ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

Статистические методы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ КАЛИБРОВКЕ

ISO/TS 28037:2010 Determination and use of straight-line calibration functions

(IDT)

Издание официальное

Предисловие

1    ПОДГОТОВЛЕНЫ Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО «НИЦ КД») на основе собственного аутентичного перевода на русский язык международного документа, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕНЫ Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Применение статистических методов»

3    УТВЕРЖДЕНЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 24 октября 2014 г. № 1418-ст

4    Настоящие рекомендации идентичны международному документу ISO/TS 28037:2010 «Определение и использование линейных функций при калибровке» (ISO/TS 28037:2010 «Determination and use of straight-line calibration functions»).

Наименование настоящих рекомендаций изменено относительно наименования указанного международного документа для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5-2012 (подраздел 3.5).

При применении настоящих рекомендаций рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные стандарты Российской Федерации, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА

5    ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ

Правила применения настоящих рекомендаций установлены в ГОСТ Р 1.0-2012 (раздел 8). Информация об изменениях к настоящим рекомендациям публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе «Национальные стандарты», а официальный текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящих рекомендаций соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (gost.ru)

© Стандартинформ. 2015

Настоящие рекомендации не могут быть полностью или частично воспроизведены, тиражированы и распространены в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

P 50.1.098—2014

Содержание

1    Область применения....................................................................................................................................1

2    Нормативные ссылки....................................................................................................................................1

3    Термины и определения...............................................................................................................................2

4    Пояснения к использованным обозначениям............................................................................................4

5    Принципы линейной калибровки.................................................................................................................4

6    Модель, учитывающая неопределенность у,..............................................................................................8

7    Модель, учитывающая неопределенности х, и у,.....................................................................................14

8    Модель, учитывающая неопределенности х₍ и у, и ковариации,    соответствующие парам (х,, у).........21

9    Модель, учитывающая неопределенности и ковариации, соответствующие у....................................22

10    Модель, учитывающая неопределенности и ковариации, соответствующие х, и у............................27

11    Использование калибровочной функции................................................................................................33

Приложение А (справочное) Операции с матрицами.................................................................................35

Приложение В (справочное) Применение алгоритма Гаусса-Ньютона к обобщенной регрессии..........39

Приложение С (справочное) Применение ортогональной факторизации к решению

обобщенной задачи Гаусса-Маркова..................................................................................41

Приложение D (справочное) Представление неопределенностей и ковариаций

результатов измерений х и у..............................................................................................45

Приложение Е (справочное) Неопределенность, известная с точностью

до постоянного множителя.................................................................................................48

Приложение F (справочное) Разработка программного обеспечения для описанных алгоритмов........52

Приложение G (справочное) Перечень основных условных обозначений...............................................53

Приложение ДА (справочное) Сведения о соответствии ссылочных международных

стандартов ссылочным национальным стандартам Российской Федерации..............55

Библиография................................................................................................................................................56

III

Введение

Калибровка во многих случаях является важной частью процедур измерений и часто включает подбор его результатам измерений калибровочной функции, которая наилучшим образом описывает взаимосвязь переменных. В настоящих рекомендациях рассмотрены калибровочные функции, описывающие зависимую переменную У как линейную функцию независимой переменной X. Параметрами прямой являются параметры А и В. Целью процедуры калибровки является определение оценок а и Ь параметров А и 8 для конкретной измерительной системы на основе результатов измерений

(х,. у^), / = 1.....т, выполненных этой измерительной системой. Поскольку результаты измерений

обладают неопределенностью, это означает, что оценки аиЬ также обладают неопределенностью. В настоящих рекомендациях установлен способ определения оценок а и б и соответствующих им неопределенностей по результатам измерений. Использованные в настоящих рекомендациях методы обработки и распространения неопределенности соответствуют Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008 «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности в измерении (GUM:1995)».

На основе информации о неопределенности результатов измерений может быть установлен метод определения оценок параметров калибровочной функции. Информация о неопределенности может включать количественные оценки ковариаций, относящиеся к зависимым или всем величинам.

Как только подобрана линейная модель, наилучшим образом соответствующая результатам измерений и требованию состоятельности модели, ее можно использовать для прогноза значения х величиныХ, соответствующей результату измерения величины У. полученному спомощьюизмерительной системы Калибровочнуюфункциютакже можно ислользоватьдля оценки неопределенности параметров калибровочной функции и неопределенности прогнозируемого значения х.

