ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ

СТАНДАРТ

РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ

Часть 4

Карты кумулятивных сумм

ISO 7870-4:2011 Control charts — Part 4: Acceptance control charts (IDT)

Издание официальное

Предисловие

1    ПОДГОТОВЛЕН Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО «НИЦ КД») на основе собственного аутентичного перевода на русский язык международного стандарта, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Применение статистических методов»

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 17 декабря 2013 г. № 2334-ст

4    Настоящий стандарт идентичен международному стандарту ИСО 7870-4:2011 «Контрольные карты. Часть 4. Карты кумулятивных сумм» (ISO 7870-4:2011 «Control charts-Part 4: Cumulative sum charts»).

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5.

При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные стандарты Российской Федерации, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА

5    ВЗАМЕН ГОСТ Р 50779.45-2002

Правила применения настоящего стандарта установлены в ГОСТ Р 1.0-2012 (раздел 8). Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе «Национальные стандарты», а официальный текст изменений и поправок - в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (gost.ru)

© Стандартинформ, 2014

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

Таблица 1    -    Табличное    представление    вычислений    для    cusum-карты    на    основе последовательности измерений напряжения

Номер двигателя (1) Напряжение (2) Напряжение минус 10В (3) Cusum-карта (4) Номер двигателя (5) Напряжение (6) Напряжение минус 10В (7) Cusum-карта (8) 1 9 -1 -1 21 3 -7 + 11 2 16 +6 +5 22 9 -1 +10 3 11 +1 +6 23 7 -3 +7 4 12 +2 +8 24 14 +4 +11 5 16 +6 +14 25 2 -8 +3 6 7 -3 +11 26 6 -4 -1 7 13 +3 +14 27 4 -6 -7 8 12 +2 +16 28 12 +2 -5 9 13 +3 +19 29 8 -2 -7 10 11 +1 +20 30 8 -2 -9 11 12 +2 +22 31 12 +2 -7 12 8 -2 +20 32 6 -4 -11 13 8 -2 +18 33 14 +4 -7 14 11 + 1 +19 34 13 +3 -11 15 14 +4 +23 35 12 +2 -7 16 8 -2 +21 36 14 +4 -4 17 6 -4 +17 37 13 +3 -2 18 14 +4 +21 38 10 0 +2 19 4 -6 +15 39 13 +3 +5 20 13 +3 +18 40 13 +3 +5

6.6 Интерпретация cusum-карты

6.6.1    Введение

При использовании cusum-карты для ретроспективного анализа как в рассматриваемом примере, обычно лучше не сосредотачиваться на отдельных точках графика, а провести минимальное количество прямых линий, которые являются линиями наилучшего визуального приближения представленных данных (см. рисунок 1 с).

Не следует интерпретировать наклон этих прямых и их расположение относительно вертикальной оси. Необходимо отметить, что вертикальная ось не представляет фактические данные напряжения.

Прямая линия с наклоном вверх/вниз не указывает, как раньше на увеличение/уменьшение уровня процесса, а лишь означает, что он постоянен и его значение больше/меньше опорного значения. Чем более крутой наклон прямой, тем больше разность с опорным значением. Горизонтальная линия указывает на то, что уровень процесса является постоянным и равен опорному значению. Интерпретация cusum-карты для двигателей более подробно рассмотрена ниже.

6.6.2    Основы интерпретации cusum-карты, используя «воображаемые данные без

помех»

Пусть последовательность первых 18 измерений напряжения на двигателе имеет вид: 10, 10, 10, 13, 13, 13, 10, 10, 10, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 8, 8, 8 (см. таблицу 2, столбец 2), а опорное значение равно 10 В.

7

Полученная cusum-карта представлена на рисунке 2. Кумушг сумма

Рисунок 2 - Cusum-карта для воображаемых данных

Из сопоставления данных таблицы 2 (столбец 2) и cusum-карты (см. рисунок 2) можно заметить, что:

a)    двигатели 1 - 3, 7 - 9 и 13 - 15 все соответствуют опорному значению 10В и лежат на горизонтальных отрезках прямой на cusum-карте. Положение этих горизонтальных отрезков относительно вертикальной оси не связано с реально измеряемыми значениями, а лишь с предыдущими значениями;

b)    двигателям 4-6 соответствуют значения выше опорного, а именно 13В, эти точки расположены на отрезке возрастающей прямой на cusum-карте. Здесь нет изменчивости данных. При отсутствии помех для вычисления среднего арифметического для конкретного отрезка на графике следует использовать следующую формулу:

8

ГОСТ Р ИСО 7870-4 — 2013

/CusumB конце отрезка — CusumB начале отрезка \

Среднее арифметическое = опорное значение + I-].

V количество интервалов наблюдений /

/9 — 0\

Kivg = Ю + J = 13.

c)    аналогично для двигателей 9 - 12:

^avg = 10 + (^) = 9.

d)    для двигателей 16 - 18:

^avg =    10    +    (—)    =    8.

Таким образом, различные углы наклона графика на cusum-карте указывают, что

-    у двигателей 1-3, 7-9и 13-15 напряжение оставалось постоянным на уровне

10 В;

-    у двигателей4 - 6 напряжение также оставалось постоянным, но на уровне 13 В;

-    у двигателей12 напряжение оставалось постоянным на уровне 9 В;

-    у двигателей16 - 18 напряжение оставалось постоянным на уровне 8 В.

Для данных «без помех» выводы очевидны. Для реальных данных таблицы 1 (столбцы 2 и 6) выводы не столь очевидны.

