры — int (2,4) = 2, int (-2,4) = -2.

В качестве эквивалентного может быть использовано обозначение [a], int а = [а]

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

9.20

frac а

Дробная часть действительного числа а

frac а = а - int а.

Примеры — frac(2,4) = 0,4, frac(-2,4) = -0,4.

В качестве эквивалентного может быть использовано обозначение {a}, frac а = {а}

9.21

min(a, Ь)

Минимум из а и Ь

Операция выбора наименьшего числа из набора чисел. Однако в бесконечном наборе чисел может не быть наименьшего элемента

9.22

mах(а, Ь)

Максимум из а и Ь

Операция выбора наибольшего числа из набора чисел. Однако в бесконечном наборе чисел может не быть наибольшего элемента

10 Комбинаторика

Знаки, символы, выражения, используемые в комбинаторике, приведены в таблице 10.1. В данном разделе п и к— натуральные числа и к< п.

Таблица 10.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в комбинаторике

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

10.1

п\

Факториал числа п

п

П\= Пк =1 2 3 ... г? (л > 0)

/с=1 0! = 1

а - = а(а - 1)-...- (а - к + 1) (к > 0)

10.2

к

а-

И*

Убывающий факториал

0 _ А

а~ - I

а может быть комплексным числом. Для натурального числа п:

п- п■ (п-к)\

10.3

к

а~

(а

Возрастающий факториал

а* = а(а+ 1) ■ ... {а + к- 1) (к> 0) а°= 1

а может быть комплексным числом.

Для натурального числа п:

к (п+к-1)!

(л-1)! '

(а)к называется символом Почхаммера в теории специальных функций. В комбинаторике и статистике этот символ часто используют для обозначения убывающего факториала

Номер знака, символа, выражения


Знак, символ, выражение


Значение и устный эквивалент


Примечания, примеры


10.4


Ук;


Биномиальный коэффици


ент


\kJ


п\


k\(n-k)\    (°    ^к<п)


10.5


Числа Бернулли


п ~ п +1 л


к=0


V к J


Вп(л>0),


Во = 1,

Вт = -1/2, В;


2п+3 ■


10.6


Число сочетаний из п по к без повторений


Ск — -


\к;


п\


к\(п-к)\


10.7


R пк


Число сочетаний из п по к с повторениями


Rпк _

-


rn + k-f' к


10.8


V


Количество размещений без повторений из п по к


Vn= п~ =


п\


(п-к)\

При п = к количество размещений равно количеству перестановок


10.9


RVk v п


Количество размещений с повторениями из п по к


RVk = пк


10.10


Количество перестановок порядка п


Рп = П\ Рп=<


11 Функции

Знаки, символы, выражения для функций приведены в таблице 11.1.


Таблица 11.1 — Знаки, символы, выражения для функций

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

пн

f, д, h,...

Функция

Функция ставит в соответствие каждому аргументу из области определения функции одно или несколько значений из области значений функции

11.2

f(x) f(xb ...,хп)

Значение функции f для аргумента х или аргумента (х-|, ..., хп) соответственно

Функция, имеющая л-аргументов, является п мерной функцией

11.3

f\ А^В

f отображает Ав В

Функция f имеет область определения А и область значений В

11.4

f.x>-+ Т(х), хе А

f— функция, которая переводит хе Ав Т(х)

Т(х) обозначает значение функции f для аргумента х. Поскольку f(x) = Т(х), определяющий символ часто используют в качестве символа вместо функции f.

Пример — f:x^ Зх2у, хе [0; 2].

f— функция параметра у, равная произведению Зх2у , определенная на заданном интервале [0; 2]

11


Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

11.5

f

X->у

f(x) = у

/■ставит в соответствие значениям х значения у

Пример —

cos к->-1

11.6

f\b Г1 а

и = Ь и=а

f(b) - т

Данное обозначение используют главным образом при вычислении определенных интегралов

11.7

9°f

Сложная функция f и g

(g°f)(x) = g(f(x)).

В выражении g ° f указана последовательность применения функций g и f

11.8

lim f(x)

х -> а

lim* а f{x)

Предел f(x) при х стремящемся к а

Выражение f(x) b при х—> а может быть записано в виде limx а f(x) = b.

