ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ И МЕТРОЛОГИИ
Ч НАЦИОНАЛЬНЫЙ	ГОСТ Р
( |рТт ) СТАНДАРТ	50779.21 —
У РОССИЙСКОЙ	2004
------^ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Ч а с т ь 1 Нормальное распределение

Издание официальное

Москва ИПК Издательство стандартов

Предисловие

1    РАЗРАБОТАН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

2    ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 12 января 2004 г. № 3-ст

4    Настоящий стандарт разработан с учетом основных нормативных положений международного стандарта ИСО 2854:1976 «Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях» (ISO 2854:76 «Statistical interpretation of data — Techniques of estimation and tests relating to means and vanance». NEQ)

5    ВЗАМЕН ГОСТ P 50779.21—96

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе «Национальные стандарты», а текст этих изменений — в информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе «Национальные стандарты»

© ИПК Издательство стандартов. 2004

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Госстандарта России

ГОСТ Р 50779.21-2004

Содержание

1    Область применения............................................................... 1

2    Нормативные ссылки............................................................... 1

3    Термины и определения............................................................ 2

4    Обозначения...................................................................... 2

5    Общие требования................................................................. 3

6    Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности ..    4

7    Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности................ 13

8    Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном

интервале........................................................................ 16

Приложение А (справочное) Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения ........................................................... 25

Приложение Б    (справочное)    Таблица    значений квантилей распределения Стьюдента......... 27

Приложение В    (справочное)    Таблица    значений квантилей х распределения................ 28

Приложение Г    (справочное)    Таблицы    значений квантилей распределения Фишера............ 30

Введение

Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.

В стандарте изложены методы решения следующих задач:

а)    точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;

б)    точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его:

в)    интервального (доверительного) оценивания параметров нормального распределения и доли распределения;

г)    проверки гипотез об этих же величинах.

Все процедуры, приведенные в стандарте, используют ограниченный ряд статистически независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т. п.

IV

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Ч а с т ь 1 Нормальное распределение

Statistical methods. Determination rules and methods for calculation of statistical characteristics based on sample data.

Part 1. Normal distribution

Дата введения — 2004—06—01

1    Область применения

Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:

-    оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности:

-    проверки гипотез относительно значений этих параметров;

-    оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.

Примечание — Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайной воличины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имоот понятие «доля распределения случайной величины в интервале», которое далее применено в настоящем стандарте.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

-    элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10 % объема генеральной совокупности;

-    наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1—93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2—93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю «Национальные стандарты», составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссыпка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.

Издание официальное

3    Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1    точечное оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде одного численного значения;

3.2    интервальное (доверительное) оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде доверительного интервала;

3.3    доверительный интервал: Интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее 1 —а (где 1 — а — доверительная вероятность).

Примечание — Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним;

3.4    нулевая гипотеза: Предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным.

Примечание — В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.

4    Обозначения

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

М — математическое ожидание нормального закона распределения (среднее значение генеральной совокупности, далее — среднее значение); ц₀ — известное значение параметра р;

Mi. Мг — математические ожидания для двух различных генеральных совокупностей;

jT — точечная оценка параметра р; р = х; р_м, p_t — верхняя и нижняя доверительные границы параметра р;

(Mi — Мг)^д — точечная оценка разности значений параметров р, и р₂:

о —стандартное (среднеквадратичное) отклонение нормально распределенной случайной величины;

D — дисперсия генеральной совокупности; D = а ²;

D₀ — известное значение дисперсии генеральной совокупности. О₀ = о * ; о₀ — известное численное значение параметра а; а₀₁. °02 — известные значения параметров о, и о₂ для двух генеральных совокупностей;

o' — точечная оценка параметра о. о = S;

°l — верхняя и нижняя доверительные границы параметра о;

D — точечная оценка дисперсии;

х — выборочное значение наблюдаемой случайной величины; х, — выборочное значение случайной величины из первой генеральной совокупности;

х₂ — то же. из второй генеральной совокупности; п, л,. п₂ — объемы выборок;

х. х,. х₂ — среднеарифметические значения (выборочные средние); с =    ^(х~ ^{х >г} — выборочное стандартное (среднеквадратичное)отклонение:

V (Л - 1)

S,. S₂ — то же для двух выборок соответственно;

« — риск первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна); (1 —а) —уровень значимости при проверке гипотез, а также доверительная вероятность 0 < « < 1;

2

ГОСТ Р 50779.21-2004

v — число степеней свободы;

щ__а, Uy__af2 — квантили стандартного нормального закона распределения уровней

1 — а и 1 — «/2 соответственно;

*i «(v). *i а/г(^у) — квантили распределения Стьюдента с v степенями свободы уровней 1 — а и 1 — «/2 соответственно;

F,__a(v₁.v₂) —квантиль распределения Фишера с v, и v₂ степенями свободы уровня 1 — а;

X 1    (^у).    X    1    „    2 X ² ₂ <^у> — квантили х ² распределения с v степенями свободы уровней 1 — а.