6.6.3 Интерпретация для реальных данных Cusum-карта, представленная на рисунке 1 с), показывает, что:

а) выборочное среднее результата измерений двигателей 1-10 больше опорного значения и

равно:

V количество интервалов наблюдения

(20 - 0\

( 10 ) “ ^{12 в}-

b)    для двигателей 11-18 выборочное среднее равно 10 В, поскольку соответствующие точки находятся на горизонтальном отрезке прямой;

c)    для двигателей 19 - 31:

(-12 - 20\

(—пг-И^5В-

d) для двигателей 32 - 40:

^avg = 10 + (i—²) = 12,6 В.

Таким образом, cusum-карта позволяет вычислить скользящие средние для периодов изменчивости процесса. Это является существенным улучшением по сравнению с негибким подходом карты скользящего среднего. Общие результаты приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Средние напряжения для двигателей в периоды сохранения или изменения уровня процесса

Номер двигателя Среднее напряжение 1-10 12,0 11- 18 10,0 19-31 7,5 32-40 12,6

В качестве альтернативы этому методу можно просто вычислить локальные средние для каждого отрезка cusum-карты.

Например, для двигателей 1 -10:

,,    (9+16+11+12+16+7+13+12+13+11)^    _л~, _п

KiVg - ^    ₁₀    )    -    1^>^и-

Результаты таких вычислений могут иногда давать несколько отличающиеся результаты по сравнению с предыдущим методом. Это вызвано сглаживанием данных при проведении прямой линии через отдельные точки.

9

6.7 Манхэттенская схема

После проведения исследований часто бывает удобно построить еще одну схему, обеспечивающую более простое представление данных в форме «без помех». Это представление под влиянием прямоугольных очертаний Манхэттена получило наименование манхэттенской схемы.

Это представление данных, приведенных в 6.6.3 а), Ь), с) и d) в виде установленного графика напряжений на двигателях в соответствии с последовательностью их изготовления. Схема представлена на рисунке 3 для сравнения с кумулятивными суммами исходными данными, представленными на рисунках1 с) и 1 а).

Рисунки 3, 1 с) и 1 а) объединяют функции и значение cusum-метода в режиме ретроспективного анализа функционирования процесса. Рисунки показывают простой метод визуального представления данных без использования специальных математических символов и статистических выражений.

Напряжение, В 13 12 и 1П

а

в

?■

D    ID    2D    3D    4D

Номер двигателя

Рисунок 3 -Манхэттенская схема для данных напряжений на электродвигателях

Простота и однозначность манхэттенской схемы обеспечивают понимание и возможность получения технических выводов. Cusum-карту можно рассматривать как промежуточный этап и представление данных для составления манхэттенской схемы.

7 Принципы принятия решений на основе cusum-карты

7.1    Правила принятия решения

Правила принятия решений необходимы для интерпретации cusum-карты. Если правила принятия решений установлены в зависимости от свойств процесса, то на основе cusum-карты могут быть предприняты необходимые действия. Обычно эти действия включают:

a)    для управления процессом: корректировка условий функционирования процесса;

b)    для улучшения: исследование первопричин изменчивости;

c)    для прогнозирования: анализ и,при необходимости, корректировка модели прогнозирования или ее параметров.

7.2    Основы принятия решений

Необходимо установить основные критерии принятия решений.

Для обеспечения эффективных основ обнаружения сигнала об изменении состояния процесса, необходимо установление количественных характеристик «шума» в системе. Что представляет собой шум и сигнал, определяет принятая стратегия контроля, которая устанавливает необходимое количество наблюдений, частоту отбора и способ составления выборки или подгруппы. Следует учитывать, что мера, используемая для количественной оценки изменчивости процесса, как правило, влияет на результат.

Собственную изменчивость обычно измеряют посредством одной из следующих статистик.

а) Стандартное отклонение: если для построения cusum-карты использованы отдельные наблюдения.

Отдельные наблюдения для вычисления стандартного отклонения процесса обычно отбирают от гомогенного сегмента данных. Это требование является достаточно жестким. Изменчивость больше собственной изменчивости процесса рассматривают как результат действия специальных

10

ГОСТ Р ИСО 7870-4 — 2013

причин, что указывает на сдвиг среднего серии данных или изменение собственной изменчивости или того и другого.

Ь) Стандартная ошибка: если некоторая функция подгруппы наблюдений, такая как среднее, медиана или размах позволяет построить cusum-карту.

Понятие подгруппы основано на том, что изменчивость в пределах подгруппы является результатом воздействия общих, а между подгруппами - специальных причин. Основной ролью cusum-карты является выявление общих и особых причин изменчивости. Следовательно, правильный выбор подгруппы имеет огромное значение. Например, составление подгруппы путем отбора четырех последовательно изготовленных единиц продукции производственного процесса каждый час, в противоположность отбору одной единицы продукции через каждые четверть часа, может дать совершенно разные оценки изменчивости. Стандартная ошибка в первом случае, меньше чем во втором. Одна cusum-карта характеризует изменчивость последовательных единиц продукции, а другая изменчивость через 15 минут. Выбор соответствующей меры изменчивости зависит от того о какой изменчивости должна сигнализировать карта.

Однако, требование наличия стабильности процесса в течение периода, достаточного для установления количественных показателей изменчивости, таких как стандартное отклонение или стандартная ошибка, является слишком жестким для некоторых областей применения cusum-метода.

Например, наблюдения непрерывного процесса могут показать незначительные отклонения среднего уровня. Требуется, чтобы именно по этим отклонениям были приняты решения о систематической или постоянной изменчивости. Иллюстрации:

a)    процессом управляет термостат или другое устройство автоматического управления;

b)    качество исходного сырья может подвергаться незначительным изменениям, не нарушая установленных требований;

c)    при мониторинге отзывов о лечении пациента могут быть выявлены незначительные изменения обмена веществ, связанные с пищей, пребыванием в больнице или домашними делами и т.д., но по всем последствиям лечения должны быть приняты решения об общей изменчивости.