Пределы «справа» (х > а) и «слева» (х < а) обозначают в виде

limx а+ f(x) и limx _>а_ f(x) соответственно

11.9

А*) = 0(flf(x))

/(х) есть О большое от д(х). Отношение |f(x)/g(x)| ограничено сверху в пределе, подразумеваемом контекстом.

f(x) имеет порядок, сопоставимый с или менее д(х)

Символ «=» в данном случае не является равенством и не обладает свойством транзитивности.

Пример —

sin х = О(х) при х ^ 0

11.10

Л

X,

II

<Q

2

f(x) есть о маленькое от д(х). Отношение f(x)/g(x) 0 в пределе, подразумеваемом контекстом.

f(x) имеет порядок менее 9(х)

Символ «=» в данном случае не является равенством и не обладает свойством транзитивности.

Пример —

cos х = 1 + о(х), при х ^ 0

11.11

Лf

Дельта f.

Конечное приращение f

Разность двух значений функции. Примеры —

Ах = х2 - Х-],

Af=f(x2)-f(x1)

11.12

df

dx

df/dx

Г

Производная от функции f по X

Данное обозначение следует использовать только для функций одной переменной.

Обозначения , df(x)/dx, f(x) и Df также могут быть использованы.

Если независимой переменной является время t, то f также может быть использовано взамен Г

11.13

fdf I

VdX ) x=a

(df/dxj* = a f(a)

Значение производной функции f для х = а

ГОСТ P 54521—2011

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

11.14

d nf

dxn

dn/7dx°

f{n)

п-я производная функции f по X

Следует использовать только для функций одной переменной.

Ап f( v\

„ ', dnf(x)/dxn, f(r4x) и Dnf также могут быть

dx

использованы.

f" и Г" также используют для и f@\ соответственно.

Если независимой переменной является время f, то для Г используют также обозначение f

11.15

dL

dx

dfldx

dxf

Частная производная функции f по X

Следует использовать только для функции не-

df(x, у,...) ... скольких переменных , df(x, у, ...)1дх.

Обозначения дх f(x, у, ....) и Dx f(x, у, ...) также могут быть использованы.

Другие независимые переменные могут быть

(df)

показаны в виде индексов, например \дх)у

Данные обозначения распространяются также на производные более высокого порядка, например

d2f dfdf']

<Эх2 (Эх убх/

d2f _ д (df) дхду бх )'

Другие обозначения, например ^*y = dx(dyj’ также могут быть использованы

11.16

d f

Полный дифференциал функции f

11.17

S f

Бесконечно малое изменение функции f

11.18

J7(x)dx

Неопределенный интеграл функции f

11.19

b

J7(x) dx

a

Определенный интеграл f от а до b

Это простой случай функции, определенной на интервале. Интеграл от функции, имеющей более общую область определения, также может быть определен. Специальные обозначения, например

с s' v' ИСП0ЛЬЗУЮТ Для интеграла по кривой С,

поверхности S, трехмерной области V и замкнутой кривой или поверхности соответственно.

Многократные интегралы обозначают аналогично jj’ § ит. д.

13

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

11.20

ь

■j-f(x)dx

а

Значение интеграла типа Коши от функции f, имеющей особую точку с

lim

8—>0+

где а

с—8 Ь \

J f(x)dx+ J7(x)dx ,

ч а с+8 у

<с<Ь

11.21

■j-f(x)dx

Значение интеграла типа Коши от функции f

lim

а->~

а > J-f(x)dx

11.22

=

w(x,m,f2(x),...,m=

Цх) f2(x) ... fn(x) Щх) Щх) ... f'(x)

f^ix) f^-^ix)... f^Hx)

Определитель

Вронского

Функции

fi(x), f2(x),..., fn(x) имеют общую область определения

12 Показательная и логарифмическая функции

Могут быть использованы сложные аргументы, в особенности с основанием е.

Знаки, символы, выражения для показателей и логарифмической функции приведены в таблице 12.1.

Таблица 12.1 — Знаки, символы, выражения для показателей и логарифмической функции

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

12.1

е

Основание натурального логарифма

е := linv*. (l + = 2,718 281 8 ...

12.2

а*

Показательная функция аргумента х с основанием а

См. 9.9

12.3

е*, ехр х

Показательная функция аргумента х с основанием е

См. 14.5

12.4

1ода х

Логарифм аргумента х по основанию а

Выражение log х используют в случаях, когда основание логарифма не указано

12.5

In X

Натуральный логарифм х

In х = loge х.

