ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

ГОСТ Р 54500.3.1 — 2011/

Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/ Дополнение 1:

2008

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Часть 3

Руководство по выражению неопределенности измерения

Дополнение 1

Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло

ISO/IEC Guide 98-3:2008/Supplement 1:2008 Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM: 1995) — Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method (IDT)

Издание официальное

Предисловие

Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. № 184-ФЗ «О техническом регулировании», а правила применения национальных стандартов Российской Федерации — ГОСТ Р1.0—2004 «Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения»

Сведения о стандарте

1    ПОДГОТОВЛЕН Федеральным государственным унитарным предприятием «Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д. И. Менделеева» (ФГУП «ВНИИМ») и Автономной некоммерческой организацией «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АНО «НИЦ КД») на основе собственного аутентичного перевода на русский язык международного документа, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 16 ноября 2011 г. № 555-ст

4    Настоящий стандарт идентичен международному документу Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/До-полнение 1:2008 «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло» [ISO/IEC Guide 98-3:2008/Supplement 1:2008 «Uncertainty of measurement—Part3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM: 1995)—Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method»].

В стандарт введены технические изменения 1, подготовленные техническим управляющим комитетом (ТМВ) ИСО, которые выделены двойной вертикальной линией, расположенной слева от соответствующего текста.

При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные и межгосударственные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА

5    ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

6    ПЕРЕИЗДАНИЕ. Март 2013 г.

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты», а текст изменений и поправок— в ежемесячно издаваемых информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования— на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

©Стандартинформ, 2012 © СТАНДАРТИНФОРМ, 2013

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

ственно, д и G. Используемые в обозначениях индексы соответствуют случайной величине, о которой идет речь. Обозначение f оставлено для описания функции измерения.

Примечание — Определения, приведенные в разделе 3, даны в соответствии с изложенным соглашением об обозначениях.

4.3    В настоящем стандарте плотности распределения вероятностей могут быть определены для скалярной X или векторной X случайных величин. Для скалярной случайной величины X плотность распределения вероятностей обозначена д^), где^ — возможное значение X. Случайной величине X соответствуют математическое ожидание Е(Х) и дисперсия V(X) (см. 3.6, 3.7).

4.4    Плотность распределения вероятностей векторной случайной величины X обозначают о), где o(^i, .... £_W)^T — вектор возможных значений величины X. Вектор X рассматривают как вектор случайных величин, которому соответствуют вектор математических ожиданий Е(Х) и ковариационная матрица V(X).

4.5    Плотность распределения вероятностей нескольких случайных величин часто называют совместной, даже если все входные величины являются независимыми.

4.6    Если элементыX) векторах независимы, плотность распределения вероятностей X_t обозначают 0х,(5/)-

4.7    Плотность распределения вероятностей и функцию распределения для Y обозначают д_у(ц) и G_y(t|) соответственно.

4.8    В настоящем стандарте случайную величину обозначают прописной буквой, а ее математическое ожидание или оценку — соответствующей строчной буквой. Например, оценку величины Y (оценку ее математического ожидания) обозначают буквой у. Такое обозначение часто неудобно в случае физических величин, для которых традиционно используют иные символы, например Т для температуры и t для времени. Поэтому в некоторых примерах (раздел 9) использованы другие обозначения. В этом случае случайная величина обозначена своим общепринятым символом, а ее оценка (оценка ее математического ожидания)— тем же символом с «крышкой». Например, отклонение калибруемой концевой меры длины от номинального значения при 20 °С (см. 9.5) обозначено Ы, а его оценка — 8L

Примечание — Символ с «крышкой» в литературе по математической статистике используют для обозначения оценки.

4.9    В настоящем стандарте термин «закон трансформирования неопределенностей» используют в смысле аппроксимации функции измерения рядом Тейлора первого порядка. Этот термин также может быть применен при использовании разложения в ряд более высокого порядка.

4.10    Подстрочный индекс «с» для суммарной стандартной неопределенности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.1)] в настоящем стандарте рассматривается как излишний. Стандартная неопределенность оценки у выходной величины У может быть записана как и(у), хотя использование обозначения и_с(у) остается допустимым, если это помогает заострить внимание на том, что имеется в виду суммарная стандартная неопределенность. Определение «суммарная» в данном контексте также является излишним и может быть опущено, поскольку присутствие символа «у» в и(у) уже указывает на оценку, с которой ассоциирована данная стандартная неопределенность. Еще более неуместным становится использование нижнего индекса «с» и определения «суммарная», когда результаты одного или нескольких измерений и соответствующие оценки неопределенности являются исходными данными для получения оценки неопределенности последующей величины.

4.11    В настоящем стандарте использованы термины «интервал охвата» и «вероятность охвата». В GUM в качестве синонима «вероятности охвата» использован термин «уровень доверия» с предупреждением, что это не то же самое, что «доверительная вероятность» [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (6.2.2)], поскольку последний термин имеет специальное определение в математической статистике. Т. к. в некоторых языках перевод с английского терминов «уровень доверия» и «доверительная вероятность» совпадает, в настоящем стандарте термин «уровень доверия» не используется.

4.12    Для обозначения десятичной дроби используется запятая¹*.

4.13    Если не определено иначе, то числа представляют с заданным количеством значащих цифр.

Пример — Числа 0,060, 0,60, 6,0 и 60 представлены с точностью до двух значащих цифр. В этом случае запись с точностью только до одной значащей цифры: 0,06, 0,6, и 6 ■ 10¹ — будет некорректной.

^ В оригинале на английском языке в данном подразделе указывается на использование в качестве десятичного знака точки вместо запятой.

ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008

4.14    Некоторые символы, использованные в настоящем стандарте, имеют более одного значения (см. приложение G). Однако их смысл понятен из контекста.

4.15    В настоящем стандарте использованы следующие сокращения:

CGPM — Генеральная конференция по мерам и весам;

IEEE — Институт инженеров электротехники и электроники;

JCGM — Объединенный комитет по руководствам в метрологии;

GUM — Руководство по выражению неопределенности измерения;

VIM — Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины.

5 Общие принципы

5.1    Основные этапы оценки неопределенности

5.1.1    Основные этапы оценки неопределенности включают в себя формулировку измерительной задачи, трансформирование распределений и получение окончательного результата:

a)    формулировка измерительной задачи включает в себя:

1)    задание выходной величины У (измеряемой величины);

2)    выявление входных величин Х= (Х_ь ..., X_N)^T, от которых зависит выходная величина У;

3)    составление модели измерения, определяющей взаимосвязь У с входными величинами X,

4)    приписывание распределений вероятностей (нормального, прямоугольного и т. д.) входным величинам X; (или совместного распределения вероятностей входным величинам, не являющимся независимыми) на основе имеющейся информации;

b)    трансформирование распределений предусматривает определение плотности распределения вероятностей выходной величины У на основе плотностей распределения вероятностей входных величин X) и используемой модели измерения;

c)    получение окончательного результата предполагает использование плотности распределения вероятностей выходной величины У для определения:

1)    оценки математического ожидания величины У в виде оценки у;

2)    оценки стандартного отклонения величины У в виде стандартной неопределенности и(у), ассоциированной с у [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (Е.3.2)];

3)    интервала охвата для величины У, соответствующего заданной вероятности (вероятности охвата).

