Сертификация: тел. +7 (495) 175-92-77
Стр. 1
 

47 страниц

517.00 ₽

Купить официальный бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее

Официально распространяем нормативную документацию с 1999 года. Пробиваем чеки, платим налоги, принимаем к оплате все законные формы платежей без дополнительных процентов. Наши клиенты защищены Законом. ООО "ЦНТИ Нормоконтроль".

Наши цены ниже, чем в других местах, потому что мы работаем напрямую с поставщиками документов.

Способы доставки

  • Срочная курьерская доставка (1-3 дня)
  • Курьерская доставка (7 дней)
  • Самовывоз из московского офиса
  • Почта РФ

Устанавливает методы, применяемые для:

- оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;

- проверки гипотез относительно значений этих параметров;

- оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

- элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10% объема генеральной совокупности;

- наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако, если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок

Оглавление

1 Область применения

2 Нормативные ссылки

3 Термины и определения

4 Обозначения

5 Общие требования

6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности

7 Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности

8 Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале

Приложение А Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения

Приложение Б Таблица значений квантилей распределения Стьюдента

Приложение В Таблица значений квантилей распределения

Приложение Г Таблица значений квантилей распределения Фишера

Показать даты введения Admin

Страница 1

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ И МЕТРОЛОГИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ

ГОСТР

[ ЙРТ Т ] СТАНДАРТ

50779.21 —

J российской

2004

ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Ч а с т ь 1

Нормальное распределение

Издание официальное

Москва ИПК Издательство стандартов

Страница 2

ГОСТ Р 50779.21-2004

Предисловие

1    РАЗРАБОТАН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

2    ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 12 января 2004 г. N? 3-ст

4    Настоящий стандарт разработан с учетом основных нормативных положений международного стандарта ИСО 2854:1976 «Статистическое представпение данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях» (ISO 2854:76 «Statistical interpretation of data — Techniques of estimation and tests relating to means and variance», NEQ)

5    ВЗАМЕН ГОСТ P 50779.21—96

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе «Национальные стандарты», а текст этих изменений — в информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе «Национальные стандарты»

© ИПК Издательство стандартов. 2004

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Госстандарта России

Страница 3

ГОСТ Р 50779.21-2004

Содержание

1    Область применения..............................................................................................................................1

2    Нормативные ссылки.............................................................................................1

3    Термины и определения....................................................................................2

4    Обозначения............................................................................................................................................2

5    Общие требования..................................................................................................................................3

6    Точечное и интервальное оценивание математического    ожидания генеральной совокупности ..    4

7    Точечное и интервальное оценивание дисперсии    генеральной совокупности................................13

8    Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном

интервале................................................................................................................................................16

Приложение А    (справочное)    Таблица    значений функции стандартного нормального закона распределения ......................................................................................................................25

Приложение Б    (справочное)    Таблица    значений квантилей распределения Стьюдента..................27

Приложение В    (справочное)    Таблица    значений квантилей х * распределения................................28

Приложение Г    (справочное)    Таблицы    значений квантилей распределения Фишера........................30

Страница 4

ГОСТ Р 50779.21-2004

Введение

Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.

В стандарте изложены методы решения следующих задач:

а)    точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;

б)    точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;

в)    интервального (доверительного) оценивания параметров нормального распределения и доли распределения;

г)    проверки гипотез об этих же величинах.

Все процедуры, приведенные в стандарте, используют ограниченный ряд статистически независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т. п.

IV

Страница 5

ГОСТ Р 50779.21-2004

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Ч а с т ь 1 Нормальное распределение

Statistical methods. Determination rules and methods for calculation of statistical characteristics based on sample data.

Part 1. Normal distribution

Дата введения — 2004—06—01

1    Область применения

Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:

-    оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности:

-    проверки гипотез относительно значений этих параметров;

-    оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.

Примечание — Вероятность попадания случайной величины в интервал равна допе распредепения спучайной величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие «доля распределения случайной величины в интервале», которое далее применено в настоящем стандарте.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

-    элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10 % объема генеральной совокупности;

-    наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1—93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2—93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю «Национальные стандарты», составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссыпку.

Издание официальное

1

Страница 6

ГОСТ Р 50779.21-2004

3 Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1    точечное оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде одного численного значения;

3.2    интервальное (доверительное) оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде доверительного интервала;

3.3    доверительный интервал: Интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее 1—а (где 1 — а — доверительная вероятность).

Примечание — Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним;

3.4    нулевая гипотеза: Предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным.

Примечание — В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.

4 Обозначения

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

р — математическое ожидание нормального закона распределения (среднее значение генеральной совокупности, далее — среднее значение): Но — известное значение параметра р;

Р,,Р2 — математические ожидания для двух различных генеральных совокупностей;    _

р“ — точечная оценка параметра р; р = к цм, pt — верхняя и нижняя доверитепьные границы параметра р;

(р, — р2)Л — точечная оценка разности значений параметров р, и р2;

а — стандартное (среднеквадратичное) отклонение нормально распределенной случайной вепичины;

D — дисперсия генеральной совокупности; D = a2;

D0 — известное значение дисперсии генеральной совокупности. D0 = о \; а0 — известное численное значение параметра о;

°01- °02 — известные значения параметров о, и о2 для двух генеральных совокупностей;

сI — точечная оценка параметра а. а = S; аы. aL — верхняя и нижняя доверитепьные границы параметра о;

D — точечная оценка дисперсии;

х — выборочное значение наблюдаемой случайной величины: х, — выборочное значение случайной величины из первой генеральной совокупности;

х2 — то же. из второй генерапьной совокупности; п, пип2 — объемы выборок;

”, ~и ~2 — среднеарифметические значения (выборочные средние);

выборочное стандартное (среднеквадратичное) отклонение;

_ >• — ■ V < П - 1)

S,. S2 — то же для двух выборок соответственно;

а — риск первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна): (1 —а) — уровень значимости при проверке гипотез, а также доверительная вероятность 0 < и < 1;

2

Страница 7

ГОСТ Р 50779.21-2004

v — число степеней свободы; ui_u. u,_(tl2 — квантили стандартного нормального закона распределения уровней 1 — а и 1 — а/2 соответственно;

^i_e(v). f,_a.2(v) — квантили распределения Стьюдента с v степенями свободы уровней 1 — и и 1 — а/2 соответственно;

Fi_e(vitv2) — квантиль распределения Фишера с v, и v2 степенями свободы уровня 1 — а;

X1    (у)-    X    ?    _а,2    (V)-    X    1,2    М    ~    квантили X 2 распределения с v степенями свободы уровней 1 — а,

1 — а/2 и а/2 соответственно;

L, М — нижняя и верхняя границы интервала соответственно;

р — доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданный интервал [L М ];

q — доля распределения (вероятность попадания) случайной величины вне интервала [L М ], причем q + р = 1;

'p.q' — точечные оценки р и q:

Pi. — нижние односторонние доверительные границы для р и q; рм. qu — верхние односторонние доверительные границы для р и р;

С — случайное событие: например, попадание случайной величины в заданный интервал;

Prob{C} — вероятность случайного события С;

Lx — сумма выборочных значений.

5 Общие требования

5.1    Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:

-    точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;

-    точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;

-    точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.

5.2    Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6. 7. 8). включающие в себя:

1)    статистические и исходные данные;

2)    определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б. В. Г), а также проведение вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;

3)    результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.

5.3    Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6. 7. 8 примерами.

5.4    Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.

5.5    Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).

Номера таблиц разделов 6.7.8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.

Страница 8

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица 5.1 — Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения (раздел 6)

Задача оценки среднею значения

Номер таблицы

О известна

О

неизвестна

Оценка среднего

6.1

6.2

Сравнение среднего значения с заданным значением

6.3

6.4

Сравнение двух средних

6.5

6.6

Оценка разности двух средних

6.7

6.8

Таблица 5.2 — Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии (раздел 7)

Задача оценки дисперсии

Номер таблицы

Оценка дисперсии

7.1

Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением

7.2

Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений

7.3

Таблица 5.3 — Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале (раздел 8)

Номер таблицы

О известна

О неизвестна

8.2

8.3

Таблица 5.4 — Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале (раздел 8)

Заданные границы интервала

Искомая величина

Номер таблииы

L

Pi- <*и

8.4

М

Pl■ Чи

8.5

L. М

Pl• %

8.6

L

Ри■ Ql

8.7

М

Ри• Ql

8.8

LJA

Ри- Ql

8.9


5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.

6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности

6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.

4

Страница 9

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица 6.1 — Оценка среднего значения при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Обьем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

1х =

3    Известное значение дисперсии:

4    Выбранная доверительная вероятность:

1 —а =

1    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 —а):

"1-а =

2    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 —0/2):

иЛ—аП ~

3    Вычисляем:

4    Вычисляем:

N П

5    Вычисляем:

к2 = \аП =

2 V п

Результаты

1    Точечная оценка параметра ц:

»Г=х =

2    Двусторонний симметричный доверительный интервал для Ц:

x-K2a0^iix^K2aQ.

3    Односторонние доверительные интервалы для ц:

(1 S * + К,с0 или ц 2 х — К,оп.

Примечание — Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Примеры

1    Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки р требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения р или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение р. Интервал может быть:

•    двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать р;

- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что р не выше какого-то значения;

•    односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что р не ниже какого-то значения.

2    Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок — как в примере 1.

3    Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т. е. известным параметром a2g), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки р. Условие и возможные типы оценок — как в примере 1.

6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.

5

Страница 10

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица 6.2 — Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Объем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

1х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

1x2 =

4    Степени свободы:

V = л — 1 =

5    Выбранная доверительная вероятность:

1 —о =

1    Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 —«) с v степенями свободы:

*1_a(v) =

2    Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 — а/2) с v степенями свободы:

3    Вычисляем:

4    Вычисляем:

Е < х х )* Z х 2 - <£ х?/п л - 1 л - 1

5    Вычисляем:

6    Вычисляем:

А V/»

7    Вычисляем:

•ч Л

Результаты

1    Точечная оценка параметра ц:

ц = х =

2    Точенная оценка параметра D:

0 = S2 =

3    Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра ц:

х—/2SS ц £ х + /2 S.

4    Односторонние доверительные интервалы для параметра ц:

|i£x + /|S или (1)

M2 7-/,S. (2)

Примечание — Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б. 1 приложения Б.

Примеры — Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.

6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением ц,, при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.

6

Страница 11

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица 6.3 — Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением ц0 при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Объем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

1х =

3    Заданное значение:

йо =

4    Известное значение дисперсии генеральной совокупности:

‘’S-

ИЛИ стандартного отклонения:

°0 =

5    Выбранный уровень значимости:

а =

1    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 — а):

“1-а =

2    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 — о/2):

ui—ев “

3    Вычисляем:

1 _

X = —IX = п

Результаты

Сравнение выборочного среднего значения х с заданным значением ц0:

1    В двустороннем случае:

Предположение равенства вьяэорочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 * ~ Mo I > I °i . a/2/lJ ^ 1 ao -

2    В одностороннем случае:

а)    предположение о том. что выборочное среднее не менее чем но (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

*<м0-1и1_а/чл 1°°:

б)    предположение о том. что выборочное среднее не более чем Цо (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

x>Mo + K_a/Vn ]<т0.

Примечание — Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Пример — Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т. е. значение о* известно.

Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.

6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением р0 при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.

7

Страница 12

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица 6.4 — Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением Цо при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Объем выборки:

л =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

1х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

2 =

4    Заданное значение:

Мо =

5    Степени свободы:

V = л — 1 =

6    Выбранный уровень значимости:

а =

1    Квантиль распредепения Стьюдента уровня (1 — о) с v степенями свободы:

'1—«<v) =

2    Квантиль распредепения Стьюдента уровня (1 — «У2 с v степенями свободы:

*1—012 М “

3    Вычисляем:

х=—Ех=

Л

4    Вычисляем:

К* х)1 I х 2 - <1 Х|2/л п 1 л - 1

5    Вычисляем:

Результаты

Сравнение выборочного среднего значения х с заданным значением и0:

1    В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

I * - М 0 I > 1 *1 _ e/2 (vWblS.

2    В одностороннем случае:

а)    предположение о том. что выборочное среднее не менее чем ц0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

(vWп ] S;

б)    предположение о том. что выборочное среднее не более чем ц0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

х>ц0 + 1', (v)/Vf? 1 S.

Примечание — Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Примеры

1    То же. что в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.

2    Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.

Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.

То же — при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же — при продаже тканей в магазинах и т. п.

6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.

8

Страница 13

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица 6.5 — Сравнение двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях

Статистические к исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая Вторая выборка выборка

1    Обьем выборки: п, = п2 =

2    Сумма значений наблюдаемых величин: I х, = I х2 =

3    Известные значения дисперсий генеральных совокупностей: 02)= <т q2 =

4    Выбранный уровень н_ значимости:

1    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 — а):

°1-* =

2    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1— а/2):

3    Вычисляем:

х1~“~ • Х2"“~

4    Вычисляем:

#4 -

Результаты

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1    В двустороннем случае:

Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

l*1-*2l>«',-~2<V

2    В одностороннем случав:

а)    предположение о том, что первое среднее не менее второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б)    предположение о том, что первое среднее не более второю (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

*1 > *2 + - о •

Примечание — Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Примеры

1    Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т. е. известны параметры оС1 и о02. Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение — параметр данного технологического процесса.

2    Требуется определить, одинаково ли среднее значение — параметр содержания кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т. е. дисперсии) для каждого из двух заводов.

6.6 Алгоритм решения задами сравнения двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.

9

Страница 14

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица 6.6 — Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях

Статистичесхие и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая Вторая выборка выборка

1    Объем выборки: л, = п2 =

2    Сумма значений наблюдаемых величин: £ х, = 1 х2 -

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: £** = 2=

4    Степени свободы: v = п, + п2 — 2 =

5    Выбранный уровень а_ значимости:

1    Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 — а) с v степенями свободы:

2    Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 — а/2) с v степенями свободы:

',-ади =

3    Вычисляем:

I ж, I х3 *4 =~= ' *2=~ =

4    Вычисляем:

I (х, - х,)2 -1 (х2 -X# =

= I х * +1X*-± (X х,Я --f- (I %)* =

* •?« /?j

5    Вычисляем:

. /щ, +■ п2) £ IX, - X,)1 * I |Х2 Х2>*

а V п, л. + п, 2

Результаты

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1    В двустороннем случае:

а) предположение о том. что средние ц, и ц2 совпадают (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

2    В одностороннем случае:

а)    предположение о том. что г р2 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

*12-*1 -o«v>S<J-

б)    предположение о том. что ц, £ ц2 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

X1>X2 + f1-«(V>Stf-

Примечание — Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Примечание — Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.

Примеры

1    Примеры те же, что для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем применение задач по 6.5, т. к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.

2    Пример 2 по 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.

10

Страница 15

ГОСТ Р 50779.21-2004

6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.