Не следует использовать log х вместо In х, lg х, lb х, log ex, log10 x, log2 x

12.6

1дх

Десятичный логарифм х

lg x = log10x. Cm. 12.5

12.7

lb х

Двоичный логарифм х

lb x = log2x. Cm. 12.5

13 Тригонометрические и гиперболические функции

Знаки, символы, выражения для тригонометрических и гиперболических функций приведены в табли-це 13.1.

Таблица 13.1 — Знаки, символы, выражения для тригонометрических и гиперболических функций

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

13.1

я

Отношение длины окружности к ее диаметру

я = 3,141 592 6...

13.2

sin х

Синус X

е'*-е“'х sin х =———,

2/

sin х = х - х^З! + х5^! — ... .

Для (sin x)n, (cos х)п и т. д. используют обозначения sinn х, cosn х и т. д.

13.3

COS X

Косинус X

cos х = sin(x + я/2)

13.4

tan х

Тангенс х

tan х = sin x/cos x.

По возможности следует избегать использования обозначения tg х

13.5

cotx

Котангенс х

cotx= 1 /tan х.

По возможности следует избегать использования обозначения ctg х

13.6

sec x

Секанс х

sec х = 1/cos х

13.7

CSC X

Косеканс х

esc х = 1/sin x.

Обозначение cosec x также может быть использовано

13.8

arcsin x

Арксинус х

у = arcsin х <=> х = sin у, -я/2 < у < я/2.

Функция arcsin является обратной к функции sin с упомянутым выше ограничением

13.9

arccos x

Арккосинус х

у = arccos х»х = cos у, 0 < у < я.

Функция arccos является обратной к функции cos с указанным выше ограничением

13.10

arctan x

Арктангенс х

у = arctan х <=> х = tan у, -я/2 < у < я/2.

Функция arctan является обратной к функции tan с упомянутым выше ограничением.

По возможности следует избегать использования обозначения arctg

13.11

arccot x

Аркотангенс х

у = arccot х <=> х = cot у, 0 < у < я.

Функция arccot является обратной к функции cot с упомянутым выше ограничением.

По возможности следует избегать использования обозначения arcctg х

13.12

arcsec x

Арксеканс х

у = arcsec х <=> х = sec у, 0 <у< я, уфп!2. Функция arcsec является обратной к функции sec с упомянутым выше ограничением

15

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

13.13

arccsc х

Арккосеканс х

у = arccsc х <=> х = esc у,

- я/2 < у< я/2, у^О .

Функция arccsc является обратной к функции esc с упомянутым выше ограничением.

По возможности следует избегать использования обозначения arccosec х

13.14

sinh х

Гиперболический синус х

. . ех - е~х sinh х = ---,

sinh х = х + х*13} + ....

По возможности следует избегать использования обозначения sh х

13.15

cosh х

Гиперболический косинус х

Y —У

. е + е cosh х = ---,

cosh2 х = sinh2 х + 1.

По возможности следует избегать использования обозначения ch х

13.16

tanh x

Гиперболический тангенс х

tanh х = sinh x/cosh х.

По возможности следует избегать использования обозначения th х

13.17

coth x

Гиперболический котангенс X

coth х = 1/tanh х

13.18

sech x

Гиперболический секанс х

sech х = 1/cosh х

13.19

csch x

Гиперболический косеканс х

csch х = 1/sinh x .

По возможности следует избегать использования обозначения cosech х

13.20

arsinh x

Обратный гиперболический синус X.

Гиперболический арксинус х

у = arsinh х <=> х = sinh у.

Функция arsinh является обратной к функции sinh. По возможности следует избегать использования обозначения arsh х

13.21

arcosh x

Обратный гиперболический косинус X.

Гиперболический арккосинус X

у = arcosh х <=> х = cosh у, у > 0.

Функция arcosh является обратной к функции cosh с упомянутым выше ограничением.

По возможности следует избегать использования обозначения arch х

13.22

artanh x

Обратный гиперболический тангенс х.

Гиперболический арктангенс X

у = artanh х <=> х = tanh у.

Функция artanh является обратной к функции tanh. По возможности следует избегать использования обозначения arth х

13.23

arcoth x

Обратный гиперболический котангенс х.

