МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ

(МГС)

INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC)

ГОСТ

34100.3.2—

2017/

ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Часть 3

Руководство по выражению неопределенности измерения

Дополнение 2

Обобщение на случай произвольного числа выходных величин

(ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011, ЮТ)

Издание официальное

Москва

Стандартинформ

2017

Предисловие

Цепи, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены в ГОСТ 10-2015 «Межгосударственная система стандартизации. Основные положения» и ГОСТ 1.2-2015 «Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные. правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Правила разработки, принятия. обновления и отмены»

Сведения о стандарте

1    ПОДГОТОВЛЕН Межгосударственным техническим комитетом по стандартизации МТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции» на основе собственного перевода на русский язык англоязычной версии документа, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии (Росстандарт)

3    ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 14 июля 2017 г. № 101-П)

За принятие проголосовали:

Краткое наименование страны no MK (ИСО 3166)004—97 Код страны по мк (ИСО 3166) 004—97 Сокращенное наименование национального органа по стандартизации Беларусь BY Госстандарт Республики Беларусь Казахстан KZ Госстандарт Республики Казахстан Киргизия KG Кыргызстандарт Россия RU Росстандарт

4    Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 12 сентября 2017 г. № 1067-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 34100.3.2-2017/ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011 введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации с 1 сентября 2018 г.

5    Настоящий стандарт идентичен международному документу ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011 «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 2. Обобщение на случай произвольного числа выходных величин» («Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) — Supplement 2: Extension to any number of output quantities». IDT).

Международный документ разработан Рабочей группой WG 1 Объединенного комитета по руководствам в метрологии (как JCGM 102:2011) и одобрен национальными комитетами международных организаций ISO и IEC.

Официальные экземпляры международного стандарта, на основе которого подготовлен настоящий межгосударственный стандарт, и международных стандартов, на которые даны ссылки, имеются в Федеральном агентстве по техническому регулированию и метрологии.

При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных документов соответствующие межгосударственные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА

6 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Примечание 1 — Корреляционная матрица R_x размерности N * N. соответствующая вектору оценок х векторной величины X. имеет вид

где Дх₍. Xj) = 1. а г(х^, х_;) - корреляция между х, и х_; Если элементы X\ и Х_; вектора X некореллированны, то г\х_г х_у) = 0 Примечание 2 — Дх,. х_;) называют также коэффициентом корреляции

Примечание 3 — Корреляционная матрица R_x и ковариационная матрица U_x (см 3 20) связаны между собой соотношением

U_x=DfiJ)_x,

где D_x — диагональная матрица размерности N * N с диагональными элементами гДх,) u{x_N) Элементы матрицы U_x могут быть представлены в виде

U(X> Xj) = Дх, Xj) U(Xj) U(Xj).

Примечание 4 — Корреляционная матрица R_x будет положительно определенной/сингулярной в том и только в том случае, если соответствующая ей ковариационная матрица U_x будет положительно определенной/сингулярной Некоторые операции с использованием R_x требуют, чтобы данная матрица была положительно определенной

Примечание 5 — При представлении численных значений недиагональных элементов корреляционной матрицы часто достаточно округлять их с точностью до трех знаков после запятой Однако если корреляционная матрица близка к сингулярной, то. чтобы избежать вычислительных сложностей при использовании корреляционной матрицы среди прочих исходных данных в оценивании неопределенности измерения, число сохраняемых десятичных знаков необходимо увеличить Это число зависит от характера последовательных вычислений, но в качестве ориентировочного значения рекомендуется брать его равным числу десятичных знаков, необходимых для представления наименьшего собственного значения корреляционной матрицы с двумя значимыми десятичными знаками Так для корреляционной матрицы размерности 2*2 собственные значения и а,,,,,, равны соответственно 1 ♦ |Д и 1 - |Д. где г— недиагональный элемент корреляционной матрицы, и, значит, таким наименьшим собственным значением будет 1 -|Д Если заранее известно, что корреляционная матрица является сингулярной, то округление к меньшему по модулю снижает риск того, что после операции округления корреляционная матрица не окажется положительно полуопределенной

3.22 матрица (коэффициентов) чувствительности (sensitivity matrix): Матрица частных производных первого порядка функций, описывающих модель измерения с действительными величинами, по входным или входным величинам в точке оценок этих величин.

Примечание — В случае модели с N входными и т выходными величинами матрицы чувствительности в отношении входных величин X и выходных величин Y имеют размерности соответственно т * Nwm* т

3.23    интервал охвата (coverage interval): Интервал, построенный на основе имеющейся информации и содержащий значение скалярной случайной переменной с заданной вероятностью.