Таблица 6.7 — Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая Вторая выборка выборка

1    Обьем выборки: л, = л2 =

2    Сумма значений наблюдаемых величин: I х, = I х2 =

3    Известное значение дисперсий генеральной совокупности: ° 01 = ст ог =

4    Выбранный уровень значимости:

тогда доверительная вероятность равна 1 — « =

1    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 — а):

“1-а =

2    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 — а/2):

Ц1—иЛ =

3    Вычисляем:

I х, £ х2 1 ~ ■ 2 ~

4    Вычисляем:

* V *». 2

Результаты

1    Точечная оценка равности между средними значениями параметров ц, и ц2 для двух совокупностей:

<M,-n2r = x,-V

2    Односторонний доверительный интервал для разности <ц, — ц2):

(Ц, — М2) < (х, - х2) + и,_„о, или (M1-H2}>(x1-X2)-Ol_eod.

3    Двусторонний доверительный интервал для разности (ц, — н2):

(X, - х2) - и, _ о, 2 od< (ц, - ц2) < (х, - х2) + и, _ {1/2 о„.

4    Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 *, ~*2 1 1 -ov2°d •

Примечание — Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

Пример — Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.

Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т. п.

Страница 16

ГОСТ Р 50779.21-2004

6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных. но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.

Таблица 6.8 — Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных" дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая Вторая вьйорка выборка

1    Объем выборки: л, = п2 =

2    Сумма значений наблюдаемых величин: I х, = I х2 =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых вели-

Чин: VX2= 1х2 =

4    Степени свободы: v = л, + л2 — 2 =

5    Выбранная довери- ^_ а _

тельная вероятность:

1    Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 — ос) с v степенями свободы:

fi—«<v> =

2    Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 — а/2) с v степенями свободы:

И =

3    Вычисляем:

xi . _ ” хг

1 ~ л. ~ ’ 2 ~ ” “

4    Вычисляем:

£(х, -х,)2-£(х22)2 =

5    Вычисляем:

^ г /'",♦"»> К1, a V п, п} п, - п2 2

Результаты

1    Точечная оценка равности между средними значениями параметров щ и ц2 для двух совокупностей:

(ц,—ц2)л = х,-х2.

2    Двусторонний доверительный интервал для разности (ц, — ц2):

(х, - х2) - f, _ e/2 <v) S, < (ц, - ц2> < (х, - х2) + f, . e/2 (v) Sa .

3    Односторонний доверительный интервал для разности (ц, — ц2):

(Mi — Ц2) < (*1 -*2) + t 1 - a <v> Sa или

fo, — ц2) > (Х1 - *г) “ *1 - а (v> sa ■

Примечание — Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Пример — Пример тот же, что в 6.7, но дисперсии неизвестны. Применение этих оценок может встречаться чаще, чем применение оценок по 6.7, т. к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.

1

Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.

Страница 17

ГОСТ Р 50779.21-2004

7 Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности

7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.

Таблица 7.1 — Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Обьем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

£ х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

1x2 =

4    Степени свободы:

V = п—1 =

5    Выбранная доверительная вероятность:

1 —а =

1 Квантили х 2 распределения с v степенями свободы уровней а, (1—а), а/2 и (1—ос/2) соответственно:

x«<v> =

X 1 - о <v)=

Xl2 <v>=

X?-0,2<V> =

3    Вычисляем:

I(x-x)2 = Ix2-{Ix)2/n =

4    Вычисляем:

I (Х-Х)7

n 1

Результаты

1    Точечные оценки дисперсии 0 и стандартного отклонения о генеральной совокупности:

0 = S 2; oWS7 .

2    Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии СУ.

£ (х ••хр _ £ (х ■ ж)2 -<D<—r.-.

x:,a<v>

3    Односторонний доверительный интервал* для дисперсии 0:

р>Щх—i!_- о 2 или (3)

X 1. „ <v> L

D<u*_*l=o2 (4) x * (VI u

* Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения о являются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсии D.

Примечание — Квантили х 2 распределения определяют по таблице В.1 приложения В.

Примеры

1    Оценка точности (среднее значение величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.

2    Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температура в печи).

Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то определяется точечная оценка о2 или a, а если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то определяют интервальную оценку о2 или а с верхней доверительной границей.

13

Страница 18

ГОСТ Р 50779.21-2004

7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.

Таблица 7.2 — Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантили х 2 распределения с v степенями сво

п =

боды уровней а, (1 — а), а/2 и (1 — а/2) соот

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

ветственно:

1х =

Х>> =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых

X?.„(v) =

величин:

Zx2 =

Xl2<v) =

4 Заданное значение:

XL«/2<V) =

о о = °о =

2 Вычисляем:

5 Степени свободы:

I (х - х)2 = £ х2 - (I xf/n =

V = п — 1 =

3 Вычисляем:

6 Выбранная доверительная вероятность:

I <x • x)2

ы =

al

Результаты

Сравнение дисперсии D с заданным значением о* или сравнение стандартного отклонения о с заданным

значением о0:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза)

отклоняется, если:

£ и XI2 ,

I <X - X)2 ,

<X«-2(V)ШИ

p >Z l-u/2 (V)-0

2 Односторонний случай:

а) предположение о том. что дисперсия (стандартное отклонение) не более заданного значения (нулевая

гипотеза) отклоняется, если:

IIX - х)2 , . .

-Г"1-(УК

0

б) предположение о том. что дисперсия (стандартное отклонение) не менее заданного значения (нулевая

гипотеза) отклоняется, если:

£ (х ■ хИ , . .

—-р—<х£)» 0

Примечание — Квантили у_2 распределения определяют по таблице В.1 приложения В.

Примеры

1    Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т. е. известным параметром о0 ) другого оборудования или технологического процесса.

2    Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т. е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением Оц •

14

Страница 19

ГОСТ Р 50779.21-2004

7.3 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.

Таблица 7.3 — Сравнение дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая Вторая выборка выборка

1    Обьем выборки: п, = л2 =

2    Сумма значений наблюдаемых величин: I X, = I х2 =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: £Х2- IX j =

4    Степени свободы:

v, = л, - 1 = : v2 = п2 — 1 =

5    Выбранный уровень значимости:

a =

1    Вычисляем:

I(x, -x,)2 = Ix2--^-iIx,)2 =

I(x2-x2)2 = Ix2--jJ-(Ix2)2 =

2    Вычисляем:

Si-' л,-1 "

S* *<*■ V*-2 i>a-1

3    Квантили распределения Фишера:

^.0,2 <V1-V2> =

F1 - a <V1' V2> =

Результаты

Сравнение дисперсий двух совокупностей:

1    Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:

*1 1 _

—7<Т-!- ИЛИ —г > F, ..IV,. V,».

2    Односторонний случай:

а)    предположение о том, что Ot s D2 (о, £ <т2) (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

И> ’ •

S* Ft-n<vVV

б)    предположение о том. что Dt 2 D2 (о, г о2) (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

S?< ’ .

S г *,-.<v*va

Примечание — Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1—Г.9 приложения Г.

Примеры

1    Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.

2    Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий. на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.

15

Страница 20

ГОСТ Р 50779.21-2004

8 Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале1

8.1 Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L. М\ и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.

Таблица 8.1 — Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М\ и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Среднее значение (математическое ожидание):

Мо =

2    Стандартное отклонение:

Оо =

или дисперсия: D0 = а ^ =

3    Границы интервала:

нижняя L = верхняя М =

1    Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная нижняя граница интервала:

°0

2    Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала:

°0

3    Доля распределения случайной величины, лежащая ниже границы L:

Qi = 1 — 0(uL) =

Если значение L не задано, то qL = 0

4    Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы М:

Яи~ 1 — Ф <и") =

Если значение М не задано, то qM = 0

Результаты

1    Доля распределения случайной величины вне интервала (L. A4J:

2    Доля распределения случайной величины в интервале [L. М\:

Р = 1 — Я-

Примечани е — Величины Ф (и1) и Ф (—и и) представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А.

Для решения данной задачи не испопьзуют выборочные данные, а значения параметров ц и а2 считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач по 8.2—8.9.

Пример — Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или на номинальное значение и известную точность ог0.

16

1

Доля распределения случайной величины в заданном интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл, используемый в данном стандарте. имеет понятие — «доля распределения случайной величины в интервале», хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для понятия «вероятность попадания случайной величины в интервал».

Страница 21

ГОСТ Р 50779.21-2004

8.2 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L. М\ и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.

Таблица 8.2 — Точечное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М ] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Обьем выборки:

п =

2    Стандартное отклонение:

<*о =

или дисперсия О0 = а \ =

3    Сумма значений наблюдаемых величин:

I х =

4    Границы интервала:

нижняя L = верхняя М=

1    Точечная оценка среднего значения:

■ц = 11х =

Л

2    Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:

нижняя и L = L. -

«0

ы « 7

верхняя и" = =

3    Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1):

= 1 - Ф (1/ L) =

Если значение L не задано, то qL = 0

4    Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М(см. таблицу 8.1):

5,=1-ф(</“)=

Если значение М не задано, то qu = 0

Результаты

1    Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L. М]:

9 = £ + V

2    Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, MJ:

Р = 1 —'ч-

Примечание — Величины Ф {иL) и Ф (и w ) представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А. 1 приложения А.

Пример—Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.

8.3 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L. М] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.

17

Страница 22

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица 8.3 — Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале (£.. М) и вне его при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Объем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

I х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S х2 =

4    Г раницы интервала:

нижняя L = верхняя М =

1    Точечная оценка среднего значения:

u = х -—I х =

Л

2    Вычисляем:

I (х - х>* £ х2 - (I xf/n п-1 0-1

3    Точечная оценка стандартного отклонения:

s*V »-1 ■

4    Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:

1 - L нижняя и s =

w М - и

верхняя иы - s =

5    Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1):

Is 1—Ф(1/1)= _

Если значение L не задано, то qL = 0

6    Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М (см. таблицу 8.1):

?«= 1 — Ф(и") =

Если значение М не задано, то qu = 0

Результаты

1    Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L. М\.

5 = <0. + Ям

2    Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, М]:

?* 1 — <г

Примечани е — Величины Ф(«Л) и Ф (ым) представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А.

Пример тот же, что в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.

8.4 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.4.

Указанным в таблице 8.4 способом определяют верхнюю доверительную границу qu для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также нижнюю доверительную границу Pi для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Примечание — Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины X и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска) L и М для случайной величины измеряют в тех же единицах величин, какие имеет случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т. п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.

18

Страница 23

ГОСТ Р 50779.21-2004

Примеры

1    Определение уровня несоответствий для показателя втолщина гальванопокрытиям. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том. что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

2    Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества «твердость после термической обработки». Требование (допуск) одностороннее: L = 45ed. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы qv на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница pL на долю продукции, соответствующей требованию, т. е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки pL и qu в отличие от точечных имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью 1 — а):

истинная доля годной продукции — не менее pL;

истинная доля несоответствующей продукции — не более qM.

Таблица 8.4 — Определение верхней qu и нижней pL доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob {q £ qu) i 1 - n, Prob (/> й pt) il - и

Сгатистичес«.ие и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Объем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

I х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин;

2 =

4    Степени свободы:

V = л— 1 =

5    Выбранная доверительная вероятность:

1 —а =

6    Нижняя граница одностороннего интервала:

L =

1    Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

(1 —«^) — для ц и

{1 — ai,) — для о. причем

(1 —а^)(1 — а^)= 1 —а,

где j = 1.2. 3. тогда

в;

a>„ = (a — а'мУ(1 — a').

2    Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

2.1    Интервальная оценка параметра ц с доверительной вероятностью 1 —а„:

HL = х - /, S

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

2.2    Интервальная оценка параметра а с доверительной вероятностью 1 —«„:

= vr<r„

(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание — Указанную процедуру повторяют три раза.

3    Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров цист — (см. таблицу 8.1):

Q 1 ~

4 и

4    После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

Qu1. Qu2- Qu3-

Результаты

1    Верхняя доверительная граница для q. соответствующая доверительной вероятности 1 — о:

Q м = min W- Qu- Qu3}-

2    Нижняя доверительная граница для р:

Pl = 1 - Qu-

19

Страница 24

ГОСТ Р 50779.21-2004

8.5 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М приведен в таблице 8.5.

Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу qu для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М. а также нижнюю доверительную границу pL дпя доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.5 — Определение верхней qu и нижней р, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob {q i <fu) 2 1 — a, Prob {р Ь pt) г 1 — а

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Объем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

I х-

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

2 =

4    Степени свободы:

V = п — 1 =

5    Выбранная доверительная вероятность:

1 —а =

6    Нижняя граница одностороннего интервала:

М =

1    Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

{1 — — для ц ;

(1 — а{,) — для а. причем

(1_а;)(1 _а'в) = 1-а,

где>= 1. 2. 3. тогда:

«: = V4a;

%2 = V2a;

a'e=(a-a'y(1—a').

2    Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

2.1    Интервальная оценка параметра ц с доверительной вероятностью 1 — а^:

ц„ = х + /, S

(см. формулу (1) таблицы 6.2).

2.2    Интервальная оценка параметра о с доверительной вероятностью 1 — а„:

а« =

(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание — Данную процедуру повторяют три раза.

3    Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров ц и с — (см. таблицу 8.1):

<?« =

4    После повторения процедуры по пунктам 2 и Здля У* 1,2, 3 имеем:

Я и'- Qu2* Ям3-

Результаты

1    Верхняя доверительная граница дпя q. соответствующая доверительной вероятности 1 — сс

qu = min {qu\ gv2. gv3}.

2    Нижняя доверительная граница для р:

Pt = 1-Q4r

Пример — Определение уровня несоответствий для показателя #процент примесейа в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

20

Страница 25

ГОСТ Р 50779.21-2004

8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] и вне его приведен в таблице 8.6.

Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу qu для доли распределения вне интервала [L, М], а также нижнюю доверительную границу pL для доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.6 — Определение верхней qu и нижней pL доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L. М] и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия. Prob (q S г 1 — Prob {pi pt) a 1 — a

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Обьем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

I х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

2 =

4    Степени свободы:

V = п—1 =

5    Выбранная доверительная вероятность:

1 — « =

6    Границы интервала:

L =

М =

1    Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

(1 — «£) — дляц и (1 — ос £) — для а, причем (1-а')(1—а'„)=1-«.

где у = 1.2.3. тогда:

а’*1/** а ^ \ а;

а {, = (« — а>мУ(1 — а{,).

2    Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

2.1 Интервальная оценка параметра и с доверительной вероятностью 1 — с^:

ML = х- S; Ru = X+ l2 S.

(см. формулы (1). (2) таблицы 6.2).

22 Наихудшая точка ц':

М' = Mt- если — Ai В — м.и:

М' = если ^ — А > В — Мм

2.3 Интервальная оценка параметра о, соответствующая доверительной вероятности 1 — с^:

(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание — Данную процедуру повторяют три раза.

3    Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров м и о — (см. таблицу 8.1):

я'и =

4    После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для У = 1, 2, 3 имеем:

Яи. Яи- Яи3-

Результаты

1    Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности 1 — а:

Яи = min (9*Л Яи)-

2    Нижняя доверительная граница для р:

Pi = 1 — Яи-

Пример — тот же, что в 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.

21

Страница 26

ГОСТ Р 50779.21-2004

8.7 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.7.

Указанным в таблице 8.7 способом определяют нижнюю доверительную границу qL для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также верхнюю доверительную границу ри для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.7 — Определение нижней qL и верхней ри доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем ингервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Pfob (<? г qL) а 1 — а, Prob (р i ри} г 1 — а

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычислении

1    Объем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

S х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

2 =

4    Степени свободы:

V = п — 1 =

5    Выбранная доверительная вероятность:

1 — и =

6    Нижняя граница одностороннего интервала:

L =

1    Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

(1 — a'j —для р и (1 — а^) — для а. причем

где у = 1,2,3, тогда: aj = V4a; aJ = V2a;

«’ = %«;

a'e = (a-a'y<1-a').