Гиперболический арккотангенс X

у = arcoth х<=> х = coth у, уф 0.

Функция arcoth является обратной к функции coth с упомянутым выше ограничением

13.24

arsech x

Обратный гиперболический секанс х.

Гиперболический арксеканс х

у = arsech х <=> х = sech у, у > 0.

Функция arsech является обратной к функции sech с упомянутым выше ограничением

ГОСТ P 54521—2011

Содержание

1    Область применения....................................... 1

2    Нормативные ссылки....................................... 1

3    Переменные, функции и операторы................................ 1

4    Математическая логика...................................... 2

5    Множества............................................ 3

6    Стандартные множества чисел и интервалы............................ 4

7    Разные знаки и символы..................................... 6

8    Элементарная геометрия..................................... 7

9    Операции............................................. 8

10    Комбинаторика.......................................... 10

11    Функции............................................. 11

12    Показательная и логарифмическая функции............................ 14

13    Тригонометрические и гиперболические функции......................... 15

14    Комплексные числа....................................... 17

15    Матрицы............................................. 17

16    Система координат........................................ 19

17    Скаляры, векторы и тензоры................................... 20

18    Преобразования......................................... 23

19    Специальные функции...................................... 24

Приложение А (обязательное) Шестнадцатеричные коды символов.................. 29

Библиография............................................ 31

III

ГОСТ P 54521—2011

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

13.25

arcsch х

Обратный гиперболический косеканс х.

Гиперболический арккосеканс X

у = arcsch х х = csch у, у > 0.

Функция arcsch является обратной к функции csch с упомянутым ограничением выше.

По возможности следует избегать использования обозначения arcosech х

14 Комплексные числа

Знаки, символы, выражения для комплексных чисел приведены втаблице 14.1. Таблица 14.1 — Знаки, символы, выражения для комплексных чисел

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

14.1

j

Мнимая единица

i2=j2 = -1.

i используют в математике и в физике, j используют в электротехнике

14.2

Re z

Действительная часть z

z = х + \у,

где х и у— действительные числа

14.3

Im z

Мнимая часть z

х = Re z, у = Im z. См. 14.2

14.4

и

Модуль Z

и = h2 + у2.

где х = Re z, у = Im z (см. 9.16)

14.5

arg z

Аргумент z

z = rekp,

где г = |z| и cp = arg z, -я < cp < я, например, Re z = r cos cp, Im z = r sin cp

14.6

N* N1

Число комплексно сопряженное с Z

Обозначение z главным образом используют в математике.

Обозначение z* главным образом используют в физике и технике

14.7

sgn z

Сигнум Z

sgn z = z/|z| = exp(i arg z), (z ф 0). sgn z = 0 для z = 0 (cm. 9.13)

15 Матрицы

Знаки, символы, выражения для операций с матрицами приведены втаблице 15.1.

Матрицы обычно обозначают жирными курсивными заглавными буквами, а их элементы тонкими курсивными строчными буквами, но могут быть также использованы и другие шрифты.

17

Введение

Описание знаков, символов, выражений в настоящем стандарте приведено в форме таблиц (таблицы 4.1 —19.1), структура которых, за исключением таблицы 16.1, одинакова.

В первой колонке этих таблиц приведен номер знака, символа, выражения.

Во второй колонке таблицы («Знак, символ, выражение») приведено изображение рассматриваемых знака, символа, выражения. Если более одного знака, символа или выражения приведено для одного объекта, они являются одинаково применимыми и эквивалентными.

В некоторых случаях рекомендуется применять единственное выражение.

В третьей колонке таблицы («Значение, устный эквивалент») приведено описание значения объекта и его устный эквивалент. Значение приведено для идентификации соответствующего понятия и не является полным математическим определением.

В четвертой колонке таблицы («Примечания, примеры») приведена полезная дополнительная информация. Приведенные определения являются достаточно краткими. Определения с математической точки зрения не являются полными.

Структура таблицы 16.1 несколько иная.

IV

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ЗНАКИ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ В СТАНДАРТАХ

Statistical methods. Mathematical symbols and signs to be used in the standards

Дата введения — 2012—12—01

1    Область применения

В стандарте приведены общие сведения о математических символах и знаках, их значениях, устных эквивалентах и применении.