С другой стороны, выборка может включать продукцию или наблюдения из нескольких источников (административных областей, заводов, машин и операторов). Также может присутствовать слишком большая локальная изменчивость, что не позволит принять адекватные решения о смещении общего среднего. Поэтому данные, полученные из нескольких источников, следует обрабатывать осторожно, поскольку все особенности отдельных источников данных могут быть пропущены. Кроме того, изменчивость между источниками данных может быть замаскирована изменениями, происходящими во всей системе во времени.

Одним из важных предположений в cusum-процедуре является то, что стандартное отклонения процесса а предполагается постоянным. Поэтому прежде чем применять cusum-процедуру, процесс должен быть исследован на наличие статистической управляемости (с помощью R-карты, s-карты или карты скользящих размахов), а затем определяют оценку а.

Может также проявиться последовательная корреляция между наблюдениями, когда одно наблюдение оказывает влияние на следующее. Иллюстрацией отрицательной последовательной корреляции являются последовательные значения массы использованного сыпучего материала, когда нивелируются ошибки предыдущего и последующего исследований. Другим примером является ситуация, когда недостаточный или избыточный заказ в одном месяце компенсируется заказом в следующем месяце. Появление положительной корреляции возможно в некоторых производственных процессах, когда одна партия материала частично смешивается с предыдущей и последующей партиями.

Аналогичное явление можно наблюдать в финансовых отчетах, когда отдельные показатели переходят в следующий отчетный период.

В силу сказанного необходимо рассмотреть другие количественные меры изменчивости в серии или последовательностях данных и условия, в которых эти меры являются адекватными.

Такие меры изменчивости, на которых основано принятие решений с использованием cusum-карт, приведены в приложении А. Кроме того, там даны рекомендации относительно их выбора в зависимости от ситуации.

7.3 Эффективность правил принятия решения

7.3.1 Основные понятия

Идеальное выполнение правила принятия решения состоит в том, чтобы реальные изменения не менее чем на заданную величину были обнаружены, а процесс без таких изменений мог работать неопределенно долго без ложных сигналов. В действительности это не достижимо. Простой и удобной мерой эффективности правила принятия решений является средняя длина серии (ARL).

11

ARL представляет собой математическое ожидание количества выборок, необходимого для принятия решений о наличии изменений.

Если реальные изменения отсутствуют, идеальное значение ARL равно бесконечности. Практическая цель в такой ситуации состоит в том, чтобы сделать ARL большим. Наоборот, при наличии реального изменения идеальное значение ARL равно 1, когда изменение обнаружено при отборе следующей выборки. Выбор ARL - компромисс между этими двумя требованиями. Принятие ошибочного решения действовать, когда процесс не изменился, приводит к «сверх-управлению» и еще большему увеличению изменчивости. Принятие соответствующих мер, когда процесс изменился, способствует обеспечению стабильности процесса. В действительности это тоже увеличивает изменчивость процесса и приводит к увеличению стоимости производства.

Значение ARL также подвержено изменчивости. Иногда ложный сигнал может быть получен после большой серии данных или изменение обнаружено очень быстро. В некоторых случаях неудачный отбор выборок может вызвать появление ложных сигналов или так замаскировать реальное изменение, что оно не приведет к появлению сигнала. Время от времени фактическую изменчивость ARL необходимо исследовать. Обычно ARL рассматривают как меру эффективности правила принятия решений.

Истинное состояние процесса	Требуемый cusum	Идеальное значениеАРЦ
Уровень процесса равен целевому значению или близок	Значение ARL достаточно велико (мало ложных сигналов)	бесконечность
Существенное отклонение уровня процесса от целевого значения	Значение ARL мало (быстрое обнаружение изменений)	1

7.3.2 Пример вычисления ARL

Понятие ARL не определено по отношению к cusum. На рисунке 4 показана стандартная контрольная карта Шухарта с контрольными границами на уровне±Зстандартных отклонения от центральной линии для нормального распределения.

Это распределение называют «нормированным», поскольку у него нулевое среднее и стандартное отклонение равное единице.

В соответствии с рисунком 4приблизительно 0,135 % наблюдений в среднем попадает вне каждой из границ, если среднее процесса находится на центральной линии или на целевом значении. На основе этого можно легко подсчитать ARL: 1/0,00135 = 741. Другими словами, в среднем выше верхней контрольной границы попадает одно из 741 наблюдения. Это частота ошибки сигнала об изменении уровня процесса, когда фактически это не произошло.

LCL    IJCL

Стандартное отклонение Рисунок 4 - График плотности нормированного нормального распределения

Следовательно, для практических целей необходимо разработать систему контроля, обеспечивающую высокое значение ARL, когда уровень процесса совпадает с целевым значением.

Если заданы две границы и среднее процесса совпадает с целевым значением, ARL делят на два, т.е. он равен 1/ (0,00135 + 0,00135) = 370.

Если среднее процесса смещено на стандартное отклонение к верхней контрольной границе, то в среднем 2,28 % наблюдений будут находиться выше верхней контрольной границы. Тогда ARL

12

ГОСТ Р ИСО 7870-4 — 2013

по отношению к UCL становится 1/0,0228 = 44 для этой односторонней границы. Другими словами, в среднем, потребуется приблизительно 44 интервала наблюдения, чтобы выявить сдвиг среднего на одно стандартное отклонение.

При наличии двух границ ожидается, что ниже LCL будет находиться только 0,0032 % наблюдений, поскольку значение, равное среднему процесса минус четыре стандартных отклонения, находится достаточно далеко от LCL. Так как 1/ (0,000032 + 0,0228) существенно не влияет на значение ARL, вычисленное для единственной контрольной границы и сдвига среднего процесса на одно стандартное отклонение, ARLb случае двух контрольных границ приблизительно такое же, как и в случае одной контрольной границы, а именно, 44.