2    Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

2.1    Интервальная оценка параметра р с доверительной вероятностью 1 — aw:

р« = х + /, S

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

2.2    Интервальная оценка параметра о с доверительной вероятностью 1 — ы,,:

(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание — Данную процедуру повторяют три раза.

3    Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров ц и a — (см. таблицу 8.1):

=

4    После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для /= 1, 2. 3 имеем:

Результаты

1    Нижняя доверительная граница для q. соответствующая доверительной вероятности 1 — а:

qL = max {g,1. q*. qL3}.

2    Верхняя доверительная граница для р:

Р« = 1 - <7i-

Пример — Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.

22

Страница 27

ГОСТ Р 50779.21-2004

8.8 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М приведен в таблице 8.8.

Указанным в таблице 8.8 способом определяют нижнюю доверительную границу qL для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также верхнюю доверительную границу ри для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.8 — Определение нижней qL и верхней р,и доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob (q a i 1 — п. Prob {р £ рм) й 1 — а

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Объем выборки:

п =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

I х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

2 =

4    Степени свободы:

V = п—1 =

5    Выбранная доверительная вероятность:

1 — <х =

6    Верхняя граница одностороннего интервала:

М =

1    Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

(1 —«(,) — дляц и

(1 — а {,) — для а, причем

(1 — «ц)(1 — а{,)=1 — а,

где j = 1.2.3. тогда: а’ = '/4о;

«2и = '12«: a-l = 3Ucc.

а;в = («-«'нУ(1 -а'м).

2    Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

2.1 Интервальная оценка параметра и с доверительной вероятностью 1 — сц,:

HL = x-/, S

(см. формулу (2) таблицы 6.2).

22 Интервальная оценка параметра о с доверительной вероятностью 1 — «<,:

(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание — Данную процедуру повторяют три раза.

3    Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров ц и о — (см. таблицу 8.1):

ql “

4    После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для ;= 1,2, 3 имеем:

чЛ 4l2, 4l-

Результаты

1    Нижняя доверительная граница для q. соответствующая доверительной вероятности 1 — а:

qL = max {qL\ q*. <7t3}.

2    Верхняя доверительная граница для р:

Рм = 1 — «Ь-

23

Страница 28

ГОСТ Р 50779.21-2004

8.9 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L. М] и вне его приведен в таблице 8.9.

Указанным в таблице 8.9 способом определяют нижнюю доверительную границу qL для доли распределения вне интервала [L. М]. а также верхнюю доверительную границу рм для доли распределения случайной величины в заданном интервале.

Таблица 8.9 — Определение нижней qL и верхней ри доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L. М] и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob {(? г г 1 — а. Prob(p £ р,Д i 1 - а

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1    Объем выборки:

л =

2    Сумма значений наблюдаемых величин:

I х =

3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

I х 2 =

4    Степени свободы:

V = л — 1 =

5    Выбранная доверительная вероятность:

1 —а =

6    Границы интервала:

L =

М =

1    Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

(1 —аУ ) — для ц и (1 — а^) — для а. причем

где у = 1, 2, 3. тогда: о J = V4 а; aj = '/2a;

«Л = 3/4а:

2    Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

2.1    Интервальная оценка параметра ц с доверительной вероятностью 1 — а,,:

= S: Мм = х + /2 S

(см. формулы (1), (2) таблицы 62).

2.2    Наихудшая точка р':

р' = цм. если цм > tJL; (2.2.1)

p' = pL. если pt < ^—; (2.2.2)

р' = Л5 . если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не выполняются.

2.3    Интервальная оценка параметра о с доверительной вероятностью 1 — а*:

ot = \rciJ

(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание — Данную процедуру повторяют три раза.

3    Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров р и о — (см. таблицу 8.1):

4    После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для у = 1, 2. 3 имеем:

«Л.1. Ql2- <Jis-

Результаты

1    Нижняя доверительная граница для q. соответствующая доверительной вероятности 1 — а:

qL = max {qL\ qL2. qL3).

2    Верхняя доверительная граница для р:

Р.м = 1 - <Il-

24

Страница 29

ГОСТ Р 50779.21-2004

Приложение А (справочное)

Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения

А.1 В таблице А.1 приведены значения функции стандартного нормального закона распределения Ф (и), рассчитываемой по формуле

" -1.'

Ф(о)=—I I 2 <Н    (А1)

"* 2 * . -

т. е. значения площади у под кривой, рассчитываемой по формуле:

У~—“ /    .    (А2)

v 2 it

лежащей левее точки и.

А.2 В первой колонке таблицы А.1 приведены значения аргумента и от 0.00 до 0.49, обозначенные буквой г. Во второй колонке приведены значения функции Ф (и) для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции Ф (и) для значений аргумента и от 0.5 и выше. При этом значение аргумента и находят как сумму г и значений: 0.5; 1,0; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0.

Пример —Для и = 1,86 = (1,5 ♦ 0.36) находим Ф (1,86) = 0.96856.

А.З Значения функции Ф(и) для отрицательных значений аргумента и рассчитывают по формуле:

ф (—и) = 1 — Ф (ц).    (АЗ)

А.4 Значение квантили иа уровня « находят как значение аргумента и. соответствующего значению функции Ф(и) = а.

Пример — Значению a = 0,99 соответствует ближайшее табличное значение Ф = 0,99010. По таблице А. 1 для этого значения функции находят значение аргумента и:

и = 2.0 + 0.33 = 2.33

Таблица А.1 — Значения функции стандартного нормального закона распределения

2

Ф<2>

Ф (0.5 * 2)

Ф |1.0 * г)

Ф |1,5 * г)

Ф (2.0 -* 2)

Ф <2.5 * г)

Ф(3.0 * z)

0.00

0.50000

0.69146

0.84134

0.93319

0.97725

0.99379

0.99865

0.01

0.50399

0,69497

0.84375

0.93448

0.97778

0.99396

0,99869

0.02

0,50798

0.69847

0.84614

0.93574

0.97831

0.99413

0.99874

0.03

0.51197

0.70194

0.84850

0.93699

0.97882

0.99430

0,99878

0.04

0,51595

0.70540

0.85083

0.93822

0.97932

0.99446

0,99882

0.05

0,51994

0.70884

0.85314

0.93943

0.97982

0.99461

0,99886

0.06

0,52392

0.71226

0.85543

0.94062

0.98030

0.99477

0.99889

0.07

0.52790

0.71566

0.85769

0,94179

0.98077

0.99492

0,99893

0.08

0,53188

0.71904

0.85993

0.94295

0.98124

0.99506

0.99896

0.09

0,53586

0.72240

0.86214

0.94408

0.98169

0.99520

0.99900

0.10

0,53983

0.72575

0.86433

0.94520

0.98214

0.99534

0.99903

0,11

0,54380

0,72907

0.86650

0.94630

0.98257

0.99547

0.99906

0.12

0.54776

0.73237

0.86864

0.94738

0.98300

0.99560

0,99910

0.13

0,55172

0.73565

0.87076

0.94845

0.98341

0.99573

0.99913

0.14

0,55567

0.73891

0.87286

0.94950

0.98382

0.99585

0,99916

0.15

0,55962

0,74215

0,87493

0.95053

0.98422

0.99598

0,99918

0.16

0,56356

0.74537

0.87698

0.95154

0.98461

0.99609

0,99921

0.17

0,56750

0.74857

0.87900

0.95254

0.98500

0.99621

0.99924

0.18

0,57142

0.75175

0.88100

0.95352

0.98537

0.99632

0,99926

0.19

0,57535

0.75490

0.88298

0.95449

0.98574

0.99643

0,99929

25

Страница 30

ГОСТ Р 50779.21-2004

Окончание таблицы А. 1

I

Ф in

Ф (0.5 л XI

Ф (1,0 *■ z)

Ф<1.5 + г)

Ф (2.0 «- г)

Ф (2,5 + г)

Ф (3.0 -» z)

0.20

0.57926

0.75804

0.88493

0,95543

0.98610

0.99653

0.99931

0,21

0.58317

0.76115

0.88686

0.95637

0.98645

0.99664

0.99934

0,22

0.58706

0.76424

0.88877

0.95728

0.98679

0,99674

0.99936

0.23

0.59095

0.76731

0.89065

0.95818

0.98713

0.99683

0.99938

0,24

0.59483

0.77035

0.89251

0.95907

0.98745

0,99693

0.99940

0.25

0.59871

0.77337

0.89435

0.95994

0.98778

0.99702

0.99942

0.26

0.60257

0.77637

0.89617

0.96080

0.98809

0.99711

0.99944

0,27

0.60642

0.77935

0.89796

0.96164

0.98840

0.99720

0.99946

0.28

0.61026

0.78230

0.89973

0.96246

0.98870

0,99728

0.99948

0,29

0.61409

0.78524

0.90147

0.96327

0.98899

0,99736

0.99950

0.30

0.61791

0.78814

0.90320

0.96407

0.98928

0,99744

0.99952

0.31

0.62172

0.79103

0.90490

0.96485

0.98956

0,99752

0.99953

0.32

0.62552

0.79389

0.90658

0.96562

0.98983

0,99760

0.99955

0.33

0.62930

0.79673

0.90824

0,96638

0.99010

0,99767

0.99957

0.34

0.63307

0.79955

0.90988

0.96712

0.99036

0,99774

0.99958

0.35

0.63683

0.80234

0.91149

0,96784

0.99061

0,99781

0.99960

0.36

0.64058

0,80511

0.91308

0.96856

0,99086

0,99788

0.99961

0,37

0.64431

0.80785

0.91466

0.96926

0.99111

0,99795

0.99962

0.38

0.64803

0.81057

0.91621

0.96995

0,99134

0.99801

0.99964

0.39

0.65173

0.81327

0.91774

0.97062

0.99158

0,99807

0.99965

0.40

0.65542

0.81594

0.91924

0.97128

0.99180

0.99813

0.99966

0.41

0.65910

0.81859

0.92073

0.97193

0,99202

0.99819

0.99968

0.42

0.66276

0.82121

0.92220

0.97257

0.99224

0,99825

0.99969

0.43

0.66640

0.82381

0.92364

0.97320

0.99245

0,99831

0.99970

0,44

0.67003

0.82639

0.92507

0.97381

0.99266

0,99836

0.99971

0.45

0.67364

0.82894

0,92647

0.97441

0.99286

0.99841

0.99972

0.46

0.67724

0.83147

0.92785

0,97500

0.99305

0.99846

0.99973

0.47

0.68082

0.83398

0.92922

0.97558

0.99324

0.99851

0.99974

0.48

0.68439

0.83646

0.93056

0.97615

0.99343

0.99856

0.99975

0.49

0.68793

0.83891

0.93189

0.97670

0.99361

0.99861

0.99976

Примечание — г —

значение аргумента и от 0.00 до 0,49. Значение аргумента и от 0.50 и выше находят

как сумму z и значений 0.5; 1,0; 1,5 и т. д. (см. обозначения граф таблицы).

26

Страница 31

ГОСТ Р 50779.21-2004

Приложение Б (справочное)

Таблица значений квантилей распределения Стьюдента

Б.1 В таблице Б.1 приведены значения квантилей распределения Стьюдента la (v) уровня а с v степенями свободы.

Пример — Для v = 9 квантиль уровня a = 0.99 имеет значение 2.821.

Б.2 Квантили уровня а = 0,5 при любом v равны нулю.

Б.З Квантили уровня а < 0,5 находят по формуле

(V ) = — f,_o (V )■

Б.4 Для промежуточных значений а. лежащих между двумя соседними табличными значениями а, и а?:

а, < а < а2

значение квантиля (v) может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):

Пример — Для v = 9 требуется найти квантиль уровня a = 0.992. Полагаем, что ai = 0.99. a2 = 0.995; находим по таблице Б.1 t0 M = 2,821, to.»5 = 3,250 и вычисляем для степеней свободы v = 9.

( 3 250 — 2 821 1 W = (0.992 - 0.99) ^ о.99~- 6.99 J* 2 821 = 29926

Таблица Б.1 — Значения квантилей распределения Стьюдента to(v)

V

Значения квантилей распределения Стьюдента ta (v) с v степенями свободы для уровня а

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

О.в

0.85

0.9

0.95

0.975

0.99

0.995

0.9995

1

0.158

0.325

0.510

0,727

1.000

1.376

1.963

3.078

6.314

12.706

31.821

63.657

636.619

2

0.142

0.289

0.445

0.617

0.816

1,061

1.386

1.886

2.920

4.303

6.965

9.925

31.598

3

0.137

0.277

0.424

0.584

0.765

0.978

1.250

1.638

2.353

3.182

4.541

5,841

12.924

4

0.134

0.271

0.414

0.569

0.741

0.941

1,190

1.533

2.132

2.776

3.747

4.604

8.610

5

0.132

0.267

0.408

0.559

0.727

0.920

1.156

1.476

2.015

2.571

3.365

4.032

6.869

6

0.131

0.265

0.404

0.543

0.718

0.906

1,134

1.440

1.943

2.447

3.143

3.707

5.959

7

0.130

0.263

0.402

0.549

0.711

0.896

1.119

1.415

1.895

2.365

2.998

3.499

5.408

8

0.130

0.262

0.399

0,546

0.706

0.889

1,108

1.397

1.860

2.306

2.896

3.355

5.041

9

0.129

0.261

0.398

0.543

0.703

0.883

1.100

1.383

1.833

2262

2.821

3.250

4.781

10

0.129

0.260

0.397

0.542

0.700

0.879

1.093

1,372

1,812

2228

2.764

3.169

4.587

11

0.129

0.260

0.3S6

0.540

0.697

0.876

1.088

1.363

1.796

2.201

2.718

3.106

4.437

12

0.128

0.259

0.395

0.539

0.695

0.873

1.083

1.356

1.782

2.179

2.681

3.055

4,318

13

0.128

0.259

0.394

0.538

0.694

0.870

1,079

1.350

1.771

2.160

2.650

3,012

4.221

14

0.128

0.258

0.393

0.537

0.692

0.868

1.076

1.345

1.761

2.145

2.624

2.977

4.140

15

0.128

0.258

0.393

0.536

0.691

0.866

1.074

1.341

1.753

2.131

2.602

2,947

4.173

16

0.128

0,258

0.392

0.535

0.690

0.865

1.071

1.337

1.746

2.120

2.583

2.921

4,015

17

0.128

0.257

0.392

0.534

0.689

0.863

1.069

1.333

1,740

2,110

2.567

2.898

3.965

18

0.128

0.257

0.392

0.534

0.688

0.862

1.067

1.330

1,734

2.101

2.552

2.878

3.922

19

0.127

0.257

0.391

0.533

0.688

0.861

1.066

1.328

1,729

2.093

2.539

2.861

3,883

20

0.127

0.257

0.391

0.533

0.687

0.860

1.064

1.325

1,725

2.086

2.528

2.845

3.850

27

Страница 32

ГОСТ Р 50779.21-2004

Окончание таблицы Б. 1

V

Значения квантилей распределения Стыоаента f(l <v) с v степенями свабоды для уровня о

0,55

0.6

0.в5

0.7

0,75

0.8

0.85

0.9

0,95

0.975

0.99

0.995

0.9995

21

0.127

0,257

0.391

0.532

0.686

0.859

1.063

1.323

1.721

2.080

2.518

2.831

3.819

22

0.127

0,256

0.390

0.532

0.686

0.858

1.061

1,321

1.717

2.074

2.508

2.819

3.792

23

0.127

0,256

0.390

0.532

0.685

0.858

1.060

1.319

1.714

2.069

2.500

2.807

3.767

24

0.127

0,256

0.390

0.531

0.685

0.857

1.059

1.318

1.711

2.064

2.492

2,797

3.745

25

0.127

0,256

0.390

0.531

0.684

0.856

1.058

1.316

1.708

2,060

2.485

2,787

3.725

26

0.127

0,256

0.390

0.531

0.684

0.856

1.058

1,315

1,706

2,056

2.479

2,779

3.707

27

0.127

0.256

0.389

0.531

0.684

0.855

1.057

1.314

1.703

2,052

2473

2,771

3.690

28

0.127

0,256

0.389

0.530

0.683

0.855

1.056

1.313

1,701

2,048

2.467

2,763

3.674

29

0.127

0,256

0.389

0.530

0.683

0.854

1.055

1.311

1.699

2,045

2.462

2,756

3.659

30

0.127

0,256

0.389

0.530

0.683

0.854

1.055

1,310

1.697

2,042

2.457

2,750

3.646

40

0.126

0,255

0.388

0.529

0.681

0.851

0.050

1,303

1.684

2,021

2.423

2,704

3.551

60

0.126

0,254

0.387

0.527

0.679

0.848

0.046

1.296

1,671

2.000

2.390

2,660

3.460

120

0.126

0.254

0.386

0.526

0.677

0.845

0.041

1,289

1,658

1.980

2.358

2.617

3.373

оо

0.126

0,253

0.385

0.524

0.674

0.842

0.036

1,282

1,645

1.960

2.326

2,576

3.291

Приложение В (справочное)

Таблица значений квантилей%2а распределения

В.1 В таблице В.1 приведены значения квантилей % * (v), т. е. квантилей х 2 распределения уровня « с v

степенями свободы.