Примечание 1 — В некоторых случаях оценка выходной величины в виде математического ожидания может оказаться неприемлемой [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1.4)].

Примечание 2 — Некоторые величины, например подчиняющиеся распределению Коши, не имеют математического ожидания и стандартного отклонения. Однако интервал охвата для выходной величины всегда может быть построен.

5.1.2    При оценке неопределенности по GUM функции распределения входных величин в явном виде не используют. Однако в соответствии с Руководством ИСО/МЭК 98-3 (3.3.5) «...стандартную неопределенность типа А рассчитывают по плотности распределения вероятностей,... полученной из распределения частот..., а стандартную неопределенность типа В — по предполагаемой плотности распределения вероятностей, отражающей степень уверенности в появлении того или иного события.... Оба подхода используют общепринятые интерпретации понятия вероятности».

Примечание — Трактовка распределения вероятностей при определении оценки неопределенности типа В характерна для байесовского анализа [21, 27]. В настоящее время продолжаются исследования [22] границ применимости формулы Уэлча—Саттертуэйта для расчета числа степеней свободы, приписываемых стандартной неопределенности.

5.1.3    Формулировку измерительной задачи осуществляет метролог с возможным участием специалиста в той области знаний, в которой проводят измерение. В настоящем стандарте приведены рекомендации по выбору плотности распределения вероятностей [стадия 4) этапа а) в соответствии с 5.1.1] для некоторых общих случаев (см. 6.4). Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов [б) и в) в соответствии с 5.1.1], для которых приведены подробные указания, не требуют до-

полнительной метрологической информации и могут быть выполнены с любой допустимой точностью для поставленной задачи.

Примечание — Как только этап постановки задачи а) в соответствии с 5.1.1 выполнен, тем самым плотность распределения вероятностей для выходной величины формально полностью определена. Однако вычисление математического ожидания, стандартного отклонения и интервала охвата может потребовать применения численных методов, обладающих некоторой степенью приближения.

5.2 Трансформирование распределений

В настоящем стандарте рассматривается общий эффективный способ определения (численным методом) функции распределения случайной величины У:

Л

Gy (л) = Jgy(z)dz.

— со

Этот способ основан на применении метода Монте-Карло для трансформирования распределений входных величин (см. 5.9).

Примечание — Формально плотность распределения вероятностей случайной величины У можно представить в виде [9]

₉у(ц)= J... Jg_x(^)5h-/Od^...d^,

где б(-) — дельта функции Дирака, и применять численные методы вычисления А/-кратного интеграла (поскольку в общем случае он не может быть взят аналитически). Однако такой способ численного вычисления плотности распределения вероятностей У неэффективен.

5.3 Получение окончательного результата

5.3.1    Оценка у входной величины У представляет собой оценку математического ожидания Е(У). Стандартная неопределенность и(у) оценки у представляет собой оценку стандартного отклонения У, т. е. положительный квадратный корень из дисперсии V(Y).

5.3.2    Интервал охвата для У может быть определен на основе G_y(t|). Если задать требуемую вероятность охвата р и взять любое число а из интервала от нуля до (1 -р), то границами 100 р %-ного интервала

охвата для У будут значения Gy¹ (а) и Gy¹ (р + а), т. е. квантили распределения G_y(n) уровней а и (р + а) соответственно.

5.3.3    Выбор а = (1 -р)/2 позволяет определить вероятностно симметричный 100 р %-ный интервал охвата, границами которого являются квантили уровней (1 -р)/2 и (1 +р)/2.

Примечание — Если плотность распределения вероятностей для У симметрична относительно математического ожидания у, то полученный интервал будет совпадать с интервалом у ± U_p, где расширенная неопределенность U_p [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (2.3.5)] равна произведению стандартной неопределенности и(у) на коэффициент охвата, соответствующий данной плотности распределения вероятностей. В общем случае плотность распределения вероятностей выходной величины не может быть выражена в аналитическом виде.

5.3.4    Если плотность распределения вероятностей асимметрична, то более подходящим может быть выбор а, отличающийся от (1 -р)/2, например позволяющий получить наименьший 100р %-ный интервал охвата. Если плотность распределения вероятностей унимодальна, то оно обладает таким свойством, что наименьший интервал охвата будет включать в себя моду этого распределения. Данному интервалу будет

соответствовать значение а, удовлетворяющее соотношению g_Y [Gy¹ (oc)J=Qfy [Gy¹ (р+а )]' в случае распределения общего вида значение а, соответствующее наименьшему 100 р %-ному интервалу охвата, должно быть таким, чтобы разность Gy¹ (р + а)-Gy¹ (а) была минимальна.

5.3.5    Для симметричной плотности распределения вероятностей, например для нормального или масштабированного смещенного /-распределения, используемых при оценивании неопределенности по GUM, вероятностно симметричный и наименьший 10Ор %-ные интервалы охвата совпадают между собой. Поэтому в способе оценивания неопределенности по GUM эти интервалы не различают.

ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК98-3:2008/Дополнение 1:2008

5.3.6 На рисунке 1 показана функция распределения G_y(r|), соответствующая асимметричной плотности распределения вероятностей. Пунктирными вертикальными линиями показаны границы вероятностно симметричного 95 %-ного интервала охвата, а пунктирными горизонтальными линиями — соответствующие значения вероятности 0,025 и 0,975. Сплошными линиями показаны границы наименьшего 95 %-ного интервала охвата и соответствующие значения вероятности, которые в данном случае равны 0,006 и 0,956. Длина этих двух интервалов охвата для данного примера составляет соответственно 1,76 и 1,69.

X — величина (безразмерная); Y — функция распределения Рисунок 1 — Функция распределения Gy (т|), вероятностно симметричный и наименьший 95 %-ные интервалы охвата

5.4 Способы трансформирования распределений

5.4.1    Трансформирование распределений осуществляют несколькими способами:

a)    аналитическими методами, обеспечивающими определение плотности распределения вероятностей для У за счет применения математических преобразований;

b)    применением закона трансформирования неопределенностей, основанного на замене функции измерения ее аппроксимацией рядом Тейлора с членами первого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)];

c)    применением того же закона трансформирования неопределенностей [см. перечисление Ь) выше], но с учетом членов разложения более высокого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)];

d)    численными методами [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)], в том числе с использованием метода Монте-Карло (см. 5.9).