На практике часто применяют дополнительно предупреждающие границы выше и ниже среднего процесса, которые защищают от слишком быстрого обнаружения сдвига среднего процесса, за счет увеличения количества ложных сигналов, когда среднее процесса равно целевому значению. Карта Шухарта очень привлекательна и популярна из-за ее простоты и эффективности обнаружения отдельных специальных причин, вызывающих большие сдвиги среднего процесса.

Однако общеизвестно, что контрольная карта Шухарта дает мало сигналов при небольших сдвигах среднего, даже если они сохраняются. Это указывает на другой метод более быстрого обнаружения сдвига среднего при высоких значениях ARL, когда среднее процесса находится рядом с целевым значением. Для этого хорошо подходит cusum-метод.

8 Типы решений по cusum-карте

8.1    Формы V-масок

Самые простые правила решения на основе cusum-карты представлены формами V-масок. Существуют различные формы V-масок. Они идентичны по принципу построения и одинаково эффективны:

a)    усеченная V-маска;

b)    полу-параболическая маска;

c)    укороченная V-маска;

d)    полная V-маска.

8.2    Усеченная V-маска

8.2.1 Конфигурация и размеры

Усеченная V-маска общего назначения показана на рисунке 5. Она содержит точку начала отсчета, обозначенную О. Два вертикальных отрезка ОВ и ОС длиной 5а_екаждый расположены по обе стороны от точки начала отсчета (т.е. Н = 5а_е). Эти два отрезка называют интервалами решений. Два наклонных отрезка ВА и CD, называемые разрешающими линиями, охватывают cusum-график. Размер ЕО равен десяти интервалам наблюдений, а вертикальные отрезки ЕА и ED равны 10а_е (т. e.F = 0,5а_е).

13

Усеченная V-маска в реальном масштабе показана на рисунке 6 для контролируемой характеристики процесса со стандартным отклонением 0,2. Здесь использовано стандартное отклонение, а не стандартная ошибка, поскольку данная маска разработана для контроля отдельных наблюдений, а не среднего.

Кумупятив ная з с тал via

Z 1

-1 -Z -3

8.2.2 Применение усеченной V-маски

Для использования маски на линии начала отсчета, расположенной горизонтально на cusum-карте, указывают точку начала отсчета. В ситуации продолжающегося управления процессом это самая последняя точка.

Если cusum-график находится внутри разрешающих линий маски (или их продления до точки А и D), то существенный сдвиг в среднем на этом графике не выявлен. В этом случае процесс находится в состоянии статистической управляемости относительно целевого значения. Если график изменения cusum выходит за разрешающие линии маски, это указывает на существенное отклонение от целевого значения. В этом случае процесс является неуправляемым.

На рисунке 7 показаны cusum-графики процесса в состоянии статистической управляемости, когда существенные отклонения от целевого значения не выявлены, и двух неконтролируемых процессов, когда имеются существенные увеличение и уменьшение значений контролируемой характеристики. Во всех случаях на рисунке 7 использовано стандартное отклонение. Целевое значение, используемое при построении cusum-карты, равно целевому среднему процесса.

Текущую ситуацию определяют наложением V-маски на cusum-картуп о мере накопления данных.

Хотя рисунок 7 а) показывает, что среднее процесса меньше целевого значения V-маска еще не регистрирует это изменение как существенное отклонение.

По рисунку 7 Ь) видно, что среднее процесса - значительно меньше целевого значения. В то время как существенное отклонение не обнаружено до десятого наблюдения, с визуальной точки зрения среднее процесса имеет тенденцию снижения с первого наблюдения. Отмечая наклон линии наблюдений можно определить оценку фактического среднего процесса. Это обеспечивает возможность необходимой корректировки для возвращения процесса к его целевому значению и диагностику определения причин в точке наблюдения 1, вызвавших стойкое снижение уровня процесса.

Из рисунка 7 с) видно, что среднее процесса значительно меньше целевого значения. Это отклонение не зарегистрировано как существенное отклонение среднего до наблюдения 14. Можно заметить, что уровень процесса был ниже целевого значения до наблюдения 6, но этого было недостаточно для появления сигнала о неконтролируемости процесса. Затем в точке наблюдения 6 уровень процесса изменился на более высокий по отношению к целевому значению. Измерение наклона cusum-линии до и после наблюдения 6 позволяет корректировать процесс и выявить причины изменений процесса.

При наличии только верхней или только нижней границ допустимых значений применяют односторонний контроль. В этом случае может быть использована полумаска. При контроле сдвига вверх/вниз необходима лишь соответствующая половина маски. Однако все же предпочтительно

14

ГОСТ Р ИСО 7870-4 — 2013

использовать маску целиком для получения большего количества информации. Все сдвиги в другом направлении могут быть проигнорированы.

Кумулятивная ₃ сумма

2

D 1 г 3 -I 5 Б 7 В а 1П 11 12 13 14 15 1Б 17 1В за га

Номер наблюдения

а) Отсутствие существенных изменений среднего процесса по отношению к целевому значению

Кумулятивная a | .    \

сумма

г-

D 1    2    3    4    5    Б    7    В    3    Ш    11    12    13    14    15    1Б 17 II 19 Z0

Номер наблюдения

Ь) Существенное уменьшение среднего процесса по отношению к целевому значению

Кумулятивная э сумма

г 1

в -1 -г -э

с) Существенное увеличение среднего процесса по отношению к целевому значению

Рисунок 7 -Примеры использования усеченной V-маски для обнаружения существенного изменения среднего

процесса

8.2.3 Средняя длина серии

Свойства средней длины серии (ARL) для усеченной V-маски общего назначения, представленной на рисунке 8, приведены в таблице 4 в единицах, кратных стандартному отклонению

15

или стандартной ошибке контролируемой характеристики. Значение ARL приведены для cusum-карты и карт Шухарта с двумя правилами принятия решений.