Примечание 1 — Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101 2008 (словарная статья 3.12)].

Примечание 2 — Вероятностно симметричный интервал охвата для скалярной величины представляет собой интервал охвата, для которого вероятность того, что значение случайной переменной меньше наименьшего значения (нижней границы) интервала охвата, равна вероятности того, что значение случайной переменной больше наибольшего значения (верхней границы) интервала [см XGM 101 2008 (словарная статья 315)]

Примечание 3 — Наименьший интервал охвата представляет собой интервал охвата, имеющий наименьшую длину среди всех возможных интервалов охвата для данной случайной переменной с одинаковой вероятностью охвата (см JCGM 101 2008 (словарная статья 3 16)]

3.24    область охвата (coverage region): Область, определенная на основе имеющейся информации и содержащая значение векторной случайной переменной с заданной вероятностью.

3.25    вероятность охвата (coverage probability): Вероятность того, что значение случайной переменной находится в границах интервала охвата или области охвата.

Примечание 1 — Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101 2008 (словарная статья 3 13)]

Примечание 2 — Вероятность охвата иногда называют уровнем доверия [JCGM 100 2008 (6 2 2)]

3.26    наименьшая область охвата (shortest coverage region): Область охвата, имеющая наименьший объем среди всех возможных областей охвата для данной случайной переменной с одинаковой вероятностью охвата.

ГОСТ 34100.3.2-2017

Примечание — В случае скалярной случайной переменной наименьшая область охвата совпадает с наименьшим интервалом охвата Для случайной переменной, описываемой вектором в двумерном пространстве, наименьшая область охвата представляет собой поверхность с наименьшей площадью из всех, имеющих ту же вероятность охвата

3.27 многомерное нормальное распределение (вероятностей)¹) (multivariate Gaussian distribution): Распредепение вероятностей векторной случайной переменной Xразмерности N * 1 такое, что соответствующая плотность совместного распределения имеет вид:

^£'^x(y=(2_Jtp[i,(V)f^eXP(^⁽^^)TV'^,R-^M))-

Примечание — ц — математическое ожидание XV— ковариационная матрица X, которая должна быть положительно определена

3.28 многомерное /-распределение (multivariate /-distribution): Распределение вероятностей векторной случайной переменной X размерности N * 1 такое, что соответствующая ппотность совместного распределения с параметрами р, V» v имеет вид:

9х($)

где r(z) = jV ¹ е ¹ df - гамма-функция, г > 0.

о

Примечание 1 — Многомерным /-распределением описывается векторная случайная переменная X размерности N * 1, удовлетворяющая соотношению X - ц = (v/VV)^1/2Q где Q — векторная случайная переменная размерности N * 1. имеющая нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и положительно определенной ковариационной матрицей V размерности N * N. a W— скалярная случайная переменная, имеющая Х²-распределение (распределение хи-квадрат) с v степенями свободы

Примечание 2 — Плотность /-распределения д^) нельзя представить в виде произведения N плотностей распределения элементов вектора X даже в том случае, когда V—диагональная матрица В общем случае между элементами вектора X существует статистическая зависимость Например, при N = 2. v = 5 и V— единичной матрице размерности 2*2 вероятность того, что X, > 1 составляет 18 %. в то время как условная вероятность того, что при Х₂>2 значение X, будет превышать единицу, составляет 26 %

4 Соглашения и условные обозначения

В настоящем стандарте использованы следующие соглашения и условные обозначения.

4.1 В GUM (JCGM 100:2008 (пункт 4.1.1, примечание 1)) для экономии условных обозначений один и тот же символ (прописная буква) используется для:

О) физической величины, которая предполагает наличие единственного истинного значения:

(ii) случайной переменной, ассоциированной с этой физической величиной.

Примечание — Случайная переменная выполняет разные роли при оценивании неопределенности по типуАиВ При оценивании неопределенности по типу А. случайная переменная представляет собой «. возможный результат наблкдения величины» При оценивании неопределенности по типу В вероятность распределения случайной переменной характеризует имеющиеся знания о возможных значениях этой величины

Эта двойственность обозначений в большинстве случаев не вызывает неудобств.

В настоящем стандарте (так же. как и в JCGM 101:2008) в случае входных величин, неопределенность которых оценивают по типу А. один и тот же символ (прописная буква) использован для трех понятий. а именно:

a)    физическая величина:

b)    случайная переменная, для которой получают результаты наблюдений;

c)    случайная переменная, распределение вероятности которой ассоциируют с имеющимися знаниями о возможных значениях физической величины.