Примечание 1 — Аналитические методы превосходят все прочие с той точки зрения, что они не используют приближений. Однако они применимы только в простых случаях. Применение аналитических методов и примеры их использования приведены в [8, 13]. Далее эти методы в настоящем стандарте рассматриваются только в примерах (см. раздел 9).

Примечание 2 — Метод Монте-Карло в настоящем стандарте используется для получения распределения выходной величины, а не в качестве метода имитационного моделирования. При оценке неопределенности на этапе трансформирования распределений решаемая задача является детерминированной, поэтому в имитационном моделировании случайного процесса нет необходимости.

5.4.2    GUM допускает применение подходов к оценке неопределенности, отличных от того, что использован в самом GUM [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)]. Однако самым общим из этих подходов является тот, что установлен в настоящем стандарте и основан на трансформировании распределений. Для линейных и линеаризованных функций измерения и входных величин, подчиняющихся нормальному распределению, такой подход согласуется с подходом GUM. Однако в случаях, когда условия применения подхода GUM не выполняются (см. 5.7 и 5.8), подход, установленный в настоящем стандарте, позволяет получить обоснованные заключения о неопределенности.

9

5.4.3    Трансформирование распределений требует выбора подходящего метода. Если можно продемонстрировать, что условия, необходимые для получения достоверных результатов в соответствии с GUM, выполнены, то может быть использован подход GUM. Если имеются основания полагать, что оценка неопределенности, полученная по GUM, окажется недостоверной, то должен быть применен другой подход. Может возникнуть ситуация, когда сложно оценить обоснованность применения способа оценивания неопределенности по GUM. Однако во всех трех вышеописанных случаях хороший результат может быть получен с использованием метода Монте-Карло. В первом случае метод Монте-Карло может быть проще в применении, например, вследствие трудностей вычисления коэффициентов чувствительности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.3)]. Во втором случае метод Монте-Карло позволит получить достоверный результат, т. к. его применение не требует использования дополнительных предположений. В третьем случае метод Монте-Карло может быть применен как собственно для получения оценки неопределенности, так и для оценки качества результатов, полученных способом расчета неопределенности по GUM.

5.4.4    Трансформирование моделью измерений плотностей распределения вероятностей gfx/fe)-/' = 1,..., N входных величин X, для получения плотности распределения вероятностей д_у(т|) выходной величины У, показано на рисунке 2 для трех независимых X, (А/ = 3). Рисунок 2 можно сравнить с

рисунком 3, иллюстрирующим закон трансформирования неопределенностей. На рисунке 2 функции g_Xj (£,-). /' = 1,2,3 представляют собой плотности распределения вероятностей случайных величин, подчиняющихся соответственно нормальному, треугольному и нормальному законам. Соответственно функция д_у(д) показана асимметричной, что обычно имеет место в случае нелинейных моделей или асимметрии функций

9x,fe)-

_А_

9*i(£i)

я*з(£з) Рисунок 2 — Трансформирование распределений трех (N = 3) независимых входных величин

5.4.5    На практике только в самых простых случаях преобразование распределений может быть выполнено без приближений. При оценке неопределенности по GUM применяется один метод приближения, в методе Монте-Карло — другой. Для небольшой, но важной подгруппы задач оценки неопределенности в соответствии с GUM не требуется применения приближений (решение является точным). Метод Монте-Карло не позволяет получить точные результаты, но для широкого класса задач он будет более обоснованным, чем подход GUM.

5.5    Представление результатов

5.5.1    После выполнения трансформирования распределений должна быть отражена, как правило, следующая информация:

a)    оценка у выходной величины У;

b)    стандартная неопределенность и(у) оценки у;

c)    заданная 100 р %-ная (например, 95 %-ная) вероятность охвата;

d)    границы выбранного 100 р %-ного (например, 95 %-ного) интервала охвата для У;

e)    другая значимая информация, такая как тип интервала охвата (вероятностно симметричный или наименьший).

5.5.2    Значения у, и{у) и границ 100 р %-ного интервала охвата для У должны быть указаны с таким количеством значащих цифр, чтобы низший разряд записи значения этих величин совпадал с низшим

a)    в соответствии с плотностью распределения вероятностей для входных величин X - (X,, X_W)^T определяют оценки математического ожидания х- {х_ь ..., x_w)^T и стандартного отклонения (стандартные неопределенности) и(х) = [и{х^),.... iy(x_N)]^T. ЕслиХ) являются статистически зависимыми (имеют ненулевую ковариацию), то используют совместную плотность распределения X;

b)    определяют число степеней свободы (бесконечное или конечное) для каждой и(х,);

c)    для каждой пары зависимых величин X) и X) на основе совместной плотности распределения X)- и Xj определяют ковариацию (взаимную неопределенность) u(x_h Xj) для х, и х/,

d)    определяют частные производные первого порядка от f(X) по X;

e)    вычисляют оценку, подставляя в функцию измерения X = х;

f)    вычисляют коэффициенты чувствительности модели [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.3)] через значения вычисленных частных производных в точке х;

д)    вычисляют стандартную неопределенность и(у), объединяя и(х), u(x_h х_у ) и коэффициенты чувствительности модели [Руководство ИСО/МЭК 98-3, формулы (10), (13)];

h)    вычисляют v_eff [число эффективных степеней свободы для и(у)] по формуле Уэлча-Саттертуэйта [Руководство ИСО/МЭК 98-3, формула (G.2b)];

i)    вычисляют расширенную неопределенность U_p и соответствующий интервал охвата (для заданной вероятности охвата р) для /(рассматриваемой в качестве случайной величины) посредством выбора множителя для и(у) в виде квантиля распределения функции (Y-y)lu(y), предполагаемого стандартным нормальным распределением (для v_eff = °°) или /-распределением (для v_eff < °°).

5.7    Условия применимости способа оценивания по GUM в случае линейной модели

5.7.1    В случае линейных моделей (функция измерения линейна относительно X}) применение закона трансформирования неопределенностей всегда корректно.

5.7.2    Интервал охвата может быть определен в соответствии с GUM при выполнении следующих условий:

a)    применима формула Уэлча-Саттертуэйта для вычисления числа эффективных степеней свободы ^и(у) [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.4.1)], если одной или нескольким и(х₍) соответствует конечное число степеней свободы;

b)    если стандартной неопределенности оценки какой-либо входной величины X) соответствует конечное число степеней свободы, то эта оценка не зависит от оценок других входных величин;

c)    плотность распределения вероятностей для У может быть аппроксимирована нормальным распределением или масштабированным смещенным /-распределением.