Пример — Для у = 9 и а =0.98 квантиль Хооа = *9.679.

В.2 Для промежуточных значений а. лежащих между двумя соседними табличными значениями а, и а2:

а, < а < ос2

значение квантиля % * может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):

2 2 Хп2-Z.I

*х«,-

"2 “•

Пример — Для v = 14 требуется найти квантиль уровня a = 0,988. Полагаем a > = 0,98. а2 = 0,99; находим по таблице В.1 х o.te = 26,873; Хо.99 =    141 и вычисляем для степеней свободы v = 14.

*    -    («.see    -

28

Страница 33

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица В.1 — Значения квантилей х ?, распределения

V

Значения квантилем х 3 раслредепекия с v степенями свободы для уровня а

а

0.01

0.02

0.05

0.1

0.2

0.3

0.5

0.7

0.8

0.9

0.95

0.98

0.99

1

0.0157

0.0628

0.0393

0.0158

0.0642

0,148

0.455

1.074

1.642

2.706

3.841

5,412

6.635

2

0.0201

0.0404

0.103

0.211

0.446

0.713

1,386

2.408

3,219

4,605

5.991

7.824

9.210

3

0.115

0.185

0.352

0.584

1.005

1.424

2.366

3,665

4,642

6,251

7.815

9.837

11.345

4

0.297

0.429

0.711

1.064

1.649

2.195

3.357

4.878

5,989

7.779

9.488

11,668

13.277

5

0.554

0.752

1.145

1.160

2.343

3.000

4,351

6,064

7,289

9,233

11.070

13.388

15,086

6

0.872

1.134

1.635

2.204

3.070

3.828

5.348

7,231

8,558

10,645

12.592

15.033

16,812

7

1.239

1.564

2.167

2.833

3.822

4.671

6,346

8,383

9.803

12.017

14.067

16.622

18,475

8

1.646

2.032

2.733

3.490

4.594

5.527

7.344

9,524

11.030

13,362

15.507

18.168

20.090

9

2.088

2.532

3.325

4.168

5.380

6.393

8.343

10.656

12,242

14.684

16.919

19.679

21.666

10

2.358

3,059

3.940

4.865

6.179

7.267

9.342

11,781

13.442

15,987

18.307

21.161

23.209

11

3.053

3.609

4.575

5.578

6,989

8,148

10.341

12.899

14.631

17.275

19,675

22.618

24,725

12

3.571

4.178

5,226

6.304

7,807

9,034

11.340

14,011

15.821

18.549

21,026

24.054

26.217

13

4.107

4.765

5.892

7,042

8,634

9,926

12.340

15,119

16.985

19,812

22,362

25.472

27.688

14

5.660

5.368

6,571

7.790

9,467

10,821

13.339

16.222

18.151

21,064

23,996

26.873

29,141

15

5.229

5.985

7,261

8,547

10,307

11,721

14.339

17,322

19,311

22,307

24,996

28.259

30,578

16

5.812

6.614

7.962

9,312

11.152

12,624

15.333

18.418

20,465

23.542

26,296

29.633

32,000

17

6.408

7.255

8.672

10,035

12,002

13.531

16.338

19.511

21,615

24,769

27,587

30.995

33.409

18

7.015

7.906

9.390

10,865

12,857

14,440

17.338

20.601

22.760

25,989

28,869

32.346

34.805

19

7.633

8.567

10,117

11.651

13,716

15,352

18.338

21.689

23,900

27,204

30.144

33.687

36.191

20

8.260

9.237

10.851

12,443

14,578

16,266

19.337

22.775

25,038

28.412

31.410

35.020

37.566

21

8.897

9.915

11.591

13.240

15,445

17,182

20.337

23.858

26.171

29,615

32.671

36.343

38,932

22

9.542

10.600

12.338

14.041

16,314

18.101

21.337

24,939

27.301

30,813

33,924

37.659

40.289

23

10.196

11,293

13.091

14.848

17,187

19.021

22.337

26.018

28.429

32.007

35,172

38.968

41,638

24

10.856

11.992

13.848

15.659

18.062

19,943

23.337

27.096

29.553

33.196

36,415

40.270

42.980

25

11.524

12.697

14,611

16.473

18,940

20,867

24.337

28.172

30.675

34,382

37,652

41.566

44.314

26

12.198

13.409

15.379

17,292

19.820

21,792

25.336

29,246

31.795

35,563

38,885

42.856

45.642

27

12.879

14.125

16.151

18.114

20,703

22,719

26.336

30,319

32.912

36,741

40.113

44.140

46,963

28

13.565

14.847

16.928

18,939

21,588

23.647

27.336

31,391

34.027

37,916

41.337

45.419

48.278

29

14.256

15.574

17.708

19.768

22,475

24.577

28.336

32.461

35.139

39,087

42.557

46.693

49,588

30

14.953

16.306

18.493

20.599

23,364

25.508

29.336

33.530

36,250

40,256

43.773

47.962

50.892

29

Страница 34

ГОСТ Р 50779.21-2004

Приложение Г (справочное)

Таблицы значений квантилей распределения Фишера

Г.1 В таблицах Г.1—Г.9 содержатся значения квантилей Fa (v,. v2) при заданных уровнях а для различных сочетаний степеней свободы v, и v2. Каждая таблица соответствует одному уровню а, значение которого указано в заголовке таблицы, и различным значениям v( и v2.

Г.1.1 Для определения квантилей уровня а менее 0.5 следует использовать соотношение:

Г.12 Для промежуточных значений а, лежащих между двумя соседними табличными значениями а, и а2:

а, < а < ttj

значение квантиля F,, может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):

Г.1.3 Для промежуточных значений v, и v2, лежащих между двумя соседними табличными значениями у,' и

V," или v2' и v2" , т. е.

V)' < v, < v," или v2' < v2 < v2" значения квантилей Fa (Vi). Fu (v2) могут быть приближенно вычислены по формулам:

30

Страница 35

Таблица Г.1 — Значения квантилей f-распре деления уровня « = 0.5

Vj

Змач»шя жамшлой Р-распределения уровня а = 0.6 дпя степеней свободы V,

1

2

3

4

5

6

7

а

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

М

1

2

3

4

1,0000

0,66667

058506

050863

1.5000 1,0000 0881X) 082843

1,7092

1,1349

1.0000

0.94054

1.8227

1.2071

1,0632

1.0000

18937

12519

1.1024

1.0367

1.9122 1.2824 1,1289 1.0617

19774

13045

1.1482

1.0797

2,0041

13213

1,1627

1,0933

2,0250

13344

1.1741

1,1040

2,0119

13450

1,1833

1,1126

20674

13610

1,1972

1.1255

20931

13771

12111

1.1386

2.1190

13933

12252

1,1517

2,1321

1.40И

12322

1,1583

2,1452

1.4096

12393

1,1649

21584

1.4178

12464

1.1716

2,1716

1.4261

12536

1.1782

2.1848 1.4344 12608

1.1849

2,1981

1,4427

1.2680

1.1916

5

6

7

8 9

052807

051489

0.90572

0.49898

0.49382

0.79877

0.77976

0,76655

0.75683

0.74938

0.90715

0.88578

087095

0,86004

085168

0.96456

0,91191

0.92619

091454

0.90580

1.0000

0.97654

0.96026

093831

0.93916

1.0240

1.0000

0.98334

097111

0.96175

1.0114

1.0169

1,0000

098757

0.97805

1.0545

1.0298

1,0126

1.0000

0.99037

1,0648

1.0198

1,0224

1.0097

1,0000

1,07»

1,0478

1.0304

1.0175

1.0077

1.0855

1.0600

1,0423

1.0293

1.0191

1,0980

1,0722

1,0543

1,0412

1,0311

1,1106

1,0845

1,0664

1,0531

1,0429

1.1170

1.0907

1J0724

1,0591

1,0489

1,1234

1.0969

1.0785

1.0651

1,0548

1,1297

1.1031

1,0846

1.0711

1,0608

1.1361

1.1093

1,0908

1,0771

1,0667

1.1426

1.1156

1,0969

1.0832

1.0727

1.1490

1.1219

1.1031

1.0693

1.0788

10

11

12

13

14

0.48973

0.48644

0,48309

0,48141

0,47944

0,74349

0.73872

0,73477

0,73145

0,72862

084508

0.83973

0.83530

083159

0.82842

0.89882

089316

0.88848

0.88454

088119

093193

0.92608

0.92124

091718

091371

0.95436

0.94837

0,94342

0.93926

093573

0.97054

0.96445

0.95943

0.95520

0.95161

0.98276

0.97661

0,97152

0,96724

096360

0,99232

0.98610

0,98097

0,97665

09729®

1.0000

0,993/3

0.9ЯЙ56

0,98421

098051

15116

1.0052

1,0000

0,99560

0,99186

1,0232

1,0168

1,0115

1.00Л

1,0033

1.0349

1,0284

1,0231

1,0186

1,0147

1,0408

1.0343

1,0289

1,0243

1,0205

1,0467

1,0401

1,0347

1,0301

1,0263

1,0526

1,0460

1,0405

1,0360

15321

1.0565

1.0519

1,0464

1,0418

1,0379

1.0645

1.0578

1,0523

1,0476

1,0437

1.0705

1.0637

1.0582

1.0535

1,0195

15

16

17

18 19

0.47775

0.47628

0.47499

0,47385

0.47284

0,72619

0.72406

0.72219

0,72053

0.71906

082569

082330

0.82121

0.81936

081771

087830

057578

087Э57

087161

086987

091073

0.90812

0.90584

0,90381

0,90200

093627

0.93001

0.92767

0.92560

092375

0.94850

0,94580

0.94342

0,94132

093944

0,96046

095773

0.95532

0.95319

095129

0.96981

0,96705

0.96452

0,96247

096056

097732

0.97454

0,97203

0,99993

096800

0,98863

0,98582

0.98334

0,98116

0,97920

1.0000

0,99716

0.99166

0,9-9245

0.99047

1,0114 1.0086 1.0060 1,0038 1.0018

1,0172

1.0143

1.0117

1.0095

1,0075

1,0229

1,0200

1,0174

1,0152

1.0132

1,0287

1,0258

1,0232

1,0209

1.0189

1.0345

1,0315

1,0289

1,0267

1,0246

1,0403

1,0373

1.0347

1.0324

1.0304

1,0461

1,0431

1.0105

1,0382

1,0361

20

21

22

23

24

0,47192

0.47106

0.47033

0.45965

0,46902

0,71773

0.71653

0.71545

0.7144S

0,71356

081621

081487

0.81365

081255

0,81153

086830

086688

086559

0.86442

086335

090038

059891

059759

0.89638

0.89527

092210

0.92060

0.91924

091800

0,91687

093776

0,93624

0,93486

0,93360

0,93245

0.94959

0.94805

0,94665

0.94538

0,94422

0.95884

0,95728

0.95588

0,95459

0,95342

0,96626

096470

0.96328

0,96199

0,96081

097746 0,97587 0.97444 0.9/313 0.9 Л 94

0.98870

0.98710

0,98565

0.98133

0,98312

1.0000

0,99838

0.99692

0,99558

0,99136

1,0057

1,0040

1,0026

1,0012

1,0000

1.0114

1,0097

1,0082

1.0069

1,0057

15171

1,0154

1,0139

1,0126

1,0113

1.0228

1,0211

1.0196

1.0183

15170

1.0285

1.0268

1.0253

1.0240

1.0227

1,0343

1.0326

1.0311

1.0297

1,0284

25

26

27

28 29

0,46844

0,46793

0.46744

0.46697

0.46654

0,71272

0,71195

0.71124

0,71059

0,70999

0,81061

080975

080894

0.80820

0,80753

086236

086145

0.86061

085983

085911

0,89425

089331

089244

0.89164

089089

0.91583

0.91487

0.91399

0.91317

0.91241

0,93140

093012

0,92952

0.92869

0,92791

0,94315

0.94217

0.94126

0,94011

0,93963

0,95234

0,95135

0,95014

0.9495.»