1 — а/2 и а/2 соответственно;

L. М — нижняя и верхняя границы интервала соответственно;

р —доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданный интервал [L. М].

q — доля распределения (вероятность попадания) случайной величины вне интервала [L. М]. причем q + р = 1;

'p.'q — точечные оценкир и q.

p_L, q_L — нижние односторонние доверительные границы для р и р;

Рм- Ям — верхние односторонние доверительные границы для р и р;

С — случайное событие; например, попадание случайной величины в заданный интервал;

Prob{C} — вероятность случайного события С;

1х — сумма выборочных значений.

5 Общие требования

5.1    Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса;

-    точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;

-    точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;

-    точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.

5.2    Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6. 7. 8). включающие в себя;

1)    статистические и исходные данные:

2)    определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А. Б. В. Г), а также проведение вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;

3)    результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.

5.3    Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6. 7. 8 примерами.

5.4    Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.

5.5    Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6. 7. 8).

Номера таблиц разделов 6. 7.8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1. 5.2, 5.3. 5.4.

3

Задача оценки среднего значения	Номер таблицы
	D известна	D неизвестна
Оценка среднего	6.1	6.2
Сравнение среднего значения с заданным значением	6.3	6.4
Сравнение двух средних	6.5	6.6
Оценка разности двух средних	6.7	6.8

Таблица 5.2 — Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии (раздел 7)

Задача оценки дисперсии Номер таблицы Оценка дисперсии 7.1 Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением 7.2 Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений 7.3

Таблица 5.4 — Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале (раздел 8)

Заданные границы интервала Искомая вегинииа Номер таблицы L Pi- Рм 8.4 М Pi - Рм 8.5 L. М Pl- Pm 8.6 L Pm- Pt 8.7 М Pm-Pi 88 L.M Pm-Pt 8.9

5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.

6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности

6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.

ГОСТ Р 50779.21-2004

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1    Объем выборки: п = 2    Сумма значений наблюдаемых величии: Хх = 3    Известное значение дисперсии: «г-	1    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 —о): "1-а = 2    Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 — о/2): и\ <Л ~ 3    Вычисляем:
4 Выбранная доверительная вероятность: 1 — а =	ЧЬ- 4    Вычисляем: ' V л 5    Вычисляем: * V л
Результаты 1    Точечная оценка параметра ц: М = х = 2    Двусторонний симметричный доверительный интервал для ц: х - К2 о0 й ц <, х ♦ К2 я0 . 3    Односторонние доверительные интервалы для ц: Ц < X ♦ КуОф или ц г х — К,о0.
Примечание — Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А 1 приложения А.

Примеры

1    Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного. шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки р требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения р или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение р. Интервал может быть:

■ двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать р;

• односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что р не выше какого-то значения;

- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что р не ниже какого-то значения.

2    Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок — как в примере 1.

3    Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т. о. известным параметром о²^. в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки р. Условие и возможные типы оценок — как в примере 1.

6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.

5

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1    Объем выборки: п = 2    Сумма значений наблюдаемых величин: 1х = 3    Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 1x2 = 4    Степени свободы: V = п — 1 = 5    Выбранная доверительная вероятность: 1 — а =	1    Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 —«) с v степенями свободы: 'l-aM = 2    Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 —aJ2) с v степенями свободы: *i = 3    Вычисляем: 4    Вычисляем: I < X - X >2 I х 2 - <£ х)2/л л- 1 л-1 5    Вычисляем: 6    Вычисляем: / .*-2. 1 “ 7л 7    Вычисляем: /2.I,-r2<V)« \ л
Результаты 1    Точечная оценка параметра р: р = х = 2    Точечная оценка параметра D: 0 = S2 = 3    Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра р: х — l2S й р £ х ♦ /2 S. 4    Односторонние доверительные интервалы для параметра р: р £ x*/,S или (1) P*x-/,S. (2)
Примечание — Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

Примеры— Примеры те же. что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.

6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением р₀ при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.