Примечание 1 — Условие а) обеспечивает возможность описания У масштабированным смещенным /-распределением.

Примечание 2 — Условие Ь) связано с тем, что GUM не рассматривает возможность оценивания неопределенности в случае зависимых X ^с конечным числом степеней свободы.

Примечание 3 — Условие с) заведомо выполняется, если каждая случайная величина X, подчиняется нормальному распределению. Оно выполняется также в случае, когда выполнены условия центральной предельной теоремы [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.2)].

Примечание 4 — Способ оценивания неопределенности по GUM не может быть применен, если величина X/, вклад которой в и(у) является доминирующим, не подчиняется нормальному распределению.

5.8    Условия применимости способа оценивания неопределенности по GUM для нелинейных

моделей

5.8.1 Закон трансформирования неопределенностей может быть применен для нелинейных моделей при выполнении следующих условий:

a)    функция f имеет непрерывную производную по компонентам X, вектора X в окрестностях оценок

х;

b)    условие а) справедливо в отношении производных всех порядков, используемых в законе трансформирования неопределенностей;

c)    величины Xj, входящие в значимые члены разложения функции f(X) в ряд Тейлора высших порядков, независимы;

d)    величины X_h входящие в члены разложения функции f[X) в ряд Тейлора высших порядков, подчиняются нормальному распределению;

е)    члены высших порядков, не включенные в аппроксимацию f(X) рядом Тейлора, пренебрежимо малы.

ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК98-3:2008/Дополнение 1:2008

Примечание 1 — Условие а) необходимо для применения закона трансформирования неопределенностей, основанного на аппроксимации f(X) рядом Тейлора первого порядка, когда нелинейность f(X) незначительна [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)].

Примечание 2 — Условие Ь) необходимо для применения закона трансформирования неопределенностей, основанного на аппроксимации f(X) рядом Тейлора более высокого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)]. Выражение для наиболее важных членов более высокого порядка, которые необходимо учесть, приведено в GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)].

Примечание 3 — Условие с) относится к рассматриваемому в GUM случаю, когда в разложении в ряд Тейлора учитываются члены высших порядков, определяемых независимыми X,- [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)]. Возможность учета членов высших порядков, определяемых зависимыми х,-, в GUM не рассматривается.

Примечание 4 — Условие d) представляет собой уточнение утверждения GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)] о том, что закон трансформирования неопределенностей, учитывающий члены высших порядков, основан на предположении о симметричности плотностей распределения вероятностей для X,- [19, 27].

Примечание 5 — Если требуемое для существенно нелинейной функции измерения аналитическое определение частных производных высших порядков представляет трудности или может привести к ошибкам, то допускается применение методов численного дифференцирования с использованием соответствующего программного обеспечения. Как вариант, частные производные могут быть аппроксимированы численно методом конечных разностей [5]. (В GUM приведена формула конечно-разностной аппроксимации для вычисления частных производных первого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание 2 к 5.1.3)].) Однако следует соблюдать осторожность, оперируя конечными разностями для близких значений функции, поскольку погрешности округления чисел при использовании арифметики с конечной точностью способны привести к значительным ошибкам в расчетах.

5.8.2    Интервал охвата может быть определен в соответствии с GUM, если выполнены условия а), Ь) и с), установленные в 5.7.2, а примечание 3 из 5.8.1 заменено на следующее: «Условие с) необходимо для того, чтобы интервал охвата мог быть определен из распределений этих величин».

5.8.3    Если условия 5.8.1 или 5.8.2 выполнены (что справедливо для многих практических ситуаций), то этого обычно достаточно для корректного применения способа оценивания неопределенности по GUM.

5.9 Метод Монте-Карло для этапов трансформирования распределений и получения

окончательных результатов

5.9.1    Метод Монте-Карло обеспечивает получение приближенного численного представления математического объекта G, которым может быть, в частности, функция распределения С_у(т|)дпя [32, стр. 75]. Основным принципом этого подхода является получение повторных выборок из плотностей распределения вероятностей для входных величин X\ и получение соответствующей выборки на выходе модели.

5.9.2    Поскольку G_y(T[) содержит в себе всю известную информацию об У, то на основе приближения G может быть получена аппроксимация любой характеристики У, такой как математическое ожидание, дисперсия или интервал охвата. Качество полученных результатов улучшается по мере увеличения числа выборок.

5.9.3    Математическое ожидание и дисперсия (а также более высокие моменты распределения) могут быть определены непосредственно по выборке на выходе модели. Для определения интервала охвата необходимо предварительно эту выборку упорядочить.

5.9.4    Если у_п г = 1,..., М, представляют собой М значений на выходе модели, взятых независимо из плотности распределения вероятностей для У, то приближенные значения математического ожидания Е(У) и дисперсии V(Y) могут быть получены по этим выборочным значениям у_г. В общем случае все моменты У [включая Е(У) и )/(У)] могут быть аппроксимированы их выборочными значениями. Если обозначить Му^ число значений выборки, не превышающих некоторого произвольно выбранного значения у₀,

то вероятность Рг(У<у₀) можно приближенно определить равной M_v IM. Таким образом по выборке у,

’ о

можно построить ступенчатую функцию, аппроксимирующую функцию распределения G_y(t|).

5.9.5    Каждое значение у_г определяют на основе случайной выборки входных величин X\ из их распределений вероятностей и последующего преобразования этих входных величин моделью измерения. Приближение G, полученное методом Монте-Карло, представляет собой выборочные значения у_п расположенные в строго возрастающем порядке.

Примечание — Существует небольшая вероятность того, что найдутся элементы выборки у_г, совпадающие по значению. В этом случае построить строго возрастающую последовательность можно, внося в совпадающие элементы выборки малые случайные возмущения (см. 7.5.1).

13

5.9.6 Применение метода Монте-Карло для трансформирования распределений схематически показано на рисунке 4 для случая заранее заданного значения М (случай, когда М не задается заранее, рассматривается в 7.9). Поэтапная процедура метода Монте-Карло включает в себя:

a)    выбор числа испытаний /И (см. 7.2);

b)    формирование в каждом из М испытаний Л/-мерного вектора входных величин X_t в соответствии с их законами распределения (см. 7.3);

c)    получение для каждого такого вектора значения У на выходе модели измерения (см. 7.4);

d)    расположение полученных М значений У в строго возрастающем порядке, обеспечивающее построение приближения G (см. 7.5);

Рисунок 4 — Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов оценивания неопределенности методом Монте-Карло

ГОСТ P 54500.3.1—2011/Руководство ИСО/МЭК98-3:2008/Дополнение 1:2008

e)    получение на основе G оценки у для У и ее стандартной неопределенности и{у) (см. 7.6);

f)    построение на основе G интервала охвата для У, соответствующего заданной вероятности охвата р (см. 7.7).