Рекомендуемые в стандарте символы и знаки предназначены главным образом для использования в стандартах, но могут быть использованы также и в других областях. Приведенные в настоящем стандарте математические символы соответствуют требованиям ИСО 80000-2 [1], ГОСТ 1.5.

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использована нормативная ссылка на следующий стандарт:

ГОСТ 1.5-2001 Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Общие требования к построению, изложению, оформлению, содержанию и обозначению

3    Переменные, функции и операторы

Переменные, такие какх, у, и т. д., и индексы, такие как / в Е/Х,-, следует изображать курсивом. Параметры, такие как а, Ь, и т. д., рассматриваемые в контексте как постоянные, изображают курсивом. Тоже относится ко всем функциям, например f, д.

Четко определенные функции независимо от контекста изображают без наклона (вертикально), например sin, exp, In, Г. Математические константы изображают без наклона (вертикально), например е = 2,718 218 8 ...; п = 3,141 592    /2    =    -1. Четко определенные операторы также изображают без наклона

(вертикально), например div, 5 в 8Х и d в df/dx.

Числа, представленные цифрами, всегда изображают прямым шрифтом (вертикально), например 351 204; 1,32; 7/8.

Аргумент функции указывают в круглых скобках после символа функции без пробела между символом функции и первой круглой скобкой, например f(x), cos(cof + ф). Если символ функции состоит из двух или большего количества букв, а аргумент не содержит символа операции (+, -, х, или /), круглые скобки вокруг аргумента могут быть опущены. В этих случаях должен быть небольшой пробел между символом функции и аргументом, например int 2,4; sin пп; arcosh 2A; Ei х.

Если существует возможность ошибки, необходимо использовать круглые скобки. Например, cos х + у лучше записать в виде cos(x) + у, чтобы исключить ошибочное понимание этой формулы.

Издание официальное

Запятая, точка с запятой или другой соответствующий символ могут быть использованы для разделения чисел или выражений. Предпочтительно использование запятой, кроме тех случаев, когда ее используют при записи десятичных дробей.

Если выражение или уравнение должно быть записано в две или более строк, следует применять правила, установленные в ГОСТ 1.5.

По возможности разрыв формулы не следует использовать внутри выражения в круглых скобках.

Общепринято использование различных букв (греческого, латинского или других алфавитов) для различных объектов. Это делает формулы более удобными и помогает в восприятии соответствующего текста. При использовании нескольких шрифтов необходимо приводить соответствующие пояснения (при необходимости).

4 Математическая логика

Знаки, символы, выражения, используемые в математической логике, приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в математической логике

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

4.1

РАС7

Конъюнкция р и q, рис?

4.2

pvq

Дизъюнкция р и q, р или q

Выражение pvq является истинным, если истинно р или q или оба

4.3

--Р

Отрицание р, не р

В качестве эквивалентного может быть использовано обозначение р. В математике аналогичное обозначение используют также для обозначения выборочного среднего (см. 9.12) и комплексно сопряженного числа (см. 14.6)

4.4

p^q

р включает q, если р, то q

q <= р имеет то же значение, что и

Р=>3-

=> символ включения

4.5

p^q

р эквивалентно q

(р => с?) л (с? => р) имеет то же значение, что и p^q.

символ эквивалентности

4.6

Vx g A p(x)

Для каждого х, принадлежащего множеству Л, высказывание р(х) истинно

Если из контекста ясно, что представляет собой множество Л, выражение Ух р(х) может быть использовано.

V — квантор общности.

Для хе А см. 5.1

4.7

Эх g A p(x)

Существует х, принадлежащий множеству Л, для которого р(х) истинно

Может быть использовано выражение Эх р(х), если из контекста ясно, что представляет собой множество Л.

3 — квантор существования.

Для хе Л, см 5.1.