Два последних понятия, относящиеся к случайной переменной, в GUM (JCGM 100:2008) не разделяются. что может явиться источником недоразумений. Так рассматриваемая в настоящем стандарте ^{1 2}

и в JCGM 101:2008 процедура оценивания неопределенности с использованием метода Монте-Карло может быть неправильно истолкована как реализация процедуры, изложенной в JCGM 100:2008 (пункт 4.1 4. примечание 1). В действительности же. хотя указанные процедуры схожи в том. что в обеих получают выборку значений выходной величины для данной модели измерения из соответствующего распределения, сами распределения в общем случае будут разными. В JCGM 100:2008 (пункт 4.1.4. примечание 1) это частотное распределение, т. е. случайная переменная интерпретируется в смысле перечисления Ь). тогда как в методе Монте-Карло это распределение случайной переменной, интерпретируемой в смысле перечисления с). Для большинства измерительных задач подход, предложенный в JCGM 100 2008 (пункт 4.1.4. примечание 1). не рекомендуется (см. (2J).

4.2    Для входных величин модели измерения в настоящем стандарте принято обозначение

X,.....X_N или в виде матрицы X- (X,.....X_W)^T размерности N * 1 (символ «^т» обозначает транспони

рование).

4.3    Для выходных величин модели измерения в настоящем стандарте принято обозначение

У,.....У_т или в виде матрицы У = (У,.....У^¹ размерности т*1.

4 4 Если У₍ могут быть выражены через X в явном виде, то модель измерения имеет вид

у=т.    о)

где f— многомерная функция измерения. Другая форма записи для той же модели (см. 3.9) имеет вид

*i⁼'i<*>......У_т = и>0.

где f_y(X).....7_m(X) являются составляющими f(X).

4.5    Если У, не выражены в явном виде через X. то модель измерения имеет вид

Л(У.Х) = 0    (2)

или. в другой форме записи (см. 3.8),

hi(Y.)0 = 0.....Л_т(У.Х) = 0.

4.6    Оценку X обозначают в видех= (х,.....Х/ф^Т— матрицы размерности N * 1. Ковариационную

матрицу, соответствующую х. обозначают в виде U_x — матрицы размерности Л/ * N (см. 3 20).

4.7    Оценку У обозначают в виде у = (у,.....у,„)^т    —    матрицы    размерности    m    *    1. Ковариационную

матрицу, соответствующую у. обозначают в виде U_y — матрица размерности m * m.

Примечание — U_y в случае многомерной модели с m выходными величинами является аналогом дисперсии «гМдля у в случае одномерной модели измерения, рассматриваемой в JCGM 100 2008 и JCGM 101 2008. В JCGM 100 2008 и(у) обозначается как и_с{у). где подстрочный индекс "с" применительно к стандартной неопределенности обозначает «суммарная!* Как и в JCGM 101 2008. в настоящем стандарте использование подстрочного индекса "с" в данном контексте рассматривается как излишнее (см JCGM 101 2008 (пункт 4 10)]

4.8    Если оценки выходных величин предполагается использовать по отдельности, то каждая из этих величин может рассматриваться как выходная в соответствующей одномерной модели измерения. Если же. например, для последующих расчетов эти оценки должны быть использованы совместно, то должны быть приняты во внимание корреляции между ними.

4.9    Стандартную неопределенность, соответствующую х, обозначают и(х). Если контекст исключает возможность ошибочного истолкования, то может применяться сокращенная форма записи и_х. Данная форма записи не рекомендуется, если при х имеется индекс или иной знак, например х, или х.

4.10    Под х можно понимать как «оценки входных величин», так и «оценку входной величины (векторной)». В настоящем стандарте преимущественно используется последнее определение (то же самое справедливо для выходных величин).

4.11    Как указано в 4 2 — 4.10. величина в общем случае обозначается с помощью прописной буквы, а ее оценка или некоторое фиксированное значение величины (такое, как математическое ожидание) соответствующей строчной буквой. Данное правило удобно для общего анализа, но зачастую не подходит для обозначения величин в конкретных приложениях из-за устоявшейся практики использования для конкретных физических величин специальных обозначений, например Т для температуры и t для времени. Поэтому в некоторых примерах настоящего стандарта используются иные обозначения: физическая величина обозначается ее общепринятым символом, а ее математическое ожидание или оценка этим же символом с циркумфлексом («крышкой»). Например, амплитуда переменного тока (пример 1 из 6.2.2) обозначается /. а оценка /- / (см. JCGM 101:2008 (пункт 4 8)).