Примечание 1 — Формирование выборки из распределений вероятностей рассматривается в 6.4 и в приложении С.

Примечание 2 — Среднее арифметическое из М значений на выходе модели является случайной величиной с математическим ожиданием Е(У) и дисперсией V(Y)/M. Таким образом, близость среднего арифметического к Е(У) пропорциональна М'^1Й.

Примечание 3 — На этапе е) можно использовать М неупорядоченных реализаций У. Однако для определения интервала охвата на этапе f) значения выборки выходных значений модели необходимо упорядочить.

5.9.7 Эффективность метода Монте-Карло при определении у, и(у) и интервала охвата для Узависит от адекватного выбора числа испытаний М [этап а) в 5.9.6]. Рекомендации по определению достаточного значения М и по другим вопросам реализации метода Монте-Карло приведены в [7] (см. также 7.2 и 7.9).

5.10    Условия применимости метода Монте-Карло

5.10.1    Применение метода Монте-Карло для трансформирования распределений с получением результатов оценивания неопределенности требует выполнения следующих условий:

a)    функция измерения f — непрерывна по всем X) вектора X в окрестности наилучших оценок х,-входных величин Xf,

b)    функция распределения для У непрерывна и строго возрастающая;

c)    плотность распределения вероятностей для У:

1)    непрерывна на интервале, где ее значения строго положительны,

2)    унимодальна (т. е. имеет единственный максимум),

3)    равна нулю или монотонно возрастает слева от моды и монотонно убывает или равна нулю справа

от моды;

d)    Е(У) и V(Y) существуют;

e)    выбранное значение М является достаточно большим.

Примечание 1 — В отличие от требования а) непрерывности самой функции измерения никаких условий на производные этой функции не налагается.

Примечание 2 — Условия а) и Ь) обеспечивают однозначность функции обратной функции распределения и, следовательно, позволяют определить интервал охвата. Если определение интервала охвата не требуется, то необходимым является только условие а).

Примечание 3 — Условие с) необходимо только в случае определения наименьшего интервала охвата. Тогда условие с) обеспечивает единственность наименьшего интервала охвата, соответствующего заданной вероятности охвата. Если мода является граничной точкой интервала, на котором плотность распределения вероятностей отлична от нуля, то одно из двух условий перечисления 3) является лишним.

Примечание 4 — Условие d) необходимо для обеспечения сходимости по вероятности оценок, полученных методом Монте-Карло, при увеличении М (см. 7.2).

Примечание 5 — Условие е) необходимо для обеспечения достоверности результатов оценивания неопределенности (см. 8.2).

5.10.2    Если условия, указанные в 5.10.1, выполнены, то результаты оценивания неопределенности с использованием метода Монте-Карло можно считать достоверными. Эти условия менее жесткие, чем те, выполнение которых необходимо для оценивания неопределенности по GUM (см. 5.7 и 5.8).

5.11    Сравнение способов оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло

5.11.1    Целью подраздела является сравнение принципов, лежащих в основе оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло, используемого для преобразования распределений. В настоящем подразделе приведены некоторые обоснования использования метода Монте-Карло в условиях, когда обоснованность применения способа оценивания неопределенности по GUM остается неясной.

5.11.2    Для сравнения способа оценивания неопределенности по GUM с методом Монте-Карло полезно сделать обзор основных положений GUM, касающихся оценок неопределенности типов А и В. При определении оценки неопределенности типа A GUM позволяет получить наилучшую оценку величины и соответствующей стандартной неопределенности в виде среднего арифметического и выборочного стандартного отклонения, полученных на основе независимых наблюдений. При определении оценки неопределенности типа В используют априорные знания о величине для описания с ее помощью плотности рас-

15

ГОСТ Р 54500.3.1-2011 /Руководство ИСО/МЭК98-3:2008/Дополнение 1:2008

Содержание

1    Область применения........................................ 1

2    Нормативные ссылки........................................ 2

3    Термины и определения...................................... 2

4    Соглашения и условные обозначения................................ 5

5    Общие принципы.......................................... 7

6    Плотности распределения    вероятностей входных величин..................... 17

7    Применение метода Монте-Карло................................. 27

8    Проверка результатов....................................... 33

9    Примеры.............................................. 34

Приложение А (справочное) Историческая справка.......................... 57

Приложение В (справочное) Коэффициенты чувствительности и бюджет неопределенности...... 58

Приложение С (справочное) Формирование выборок из распределений вероятностей........ 59

Приложение D (справочное) Непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины ......................................... 64

Приложение Е (справочное) Интервал охвата для свертки четырех прямоугольных распределений. .    66

Приложение F (справочное) Задача определения коэффициента рассогласования.......... 67

Приложение G (справочное) Основные обозначения ........................ 70

Приложение ДА (справочное) Сведения о соответствии ссылочных международных документов национальным    стандартам Российской Федерации................... 74

Библиография............................................. 75

пределения вероятностей, на основе которых определяют наилучшую оценку величины и соответствующую стандартную неопределенность. В соответствии с GUM оба типа оценок основаны на использовании распределений вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.3.4)] и общепризнанных интерпретаций вероятности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.3.5)]. В подходе GUM оценивание неопределенности подразумевает трансформирование распределений вероятностей, поскольку входной и выходной величинам в нем ставятся в соответствие случайные величины, обладающие своими распределениями вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.6)] (см. также 5.1.2).

5.11.3    В методе оценивания неопределенности по GUM плотность распределения вероятностей выходной величины в явном виде не определяют. Ссылки настоящего стандарта при рассмотрении подхода GUM на распределение выходной величины исходят из того, что существование такого распределения обусловлено смыслом процедуры оценивания.

5.11.4    Метод, устанавливаемый настоящим стандартом, в максимально возможной степени совместим с GUM, особенно в отношении использования плотностей распределения вероятностей для описания всех входящих в модель измерения величин, но может отличаться от него в следующем:

a)    всем входным величинам X/ в явном виде приписаны соответствующие плотности распределения вероятностей (а не стандартные неопределенности оценок х, этих величин) на основе имеющейся информации об этих величинах. Классификация оценок на оценки типов А и В не используется;

b)    вычисление коэффициентов чувствительности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.3)] не является неотъемлемой частью метода, и, следовательно, вычисление или численная аппроксимация частных производных функции измерения по X/ не требуется. Тем не менее, метод позволяет получить приближенные значения коэффициентов чувствительности, которые, однако, не будут соответствовать коэффициентам разложения функции измерения в ряд Тейлора первого порядка, а будут учитывать все члены высшего порядка этого разложения (см. приложение В);

c)    численное представление функции распределения выходной величины У, полностью определяемое видом модели измерения и плотностями распределения вероятностей дляХ), не ограничивается нормальным распределением или масштабированным смещенным /-распределением;

d)    поскольку плотность распределения вероятностей для У не является в общем случае симметричной, интервал охвата для У также не всегда симметричен относительно ее оценки. Следовательно, для выбора интервала охвата, соответствующего заданной вероятности охвата, необходима дополнительная информация.