Выражение Элх р(х) означает, что существует только один элемент, для которого р(х) истинно. Выражение 3! используют как эквивалент З1

5 Множества

Знаки, символы, выражения, используемые в теории подмножеств, приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в теории подмножеств

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

5.1

хе А

х принадлежит А. х является элементом множества А

Выражение Л э х имеет тот же смысл, что и хе А

5.2

уе А

у не принадлежит А. у не является элементом множества А

Выражение Л^у имеет тоже смысл, что и у еЛ. Знак отрицания может также быть вертикальным

5.3

{*1 > *2.....Хп)

Совокупность элементов

Х-| > , ■ ■ ■, Хп

Эквивалентным является выражение {х/1/£/}, где I— совокупность индексов

5.4

{хеА |р(х)}

Количество элементов множества А, для которых р(х) истинно

Пример — {х eR|x < 5}. В качестве эквивалентного выражения может быть использовано выражение (х|р(х)}, если из контекста ясно, что представляет собой множество Л. Например, {х|х < 5}, если ясно, что х — действительное число

5.5

card А И

Количество элементов множества А.

Мощность множества А

Мощность множества может быть бесконечной (см. 9.16)

Примеры —

И| = X;

|В| = X,

где Л — множество целых чисел,

В — множество вещественных чисел,

К — мощность бесконечного множества

5.6

0

Пустое множество

5.7

Вс4

Множество В принадлежит множеству А.

В является подмножеством А

Каждый элемент множества В принадлежит множеству Л.

Выражение Лз8 имеет тот же смысл, что и 6сЛ

5.8

ВсЛ

В целиком принадлежит множеству А.

В — собственное подмножество множества А

Каждый элемент множества В принадлежит множеству Л, но существует по крайней мере один элемент множества Л, не принадлежащий множеству В.

Выражение Л => В имеет тот же смысл, что и 6 с Л

5.9

Л UB

Объединение множеств Ли В

Множество, содержащее все элементы множеств Л и В.

Л U В = {х|х е Л v хе В}

5.10

АПВ

Пересечение множеств Л и 6

Множество, содержащее элементы, принадлежащие одновременно множеству Л и множеству В.

Л П В = {х|хе АахеВ}

Окончание таблицы 5.1

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

5.11

п

и А

/ = 1

АЛ иЛ2и... UAn

Объединение множеств

А» А» А

Множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств Л Л2, Ап.

В качестве эквивалентных могут быть использованы знаки U/U U и 1)//.

/€ /

где /— множество индексов

5.12

п

ПА

/=1

А-\ П Л2 П ... П Ап

Пересечение множеств

А» ■■■» А

Множество, элементы которого принадлежат одновременно всем множествам Л-j, Л2, ..., Ап.

В качестве эквивалентных могут быть использованы знаки П/Li» П и П//1 /€/

где /— множество индексов

5.13

А\В

Разность множеств Л и В, Л минус В

Множество, элементы которого принадлежат множеству Л, но не принадлежат множеству В.

А\В = {х|х € Л А Х£ В}.

Не следует использовать выражение А - В.

Иногда в качестве эквивалентного используют выражение Са&- Главным образом его применяют когда В — подмножество множества Л. Символ Л может быть опущен, если из контекста ясно, что представляет собой множество Л

5.14

(а, Ь)

Упорядоченная пара а, Ь, пара а, Ь

(а, Ь) = (с, d) тогда и только тогда а = с и

b = d.

В качестве разделительного знака могут быть использованы точка с запятой (;) или знак (|)

5.15

(а1> э2, ап)

Упорядоченный п-кортеж

См. замечание к 5.14

5.16

Ах В

Декартово произведение

множеств Л и В

Множество упорядоченных пар (а, Ь), таких, что а еЛ и Ь еВ.

Ах В = {(х, у) | х е Л А у е В}

5.17

п

ПА

/=1

/А-1 х Л2 Х...Х Ап

Декартово произведение множеств АьА2.....Ап

Множество упорядоченных /7-кортежей (х-1, х2, ..., хп), таких, что хЛ еАь х2 еЛ2, ..., хпеАп.

А х А х ... х Л обозначают Ап, где п — количество сомножителей в произведении

5.18

\dA

Отношение идентичности на Л.

Диагональ Ах А

id^ есть множество всех пар (х, х), где хеЛ.

Символ Л может быть опущен, если из контекста понятно, что представляет собой множество Л

6 Стандартные множества чисел и интервалы

Знаки, символы, выражения, используемые для стандартных множеств чисел и интервалов, приведены в таблице 6.1.

Таблица 6.1 — Знаки, символы, выражения, используемые для стандартных множеств чисел и интервалов

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

6.1

N

Множество всех натуральных чисел.

Множество, элементами которого являются все положительные целые числа и нуль

N={0, 1,2,3, ...},

N* = {1,2, 3, ...}.