Определение и использование линейной калибровочной функции состоят из пяти этапов:

1    Получение информации о неопределенности и ковариации данных результатов измерений. (В рекомендациях приведены соответствующие примеры.)

2    Определение наилучших оценок параметров линейной калибровочной функции.

3    Валидация модели на ее состоятельность и соответствие данным, использование критерия у². (Совместимы ли данные измерений с соответствующими неопределенностями?)

4    Определение стандартной неопределенности и ковариации оценок параметров прямой.

5    Использование калибровочной функции для прогноза, т. е. определение оценки х величины X и ее неопределенности, соответствующих результату у величины У и ее неопределенности.

Упомянутые этапы показаны в виде схемы на рисунке 1.

Приведенные численные методы основаны на (6).

Главной целью настоящих рекомендаций является рассмотрение этапов 2—5. Поэтому при использовании настоящих рекомендаций на этапе 1 пользователь должен определить стандартные неопределенности и ковариации, соответствующие результатам измерений величин X и У. Следует использовать принцип GUM при оценке неопределенности на основе модели измерений, определенной для рассматриваемой области.

В ИСО 11095:1996 (см. (14J) рассмотрены вопросы линейной калибровки с использованием образцов сравнения. Отличия ИСО 11095:1996 от настоящих рекомендаций приведены в таблице 1.

Настоящие рекомендации могут быть полезны при разработке методик измерений и алгоритмов обработки данных при создании новых средств измерений.

IV

P 50.1.098—2014

Таблица 1 —Отличия ИСО 11095 1996 и настоящих рекомендаций

Характеристика	ИСО 11095 1996	Настоящие рекоменда^и
Использование специальных образцов сравнения	Да	Более общий случай
Значения X предполагают известными точно	Да	Более общая информация о неопределенности
Все результаты измерений получены независимо	Да	Более общая информация о неопределенности
Соответствие терминологии GUM	Нет	Да
Рассматриваемые типы неопределенности	Два	Пять, включая наиболее общий случай
Только неопределенность, связанная со случайными ошибками	Да	Более общая информация о неопределенности
Проверка сходимости	ANOVA	Критерий х2
Неопределенность, соответствующая прогнозируемым значениям	Специальный случай	В соответствии с GUM

V

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

Статистические методы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ КАЛИБРОВКЕ

Statistical methods Determination and use of straight-line calibration functions

Дата введения —2015—12—01

1 Область применения

В настоящих рекомендациях рассмотрены линейные калибровочные функции, описывающие взаимосвязь переменных X и У. а именно, функции вида У = А + ВХ Несмотря на то. что многие из положений. установленных в настоящих рекомендациях, применимы и к более общим видам калибровочной функции, в настоящих рекомендациях везде, где это возможно, использована линейная калибровочная функция.

Значения параметров Айв определяют на основе результатов измерений (х_г у,). / = 1.....т. Рас

смотрены различные случаи, касающиеся неопределенности результатов измерений. Не использовано предположение о том. что ошибки у₍ являются гомоскедастичными (имеют равную дисперсию) и то же для х,. когда ошибки х, не незначительны.

Для оценки параметров А и 8 использован метод наименьших квадратов, наиболее подходящий для конкретного вида исходных данных с соответствующей неопределенностью. Рассмотрен самый общий вид ковариационной матрицы результатов измерений, а также подробно описаны ситуации, которые приводят к более простым вычислениям.

Для рассмотренных случаев приведены методы валидации линейной калибровочной функции и оценки неопределенностей и ковариации параметров калибровочной функции.

В рекомендациях также описано использование оценок параметров калибровочной функции и соответствующих им неопределенностей и ковариаций для прогнозирования значения X и соответствующей стандартной неопределенности для заданного измеренного значения У и соответствующей ему стандартной неопределенности.

Примечание 1 — В рекомендациях не приведена общая обработка выбросов по данным результатов измерений, хотя приведенные критерии могут быть использованы для идентификации несоответствующих данных

Примечание 2 — В рекомендациях использован метод оценки неопределенности результатов измерений в случае, когда эта неопределенность известна с точностью до неизвестного коэффициента (см приложение Е).