5.11.5    Так как способ оценивания неопределенности по GUM оперирует только наилучшими оценками X/ и соответствующими стандартными неопределенностями (а также, при необходимости, ковариациями и числами степеней свободы), предоставляемая им информация о выходной величине У ограничена. По существу, он позволяет лишь получить оценку у для У и соответствующую у стандартную неопределенность и(у), а также, в ряде случаев, оценку числа эффективных степеней свободы. Если функция измерения линейна по X, то оценки у и соответствующей неопределенности и(у) будут достоверны. Всю остальную информацию об У, в том числе интервалы охвата, получают на основе дополнительных предположений о виде распределения У (оно является либо нормальным, либо масштабированным смещенным /-распределением).

5.11.6    Метод Монте-Карло обладает следующими преимуществами:

a)    сокращаются аналитические расчеты в случае более сложных или нелинейных моделей, особенно вследствие того, что не требуется определение частных производных первого или более высоких порядков, необходимых для оценки коэффициентов чувствительности в соответствии с законом трансформирования неопределенности;

b)    в общем случае улучшаются оценки У для нелинейных моделей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1.4)];

c)    улучшаются оценки стандартной неопределенности оценки У для нелинейных моделей, особенно когда X/ приписано негауссово (а, например, асимметричное) распределение, без необходимости определения производных высших порядков [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)];

d)    существует возможность построения интервала охвата в соответствии с заданной вероятностью охвата, когда плотность распределения вероятностей для У не может быть адекватно аппроксимирована нормальным распределением или масштабированным смещенным /-распределением, т. е. когда центральная предельная теорема неприменима [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.2.1, G.6.6)]. Аппроксимация нормальным распределением или масштабированным смещенным /-распределением может быть неадекватной, когда (1) распределение, приписанное доминирующей входной величине X/, не является нормальным распределением или масштабированным смещенным /-распределением, (2) функция модели нели-

Введение

0.1 Общие сведения

В настоящем стандарте рассматривается трансформирование распределений для заданной математической модели измерений [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.1.6)] с целью получения оценки неопределенности измерений и реализация этой процедуры методом Монте-Карло. Метод применим к моделям с произвольным числом входных величин и единственной выходной величиной.

Метод Монте-Карло является практической альтернативой способу оценки неопределенности по GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.4.8)]. Метод имеет особое значение, когда:

a)    линеаризация модели не обеспечивает ее адекватного представления;

b)    распределение выходной величины, например вследствие своей выраженной асимметрии, не может быть описано нормальным распределением (распределением Гаусса) или масштабированным смещенным /-распределением.

В случае а) оценки выходной величины и соответствующей стандартной неопределенности, полученные в соответствии с GUM, могут оказаться недостоверными. В случае Ь) при оценке неопределенности могут быть получены недостоверные интервалы охвата (обобщение понятия расширенной неопределенности, используемого в GUM).

GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.4.8)] «...устанавливает общую методологию оценивания неопределенности...», основанную на использовании закона трансформирования неопределенностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (раздел 5)], когда выходная величина подчиняется нормальному распределению или масштабированному смещенному /-распределению [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.2, G.6.4)]. При этом закон трансформирования неопределенностей позволяет учесть неопределенности входных величин и вычислить стандартную неопределенность оценки выходной величины на основе:

1)    наилучших оценок входных величин;

2)    стандартных неопределенностей оценок входных величин;

3)    числа степеней свободы для стандартных неопределенностей оценок входных величин;

4)    всех ненулевых ковариаций пар этих оценок.

Кроме того, полученная плотность распределения вероятностей выходной величины позволяет определить для выходной величины интервал охвата с заданной вероятностью.

Наилучшие оценки входных величин, их стандартные неопределенности, ковариации и числа степеней свободы представляют собой ту информацию, которая необходима для применения метода расчета неопределенности по GUM. Метод, устанавливаемый настоящим стандартом, основан на использовании плотностей распределения вероятностей входных величин для последующего расчета плотности распределения вероятностей выходной величины.

В то время как для применения способа оценивания неопределенности по GUM существуют некоторые ограничения, трансформирование распределений всегда позволяет получить плотность распределения вероятностей выходной величины на основе распределений входных величин. Плотность распределения вероятностей выходной величины представляет собой выражение знания об этой величине, полученного на основе знаний о входных величинах в виде сопоставленных им распределений. После получения плотности распределения вероятностей выходной величины могут быть определены математическое ожидание, используемое в качестве оценки выходной величины, и стандартное отклонение, используемое в качестве стандартной неопределенности этой оценки. Кроме того, плотность распределения вероятностей может быть использована для получения интервала охвата для выходной величины, соответствующего заданной вероятности.

Использование плотностей распределения вероятностей в соответствии с настоящим стандартом в основном согласуется с принципами GUM. Плотность распределения вероятностей величины отражает состояние знаний об этой величине, т. е. она численно определяет степень доверия тем значениям, которые могут быть приписаны упомянутой величине на основе доступной информации. Информация обычно состоит из необработанных статистических данных, результатов измерения, научных выводов, профессиональных суждений.

Для построения плотности распределения вероятностей случайной величины на основе наблюдений может быть применена теорема Байеса [27, 33]. Информация о систематических эффектах может быть преобразована в соответствующую плотность распределения вероятностей на основе принципа максимума энтропии [51,56].

ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008

Трансформирование распределений имеет более широкую область применения, чем способ оценивания неопределенности по GUM. Метод трансформирования распределений использует более обширную информацию, чем та, что содержится в наилучших оценках и соответствующих стандартных неопределенностях (а также в числах степеней свободы и ковариациях).

Исторический обзор приведен в приложении А.

Примечание 1 — В GUM рассматривается случай, когда линеаризация модели измерения неприменима [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)]. Однако это рассмотрение ограничено использованием только основных нелинейных членов в ряде Тейлора для функции измерения, а также предположением о нормальности распределения входных величин.

Примечание 2 — Строго говоря, в GUM /-распределение описывает не выходную величину У, а величи-ну (У - у)1и(у) [точнее, как указано в GUM, (у - У)/и(у)], где у — оценка У, и(у) — стандартная неопределенность оценки у [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.3.1)]. Такое представление использовано и в настоящем стандарте.

Примечание 3 — Плотность распределения вероятностей не следует понимать в смысле частотного описания вероятности.