Сдвиг в единицах

г:р атных стандартному

отклонению

Рисунок 8 - Средняя длина серии для обнаружения сдвига среднего процесса от целевого значения для усеченной V-маски общего назначения и стандартных контрольных карт Шухарта

Правила принятия решений:

- ПравилоШухарта1 .Если точка оказывается за границами±3 стандартных отклонения от центральной линии, а именно границами действия или контрольными границами, принимают решение о наличии отклонения среднего процесса от целевого значения;

-Правило Шухарта2.Если последовательные точки оказываются за границами±2 стандартных отклонения контролируемой переменной от центральной линии, а именно, за границами предупреждения, принимают решение об отклонении среднего процесса.

Примечание 1-Предполагается, что контролируемая переменная подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением о.

Примечание 2-Средняя длина серии соответствует контролю среднего процесса по отношению к одной границе. Если контроль осуществляют относительно двух границ с единственным целевым значением, ToARLflna двух границ вдвое больше (количество ложных сигналов удваивается), но для больших отклонений процесса значение ARL в среднем сохраняется.

Примечание 3- Для стандартной cusum-карты высота интервала решений h и угловой коэффициент разрешающей линии f удовлетворяют условиям h = 5,0 и f = 0,5 (см. рисунок 4). Граница действий карты Шухарта относится только к правилу 1. Границы действия и предупреждения применяют в комбинации правил 1 и 2.

16

ГОСТ Р ИСО 7870-4 — 2013

Содержание

1    Область применения.............................................................................................................................1

2    Нормативные ссылки.............................................................................................................................1

3    Термины и определения, сокращения и обозначения.......................................................................1

4    Основные функции cusum-карты.........................................................................................................3

5    Основные этапы построения cusum-карты. Графическое представление......................................4

6    Пример cusum-графика. Напряжение на двигателе...........................................................................4

7    Принципы принятия решений на основе cusum-карты....................................................................10

8    Типы решений по cusum-карте...........................................................................................................13

9    Cusum-методы для управления процессом и контроля качества продукции................................22

Приложение А (справочное) Метод Ноймана...........................................................................................45

Приложений В (справочное) Пример табличного cusum.........................................................................46

Приложений С (справочное)Определение точки изменений...................................................................49

Приложение ДА (справочное) Сведения о соответствии ссылочных международных стандартов,

указанных в библиографии, ссылочным национальным стандартам Российской Федерации (и действующим в этом качестве

межгосударственным стандартам).............................................................................51

Библиография..............................................................................................................................................52

Таблица 4 - Средняя длина серии для обнаружения сдвига среднего процесса от целевого значения для усеченной V-маски общего назначения (см. рисунок 5)и двух видов стандартных контрольных карт Шухарта

Сдвиг среднего процесса от целевого значения (в единицах ое) Средняя длина серии Стандартная усеченная V-маска Контрольная карта Шухарта с границами действия Контрольная карта Шухарта с границами действия и предупреждения 0,0 931,0 741,0 556,0 0,2 198,0 308,0 223,0 0,4 60,0 200,0 134,0 0,6 27,0 120,0 75,0 0,8 15,0 72,0 43,0 1,0 10,0 44,0 26,0 1,2 7,8 28,0 16,0 1,4 6,3 18,0 11,0 1,6 5,3 12,0 7,4 1,8 4,6 8,7 5,4 2,0 4,0 6,3 4,1 2,2 3,6 4,7 3,2 2,4 3,3 3,7 2,6 2,6 3,0 2,9 2,2 2,8 2,8 2,4 1.9 3,0 2,6 2,0 1.7

Значение ARL является индикатором эффективности метода принятия решений:

-    чем больше значение ARL для целевого значения, тем ниже вероятность ложных сигналов;

-    чем меньше ARL при выявлении отклонения среднего от его целевого значения, тем быстрее обнаруживаются изменения процесса.

В соответствии с рисунком 8 и таблицей 4 можно сделать следующие выводы:

a)    Значение L₀ (ARL при нулевом сдвиге) для cusum-карты больше чем для карты Шухарта с пределами действия, однако для карты Шухарта с границами действия и предупреждения значение L₀ существенно меньшее. Таким образом, cusum-карта обладает самым низким уровнем ошибочных сигналов.

b)    Для сдвигов среднего процесса менее 2а_е, ARL cusum-карты меньше чем ARL любых других карт с наиболее быстрой реакцией на сдвиг процесса. Это особенно проявляется в области от 0,4а_едо 1,4 а_е.

c)    Для сдвигов среднего процесса более 2а_е карта Шухарта с границами действия и предупреждения быстрее реагирует на сдвиг процесса, чем cusum-карта. Для сдвига среднего процесса более 2,4а_е карта Шухартас границами действия и предупреждения быстрее реагирует на сдвиг процесса, чем cusum-карта. Однако, при этом карты Шухарта обладают более высоким уровнем ошибочных сигналов.

8.2.4 Общие комментарии к ARL

Во-первых, размерности стандартной, усеченной V-маски общего назначения разработаны для обнаружения сдвигов процесса в области не более одной стандартной ошибки (1а_е). При контроле других сдвигов используют другие значения h и f. Кроме того, для улучшения свойств ARL и, следовательно, обнаружения сдвига среднего процесса могут быть выбраны V-маски различной конфигурации или формы. Примеры полу-параболической V-маски и усеченной V-маски рассмотрены в 8.4 и 8.5 соответственно.