0.94879

0,95072

095872

095779

0.9!*>94

0,95614

0,97084

0.90383

0,96889

0,968*32

0,96722

0,98201

0.99099

0.98001

0,9/91/

0,97835

0.99324

0,99220

0.99125

0,990В

0.98954

0.99887

0,99783

099687

0.99596

0,99515

1.0015 1,0035 1,0025

1.0016 1,0008

1.0102 1,0091 1,0082 1,0073 1,0064

1.0159

1.0148

1.0138

1.0129

1.0121

1.0215

1.0205

1.0195

1.0186

1.0177

1,0273

1.0262

1.0252

1.0243

1,0234

30

40

60

120

оэ

0,46616

0.46330

0.46053

0.45774

0.45494

0,70941

0,70531

0.70122

0,69717

0.69315

0.80689

0,80228

0.79770

0.79314

0.78866

085844

0.85357

084873

054392

083918

0,83019

088516

0.88017

057521

0.87029

0,91169 090654 090144 0,89637 089135

0,92719

0.92197

0,91679

0.91164

0,90664

093889

093361

092838

0,92318

0.91802

0.94Я;5

0.94272

0.93743

0.93218

0,92698

0.95540

095003

0,94471

093943

0,93418

0,96647

0,96104

0.95566

0,95032

0,94503

0,97758

097211

0.96667

0,96128

0,95593

0,98877

0.98323

0,97773

0.97228

0,96687

0,99138

0,98880

0.98328

0.97780

0,97236

1,0000

09Э440

098884

096333

0,97787

1,0056

1.0000

0.99411

0.96887

0.98339

1.0113

1.0056

1,0000

0,99443

0,98891

1.0170

1,0113

1,0056

1,0000

0.99445

1,0226

1.0169

1.0112

1.0056

1,0000

Страница 36

8 Таблица Г.2 — Значения квантилей F-pacn редел ения уровня « = 0,75

V/»

Значения квантилей F-распределения уроеия а » 0.75 для степеней сазбоды v,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

М

1

5.8285

73000

8.1999

85810

83198

8,9833

9,1021

9.1922

92631

93202

9.4064

9,4934

95813

9.6255

9,6098

9.7144

9.7591

9.8041

9,8492

2

25714

3,0000

3.1534

32320

32799

3.3121

3.3352

3.3526

3.3661

3,3770

3,3934

3,4098

3,4263

3,4345

34428

3.4511

3,4594

3.4677

3.4761

3

2.0239

22798

2.3555

2.3901

2.4095

2.4218

2,4302

2.4364

2.44 Ю

2,4447

24500

24552

24602

24626

24660

24674

24697

2.4720

2.4742

4

18074

2,0000

2,0467

2,0642

2,0723

2,0766

2.0790

2,0805

2,0814

2,0820

2,0826

20829

20828

20827

2,0825

20821

20817

2,0812

2.0806

5

1.6925

13528

13843

1,8927

13947

1,8945

13935

13923

13911

13899

13877

1,8851

1.8820

13802

13784

13763

1.8742

13719

13694

6

1.6214

1,7622

1,7844

1.7872

1,7852

1,7821

1.7789

1.7700

1.7733

1.7708

1,7668

1,7621

1,7569

1.7540

1.7510

1,7477

1,7443

1,7407

1.7368

7

1,5732

1.7010

1.7169

1.7157

1,7111

1.7059

1.7011

1.6909

1.6931

1,6898

1,6843

1,6781

1,6712

1.6675

1.6635

1,6593

1.6548

1.6502

1,6452

8

1.5384

1,6569

1,6683

1.6642

1.6575

1,6508

1.6448

1.6396

1,6350

1.63Ю

1.6244

1,6170

1,6088

1.6043

1.5996

1.5945

1.5892

1.5836

1.5777

9

1,5121

1,6236

13315

1,6253

1,6170

16091

1,6022

15961

1,5909

1,5863

15788

15705

1,5611

1,5560

1,5506

1,5450

1.5389

1.5325

15257

10

1.4915

13975

1.6028

13949

1.5863

13765

1.5688

1.5621

15663

15513

1.5430

1,5338

1.5235

15179

15119

1,5056

1.4990

1,4919

1,4843

11

1.4749

13767

13798

13794

15998

15602

13418

13346

15284

1.5230

15140

15041

1.4930

1,4869

1.4805

1.4737

1.4664

1.4587

1,4504

12

1.4613

1.5595

1.5609

13503

1.5389

1,5286

13197

13120

1,5054

1,4996

1.4902

1.4796

1,4678

1,4613

1.4544

1,4471

1.4393

1.4310

1,4221

13

1.4500

13452

13451

1.5336

1.5214

13105

15011

1.4931

1,4861

1.4801

1.4701

1.4590

1,4465

1.4397

1.4324

1.4247

1.4164

1.4075

1.3980

14

1.4403

13331

1.5317

1.5194

1.5066

1,4952

1.4854

1.4770

1.4597

1.4534

1.4530

1,4414

1,4284

1.4212

1.4136

1.4055

1.3967

1.3874

1.3772

15

1,4321

1.5227

1.5202

13071

1,4938

1.4820

1.4718

1.4531

1,4556

1.4491

1.4383

1.4263

1.4127

1.4052

1.3973

1.3888

13796

1.3698

1.3591

16

1,4249

13Ш

15»3

1,4965

1,4827

1,4705

14601

1,4511

1,4433

14366

1.4255

14130

1.3990

1.3913

1.3830

13742

13646

13543

1.3432

17

1.4186

15057

15015

1,4873

1.4730

1.4605

1.4497

1,4405

1.4325

1.4256

1,4142

1,4014

1.3869

13790

13704

13613

13514

13406

1.3290

18

1.4130

1,4968

1.4938

1.4790

1.4644

1.4516

1.44С6

1.4312

1.4230

1.4159

1.4042

13911

1.3762

1,3680

1.3592

1,3497

1,3395

13284

13162

19

1.4081

1,4925

1,4870

1.4717

1.4568

1,4437

1,4325

1,4228

1.4145

1,4073

1.3953

1.3819

1.3666

1.3582

1,3492

1,3394

1.3289

1.3174

1.3048

20

1.4037

1,4870

1,4808

1,4652

1.4500

1,4366

1,4252

1,4153

1.4069

1.3995

1.3873

1.3763

1.3580

1.34 91

1.34Э1

1.3301

13193

1,3074

12943

21

1,3997

1,4820

1,4573

1,4593

1,4438

1,4302

14186

1,4086

1,4000

1,3925

13801

1,3661

13502

13414

13319

1,3217

13Ю5

12983

12848

22

13961

1,4774

1,4703

1.4540

1.4382

1,4244

1.4126

1,4025

13937

13861

13735

13593

13431

13341

13245

13140

13025

12900

12761

23

1,3928

1.4733

1,4657

1.4491

1.4331

1.4191

1.4072

13969

1,3880

13803

13675

13531

1.3366

13275

13176

1,3069

12952

12824

12681

24

1.3868

1.4695

1.4615

1.4447

1.4285

1.4143

1.4022

1,3918

1.3828

13750

13621

1.3474

1.3307

13214

1.3113

1.3004

12885

12754

12607

25

1.3870

1.4661

1.4577

1.4406

1,4242

1.4099

13976

13871

1.3780

13701

13570

1.3422

13252

13158

1.3056

12915

12823

12689

12538

26

1.3845

1.4629

1.4542

1,4368

1,4203

1.4058

1.3935

1,3828

13737

1.3556

1.3524

1.3374

1.3202

13106

1.3002

12889

12765

12628

12474

27

1.3822

1,4600

1,4510

1,4334

14166

1,4021

1.3896

13788

1,3696

1,3615

13481

13329

13155

13058

12953

12838

12712

12572

12414

28

13800

1,4573

1,4480

1,4302

1.4133

13386

13860

13752

13658

13576

13441

13288

13112

13013

12906

12790

12662

12519

12358

29

1,3780

1.4547

1,4452

1,4272

1.4102

13953

13826

1,3717

1,3623

1,3541

1,3404

1.3249

1.3071

12971

12863

12745

12615

12470

12306

30

13761

1.4524

1.4426

1,4244

1.4073

13923

13795

1,3685

13590

13507

13369

13213

1.3033

12933

12823

12703

12571

12424

12256

40

1.3626

1.4355

1.4239

1,4035

1.3863

13706

1.3571

1.3455

1,3354

1,3266

13119

12952

12758

12649

12529

12397

12219

12080

1.1883

60

1.3493

1,4188

1,4055

1,3848

1.3657

1,3491

13349

1,3226

1.3119

1,3026

12780

12691

12481

12361

12229

12081

1.1912

1,1715

1,1474

120

13362

1,4024

1,3873

12654

1,3453

1,3278

1.3128

12999

12886

12787

12621

12428

12200

12068

1.1 SB 1

1,1752

1,1555

1,1314

1,0987

<■*

13233

1,3863

13694

12463

13251

13068

12910

12774

12654

12549

12371

12163

1.1914

1,1767

1.1600

1.1404

1.1164

1,0838

1,0000

Страница 37

Таблица Г.З— Значения квантилей F-pacn ре деления уровня <х = 0.999

Vi

Значения «л и тилей Я-распределения уровня о = 0599 для с теплей свободы v,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

во

120

оо

1

405300

500000

540400

562500

576400

585900

992900

998100

602300

605600

610700

619800

620900

623500

626100

628700

631300

634000

636600

2

9985

999,0

9992

9992

9993

9993

999.4

999.4

999.4

999,4

999.4

999,4

999.4

9995

9995

9995

9995

9995

9995

3

1670

1483

141,1

137.1

134.6

1328

131.6

130.6

1299

1292

1263

127,4

125.4

1259

125.4

125.0

1245

124.0

1235

4

74.14

6125

56.18

53.44

51.71

5053

49.66

49.00

48,47

4805

47.41

46.76

46Ю

4577

45.43

45.09

44.75

44.40

44.05

5

47.18

37.12

3320

31,09

29.75

28.84

28.16

27.64

2724

2692

2642

2591

2539

2514

2437

26.40

24,33

24.06

23.79

6

35.51

27,00

23.70

21.92

2081

20.03

19.46

19,03

18.69

1841

17.99

1756

17,12

1639

16.67

16.44

1621

15.99

15,75

7

2925

2169

18,77

17,19

1621

1552

15.02

14,63

1433

14,08

1371

1332

12,93

12.73

1253

1233

12.12

1191

11,70

8

25.42

18,49

1583

1439

13,49

1286

12.40

12.01

11.77

1154

11.19

1034

10.48

1030

Ю.11

9.92

9.73

953

933

9

22.86

1639

13.90

1256

11.71

11.13

10.70

1037

10.11

939

957

924

8.90

8.72

855

837

819

800

731

10

21.04

14.91

1255

1128

Ю.48

992

9.52

920

896

875

8.45

8.13

730

7.64

7.47

730

7.12

6.91

676

11

19.69

t33l

1156

Ю.Э5

9.58

9.05

866

835

812

7.92

7,63

732

731

635

6.68

6.52

635

6.17

600

12

18.64

1297

1080

9,63

889

838

800

7.71

7/48

729

7.00

6.71

6/40

625

6.09

593

5.76

559

542

13

17,81

1231

Ю21

907

835

786

7/49

721

698

630

652

623

5.93

5.78

5.63

5/47

530

5.14

4.97

14

17.14

11.78

9.73

8,62

792

7.43

7,08

630

658

640

6.13

535

556

5.41

525

5.Ю

491

4.77

4,60

15

1659

1134

934

825

757

7,09

674

647

626

608

531

554

525

5.10

495

480

4.64

4.47

431

16

16.12

Ю97

9.00

794

727

681

646

619

5.98

531

555

527

4.99

435

4.70

454

439

423

4,06

17

15.72

10.66

8.73

7j68

7.02

6.56

622

596

575

558

532

5,05

4,78

4.63

4.48

433

4.18

4.02

335

18

1538

1039

8.49

7,46

681

635

602

576

556

539

5,13

437

459

4/45

4.30

4.15

4,00

334

367

19

15.08

Ю.16

828

7.26

662

618

535

559

5.39

522

497

4.70

4/43

429

4,14

399

334

368

351

20

1482

995

8.Ю

7,10

6,46

602

569

544

524

508

432

4,56

429

4.15

4,00

386

3.70

354

338

21

1459

9.77

7.91

6.96

632

588

556

531

511

4.95

4.70

4.44

4.17

4.03

388

3.74

358

3.42

326

22

1438

9.61

780

631

6.19

5.76

5.44

519

4.99

433

4.58

433

4.06

3.92

3.78

333

3.48

332

315

23

М.19

9/47

7.67

639

6.08

5.65

533

509

489

4.73

4.48

423

423

332

3.68

353

338

322

305

24

14,03

9.34

7.56

689

5.98

555

523

4,99

430

4.64

439

4,14

337

3.74

359

3,45

329

3.14

297

25

1388

922

7,45

6.49

588

5.46

515

491

4.71

456

431

4,06

3.79

336

352

3 37

322

3,06

239

26

13.74

9.12

736

6.41

580

538

507

433

4.64

4,48

424

399

3.72

359

3.44

330

3.15

2.99

232

27

t3j61

9,02

727

633

5.73

531

500

4,76

457

4.41

4.17

392

3.66

352

338

323

3,08

2.92

275

28

13.50

8.93

7.19

625

5.66

524

4.93

4,69

450

4.35

4.11

336

ззо

3.46

3.32

3.18

3.02

286

2.69

29

1339

885

7.12

6.19

5.99

518

487

4,64

4.45

429

405

ззо

354

3/41

327

3.12

2 97

231

2,64

30

1329

8.77

7.05

6.12

553

512

432

458

4.39

424

400

375

3/49

3.36

322

307

2.92

2.76

259

40

1261

825

6,60

5.70

5.13

4.73

4.44

421

4,02

337

334

3.40

3.15

331

237

2.73

257

2.41

223

60

1197

7.76

6.17

531

4.76

437

4,09

337

369

354

331

3.08

233

2.69

255

2.41

225

2.08

139

120

1138

732

5.79

4.95

4.42

4.04

377

355

338

324

3.02

2.78

253

2.40

226

2.11

1.95

1.76

154

«

Ю83

691

5.42

4.62

4.»