4.12    Настоящий стандарт отступает от обозначений, часто используемых для обозначения плотностей распределения вероятностей и функций распределения. В JCGM 100:2008 одно и то же обозна-8

ГОСТ 34100.3.2-2017

чение 1 использовано как для функции измерения, так и для плотности распределения вероятностей, чем создается некоторая путаница. Поскольку в настоящем стандарте моделям уделено особое внимание. для плотности распределения вероятностей и функции распределения вместо обозначений / и F использованы соответственно д и G. Применяемые подстрочные индексы соответствуют случайной переменной, о которой идет речь Обозначение доставлено для описания функции измерения (в скалярной или векторной форме).

4.13    Плотность распределения может быть поставлена в соответствие как скалярной (X). так и векторной (X) величине. В случае скалярной величины плотность распределения для X обозначается как д^с). где q — переменная, принимающая возможные значения величины X. Здесь X рассматривается. как случайная переменная с математическим ожиданием Е(Х) и дисперсией V(X).

4.14    В случае векторных величин плотность распределения для X обозначается как д*(£), где

£ ^я .....с^)¹    —    переменная,    принимающая    возможные    значения величины X. Здесь X рассматрива

ется как случайная переменная с ожиданием Е(Х) и ковариационной матрицей V(X).

4.15    Аналогично, в случае скалярных величин (У) плотность распределения обозначается как ду<П). а в случае векторных величин (У) —

4.16    Для обозначения десятичной дроби используется запятая¹*.

5 Основные принципы

5.1    Общие положения

5.1.1    В GUM (JCGM 100:2008 (пункт 4.1)] измерение моделируется функцией, связывающей действительные входные величины Х^ .... X_N и действительную выходную величину У в виде формулы

(1), т. е. У = f(X). где X- (X,.....X_Ny —действительная векторная входная величина. Это одномерная

функция измерения для действительных величин (см. 3.9 примечание 3).

5.1.2    На практике не все измерения могут быть смоделированы с помощью функции измерения с одной скалярной выходной величиной. В реальных измерительных задачах могут иметь место:

a)    несколько выходных величин У,.....У_т (которые совместно обозначаются действительной векторной выходной величиной У = (У,.....V^)¹).    для    которых    формула (1) принимает вид У= f{X):

b)    более общий вид модели измерения в виде формулы (2). т. е. h(Y. X) = 0.

5.1.3    Кроме того, некоторые или все элементы X и. соответственно, элементы У могут представлять собой комплексные величины. Если каждую такую комплексную величину представить в виде двух составляющих (действительная и мнимая часть или модуль и аргумент комплексного числа), то. в принципе, без нарушения общности модель измерения может рассматриваться как модель с действительными величинами. Однако в большинстве случаев вид алгоритмов, работающих с комплексными величинами, проще, чем если бы модель включала только действительные величины (14]. Применение моделей измерения с комплексными величинами позволяет записать закон трансформирования неопределенностей в компактном матричном виде (см. 6 4 и приложение А).

5.1.4    В настоящем стандарте модели, указанные в 5.1.2 и 5.1.3, рассматриваются в более общем

виде.

5.2 Основные этапы оценивания неопределенности

5.2.1 Основные этапы оценивания неопределенности включают в себя формулировку измерительной задачи, трансформирование распределений и получение окончательного результата:

a)    формулировка измерительной задачи включает в себя:

1)    задание выходной величины У (измеряемой векторной величины);

2)    выявление входных величин, составляющих векторную входную величину X. от которых зависит У;

3)    составление модели измерения, определяющей взаимосвязь У с X в виде функции измерения (см. формулу (1)] или в более общем виде (см. формулу (2)];

4)    приписывание распределений вероятностей (нормального, прямоугольного и т. д.) входным величинам X, (элементам вектора X) или совместного распределения вероятностей входным величинам, не являющимся независимыми, на основе имеющейся о них информации,

b)    трансформирование распределений предусматривает определение плотности совместного распределения выходной величины У на основе плотностей распределения входных величин X, и используемой модели измерения.

'* В оригинале на английском языке в данном подразделе указывается на использование в качестве десятичного знака точки вместо запятой

9

с) получение окончательного результата предполагает использование плотности распределения У для определения:

1)    оценки математического ожидания У в виде у,

2)    ковариационной матрицы U_y соответствующей у

3)    области охвата, содержащей У с заданной вероятностью р (вероятность охвата).