Во-вторых, вместе с контрольной картой Шухарта, часто используют дополнительные правила. Эти правила включают «7 последовательных точек с одной стороны от целевого значения» и «7 последовательно возрастающих или убывающих точек». Эти правила существенно уменьшают значение ARL, если среднее процесса совпадает с целевым значением, что значительно увеличивает вероятность ложных сигналов.

В-третьих, большое количество факторов влияет на устойчивость ARL. К ним относится форма предполагаемой модели изменчивости, значение а_е, и независимость наблюдаемых характеристик. Значения ARL, приведенные в таблице 4 и на рисунке 8 основаны на трех предположениях:

17

Введение

В настоящем стандарте рассмотрен универсальный и полезный, но очень простой и достаточно мощный графический метод интерпретации данных, расположенных в любой установленной последовательности. Эти данные могут отражать общие экономические показатели, такие как прибыль, издержки, данные выполнения конкретной технологической операции, параметры процесса и характеристики продукции. Данные могут представлять собой последовательные, количественные данные, измеряемые в соответствии с непрерывной шкалой (например, 24,60, 31,21, 18,97...), неколичественные данные вида «да» / «нет», «хорошо» / «плохо», «успех», «отказ» или статистику(например, среднее, размах, количество событий).

Метод называется методом кумулятивных сумм или «cusum-методом». Это вызвано тем, что метод предусматривает вычитание из полученных данных заданного значения, например, целевого, предпочтительного или опорного значения и их суммирование с накоплением. График таких сумм называется cusum-картой. Такой простой арифметический процесс обеспечивает хорошую визуальную интерпретацию данных.

Cusum-метод используют игроки в гольф во всем мире, прибавляя 4 при выигрыше и вычитая 2 при проигрыше, к своему счету и (накапливая) полученные баллы. Это - cusum-метод в действии. Однако метод еще недостаточно известен и, следовательно, недостаточно широко применяется в бизнесе, промышленности, торговле и т. п.

Настоящий стандарт направлен на обеспечение широкого применения этого метода. Преимущества данного метода перед широко известными картами Шухарта состоит в том, что cusum-метод позволяет обнаружить изменения приблизительно в три раза быстрее, чем карты Шухарта.

Cusum-карты могут быть использованы как дополнение к картам Шухарта и EWMA картам (картам экспоненциально взвешенного скользящего среднего). Каждая точка на карте EWMA включает информацию обо всех предыдущих подгруппах или наблюдениях, при этом веса предыдущих наблюдений убывают по экспоненте. Аналогично cusum-карте, EWMA-карта может быть усовершенствована и стать более чувствительной для обнаружения изменений процесса.

IV

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ Часть 4 Карты кумулятивных сумм

Statistical methods. Control charts. Part 4. Cumulative sum charts

Дата введения — 2014—12—01

1    Область применения

В настоящем стандарте установлены статистические процедуры определения кумулятивной суммы (cusum) для процесса и контроля качества с использованием количественных данных В стандарте установлены общие методы принятия решений, использующие кумулятивную сумму (cusum) для мониторинга, контроля, управления и ретроспективного анализа.

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие международные стандарты:

ИСО 3534-1 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Общие статистические термины и термины, используемые в вероятностных задачах (ISO 3534-1, Statistics-Vocabulary and symbols-Part 1: General statistical terms and terms used in probability)

ИСО 3534-2 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 2. Прикладная статистика (ISO 3534-2, Statistics - Vocabulary and symbols - Part 2: Applied statistics)

Примечание- При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю «Национальные стандарты», который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты» за текущий год Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку.

3 Термины и определения, сокращения и обозначения

3.1    Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ИСО 3534-1, ИСО 3534-2, а также следующие термины с соответствующими определениями.

3.1.1    целевое значение Г (target value 7): Значение, от которого должно быть обнаружено отклонение среднего уровня процесса.

Примечание 1 - При использовании cusum-карты отклонения от целевого значения суммируют.

Издание официальное

Примечание 2 - При использовании V- маски целевое значение часто является опорным значением или номинальным значением. Необходимо подчеркнуть, что целевое значение не обязательно является самым желательным или предпочтительным значением. Это лишь удобное значение для разработки cusum-карты.

3.1.2    начальное значение (datum value): Значение (для cusum-таблиц), по отношению к которому вычисляют разности.

Примечание -Верхнее начальное значение равно (Т + fo_e) для мониторинга смещения вверх. Нижнее начальное значение равно (T-fa_e) для мониторинга смещения вниз.

3.1.3    опорный сдвиг (для cusum-таблиц) (reference shift); F, f. Разность между целевым значением (3.1.1) и начальным значением (3.1.2).

П р и м еч а н и е-Необходимо различать f относящийся к стандартизованному опорному сдвигу, и F, относящийся к наблюдаемому опорному сдвигу F= fo_e.

3.1.4    опорный сдвиг (для V-маски) (reference shift); F, f\ Угловой коэффициент линии маски (тангенс угла наклона линии маски).

Примечание-Необходимо различать f относящийся к стандартизованному опорному сдвигу, и F, относящийся к наблюдаемому опорному сдвигу, F = fo_e.

3.1.5    интервал решений (для cusum-таблиц Н, h) (decision interval); Н, h: Совокупная сумма отклонений от начального значения (3.1.2), приводящая к появлению сигнала.

Примечание-Необходимо различать h, относящийся к стандартизованному интервалу решений, и Н, относящийся к наблюдаемому интервалу решений, Н = ho_e.

3.1.6    интервал решения (для усеченной V-маски Н, h) (decision interval); Н, h: Полувысота в точке отсчета маски.