2 Нормативные ссылки

В настоящих рекомендациях использованы нормативные ссылки на следующие документы: Руководство ИСО/МЭК 99:2007 Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM) [ISO/IEC Guide 99:2007 International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM)]

Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерений (GUM 1995) [ISO/IEC Guide 98-3:2008. Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995)]

Издание официальное

Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/ Дополнение 1:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерений (GUM 1995). Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло [ISO/IEC Guide 98-3:2008/Supplement 1:2008, Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM 1995) -Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method)

3 Термины и определения

В настоящих рекомендациях применены термины по Руководству ИСО/МЭК 98-3 и Руководству ИСО/МЭК 99, а также следующие термины с соответствующими определениями.

Перечень использованных обозначений приведен в приложении G.

3.1    измеренное значение величины (measured quantity value): Значение, представляющее собой результат измерения величины.

(Руководство ИСО/МЭК 99:2007, 2.10)

3.2    неопределенность измерения (measurement uncertainty): Неотрицательный параметр, характеризующий разброс значений случайной величины, приписываемых ей на основе имеющейся информации об измеряемой величине.

(Руководство ИСО/МЭК 99:2007, 2.26]

3.3    стандартная неопределенность измерения (standard measurement uncertainty): Неопределенность результатов измерений, выраженная в виде стандартного отклонения.

(Руководство ИСО/МЭК 99:2007. 2.30)

3.4    ковариация двух количественных величин (covariance associated with two quantity values): Характеристика взаимозависимости двух количественных величин, которым на основе имеющейся информации. приписывают две измеряемые величины.

3.5    ковариационная матрица, матрица ковариации результатов измерений (measurement covariance matrix, covariance matrix): Матрица размерности N * N. связанная с вектором оценок векторной вепичины размерности N * 1, содержащая на своей диагонали квадраты стандартной неопределенности соответствующих компонент вектора оценок векторной величины, а в качестве остальных элементов ковариации пар компонентов вектора оценок векторной величины.

Примечание 1 — Ковариационная матрица U_x размерности N * N. соответствующая вектору оценок х векторной величины X. имеет вид

где cov(x,. x,) = u^x,) — дисперсия (стандартная неопределенность х^);

covjx^ Xj) - ковариация х, и x_f cov(x,, х_;) = 0. если элементы X, и Х_; вектора X являются некоррелированными Примечание 2 — Ковариацию называют взаимной неопределенностью

Примечание 3 — Ковариационную матрицу также называют дисперсионно-ковариационной матрицей Примечание 4 — Определение соответствует Руководству ИСО/МЭК 98-3 2008/Допол йен ие 1 2008, определение 3 11 (см (13))

3.6    модель измерений (measurement model): Математическая связь всех величин в измерительной задаче.

(Руководство ИСО/МЭК 99:2007, 2.48]

3.7    функциональная модель (functional model): Статистическая модель, включающая ошибки, соответствующие зависимой переменной.

3.8    структурная модель (stmctural model): Статистическая модель, включающая ошибки, соответствующие независимым и зависимым величинам.

3.9    калибровка (calibration): Операция, в ходе которой при заданных условиях на первом этапе устанавливают соотношение между значениями величин с неопределенностями измерений, которые обеспечивают эталоны, и соответствующими показаниями средства измерений с присущими им неопределенностями, а на втором этапе на основе этой информации устанавливают соотношение, позволяющее получать результат измерения, исходя из показаний.

Примечание 1 — Калибровка может быть выражена в виде состояния, калибровочной функции, диаграммы или таблицы В некоторых случаях она может состоять из общей или мультипликационной поправки показаний с соответствующей неопределенностью измерений ¹

P 50.1.098—2014

Примечание 2 — Калибровку не следует путать с регулировкой измерительной системы, часто по ошибке называемой самокалибровкой. а также с верификацией калибровки

Примечание 3 — Часто под калибровкой понимают только первый этап, указанный в приведенном определении

(Руководство ИСО/МЭК 99:2007. 2.39)

3.10 распределение вероятностей (probability distribution): Функция (случайной величины), характеризующая вероятность того, что случайная величина принимает данное значение или принадлежит заданному набору значений.