Примечание 4 — «Оценивание неопределенности нельзя рассматривать как типовую задачу, требующую применения стандартных математических процедур. От пользователя требуется детальное знание природы измеряемой величины и процедуры измерения. Поэтому качество оценки неопределенности, приписанной результату измерений, зависит, в конечном счете, от понимания, критического анализа и профессиональной добросовестности всех лиц, принимающих участие в ее получении» [17].

0.2 Основные сведения о JCGM

В 1997 г. семью международными организациями, подготовившими в 1993 г. «Руководство по выражению неопределенности измерения» (GUM) и «Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины» (VIM), был образован Объединенный комитет по руководствам в метрологии (JCGM), возглавляемый директором Международного бюро мер и весов (МБМВ), который принял на себя ответственность за указанные документы от Технической консультативной группы по метрологии (ИСО/ТАГ 4).

Учредителями JCGM, помимо МБМВ, являются Международная электротехническая комиссия (МЭК), Международная федерация клинической химии и лабораторной медицины (МФКХ), Международное сотрудничество по аккредитации лабораторий (ИЛАК), Международная организация по стандартизации (ИСО), Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК), Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП) и Международная организация по законодательной метрологии (МОЗМ).

В рамках JCGM созданы две Рабочие группы (РГ). Задачей РГ 1 «Выражение неопределенности измерения» является содействие использованию Руководства (GUM), подготовка дополнений к Руководству и иных документов, способствующих его широкому применению. Задачей РГ 2 «Рабочей группы по Международному словарю основных и общих терминов в метрологии (VIM)» является пересмотр VIM и содействие его применению. Более подробную информацию о деятельности JCGM можно найти на сайте www.bipm.org.

Дополнения к GUM, подобные тому, что положен в основу настоящего стандарта, имеют целью распространить руководство на те аспекты, которые в этом руководстве в полной мере не отражены. При этом, однако, разрабатываемые дополнения соответствуют, насколько это возможно, общей методологии, изложенной в GUM.

V

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ Часть 3

Руководство по выражению неопределенности измерения Дополнение 1

Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло

Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement. Supplement 1. Propagation of distributions using a Monte Carlo method

Дата введения — 2012—10—01

1 Область применения

В настоящем стандарте установлен численный метод, согласующийся с основными принципами GUM [Руководство ИСО/МЭК98-3 (G.1.5)] и предназначенный для получения оценки неопределенности измерения. Этот метод может быть применен к любым моделям, имеющим единственную выходную величину, в которых входные величины характеризуются любыми заданными функциями распределения вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.4, G.5.3)].

Также как GUM, настоящий стандарт посвящен вопросам определения выражения для неопределенности измерения хорошо определенной физической величины, характеризуемой единственным значением [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (1.2)].

В настоящем стандарте установлены также методы, применимые в ситуациях, когда условия применения способа расчета неопределенности по GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.6)] не выполняются или информация об их выполнении отсутствует. Стандарт также может быть применен в ситуациях, когда возникают трудности при оценке неопределенности по GUM, например вследствие сложности модели. Методы изложены в виде, облегчающем их программирование для расчетов на компьютере.

Настоящий стандарт может быть использован для определения плотности распределения вероятностей выходной величины, что позволяет получить:

a)    оценку выходной величины;

b)    стандартную неопределенность, ассоциированную с этой оценкой;

c)    интервал охвата для выходной величины, соответствующий заданной вероятности охвата.

При заданных (i) модели, описывающей взаимосвязь входных величин с выходной величиной, и (ii) плотностях распределения вероятностей входных величин существует единственная плотность распределения вероятностей выходной величины. Как правило, последняя не может быть определена аналитически. Настоящий стандарт позволяет определить величины, указанные в перечислениях а), Ь) и с) с приемлемой точностью, не используя приближений, которые нельзя оценить количественно.

Настоящий стандарт позволяет получить интервал охвата для заданной вероятности охвата, в том числе вероятностно симметричный и наименьший интервалы.

Настоящий стандарт применим к статистически независимым входным величинам с соответствующими функциями плотности распределения вероятностей, а также к статистически зависимым случайным величинам, описанным совместной плотностью распределения.

Как правило, настоящий стандарт применяют в случаях, когда:

-    вклад разных составляющих неопределенности может быть существенно неодинаков [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.2.2)];

-    трудно или неудобно находить частные производные от функции измерения, как того требует закон трансформирования неопределенностей;

-    распределение выходной величины нельзя считать ни нормальным, ни масштабированным смещенным /-распределением [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.5)];

Издание официальное

-    оценка выходной величины и соответствующая стандартная неопределенность имеют приблизительно одинаковое значение [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.2.1)];

-    модель является достаточно сложной [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)];

-    плотности распределения вероятностей входных величин асимметричны [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.5.3)].

Прежде чем применять метод, установленный настоящим стандартом, рекомендуется проверить, позволяют ли условия измерительной задачи использовать способ оценивания неопределенности по GUM. Если условия позволяют, то основным методом расчета остается оценивание неопределенности способом, установленным в GUM.

Значение для неопределенности измерений, как правило, достаточно приводить с одной или двумя значащими цифрами. Методы, установленные настоящим стандартом, позволяют получить оценки с указанной точностью.

Применение стандарта иллюстрировано подробными примерами.

Настоящий стандарт служит дополнением к GUM и должен быть использован вместе с ним. Он не исключает использования других методов расчета неопределенности, не противоречащих GUM.

Примечание 1 — Настоящий стандарт неприменим к моделям, описываемым многозначными функциями (например, в виде решения квадратного уравнения без указания, какой из корней должен быть выбран).

Примечание 2 — В настоящем стандарте не рассмотрен случай, когда априорно известна плотность распределения вероятностей выходной величины, однако установленный в нем метод может быть модифицирован и для этой ситуации [16].

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие документы:

Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения (GUM: 1995) [ISO/IEC Guide 98:2008, Uncertainty of measurement—Part3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM: 1995)]

Руководство ИСО/МЭК 99:2007 Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM) [ISO/IEC Guide 99:2007 International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM)]

3    Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по Руководству ИСО/МЭК 98-3 и Руководству ИСО/МЭК 99, некоторые из которых (при необходимости, модифицированных) приведены в настоящем разделе.

Обозначения, использованные в настоящем стандарте, приведены в приложении G.

3.1    распределение (вероятностей) (probability distribution): Функция, устанавливающая вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к заданному множеству значений.

Примечание — Сумма вероятностей принятия случайной величиной всех возможных значений равна 1.

[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.3, Руководство ИСО/МЭК 98-3, словарная статья С.2.3]

Примечание 1 — Распределение вероятностей называется одномерным, если оно описывает поведение единственной (скалярной) случайной величины, и многомерным, если оно описывает поведение вектора случайных величин. Многомерное распределение вероятностей описывается также совместным распределением этих случайных величин.