3,74

347

327

зю

2.96

2.74

251

227

2.13

1.99

134

1.66

1.45

100

Страница 38

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица Г.4 — Значения квантилей F-распределения уровня а = 0,9995

Квантили ^-распределения уровня а * 0.9995

1

2

3

4

5

6

7

в

9

10

11

12

1

1620000

2000000

2160000

2250000

2310000

2340000

2370000

2390000

2410000

2420000

2430000

2440000

2

20СО

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

3

266

237

225

218

214

211

209

208

207

206

204

204

4

106

87.4

80.1

76.1

73.6

71.9

70.6

69.7

68.9

68.3

67.8

67.4

5

63.6

49.8

44.4

41,5

39.7

38.5

37.6

36.9

36.4

35.9

35.6

35.2

6

46.1

34.8

30.4

28.1

26.6

25.6

24.9

24.3

23.9

23.5

23.2

23.0

7

37.0

27.2

23.5

21.4

20.2

19.3

18.7

18.2

17.8

17.5

17.2

17.0

8

31.6

22,8

19.4

17.6

16.4

15.7

15.1

14.6

14.3

14.0

13.8

13.6

9

28.0

19.9

16.8

15.1

14.1

13.3

12.8

12.4

12.1

11.8

11.6

11.4

10

25.5

17.9

15.0

13.4

12.4

11.8

11.3

10.9

10.6

10.3

10.1

9.93

11

23.6

16.4

13.6

12.2

11.2

10.6

10.1

9.76

9.48

924

9.04

8.88

12

22,2

15.3

12.7

11.2

10.4

9.74

928

8.94

8.66

8.43

8,24

8.08

15

19.5

13.2

10.8

9.48

8.66

8.10

7.68

7.36

7.11

6.91

6,75

6.60

20

17.2

11.4

9,20

8.02

7.28

6.76

6.38

6.08

5.85

5.66

5,51

5.38

24

16.2

10.6

8.52

7.39

6.68

6.18

5.82

5,54

5.31

5.13

4.98

4.85

30

15.2

9.90

7.90

6.82

6.14

5.66

5.31

5.04

4.82

4.65

4,51

4.38

40

14.4

9.25

7.33

6.30

5.64

5.19

4.85

4,59

4.38

421

4.07

3.95

60

13.6

8.65

6.81

5.82

5.20

4.76

4.44

4.18

3.98

3.82

3.69

3.57

120

12.8

8.10

6.34

5.39

4.79

4.37

4.07

3,82

3.63

3.47

3.34

3.22

ОС

12.1

7.60

5.91

5.00

4.42

4.02

3.72

3.48

3.30

3.14

3,02

2.90

Таблица Г.5 — Значения квантилей F-распределения уровня а = 0,995

VJ

Коантили F-распределения уровня а » 0.995

л

1

2

3

4

5

в

7

8

9

1

16211

20000

21615

22500

23056

23437

23715

23925

24091

2

198.50

199.00

199.17

199.25

199.30

199.33

199.36

199.37

199.39

3

55.552

49.799

47.467

46.195

45.392

44.838

44.434

44.126

43,882

4

31.333

26.284

24.259

23.155

22.456

21.975

21.622

21.352

21.139

5

22.785

18.314

16.530

15.556

14.940

14.513

14.200

13.961

13.772

6

18.635

14.544

12.917

12.028

11.464

11.073

10.786

10.566

10.391

7

16.236

12.404

10.882

10.050

9.5221

9.1554

8.8854

8.6781

8.5138

8

14.688

11.042

9.5965

8,8051

8.3018

7.9520

7.6942

7.4960

7.3386

9

13.614

10.107

8.7171

7.9559

7.4711

7.1338

6.8849

6.6933

6.5411

10

12.826

9.4270

8.0807

7.3428

6.8723

6.5446

6.3025

6.1159

5.9676

11

12.226

8.9122

7.6004

6.8809

6.4217

6.1015

5,8648

5.6821

5.5368

12

11.754

8,5096

7.2258

6.5211

6.0711

5,7570

5.5245

5.3451

5.2021

13

11.374

8.1865

6.9257

6.2335

5.7910

5.4819

5.2529

5.0761

4.9351

14

11.060

7.9216

6.6803

5.9984

5.5623

5.2574

5.0313

4.8566

4.7173

15

10.798

7.7008

6.4760

5.8029

5.3721

5.0708

4.8473

4.6743

4.5364

16

10.575

7.5138

6.3034

5.6378

5.2117

4.9134

4.6920

4.5207

4.3838

17

10.384

7.3536

6.1556

5.4967

5.0746

4.7789

4.5594

4.3893

4.2535

18

10.218

7,2148

6.0277

5.3746

4,9560

4.6627

4.4448

4.2759

4.1410

19

10,073

7.0935

5.9161

5.2181

4,8526

4.5614

4.3448

4.1770

4.0428

20

9.9439

6.9865

5.8177

5.1743

4.7616

4.4721

4,2569

4.0900

3.9564

21

9.8295

6.8914

5.7304

5.0911

4,6808

4.3931

4.1789

4.0128

3.8799

22

9.7271

6,8064

5.6524

5.0168

4.6088

4.3225

4,1094

3.9440

3.8116

23

9.6348

6.7300

5.5823

4.9500

4,5441

4.2591

4,0469

3.8822

3.7502

24

9.5513

6,6609

5.5190

4.8898

4,4857

4.2019

3,9905

3.8264

3.6949

34

Страница 39

ГОСТ Р 50779.21-2004

для степеней свободы V,

15

20

24

30

40

50

60

100

120

200

500

СО

2460000

2000

203

66.5

2480000

2000

201

65.5

2490000

2000

200

65.1

2500000

2000

199

64.6

25ЮОСО

2000

199

64,1

2520000

2000

198

63.8

2520000

2000

198

63.6

2530000

2000

197

63.2

2530000

2000

197

63.1

2530000

2000

197

62.9

2540000

2000

196

62.7

2540000

2000

196

62.6

34.6

22.4

16.5 13.1 11.0

33.9

21.9 16.0 12.7 10.6

33.5

21.7

15.7

12.5 10,4

33.1

21.4

15.5

12.2 10.2

32.7

21.1

15.2

12.0

9.94

32.5

20.9

15.1

11.8

9,80

32.3

20.7 15,0

11.8 9.1

32.1

20.5 14.7

11.6 9.53

32.0

20.4 14.7

11.5 9.49

31,8

20.3 14.6

11.4 9.40

31.7

20.2

14.5

11.4

9.32

31.6

20.1

14.4

11,3

9,26

9.56

8.52

7.74

6.27

5,07

9.16

8.14

7.37

5.93

4.75

8.96

7.94

7.18

5.75

4.58

8.75

7.75 7.00 5.58 4.42

8.54

7.55 6.80 5.40 4.24

8.42

7.43 6,68 5,29 4.15

8.33

7.35

6.61

5.21

4.07

8.16

7.18

6,45

5.06

3.93

8.12

7.14

6.41

5.02

3.90

8.04

7.06

6.33

4.94

3.82

7.96

6.98

6.25

4.87

3.75

7.90

6.93

6.20

4.83

3.70

4.55

4.10

3.68

3.30

3.96

4,25

3.80

3.39

3.02

2.67

4.09

3.65

3.24

2.87

2.53

3.93

3.48

3.08

2.71

2.38

3.76

3.32

2.92

2.55

2.21

3.66

3,22

2,82

2,45

2.11

3.59

3.15

2.74

2.38

2.01

3.44

3.00

2,60

2.23

1.88

3.41

2.97

2,57

2.19

1.84

3.33

2.89

2.49

2.11

1.75

3.27

2.82

2.41

2.03

1.67

3,22

2.78

2.37

1,98

1.60

2.65

2.37

2.22

2.07

1.91

1.79

1.71

1.53

1.48

1.36

1.22

1,00

для степеней свободы V,

10

12

15

20

24

30

40

60

120

О©

24224

24426

24630

24836

24940

25044

25148

25253

25339

25465

199,40

199.42

199.43

199.45

199.46

199.47

199.47

199.48

199.49

199.51

43.686

43.387

43.085

42.778

42.622

42.466

42.308

42.149

41.989

41.829

20.967

20.705

20.438

20.167

20.030

19.892

19.752

19.611

19.468

19.325

13.618

13.384

13.146

12.903

12.780

12.656

12.530

12.402

12.274

12.144

10.250

10.034

9.8140

9.5888

9.4741

9.3583

9.2408

9.1219

9.0015

8.8793

8.3803

8.1764

7.9678

7.7540

7.6450

7.5345

7.4225

7.3088

7.1933

7,0760

7,2107

7.0149

6.8143

6.6082

6.5029

6.3961

6.2875

6.1772

6.0649

5.9505

6.4171

6.2274

6.0325

5.8318

5.7292

5.6248

5.5186

5.4104

5.3001

5.1875

5.8467

5.6613

5.4707

5.2740

5.1732

5.0705

4.9659

4.8592

4.7501

4.6385

5.4182

5.2363

5.0489

4.8552

4.7557

4.6543

4.5508

4.4450

4.3367

4,2256

5.0855

4.9063

4.7214

4.5299

4,4315

4.3309

4.2282

4.1229

4.0149

3.9039

4.8199

4.6429

4.4600

4.2703

4.1726

4.0727

3,9704

3.8665

3.7577

3.6465

4.6034

4.4281

4.2468

4.0585

3.9614

3.8619

3.7600

3.6553

3.5473

3.4359

4.4236

4.2498

4.0698

3.8826

3.7859

3.6867

3.5850

3.4803

3.3722

3.2602

4.2719

4.0994

3.9205

3.7342

3.6378

3.5388

3.4372

3.3324

3.2240

3.1115

4.1423

3.9709

3.7929

3.6073

3.5112

3.4124

3.3107

3.2058

3.0971

2.9839

4.0305

3.8599

3.6827

3.4977

3.4017

3.3030

3.2014

3.0962

2.9871

2.8732

3.9329

3.7631

3.5866

3.4020

3.3062

3.2075

3.1058

3.0004

2.8908

2.7762

3.8470

3.6779

3.5020

3.3178

3.2220

3.1234

3,0215

2.9159

2.8058

2,6904

3.7709

3.6024

3.4270

3.2431

3,1474

3.0488

2,9467

2.8408

2.7302

2.6140

3.7030

3.5350

3.3600

3.1764

3.0807

2.9821

2.8799

2.7736

2.6625

2,5455

3.6420

3.4745

3.2999

3.1165

3.0208

2.9221

2.8198

2.7132

2.6016

2.4837

3.5870

3.4199

3.2456

3.0624

2.9667

2.8679

2.7654

2.6585

2.5463

2.4276

35

Страница 40

ГОСТ Р 50779.21-2004

Окончание таблицы Г. 5

v»