Примечание-Необходимо различать h, относящийся к стандартизованному интервалу решений и Н относящийся к наблюдаемому интервалу решения, Н = ho_e.

3.1.7 средняя длина серии (average run length); L: Среднее количество выборок, отобранных до точки появления сигнала.

Примечание-Среднюю длину серии (L) обычно связывают с определенным уровнем процесса. При этом L₀ означает среднюю длину серии процесса на целевом уровне, т. е. с нулевым сдвигом.

3.2    Сокращения

ARL    -    средняя длина серии;

CS1    - cusum-схема с большой ARL при нулевом сдвиге;

CS2    - cusum-схема с меньшей ARL при нулевом сдвиге;

DI    -    интервал решений;

EWMA    -    экспоненциально взвешенное скользящее среднее;

FIR    -    быстрая начальная реакция;

LCL    -    нижняя контрольная граница;

RV    -    опорное значение;

UCL    -    верхняя контрольная граница.

3.3    Обозначения

- коэффициент масштаба;

С - значение кумулятивной суммы;

Ср - разность cusum-значений в ведущей точке и неконтролируемой точке;

с₄ - коэффициент для определения оценки стандартного отклонения в пределах подгруппы;

б    -    изменение, которое должно быть обнаружено;

А - стандартизованное количество изменений, которые должны быть обнаружены; d    -    ведущее расстояние;

2

ГОСТ Р ИСО 7870-4 — 2013

d2    - коэффициент для определения оценки стандартного отклонения в пределах

подгруппы;

F    -    наблюдаемый опорный сдвиг;

f    -    стандартизованный опорный сдвиг;

Н    -    наблюдаемый интервал решений

h    -    стандартизованный интервал решений;

J    -    индекс;

ср    -    размер корректировки процесса;

К - начальное значение cusum для дискретных данных; к    -    количество подгрупп;

Lо    -    средняя длина серии при нулевом сдвиге;

Z.5    -    средняя длина серии при сдвиге б;

р    -    среднее (математическое ожидание) совокупности;

т    -    среднее биномиальной величины;

п    -    объем подгруппы;

р    -    вероятность «успеха»;

R    -    средний размах подгруппы;

г - количество точек на графике между ведущей точкой и неконтролируемой точкой;

о    -    стандартное отклонение процесса;

сто    -    стандартное отклонение в пределах подгруппы;

ст₀ - оценка стандартного отклонения в пределах подгруппы;

ст_е    -    стандартная ошибка;

s - выборочное стандартное отклонение в пределах подгруппы; s    -    среднее арифметическое стандартных отклонений подгрупп;

- стандартная ошибка среднего по к подгруппам;

Т    -    целевое значение;

7т    -    опорная или целевая интенсивность событий;

Т_р    -    опорная или целевая пропорция;

т    -    истинная точка изменения;

t    -    наблюдаемая точка изменения;

l/_avg    -    среднее напряжение;

V_avg    -    оценка среднего напряжения;

w - разность между выборочными средними последовательных подгрупп; х    -    результат наблюдений;

х    -    выборочное среднее (подгруппы);

х    -    среднее арифметическое выборочных средних подгрупп.

4 Основные функции cusum-карт

Кумулятивная сумма представляет собой сумму отклонений от некоторого установленного опорного значения. Среднее любой группы последовательных значений может быть представлено

3

визуально с помощью угла наклона графика данных. Основные особенности cusum-карты следующие.

a)    Cusum-карта чувствительна к обнаружению изменений среднего.

b)    Любые изменения среднего и степень этих изменений на карте визуально проявляются изменениями угла наклона графика данных:

1)    горизонтальный график указывает на соответствие среднего процесса целевому или опорному значению;

2)    наклон графика вниз указывает на то, что среднее процесса меньше опорного или целевого значения: (чем больше угол наклона, тем больше разность);

3)    наклон графика данных вверх указывает на то, что среднее процесса больше опорного или целевого значения (чем больше угол наклона, тем больше разность).

c)    Cusum-карта может быть использована ретроспективно для исследовательских целей и прогнозирования состояния процесса в ближайшем будущем.

В соответствии с перечисление Ь) cusum-карта может указать точки произошедших изменений. Это точки изменения градиента cusum-графика. Cusum-карта обладает огромным преимуществом для управления процессами. Она позволяет быстро и точно определить момент изменений процесса, когда необходимы корректирующие действия.

Полезная функция cusum-карты состоит в том, что она может быть обработана без графического изображения, т.е. в табличной форме. Это очень полезно при контроле процесса, когда количество параметров процесса и характеристик продукции велико. Данные о состоянии процесса могут быть получены автоматически и загружены в соответствующее программное обеспечение для автоматического cusum-анализа. Менеджер процесса может быть предупрежден об изменениях по многим характеристикам одновременно. Пример метода приведен в приложении В.

5 Основные этапы построения cusum-карты. Графическое представление

При построении cusum-карты для отдельных значений необходимо выполнить следующие действия.

Этап 1. Выбирают опорное, целевое, контрольное или предпочтенное значение. Среднее арифметическое последних результатов обычно обеспечивает карте хорошую дискриминацию.

Этап 2.Заносят в таблицу результаты в значимой последовательности (например, хронологической). Вычитают опорное значение из каждого результата.

Этап 3. Последовательно суммируют значения, полученные на этапе 2. Последовательные суммы изображают на cusum-карте.

Этап 4.Для большей наглядности устанавливают масштаб по горизонтальной оси не больше 2,5 мм между точками.