Другие ограничения могут быть указаны очевидным способом, как показано ниже.

N>5 = {п е N|n > 5}

6.2

Z

Множество целых чисел

Z = {..., -2, -1,0, 1,2, ...},

Z* = {пе Z\n ф 0}.

Другие ограничения могут быть указаны очевидным способом, как показано ниже.

Z>_3 = {п eZ\n > -3}

6.3

Q

Множество рациональных чисел

Q* = {reQ|r*0}.

Другие ограничения могут быть указаны очевидным способом, как показано ниже.

Q<0 = {re Q|r < 0}

6.4

R

Множество действительных чисел

R* = {х е R|x ф 0}.

Другие ограничения могут быть указаны очевидным способом, как показано ниже.

R>0 = {xg R|x > 0}

6.5

С

Множество комплексных чисел

С* = {z е C|z ф 0}

6.6

Р

Множество простых чисел

Р = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}

6.7

[а, Ь]

Закрытый интервал от а до Ь с включением конечных точек а и Ь

[a, b] = {хе R|a < х < Ь}

6.8

(а, Ь]

Интервал, открытый слева, от а до Ь с включением точки Ь

(a, b]= {хе R|a < х< Ь}.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение ]а, Ь]

6.9

[а, Ь)

Интервал, открытый справа, от а до Ь с включением точки а

[а, b) = {хе R|a <х< Ь}.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение [а, Ь[

6.10

(а, Ь)

Открытый интервал от а до Ь без включения точек а и Ь

(a, b)={xe R|a < х < Ь}.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение ]а, Ь[

6.11

(—, Ь]

Полузакрытый неограниченный интервал до Ь, включая точку Ь

(-оо, b]={xe R|x < Ь}.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение ]-°о, Ь]

6.12

(-°°, Ь)

Полуоткрытый неограниченный интервал до Ь, исключая точку Ь

(-оо, b) = {xe R|x < Ь}.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение ]- Ь[

6.13

[а, +°о)

Полузакрытый неограниченный интервал до а, включая точку а

[а, +°о) = {хе R|a<х}.

В качестве эквивалентных могут быть использованы выражения [а, <*> [, [а, + °° [ и [а, <*>)

6.14

(а, +°о)

Полуоткрытый неограниченный интервал до а, исключая точку а

(а, + оо) = {х g R|a<x}.

В качестве эквивалентных могут быть использованы выражения ]а, + °° [, ]а, °° [ и (а, <*>)

7 Разные знаки и символы

Знаки, символы, выражения, используемые для разных знаков и символов, приведены в таблице 7.1.

Таблица 7.1 — Знаки, символы, выражения, используемые для разных знаков и символов

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

7.1

а = b

а равно b

Может быть использован символ =, если необходимо подчеркнуть идентичность а и b (см. 7.18)

7.2

эфЬ

а не равно b

Черточка отрицания может также быть вертикальной

7.3

а := Ь

а по определению равно Ь

Пример —

р := /71 v, где р — импульс, т — масса, V — скорость.

Могут также быть использованы символы =def

И d£

7.4

Л и

а = b

а соответствуетb

Пример —

Если Е = кТ, то 1 eV = 11 604,5 К.

Если 1 см на карте соответствует длине 10 км, можно записать 1 см = 10 км.

Соответствие не может быть симметричным

7.5

а ~ b

а приближенно равно Ь

Качество приближения определяет пользователь. Равенство включено

7.6

а - b

а асимптотически равно b

,, 1 1 Пример- sin(x-a) “ х-а прих^а.

(для х а, см. 7.16)

7.7

а ~ b

а пропорционально b

Символ ~ также используют для обозначения отношения эквивалентности.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение а °° b

7.8

M=N

М конгруэнтно Л/, М изоморфно N

Пример —

Мм N— множества точек (геометрические фи-гуры).

Этот символ также используют для обозначения изоморфизма математических структур

7.9

а < b

а меньше b

7.10

Ь> а

b больше а

7.11

а < b

а меньше или равно b

7.12

Ь> а

b больше или равно а

7.13

а « b

а много меньше b

Является ли а достаточно маленьким по сравнению с b определяет пользователь

7.14

Ь» а

b много больше а

Является ли b достаточно большим по сравнению с а определяет пользователь