Квантили f-распределения уровня «= 0.995

1

2

3

4

5

6

7

8

9

25

9.4753

6,5982

5.4615

4.8351

4,4327

4.1500

3.9394

3.7758

3.6447

26

9.4059

6.5409

5.4091

4.7852

4,3844

4.1027

3.8928

3.7297

3.5989

27

9.3423

6.4885

5.3611

4.7396

4,3402

4.0594

3.8501

3.6875

3.5571

28

9.2838

6.4403

5.3170

4.6977

4,2996

4.0197

3.8110

3.6487

3.5186

29

9.2297

6.3958

5.2764

4.6591

4,2622

3.9830

3.7749

3.6130

3.4832

30

9.1797

6.3547

5.2388

4.6233

4,2276

3.9492

3.7416

3.5801

3.4505

40

8.8278

6.0664

4.9759

4.3738

3.9860

3.7129

3.5088

3.3498

3.2220

60

8.4946

5.7950

4.7290

4.1399

3.7600

3.4918

32911

3.1344

3.0083

120

8.1790

5.5393

4.4973

3.9207

3,5482

3.2849

3.0874

2.9330

2.8083

оо

7.8794

5,2983

4.2794

3.7151

3,3499

3.0913

2.8968

2.7444

2.6210

Таблица Г.6 — Знамения квантилей F-распределения уровня а = 0,9

V-

Квантили ^-распределения уровня <i * 0.9

Л

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

39,864

49.500

53,593

55.833

57241

58,204

58.906

59.439

59.858

2

8,5263

9.0000

9.1618

9.2434

9.2926

9.3255

9.3491

9.3668

9.3805

3

5.5383

5.4624

5.3908

5.3427

5.3092

5.2847

5,2662

5.2517

5.2400

4

4.5448

4.3246

4.1908

4.1073

4.0506

4.0098

3,9790

3.9549

3.9357

5

4.0604

3.7797

3.6195

3.5202

3.4530

3.4045

3,3679

3.3393

3.3163

6

3.7760

3.4633

3.2888

3.1808

3.1075

3.0546

3,0145

2.9830

2.9577

7

3.5894

3.2574

3.0741

2.9605

2.8833

2.8274

2,7849

2.7516

2.7247

8

3.4597

3.1131

2.9238

2,8064

2.7265

2.6683

2,6241

2.5893

2,5612

9

3.3603

3.0065

2.8129

2,6927

2.6106

2.5509

2,5053

2.4694

2.4403

10

3.2850

2.9245

2.7277

2.6053

2.5216

2.4606

2.4140

2.3772

2.3473

11

3.2252

2.8595

2.6602

2.5362

2.4512

2.3891

2.3416

2.3040

2,2735

12

3.1765

2.8068

2.6055

2.4801

2.3940

2.3310

2,2828

2.2446

2,2135

13

3,1362

2.7632

2.5603

2.4337

2.3467

2.2830

2,2341

2.1953

2,1638

14

3.1022

2.7265

2.5222

2.3947

2.3069

2.2426

2,1931

2.1539

2,1220

15

3.0732

2.6952

2.4898

2.3614

2.2730

2.2081

2,1582

2.1185

2,0862

16

3.0481

2.6682

2.4618

2,3327

2,2438

2.1783

2,1280

2.0880

2,0553

17

3.0262

2.6446

2.4374

2,3077

2,2183

2.1524

2,1017

2.0613

2.0284

18

3.0070

2.6239

2.4160

2.2858

2.1958

2.1296

2,0785

2.0379

2,0047

19

2.9899

2.6056

2.3970

2.2663

2,1760

2.1094

2,0580

2.0171

1.9836

20

2.9747

2.5893

2.3801

2.2489

2.1582

2.0913

2,0397

1.9985

1.9649

21

2.9609

2,5746

2.3649

2,2333

2.1423

2.0751

2.0232

1.9819

1.9480

22

2.9486

2.5613

2.3512

2.2193

2.1279

2.0605

2.0084

1.9668

1.9327

23

2.9374

2.5493

2.3387

2.2065

2,1149

2.0472

1.9949

1.9531

1.9189

24

2.9271

2.5383

2.3274

2.1949

2.1030

2.0351

1,9826

1.9407

1.9063

25

2.9177

2.5283

2.3170

2.1843

2.0922

2.0241

1.9714

1.9292

1.8947

26

2.9091

2.5191

2.3075

2,1745

2.0822

2.0139

1.9610

1.9188

1.8841

27

2.9012

2.5106

2.2987

2.1655

2.0730

2.0045

1.9515

1.9091

1.8743

28

2.8939

2.5028

2.2906

2.1571

2.0645

1.9959

1.9427

1.9001

1.8652

29

2.8871

2.4955

2.2831

2.1494

2.0566

1.9878

1,9345

1.8918

1.8568

30

2.8807

2.4887

2.2761

2.1422

2.0492

1.9803

1.9269

1.8841

1.8490

40

2.8354

2.4404

2.2261

2.0909

1.9968

1.9269

1.8725

1.8289

1.7929

60

2.7914

2.3933

2.1774

2.0410

1.9457

1.8747

1.8194

1.7748

1.7380

120

2.7478

2.3473

2.1300

1.9923

1.8959

1.8238

1.7675

1.7220

1.6843

ОО

2.7055

2,3026

2.0838

1.9449

1.8473

1.7741

1.7167

1.6702

1.6315

36

Страница 41

ГОСТ Р 50779.21-2004

для степеней свободы V,

10

12

15

20

24

30

40

во

120

оо

3.5370

3.4916

3.4499

3.4117

3.3765

3.3704

3.3252

3.2839

3.2460

3.2111

3.1963

3.1515

3.1104

3.0727

3.0379

3.0133

2.9685

2.9275

2.8899

2.8551

2.9176

2.8728

2.8318

2.7941

2.7594

2.8187

2.7738

2,7327

2,6949

2.6601

2.7160

2.6709

2.6296

2.5916

2.5565

2.6088

2.5633

2.5217

2.4834

2.4479

2.4960

2.4501

2.4079

2.3690

2.3331

2.3765

2.3297

2.2867

2.2469

2.2102

3.3440

3.1167

2.9042

2.7052

2.5188

3.1787

2.9531

2,7419

2.5439

2.3583

3.0057

2.7811

2.5705

2.3727

2.1868

2.8230

2.5984

2.3872

2.1881

1.9998

2.7272

2.5020

2,2898

2.0890

1.8983

2.6278

2.4015

2.1874

1.9839

1.7891

2.5241

2,2958

2.0789

1.8709

1.6691

2.4151

2.1838

1.9622

1.7469

1.5325

2.2998

2.0635

1.8341

1.6055

1.3637

2.1760

1.9318

1.6885

1.4311

1.0000

для степеней свободы V

10

12

15

20

24

30

40

во

120

О©

60.195

9.3916

5.2304

3.9199

60.705

9.4081

5.2156

3.8955

61,220

9.4247

5.2003

3.8703

61.740

9.4413

5.1845

3.8443

62.002

9,4496

5,1764

3,8310

62.265

9,4579

5,1681

3,8174

62.529

9.4663

5.1597

3.8036

62.794

9.4746

5.1512

3.7896

63.061

9.4829

5.1425

3.7753

63.328

9,4913

5.1337

3,7607

3,2974

2.9369

2.7025

£5380

2.4163

3.2682

2.9047

2.6681

2.5020

2.3789

3.2380

2.8712

2.6322

2.4642

2.3396

3.2067

2.8363

2.5947

2.4246

2.2983

3.1905

2.8183

2.5753

2.4041

2.2768

3,1741

2.8000

2.5555

2.3830

2.2547

3,1573

2.7812

2.5351

2.3614

2,2320

3.1402

2.7620

2.5142

2.3391

2.2085

3.1228

2.7423

2.4928

2.3162

2.1843

3.1050

2.7222

2.4708

2.2926

2.1592

2.3226 2.2482 i 1878 i 1376 2.0954

2.2841

2.2087

2.1474

2.0966

2.0537

2.2435

2.1671

2.1049

2.0532

2.0095

2.2007

2.1230

2.0597

2.0070

1.9625

2,1784

2.1000

2.0360

1,9827

1,9377

2.1554

2.0762

2.0115

1.9576

1.9119

2,1317

2.0516

1.9861

1.9315

1.8852

2.1072

2.0261

1.9597

1.9043

1.8572

2.0818

1.9997

1.9323

1.8759

1.8280

2.0554

1,9721

1.9036

1.8462

1,7973

2.0593

2.0281

2.0009

1.9770

1.9557

2.0171

1.9854

1,9577

1.9333

1.9117

1.9722

1.9399

1.9117

1.8868

1.8647

1.9243

1.8913

1.8624

1.8368

1.8142

1.8990

1.8656

1.8362

1.8103

1,7873

1.8728

1.8388

1.8090

1.7827

1.7592

1.8454

1.8108

1.7805

1.7537

1.7298

1.8168

1.7816

1.7506

1.7232

1.6988

1.7867

1.7507

1.7191

1.6910

1.6659

1.7551

1.7182

1.6856

1.6567

1,6308

1.9367

1.9197

1.9043

1.8903

1.8775

1.8924

1.8750

1.8593

1.8450

1.8319

1.8449

1.8272

1.8111

1.7964

1.7831

1.7938

1.7756

1.7590

1.7439

1.7302

1,7667

1.7481

1.7312

1.7159

1.7019

1.7382

1.7193

1.7021

1.6864

1.6721

1.7083

1.6890

1.6714

1.6554

1.6407

1.6768

1.6569

1.6389

1.6224

1.6073

1.6433

1.6228

1.6042

1.5871

1.5715

1.6074

1.5862

1.5668

1.5490

1.5327

1.8658

1.8550

1.8451

1.8359

1.8274

1.8200

1.8090

1.7989

1.7895

1.7808

1.7708

1.7596

1.7492

1.7395

1.7306

1.7175

1.7059

1.6951

1.6852

1.6759

1.6890

1.6771

1.6662

1.6560

1.6465

1.6589

1.6468

1.6356

1.6252

1.6155

1.6272

1.6147

1.6032

1.5925

1.5825

1.5934

1.5805

1.5686

1.5575

1.5472

1.5570

1.5437

1.5313

1.5198

1.5090

1.5176

1.5036

1.4906

1.4784

1.4670

1.8195

1.7627

1.7070

1.6524

1.5987

1,7727

1,7146

1.6574

1,6012

1.5458

1.7223

1.6624

1.6034

1.5450

1.4871

1.6673

1.6052

1.5435

1.4821

1.4206

1.6377

1,5741

1.5107

1.4472

1.3832

1.6065

1.5411

1.4755

1.4094

1.3419

1.5732

1.5056

1.4373

1,3676

1,2951

1.5376

1.4672

1.3952

1.3203

1.2400

1.4989

1.4248

1.3476

1.2646

1.1686

1.4564

1,3769

1.2915

1.1926

1.0000

37

Страница 42

ГОСТ Р 50779.21-2004

Таблица Г.7 — Значения квантилей F-распределения уровня « = 0,95

VJ

Квантили Я-раслределсния уровня а = 0,95

л

1

2

3

4

S

6

7

8

9

1

161,45

199.50

215.71

224.58

230.16

233.99

236.77

238.88

240.54

2

18,513

19.000

19.164

19.247

19.296

19.330

19.353

19.371

19.385

3

10.128

9.5521

9.2766

9.1172

9,0135

8.9406

8.8868

8.8452

8,8123

4

7,7086

6,9443

6.5914

6.3883

6,2560

6.1631

6.0942

6.0410

5,9988

5

6.6079

5.7861

5.4095

5.1922

5,0503

4.9503

4,8759

4.8183

4,7725

6

5.9874

5,1433

4.7571

4,5337

4,3874

4.2839

4,2066

4.1468

4,0990

7

5.5914

4,7374

4.3468

4,1203

3,9715

3.8660

3,7870

3.7257

3.6767

8

5.3177

4.4590

4.0662

3,8378

3.6875

3.5806

3,5005

3.4381

3.3881

9

5.1174

4.2565

3.8626

3,6331

3.4817

3.3738

3,2927

3.2296

3,1789

10

4.9646

4.1028

3.7083

3,4780

3.3258

3.2172

3,1355

3.0717

3,0204

11

4.8443

3.9823

3.5874

3,3567

3.2039

3.0946

3,0123

2.9480

2,8962

12

4.7472

3,8853

3.4903

3.2592

3.1059

2.9961

2,9134

2.8486

2,7964

13

4.6672

3,8056

3.4105

3.1791

3.0254

2.9153

2,8321

2.7669

2,7144

14

4.6001

3.7389

3.3439

3.1122

2,9582

2.8477

2,7642

2.6987

2.6458

15

4,5431

3,6823

3.2874

3.0556

2.9013

2.7905

2,7066

2.6408

2,5876

16

4,4940

3.6337

3.2389

3.0069

2.8524

2.7413

2,6572

2.5911

2,5377

17

4,4513

3.5915

3.1968

2.9647

2.8100

2.6987

2,6143

2.5480

2,4943

18

4.4139

3.5546

3.1599

2.9277

2.7729

2.6613

2,5767

2.5102

2,4563

19

4.3808

3.5219

3.1274

2.8951

2.7401

2.6283

2,5435

2.4768

2,4227

20

4.3513

3.4928

3.0984

2.8661

2,7109

2.5990

2,5140

2.4471

2.3928

21

4.3248

3.4668

3.0725

2.8401

2.6848

2.5727

2.4876

2.4205

2,3661

22

4.3009

3.4434

3.0491

2.8167

2.6613

2.5491

2.4638

2.3965

3.3419

23

4,2793

3.4221

3.0280

2,7955

2.6400

2.5277

2.4422

2.3748

2.3201

24

4.2597

3.4028

3.0088

2,7763

2.6207

2.5082

2.4226

2.3551

2.3002

25

4.2417

3.3852

2.9912

2,7587

2.6030

2.4904

2.4047

2.3371

2.2821

26

4.2252

3.3690

2.9751

2.7426

2.5868

2.4741

2.3883

2.3205

2,2655

27

4,2100

3,3541

2.9604

2.7278

2.5719

2.4591

2.3732

2.3053

2,2501

28

4,1960

3.3404

2.9467

2.7141

2.5581

2.4453

2.3593

2.2913

2,2360

29

4.1830

3.3277

2.9340

2,7014

2.5454

2.4324

2.3463

2.2782

2,2229

30

4.1709

3,3158

2.9223

2.6896

2.5336

2.4205

2.3343

2.2662

2,2107

40

4.0848

3.2317

2.8387

2.6060

2.4459

2.3359

2,2400

2.1802

2,1240

60

4.0012

3,1504

2.7581

2.5252

2.3683

2.2540

2,1665

2.0970

2.0401

120

3.9201

3,0718

2.6802

2.4472

2.2900

2.1750

2,0867

2.0164

1.9588

оо

3.8415

2,9957

2.6049

2.3719

2,2141

2.0986

2,0096

1.9384

1.8799

Таблица Г.8 — Значения квантилей F-распределения уровня а = 0,975

Квантили ^-распределения уровня а* 0,975

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

647,79

799,50

864.16

899,58

921.85

937.11

948,22

956.66

963,28

2

38.506

39,000

39,165

39,248

39298

39,331

39.355

39.373

39,387

3

17.443

16,044

15,439

15.101

14.885

14,735

14.624

14.540

14.473

4

12.218

10.649

9.9792

9.6045

9.3645

9.1973

9.0741

8.9796

8.9047

5

10.007

8.4336

7.7636

7.3879

7.1464

6.9777

6,8531

6.7572

6.6810

6

8,8131

7.2598

6.5988

6,2272

5.9876

5.8197

5,6955

5.5996

5.5234

7

8,0727

6.5415

5.8898

5,5226

5,2852

5.1186

4,9949

4.8994

4.8232

8

7,5709

6.0595

5.4160

5,0526

4,8173

4.6517

4.5286

4.4332

4.3572

9

7,2093

5,7147

5.0781

4,7181

4,4844

4.3197

4.1971

4.1020

4,0260

38

Страница 43

ГОСТ Р 50779.21-2004

для степеней свободы V,

10

12

15

20

24

30

40

во

120

оо

241.88

19.396

8.7855

5.9644

243.91

19.413

8.7446

5.9117

245.95

19.429

8.7029

5.8578

248.01

19.446

8.6602

5.8025

249.05

19.454

8.6385

5,7744

250,09

19.462

8,6166

5,7459

251,14

19.471

8.5944

5.7170

252.20

19.479

8.5720

5.6878

253.25

19,487

8.5494

5.6581

254.32

19.496

8.5265

5.6281

4.7351

4.0600

3.6365

3.3472

3,1373

4.6777

3.9999

3.5747

3,2840

3.0729

4.6188

3.9381

3.5108

3.2184

3.0061

4.5581

3.8742

3.4445

3.1503

2.9365

4.5272

3.8415

3.4105

3,1152

2.9005

4,4957

3,8082

3,3758

3,0794

2.8637

4.4638

3.7743

3.3404

3.0428

2.8259

4.4314

3.7398

3.3043

3.0053

2.7872

4.3984

3.7047

3.2674

2.9669

2.7475

4.3650

3.6688

3,2298

2.9276

2.7067

2.9782

2.8536

2.7534

2.6710

2.6021

2.9130

2.7876

2.6866

2.6037

2,5342

2.8450

2.7186

2.6169

2.5331

2.4630

2,7740

2.6464

2.5436

2.4589

2.3879

2.7372

2.6090

2.5055

2.4202

2.3487

2.6996

2.5705

2,4663

2,3803

2.3082

2.6609

2.5309

2.4259

2.3392

2.2664

2.6211

2.4901

2.3842

2.2966

2.2230

2.5801

2.4480

2.3410

2.2524

2.1778

2.5379

2.4045

2.2962

2,2064

2,1307

2.5437

2.4935

2.4499

2.4117

2.3779

2,4753

2.4247

2.3807

2.3421

2.3080

2.4035

2.3522

2.3077

2.2686

2.2341

2.3275

2.2756

2.2304

2.1906

2.1555

2.2878

2.2354

2.1898

2.1497

2.1141

2,2468

2,1938

2,1477

2,1071

2.0712

2.2043

2.1507

2.1040

2.0629

2.0264

2.1601

2.1058

2.0584

2.0166

1.9796

2,1141

2.0589

Z0107

1.9681

1.9302

2.0658

2,0096

1.9604

1.9168

1.8780

2.3479

2.3210

2.2967

2.2747

2.2547

2.2776

2.2504

2.2258

2.2036

2.1834

2.2033

2.1757

2.1508

2.1282

2.1077

2.1242

2.0960

2.0707

2.0476

2.0267

2.0825

2.0540

2.0283

2,0050

1.9838

2,0391

2.0102

1,9842

1.9605

1.9390

1.9938

1.9645

1.9380

1.9139

1.8920

1.9464

1.9165

1.8895

1.8649

1.8424

1.8963

1.8657

1.8380

1.8128

1.7897

1.8432

1.8117

1.7831

1.7570

1,7331

2,2365 2.2197 2.2043 Z1900 2.1768

2.1649

2,1479

2,1323

2.1179

2,1045

2.0889

2.0716

2.0558

2.0411

2.0275

2.0075

1.9898

1.9736

1.9586

1.9446

1.9643

1.9464

1.9299

1,9147

1.9005

1,9192

1,9010

1.8842

1.8687

1.8543

1.8718

1.8533

1.8361

1.8203

1.8055

1.8217

1.8027

1.7851

1.7689

1.7537

1.7684

1.7488

1.7307

1.7138

1.6981

1,7110

1.6906

1,6717

1.6541

1.6377

2.1646

2.0772

1.9926

1,9105

1.8307

2.0921

2,0035

1,9174

1.8337

1.7522

2.0148

1.9245

1.8364

1.7505

1.6664

1.9317

1.8389

1.7480

1.6587

1.5705

1.8874

1.7929

1.7001

1.6084

1,5173

1.8409

1.7444

1.6491

1.5543

1.4591

1.7918

1.6928

1.5943

1.4952

1.3940

1.7396

1.6373

1.5343

1.4290

1.3180

1.6835

1.5766

1.4673

1.3519

1.2214

1.6223

1.5089

1.3893

1.2539

1.0000

для степеней свободы V,

10

12

15

20

24

30

40

во

120

<Жг

S68.63

976,71

984.87

993.10

997,25

1001.4

1005.6

1009,8

1014,0

1018.3

39.398

39,415

39.431

39.448

39.456

39.465

39,473

39,481

39.490

39.498

14.419

14.337

14,253

14.167

14.124

14.081

14.037

13,992

13,947

13.902

8.8439

8,7512

8.6565

8.5599

8.5109

8.4613

8,4111

8.3604

8.3092

8.2573

6.6192

6.5246

6.4227

6.3285

6.2780

6,2269

6,1752

6.1225

6.0693

6.0153

5.4613

5.3662

5.2687

5.1684

5.1172

5.0652

5,0125

4.9587

4.9045

4.8491

4,7611

4.6658

4.5678

4.4667

4.4150

4.3624

4,3089

4.2544

4.1989

4,1423

4,2951

4.1997

4.1012

3.9995

3,9472

3.8940

3,8398

3.7844

3.7279

3.6702

3,9639

3.8682

3.7694

3.6669

3.6142

3.5604

3,5055

3.4493

3.3918

3.3329

39

Страница 44

ГОСТ Р 50779.21-2004

Окончание таблицы Г. 8

V.