Этап 5. Для разумной дискриминации, без излишней чувствительности, рекомендуется:

а)    выбрать удобный интервал между точками на горизонтальной оси и выбрать интервал на вертикальной оси равный 2а (или 2а_едля cusum-карты среднего) округляя в соответствии с правилами;

б)    если необходимо обнаружить известное изменение, скажем б, выбрать вертикальный масштаб так, чтобы отношение единицы масштаба по вертикальной оси к единице масштаба по горизонтальной оси составляло от б до 26 с округлением в соответствии с правилами

Примечание-Выбор масштаба очень важен, так как неудачный масштаб может создать ошибочное впечатление о состоянии процесса. Масштаб, выбранный в соответствии с перечислениями а) и Ь) показывает обоснованные изменения и не является ни слишком чувствительным, ни слишком инертным.

6 Пример cusum-графика. Напряжение на двигателе

6.1    Процесс

Получен набор из 40 значений контролируемой характеристики в хронологической последовательности. Контролируемой характеристикой является напряжение на электродвигателях мощностью не более одной лошадиной силы на ранней стадии производства. Измерения выполнены в непрерывном масштабе на двигателях в последовательности их изготовления. Результаты измерений:

9, 16, 11, 12, 16, 7, 13, 12, 13, 11, 12, 8, 8, 11, 14, 8, 6, 14, 4, 13, 3, 9, 7, 14, 2, 6, 4, 12, 8, 8, 12, 6, 14, 13, 12, 14, 13, 10, 13, 13.

Опорное или целевое значение напряжения составляет 10 В.

6.2    Простой график результатов

Для лучшего понимания основных свойств процесса с помощью стандартного подхода необходимо графически представить эти значения в естественном порядке (см. рисунок 1 а).

4

ГОСТ Р ИСО 7870-4 — 2013

На графике заметно общее уменьшение среднего в средней части от более высокого начального уровня с такими же значениями в конце. Рисунок 1 а) не позволяет четко уловить тенденции изменения контролируемой характеристики вследствие высокой изменчивости данных.

6.3    Стандартная контрольная карта индивидуальных значений

Затем составляют стандартную контрольную карту индивидуальных значений (см. рисунок 1

Ь).

Рисунок 1 Ь) не добавляет ясности. Он даже вводит в заблуждение. Стандартные критерии статистического управления процессом для проверки стабильности и управляемости процесса включают следующее:

a)    отсутствие точек выше верхней (UCL) или нижней (LCL) контрольных границ.

b)    отсутствие семи или более последовательных точек; монотонно убывающих или возрастающих значений cusum;

c)    отсутствие семи точек выше или ниже центральной линии процесса.

В рассматриваемом примере все перечисленные критерии выполняются, следовательно, можно сделать вывод, что данный процесс является устойчивым, вокруг его среднего уровня 10В, который является целевым значением. Дальнейший стандартный анализ показал, что, несмотря на стабильность, процесс не удовлетворяет установленным требованиям. Сам по себе анализ не дает объяснения причин не соответствия требованиям.

Причина неспособности стандартной контрольной карты индивидуальных значений выявлять причины изменчивости процесса состоит в том, что контрольные границы основаны на фактическом состоянии процесса, а не на установленных требованиях. Следовательно, если процессу присуща высокая изменчивость, контрольные границы являются достаточно широкими. Необходим метод, который лучше выявляет тенденции изменений процесса и позволяет определить и удалить их основные причины.

Примечание-Использование дополнительно контрольных карт скользящего размаха позволяет исследовать другие проблемы изменчивости.

6.4    Cusum-карта. Общий обзор

Затем данные представляют на cusum-карте. На рисунке 1 с) представлена cusum-карта для рассмотренных выше данных.

Напряжение

Предыдущие карты не дают ответа на вопрос, где произошли существенные изменения уровня процесса. График cusum-карты позволяет определить эту область. Визуальный анализ указывает на четыре изменения уровня процесса в точках 10-ого, 18-ого и 31-ого двигателей.

В разделе 4 установлено, что наклон графика вверх/вниз указывает на значение уровня процесса выше/ниже предпочтительного значения, а горизонтальная линия указывает, что уровень процесса соответствует предпочтительному значению. Следовательно, процесс находится на уровне целевого значения только в течение короткого периода времени между 11-м и 18-м двигателями. У двигателей с 1-го по 10-й и с 33-го до конца наблюдается повышение уровня процесса. У двигателей с 19-гопо 32-ой - понижение уровня процесса.

Эти изменения рассмотрены и интерпретированы в 6.6.

В реальной ситуации на следующем этапе необходимо определить, что произошло в этих точках процесса и вызвало такие изменения напряжения. Это заставляет поставить некоторые вопросы для улучшения стабильности процесса на уровне 10 В. Например, чем сборка двигателя 32 отличается от сборки двигателя 33? Или, что произошло с испытательным оборудованием в этой точке? Это соответствует сдвигу уровня процесса или изменениям в партии? И так далее. Используемая таким образом, cusum-карта обеспечивает диагностику состояния процесса и позволяет определять возможности его улучшения.

6.5 Построение cusum-карты

Построение cusum-карты индивидуальных значений, как в рассматриваемом примере, основано на выполнении этапов, установленных в разделе 5.

Этап 1. Выбирают опорное значение RV. В примере предпочтительное и опорное значение равно 10 В.

Этап 2.Заносят в таблицу результаты измерений напряжения в последовательности изготовления напротив номера двигателя в таблице 1 (столбцы 2 и 6). Вычитают значение 10 (опорное значение) из каждого результата измерений (см. таблицу 1, столбец 3 и 7).

Этап 3. Последовательно суммируют значения таблицы 1 (столбцы 3 и 7) и сумму указывают в столбцах 4 и 8. Изображают в виде графика данные столбцов 4 и 8 в соответствии с номером двигателя (см. рисунок 1 с)), учитывая рекомендации относительно масштаба на этапах 4 и 5 раздела 5.