Примечание 2 — Распределение вероятностей может быть представлено в виде функции распределения и плотности распределения вероятностей.

3.2    функция распределения (вероятностей) (distribution function): Функция, устанавливающая для каждого значения В, вероятность того, что случайная переменная X меньше или равна £:

G_x(k) = Рг(Х<^).

[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.4; Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008, словарная статья С.2.4] ¹

3.9    момент порядка г (moment of order г): Математическое ожидание r-й степени случайной величины

E(X^r) = ⁺f £,^гд_х(В,№

Примечание 1 — Центральным моментом порядка г является математическое ожидание случайной величины Z=[X- Е(Х)]^Г.

Примечание 2 — Математическое ожидание Е(Х) представляет собой момент первого порядка. Дисперсия V(X) является центральным моментом второго порядка.

3.10    ковариация (covariance): Характеристика двух случайных величин, которая в случае непрерывных случайных величин Xf иХ₂ с совместной плотностью распределения д_х(о), где Х= (Х_ЬХ₂)^Т, о = Й1, В,₂)^т имеет вид

Cov(X₁,X₂)= J \[%,-Е{Х,)][%₂-Е{Х₂)]д_х{о)6%&₂.

Примечание — Не все пары случайных величин имеют ковариацию.

3.11 матрица неопределенности (uncertainty matrix): Матрица размерности N ■ N, на главной диагонали которой расположены квадраты стандартных неопределенностей, соответствующих оценкам-компонентам векторной величины размерности N, а остальные элементы представляют собой ковариации для соответствующих оценок.

Примечание 1 — Матрица неопределенности U_x размерности N ■ N, соответствующая вектору оценок х векторной величины X, имеет вид:

и{х_ьх^) . . . и(х_ьх_N)

и_х =

u(x_N,xi) . . . u{x_N,x_N)

где u(Xj, Xj) = u²(Xj) — дисперсия (квадрат стандартной неопределенности) оценки х,;

u(Xj, Xj) — ковариация х,- и Ху; и(х,-, Ху) = 0, если элементы X) и Xj вектора X некореллированны.

Примечание 2 — Ковариации также можно трактовать как совместные неопределенности.

Примечание 3 — Матрицу неопределенности также называют матрицей ковариаций или дисперсионно-ковариационной матрицей.

3.12    интервал охвата³* (coverage interval): Интервал, построенный на основе имеющейся информации и содержащий значение случайной величины с заданной вероятностью.

Примечание 1 — Интервал охвата иногда называют байесовским интервалом.

Примечание 2 — В общем случае для заданной вероятности существует более одного интервала охвата.

Примечание 3 — Интервал охвата не следует называть доверительным интервалом, чтобы избежать путаницы с термином, имеющим строгую статистическую интерпретацию [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (6.2.2)].

Примечание 4 — Данное определение отличается от определения, приведенного в Руководстве ИСО/МЭК 99, поскольку в настоящем стандарте не использован термин «истинное значение» по причинам, изложенным в GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (Е.5)].

3.13    вероятность охвата (coverage probability): Вероятность того, что значение случайной величины находится в границах интервала охвата.

Примечание — Вероятность охвата иногда называют уровнем доверия [Руководство ИСО/МЭК 98-3

(6.2.2)].

ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК98-3:2008/Дополнение 1:2008

3.14    длина интервала охвата (length of a coverage interval): Разность наибольшего и наименьшего значений интервала охвата.

3.15    вероятностно симметричный интервал охвата (probabilistically symmetric coverage interval): Интервал охвата, для которого вероятность того, что значение случайной величины меньше наименьшего значения (нижней границы) интервала охвата, равна вероятности того, что значение случайной величины больше наибольшего значения (верхней границы) интервала.

3.16    наименьший интервал охвата (shortest coverage interval): Интервал охвата, имеющий наименьшую длину среди всех возможных интервалов охвата для данной случайной величины с одинаковой вероятностью охвата.

3.17    трансформирование распределений (propagation of distributions): Метод, используемый для определения функции распределения выходной величины на основе функций распределения входных величин, от которых выходная величина зависит функционально.

Примечание — Метод может быть аналитическим или численным, точным или приближенным.

3.18    способ оценивания неопределенности по GUM (GUM uncertainty framework): Применение закона трансформирования неопределенностей и описание выходной величины с помощью нормального распределения или масштабированного смещенного f-распределения, по которым может быть рассчитан соответствующий интервал охвата.

3.19    метод Монте-Карло (Monte Carlo method): Метод трансформирования распределений на основе моделирования случайных выборок из этих распределений.

3.20    предел погрешности вычисления (numerical tolerance): Половина длины наименьшего интервала, содержащего все числа, отражающие результат вычислений, которые могут быть корректно представлены заданным числом значащих цифр.

Пример—При использовании в представлении результата вычисления двух значащих цифр записи 1,8 соответствуют все числа более 1,75 и менее 1,85. Тогда предел погрешности вычисления будет равен (1,85 - 1,75)12 = 0,05.

Примечание — Расчет предела погрешности вычисления — см. 7.9.2.

4 Соглашения и условные обозначения

В настоящем стандарте использованы следующие соглашения и условные обозначения.

4.1 Математическая модель измерения [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1)] одномерной (скалярной) величины может быть представлена в виде функции f:

Y=f(X),    (1)

где У— выходная скалярная величина, а X— вектор N входных величин (Х_ь ..., X_W)^T. Каждая величина X) рассматривается в качестве случайной величины, принимающей значения с математическим ожиданием хУ — случайная величина, принимающая значения т|, с математическим ожиданием у.

Примечание 1 — В настоящем стандарте один и тот же символ использован для физической величины и случайной величины, которая эту величину представляет [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1.1, примечание 1)].

Примечание 2 — Хотя многие модели измерений могут быть представлены формулой (1), более общим представлением является

/7(У,Х) = 0,

где X и У связаны между собой неявной функцией. В любом случае для применения метода Монте-Карло достаточно, чтобы каждому допустимому X было поставлено в соответствие значение У.

4.2 Настоящий стандарт отступает от обозначений, часто используемых для обозначения плотностей распределения вероятностей и функций распределения [24]. В GUM одно и тоже обозначение f использовано как для функции измерения, так и для плотности распределения вероятностей, чем создается некоторая путаница. Поскольку в настоящем стандарте моделям уделено особое внимание, для плотности распределения вероятностей и функции распределения вместо обозначений f и F использованы, соответ- ⁴

1

2

ности.

3

* В отечественных нормативных документах интервал охвата иногда называют интервалом неопределен

4