Каан1или F-раслределеиия уровня « = 0.975

«£

1

2

3

4

6

в

7

8

9

10

6.9367

5,4564

4.8256

4.4683

4.2361

4.0721

3.9498

3.8549

3.7790

11

6.7241

5,2559

4.6300

4,2751

4.0440

3.8807

3.7586

3.6638

3.5879

12

6.5538

5.0959

4.4742

4,1212

3,8911

3.7283

3.6065

3,5118

3.4358

13

6.4143

4.9653

4.3472

3.9959

3.7667

3.6043

3.4827

3.3880

3,3120

14

6.2979

4,8567

4,2417

3.8919

3.6634

3.5014

3.3799

3.2853

3,2093

15

6.1995

4.7650

4.1528

3.8043

3.5764

3.4147

3,2934

3.1987

3,1227

16

6.1151

4.6867

4.0768

3.7294

3.5021

3.3406

3,2194

3.1248

3,0488

17

6.0420

4.6189

4.0112

3.6648

3.4379

3.2767

3,1556

3.0610

2,9849

18

5,9781

4.5597

3.9539

3.6083

3.3820

3.2209

3,0999

3.0053

2,9291

19

5.9216

4.5075

3.9034

3.5587

3.3327

3.1718

3,0509

2.9563

2.8800

20

5,8715

4.4613

5.8587

3.5147

3.2891

3.1283

3,0074

2.9128

2.8365

21

5,8266

4.4199

3.8188

3.4754

3.2501

3.0895

2,9686

2.8740

2.7977

22

5,7863

4.3828

3.7829

3.4401

3.2151

3.0546

2,9338

2.8392

2.7628

23

5.7498

4,3492

3.7505

3.4083

3.1835

3.0232

2,9024

2.8077

2,7313

24

5.7167

4.3187

3.7211

3.3794

3.1548

3.9946

2,8738

2.7791

2,7027

25

5.6864

4,2909

3.6943

3.3530

3.1287

2.9685

2,8478

2.7531

2,6766

26

5.6586

4.2655

3.6697

3.3289

3.1048

2.9447

2.8240

2.7293

2.6528

27

5.6331

4,2421

3.6472

3.3067

3.0828

2.9228

2,8021

2.7074

2.6309

28

5.6096

4,2205

3.6264

3.2863

3.0625

2.9027

2.7820

2.6872

2.6106

29

5.5878

4.2006

3.6072

3.2674

3.0438

2.8840

2.7633

2.6686

2,5919

30

5.5675

4.1821

3.5894

3.2499

3.0265

2.8667

2.7460

2.6513

2,5746

40

5.4239

4,0510

3.4633

3.1261

2.9037

2.7444

2.6238

2.5289

2,4519

60

5.2857

3.9253

3.3425

3.0077

2.7863

2.6274

2.5068

2,4117

2.3344

120

5,1524

3,8046

3.2270

2.8943

2.6740

2.5154

2.3948

2.2994

2.2217

оо

5,0239

3.6889

3.1161

2.7858

2.5665

2.4082

2,2875

2.1918

2.1136

Таблица Г.9 — Значения квантилей F-распределения уровня а = 0,099

V2

Квантили P-распределения уровня а ш 0.099

•С

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

4052,2

4999.5

5403.3

5624.6

5763.7

5859,0

5928,3

5981,1

6022.5

2

98.503

99.000

99.166

99,249

99299

99,332

99.356

99,374

99.388

3

34,116

30.817

29.457

28.710

28237

27,911

27.672

27,489

27.345

4

21.198

18,000

16.694

15.977

15.522

15,207

14.976

14,799

14.659

5

16,258

13,274

12.060

11.392

10.967

10.672

10,672

10.289

10.158

6

13.745

10,925

9.7795

9.1483

8.7459

8.4661

8.2600

8.1016

7.9761

7

12.246

9,5466

8.4513

7.8467

7.4604

7.1914

6,9928

6.8401

6.7188

8

11,259

8.6491

7.5910

7.0060

6.6318

6.3707

6,1776

6.0289

5.9106

9

10.561

8.0215

6.9919

6,4221

6.0569

5.8018

5,6129

5.4671

5.3511

10

10.044

7.5594

6.5523

5.9943

5.6363

5.3858

5,2001

5.0567

4.9424

11

9.6460

7.2057

6.2167

5.6683

5.3160

5.0692

4,8861

4.7445

4,6315

12

9.3302

6.9266

5.9526

5.4119

5.0643

4.8206

4,6395

4.4994

4,3875

13

9.0738

6,7010

5.7394

5,2053

4.8616

4.6204

4.4410

4.3021

4.1911

14

8.8616

6.5149

5.5639

5,0354

4.6950

4.4558

4.2779

4.1399

4.0297

15

8.6831

6.3589

5.4170

4.8932

4.5556

4.3183

4,1415

4.0045

3.8948

16

8.5310

6.2262

5.2922

4,7726

4.4374

4.2016

4,0259

3.8896

3.7804

17

8,3997

6,1121

5.1850

4.6690

4.3359

4.1015

3,9267

3.7910

3.6822

18

8,2854

6.0129

5.0919

4,5790

4,2479

4.0146

3,8406

3.7054

3.5971

19

8,1850

5.9259

5.0103

4.5003

4,1708

3.9386

3,7653

3.6305

3.5225

40

Страница 45

ГОСТ Р 50779.21-2004

для степеней свободы V,

10

12

15

20

24

30

40

во

120

о©

3.7168

3.5257

3.3736

3,2497

3,1469

3.6209

3.4296

3.2773

3.1532

3.0501

3.5217

3.3299

3.1772

3.0527

2.9493

3.4186

3.2261

3.0728

2.9477

2.8437

3.3654

3,1725

3.0187

2.8932

2.7888

3.3110

3.1176

2.9633

2.8373

2.7324

3.2554

3.0613

2.9063

2.7797

2,6742

3.1984

3.0035

2.8478

2.7204

2.6142

3.1399

2.9441

2.7874

2.6590

2.5519

3.0798

2,8828

2,7249

2.5955

2.4872

3.0602

2.9862

2.9222

2.8664

2.8173

2.9633

2.8890

2.8249

2.7689

2.7196

2.8621

2.7875

2.7230

2.6667

2.6171

2.7559

2.6808

2.6158

2.5590

2.5089

2,7006

2,6252

2,5598

2.5027

2.4523

2.6437

2.5678

2.5021

2.4445

2.3937

2.5850

2.5085

2,4422

2,3842

2,3329

2.5242

2.4471

2.3801

2.3214

2.2695

2,4611

2.3831

2.3154

2.2558

2.2032

2.3953

2.3163

2.2474

2.1869

2.1333

2.7737

2.7348

2.6998

2.6682

2.6396

2.6758

2.6368

2.6017

2.5699

2.5412

2.5731

2.5338

2.4984

2.4665

2.4374

2.4645

Z4247

2.3890

2.3567

2.3273

2.4076

2.3675

2.3315

2,2989

2,2693

2.3486

2.3082

2.2718

2,2389

2,2090

2,2873

2,2465

2,2097

2.1767

2,1460

2.2234

2.1819

2.1446

2,1107

2.0799

2.1562

2,1141

2.0760

2.0415

2.0099

2.0853

2.0422

2.0032

1.9677

1.9353

2.6135

2.5895

2.5676

2.5473

2.5286

2.5149

2.4909

2.4688

2.4484

2.4295

2.4110

2.3867

2.3644

2.3438

2.3248

2.3005

2.2759

2.2533

2.2324

2.2131

2.2422

2.2174

2.1946

2.1735

2.1540

2.1816

2.1565

2.1334

2.1121

2.0923

2.1183

2,0928

2.0693

2,0477

2,0276

2.0517

2.0257

2.0018

1.9796

1.9591

1.9811

1.9545

1.9299

1.9072

1.8861

1.9055

1.8781

1,8527

1.8291

1.8072

2.5112

2.3882

2.2702

2.1570

2.0483

2.4120

2,2882

2.1692

2.0548

1.9447

2.3072

2.1819

2.0613

1.9450

1.8326

2.1952

2.0677

1.9445

1.8249

1.7085

2.1359

2,0069

1.8817

1.7597

1.6402

2,0739

1,9429

1.8152

1,6899

1.5660

2.0089

1.8752

1,7440

1,6141

1,4835

1.9400

1.8028

1.6668

1.5299

1.3883

1.8664

1.7242

1.5810

1.4327

1.2684

1.7867

1.6371

1.4822

1.3104

1,0000

для степеней свободы V(

10

11

12

15

20

30

40

60

120

О©

6055.8

6106.3

6157,3

6208,7

6234.6

6260.7

6286.8

6313,0

6339.4

6366.0

99.399

99.416

99,432

99.449

99.458

99.466

99.474

99,483

99.491

99.499

27.229

27.052

26,872

26,690

26.598

26.505

26,411

26,316

26,221

26.125

14.546

14.374

14,198

14,020

13.929

13.838

13.745

13.652

13,558

13.463

10.051

9,8883

9.7222

9.5527

9.4665

9,3793

9.2912

9.2020

9.1118

9.0204

7.8741

7.7183

7.5590

7.3958

7.3127

7,2285

7.1432

7.0568

6.9690

6.8861

6.6201

6,4691

6.3143

6.1554

6.0743

5,9921

5,9084

5.8236

5.7372

5.6495

5.8143

5,6668

5.5151

5.3591

5.2793

5,1981

5.1156

5.0316

4.9460

4.8588

5,2565

5.1114

4.9621

4.8080

4.7290

4,6486

4.5667

4.4831

4.3978

4.3105

4,8492

4,7059

4.5582

4.4054

4.3269

4,2469

4,1653

4.0819

3.9965

3,9090

4.5393

4,3974

4.2509

4.0990

4.0209

3.9411

3.8596

3.7761

3.6904

3.6025

4,2961

4.1553

4.0096

3.8584

3.7805

3.7008

3,6192

3.5355

3.4494

3.3608

4.1003

3,9603

3.8154

3.6646

3,5868

3,5070

3,4253

3.3413

3.2548

3,1654

3.9394

3,8001

3.6557

3.5052

3,4274

3,3476

3,2656

3.1813

3.0942

3.0040

3.8049

3,6662

3.5222

3.3719

3.2940

3,2141

3.1319

3.0471

3.2995

2.8684

3,6909

3.5527

3.4089

3.2588

3.1808

3,1007

3,0182

2.9330

3.8447

2.7528

3.5931

3.4552

3.3117

3.1615

3.0835

3,0032

2.9205

2.8348

2.7459

2.6530

3,5082

3.3706

3.2273

3.0771

2.9990

2,9185

2.8354

2.7493

2.6597

2.5660

3.4338

3,2965

3.1533

3.0031

2,9249

2,8442

2.7608

2.6742

2.5839

2.4893

41

Страница 46

ГОСТ Р 50779.21-2004

Окончание таблицы Г. 9

V,

Квантили Р-распределения уровня а * 0.099

«£

1

2

3

4

6

в

7

8

9

20

8.0960

5.8489

4.9382

4.4307

4,1027

3.8714

3.6987

3.5644

3.4567

21

8.0166

5.7804

4.8740

4.3688

4.0421

3.8117

3.6396

3.5056

3.3981

22

7.9454

5.7190

4.8166

4.3134

3.9880

3.7583

3.5867

3.4530

3.3458

23

7.8811

5.6637

4.7649

4.2635

3.9392

3.7102

3.5390

3.4057

3.2986

24

7.8229

5.6136

4.7181

4.2184

3.8951

3.6667

3.4959

3.3629

3.2560

25

7.7698

5.5680

4.6755

4,1774

3.8550

3.6272

3.4568

3.3239

3,2172

26

7.7213

5.5263

4.6366

4.1400

3.8183

3.5911

3.4210

3.2884

3,1818

27

7.6767

5.4881

4.6009

4,1056

3.7848

3.5580

3.3882

3.2558

3,1494

28

7.6356

5.4529

4.5681

4.0740

3.7539

3.5276

3.3581

3.2259

3.1195

29

7.5976

5.4205

4.5378

4.0449

3.7254

3.4995

3.3302

3.1982

3.0920

30

7.5625

5.3903

4.5097

4.0179

3.6990

3.4735

3.3045

3.1726

3.0665

40

7.3141

5.1785

4.3126

3.8283

3,5138

4.2910

3.1238

2.9930

2.8876

60

7.0771

4.9774

4.1259

3.6491

3.3387

3.1187

2.9530

2.8233

2.7185

120

6.8510

4,7865

3.9491

3.4796

3.1735

2.9559

2.7918

2.6629

2.5586

СО

6.6349

4.6052

3.7816

3.3192

3,0173

2.8020

2.6393

2.5113

2.4073

42

Страница 47

ГОСТ Р 50779.21-2004

для степеней свободы V,

10

11

12

15

20

30

40

60

120

оо

3.3682

3.3098

3.2576

3.2106

3.1681

3.2311

3.1729

3.1209

3.0740

3.0316

3.0880

3.0299

2.9780

2.9311

2.8887

2.9377

2.8796

2.8274

2.7805

2.7380

2.8594

2.8011

2.7488

2.7017

2.6591

2.7785

2.7200

2.6675

2.6202

2.5773

2.6947

2.6359

2.5831

2.5355

2.4923

2.6077

2.5484

2.4951

2.4471

2.4035

2.5168

2.4568

2.4029

2.3542

2.3099

2.4212

2.3603

2.3055

2,2559

2.2107

3.1294

3.0941

3.0618

3.0320

3.0045

2.9931

2.9579

2.9256

2.8959

2.8685

2.8502

2.8150

2.7827

2.7530

2,7256

2.6993

2.6640

2.6316

2.6017

2.5742

2.6203

2,5848

2,5522

2.5223

2.4946

2.5383

2.5026

2.4699

2.4397

2.4118

2.4530

2.4170

2.3840

2.3535

2.3253

2.3637

2.3273

2.2938

2.2629

2.2344

2.2695

2.2325

2.1984

2.1670

2.1378

2.1694

2.1315

2.0965

2.0642

2.0342

2,9791

2.8005

£6318

2,4721

2.3209

2.8431

2.6648

2.4961

2.3363

2.1848

2.7002

2.5216

2.3523

2.1915

2.0385

2.5487

2.3689

2.1978

2.0346

1.8783

2.4689

2.2880

2.1154

1.9500

1.7908

2.3860

2.2034

2.0285

1.8600

1.6964

2.2992

2.1142

1.9360

1.7628

1.5923

2.2079

2.0194

1.8363

1.6557

1.4730

2.1107

1.9172

1.7263

1.5330

1.3246

2.0062

1.8047

1.6006

1.3805

1.0000

УДК 658.562.012.7:65.012.122:006.354    ОКС    03.120.30    Т59

Ключевые слова: статистические методы, прикладная статистика, точечное и интервальное оценивание, проверка гипотез, нормальное распределение

Редактор Т.С. Шало Технический редактор НС Гришанова Корректор Г И Копокеняо Компьютерная верстка Е.Н. Мартеиьппоеюй

Изд. лиц. MJ 02354 от 14.07.2000 Сдано а набор 20.01.2004. Подписано о печать 16.03.2004. Уел. печ. л. 5.12. Уч.-«зд. л. 4,50. Тираж 670 экз. С 1126. Зак 291.

ИПК Издательство стандартов, 107076 Москва. Колодезный пер.. 14. htlp /iWww.slandarcis.ru    e-mail: info@standards.ru

Набрано в Издательстве на ПЭВМ Отпечатано в филиале ИПК Издательство стандартов — тип «Московский печатник», 105062 Москва. Ляпин пер.. 6.

Ппр N» 080102

Заменяет ГОСТ Р 50779.21-96