Примечание 1 — Вероятность, соответствующая всему набору значений случайной величины равна 1

Примечание 2 — Распределение вероятностей называют одномерным, если оно описывает единственную (скалярную) случайную величину, или многомерным, если оно описывает вектор случайных величин Многомерное распределение вероятностей описывают также как совместное распределение

Примечание 3 — Распределение вероятностей может иметь форму функции распределения или плотности распределения

Примечание 4 — Определения и примечание 1 адаптированы по ИСО 3534-1 1993, определение 1.3. и Руководству ИСО/МЭК 98-3 2008, определение С 2 3, примечания 2 и 3 адаптированы по Руководству ИСО/МЭК 98-3 2008/Дополнение 1 2008. определение 3.1 (см [13])

3.11 нормальное распределение (normal distribution): Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X такое, что соответствующая плотность распределения для -«< с, < -н» имеет вид:

9х£)

Примечание 1 — ц — математическое ожидание X. о — стандартное отклонение X Примечание 2 — Нормальное распределение также называют распределением Гаусса Примечание 3 — Определение и примечание 1 адаптированы по ИСО 3534-1:1993, определение 1 37. примечание 2 адаптировано по Руководству ИСО/МЭК 98-3 2008, определение С 2 14

3.12 /-распределение (/-distribution): Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X. плотность распределения которой для -~< \ < -н» имеет вид:

9х£) =

где v — число степеней свободы (положительное целое число): Г(г) — гамма функция.

Г(г)= Jf^x"V*df. z> 0. о

[Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008.3.5]

3.13 ^-распределение, распределение хи-квадрат (chi-squared distribution, х¹ distribution): Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X. плотность распределения которой для 0 S q < +оо имеет вид:

9хК) =

где v — положительное число; Г — гамма функция.

Примечание — Сумма квадратов v независимых стандартизованных нормальных величин подчиняется у/ распределению с параметром v; v — число степеней свободы

3.14    положительно определенная матрица (positive definite matrix): Матрица М размерности п*п для которой справедливо неравенство z М z > 0 для всех ненулевых векторов г размерности л*^-!.

3.15    положительно полуопределенная матрица (positive semi-definite matrix): Матрица М размерности л*л, для которой справедливо неравенство z^JM г 2 0 для всех ненулевых векторов г размерности л*1. ²

4 Пояснения к использованным обозначениям

В настоящих рекомендациях использованы следующие условные обозначения.

4.1 X — независимая величина. У — зависимая величина, даже если X является неизвестной величиной. а У — известной, как. например, в разделе 7.

4.2Ли8 называют параметрами линейной калибровочной функции У = А + ВХ Их также используют для обозначения (фиктивных) переменных в выражениях, включающих параметры калибровочной функции.

4.3    Величины X, и YJ используют в качестве (фиктивных) переменных для обозначения координат /-ой точки.

4.4    Константы А' и В" представляют собой (неизвестные) значения А и В. которые определяют линейную калибровочную функцию У= Л’ + В'Хдля рассматриваемой измерительной системы.

4.5    Константы X’ и У/ представляют собой (неизвестные) координаты /-й точки, полученные измерительной системой и удовлетворяющие уравнению У,* = А‘ + В*Х/.

4.6    х, и у; — результаты измерений значений координат нй точки.

4.7    а и b — оценки параметров калибровочной функции измерительной системы.

4.8    х■ и у- — оценки координат /-ой точки, удовлетворяющие уравнению у- = а + Ьх’.

4.9    Вектор размерности m* 1

х =

и матрица размерности т*п

А =	а11	• Sin	. АТ =	*11 *	‘ am^
	ат1 ’	• атп.		,в|п *	‘ атп.

Для облегчения понимания размерности вектора и матрицы далее всегда такие.

4.10    Т — означает операцию транспонирования.

4.11    Нулевая матрица обозначена 0. а единичный вектор обозначен 1.

4.12    Некоторые символы имеют более одного значения. Необходимые пояснения приведены в тексте.

4.13    Значения, приведенные в таблицах с одинаковым количеством десятичных разрядов, являются правильно округленными значениями чисел, сохраненными с более высокой точностью, как например, при вычислениях с применением электронных таблиц. Поэтому могут быть незначительные несовпадения между показанной суммой чисел и суммой чисел, показанной в колонке.

4.14    В некоторых таблицах выше колонки или колонок приведен номер подраздела, в котором приведена формула определения значений в соответствующем столбце.

4.15    В примерах для значений с заданной точностью результаты вычислений приведены с более высокой точностью, что позволяет пользователю сравнивать результаты при повторении вычислений.

5 Принципы линейной калибровки

5.1    Общие положения

5.1.1    В данном разделе показано, как соотношение У =А + ВХ, описывающее зависимую переменную У (также называемую «откликом») как функцию независимой переменной X (также называемый «сигналом»), может быть определено по результатам измерений. При калибровке результаты измерений получают с помощью измерительного прибора, которому соответствуют (неизвестные) значения А' и В’ параметров калибровочной функции, выполняя измерения на объектах с калиброванными значениями Х_г заданными в стандартных единицах, а результаты измерений У₍ фиксируют. Соотношение позволяет определить отклик У системы для данного объекта с калиброванным значением X. Этот процесс называют предварительной оценкой. Более полезны на практике соотношения, позволяющие преобразовывать измеренное значение у величины У в оценку х в стандартных единицах X для исследуемого объекта. Этот процесс называют обратной оценкой или прогнозом.

P 50.1.098—2014

5.1.2    Калибровка измерительной системы должна учитывать неопределенность результатов измерений и соответствующие ковариации. Результатом процедуры калибровки является калибровочная функция, которую используют для прогноза (и при необходимости, предварительной оценки). Результатами калибровки также являются стандартные неопределенности и ковариации, соответствующие оценкам а и Ь параметров калибровочной функции, которые используют для оценки стандартной неопределенности прогноза (и предварительной оценки).

5.2    Исходные данные для определения калибровочной функции

5.2.1    Данные измерений

Информацией, необходимой для определения уравнения линейной калибровочной функции, являются результаты измерений и соответствующие им стандартные неопределенности и ковариации. В

настоящих рекомендациях результаты измерений обозначены (х,, у,), /= 1.....т, т. е. т пар результатов

измерений X и У. Предполагается, что т > 2. а значения х, не все равны друг другу.

Примечание — Неопределенность, соответствующая оценкам аир, обычно уменьшается с увеличением т Поэтому при калибровке следует стремиться использовать так много результатов измерений, как это экономически целесообразно

5.2.2    Неопределенности и ковариации

Стандартные неопределенности, соответствующие х, и у_г обозначены и(х) и и(у) соответственно. Ковариация х, и x_f обозначена cov(x_r хр. Аналогично ковариации у₍ и у_у х, и у₎ обозначены cov(y,. у_}) и cov (X,, у_у). соответственно. В приложении D показано, как могут быть оценены неопределенности и ковариации. соответствующие результатам измерений сигналов и откликов, и приведена интерпретация информации о неопределенности. Полная информация о неопределенности представлена матрицей U размерности 2m*2m. содержащей дисперсии (квадраты стандартной неопределенности) и*(х) и iPfy) и ковариации:

и2(х,) .. • COV(X,.Xm) COVfXj.y,) • cov(x,,ym) cov(xm.x,) cov(xm.y,) • CO v(xm.ym) cov^.x,) • cov(y,.xm) ^(/l) • cov(y,.ym) covdto.x,) • j > 8 cov(ym.y,) • u2(ym)

Во многих приложениях некоторые или все ковариации принимают равными нулю (см. 5.3). Примечание —В данных рекомендациях предполагается, что и(Х;) и и(у;) различны

5.3 Определение калибровочной функции

5.3.1    Исходными данными для определения калибровочной функции являются результаты измерений. соответствующие неопределенности и. возможно, ковариации. На основе параметров А и В и исходных данных определяют отклонение г-й точки (х₍. у) от прямой Y=A* ВХ Оценки а и b определяют, минимизируя сумму квадратов этих отклонений или более общей меры, если все ковариации отличны от нуля. Как это получить зависит от структуры неопределенности, соответствующей результатам измерений. Структура неопределенности зависит от ответов на следующие вопросы:

i)    Неопределенности результатов измерений х, являются несущественными?

ii)    Ковариации, соответствующие парам результатов измерений, являются несущественными?

5.3.2    Следующие ситуации, рассмотренные в настоящих рекомендациях, приведены в соответствии с возрастающим порядком сложности в зависимости от ответов на вопросы, приведенные в 5.3.1.

a)    неопределенности, соответствующие значениям y_f, и все ковариации, соответствующие данным. являются несущественными (раздел 6);

b)    неопределенности, соответствующие значениям х, и у_г и все ковариации, соответствующие данным, являются несущественными (раздел 7);

c)    имеются неопределенности, соответствующие значениям х, и у_г а ковариации соответствующие парам (х,. у) являются несущественными (раздел 8);

5

1

2