5.2.2 Формулировку измерительной задачи осуществляет метролог. Рекомендации по выбору плотности распределения (стадия 4) этапа а) в 5.2.1) для некоторых общих случаев приведены в JCGM 101:2008 и в 5.3. Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов (б) и в) в 5.2.1), для которых приведены подробные указания, не требуют дополнительной метрологической информации и могут быть выполнены с любой требуемой вычислительной точностью для поставленной задачи.

Примечание — Как только этап постановки задачи а) в соответствии с 5.2.1 выполнен, тем самым плотность распределения вероятностей для выходной величины У формально полностью определена Однако вычисление математического ожидания, стандартного отклонения и области охвата может потребовать применения численных методов, обладающих некоторой степенью приближения

5.3 Функции плотности вероятности для входных величин

5.3.1    Общие положения

Руководство по выбору плотностей распределения для входных величин X, на этапе формулировки измерительной задачи приведено в JCGM 101:2008 (раздел 6) для некоторых общих случаев. Однако единственным многомерным распределением, рассмотренным в JCGM 101:2008, является многомерное нормальное распределение JCGM 101:2008 (пункт 6.4.8). Это распределение приписывают входной величине X, если доступная информация об X включает в себя только оценку х и соответствующую ковариационную матрицу U_x В 5.3.2 рассматривается еще одно многомерное распределение — /-распределение. Его применяют, если единственной доступной информацией о величине X является выборка наблюдений (предполагаемых независимыми) векторной величины из многомерного нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и ковариационной матрицей (см. также 6.5.4).

5.3.2    Многомерное /-распределение

5.3.2.1    Предположим, что для векторной величины X размерностью Л/ * 1. имеющей многомерное нормальное распределение /V(p. Е) с неизвестным математическим ожиданием р и ковариационной матрицей £ размерностью N * N. доступны п независимых наблюдений, п > N. Пусть р — искомое значение X Тогда, выбирая в качестве априорных распределений для р и X соответствующие неинформативные распределения и используя теорему Байеса, получим, что совместным распределением для р (или распределением, приписываемым X) будет многомерное /-распределение f_v(5?_t Sin) с v = п - N степенями свободы (11), где

х = -(*, +...+ *„). ^{s =} ^[(*i - *)(*i " *)^Т +••• + (*„ " *)(*„ - *)^Т].

Примечание — При наличии соответствующих оснований в качестве априорных распределений могут быть взяты другие распределения, что может привести к другому значению числа степеней свободы для f_v(x. Sin) или даже к другому типу распределения для X

5.3.2.2    Плотность распределения, полученного для X. имеет вид

✓ ч 1    -i-n/2

ui«-x)^T(f) _й-ч .

где Г(г) — гамма-функция аргумента г.

5.3.2.3    Математическим ожиданием и ковариацией X будут соответственно

£(*)=*

где Е(Х) определено только для v > 1 (что соответствует п > N + 1).

ГОСТ 34100.3.2-2017

5.3.2.4    Чтобы сформировать случайное выборочное значение с, из f_v(ж. Sin), возьмем N случайных

выборочных значений z,, / = 1.....Л/,    из    стандартного распределения Гаусса N(0. 1) и одно выборочное

значение w из Ху-распределения с v степенями свободы. Тогда

* ⁼ * ^{+ L}*Vw’ ^Z=(Zl.....^Zn)T’

где L — нижняя треугольная матрица размерности N * N в разложении Холецкого Sin = LL^r [13).

Примечание — Матрица L может быть определена, например, как в (13)

5.3.3 Построение многомерных функций плотности распределения

Когда входные величины *1.....^XN коррелированны, то обычно доступной о них информацией яв

ляется вид плотности распределения для кахздой из этих величин (например, для одной — нормальное, для другой — прямоугольное и т.п ), оценки х,.....x_N, используемые в качестве математических ожиданий. стандартные неопределенности о(х,).....u(x_N), используемые в качестве стандартных отклонений. и ковариации, соответствующие парам х,. Построить по маргинальным распределениям X,.....X_N

совместную плотность распределения для X можно, зная их копулу. Однако вышеуказанной исходной информации может соответствовать множество колул. поэтому вид построенной совместной плотности распределения будет не единственным.

5.4    Трансформирование распределений

5 4 1 На рисунке 1 слева показан пример модели измерения с N = 3 взаимно независимыми входными величинами X = (X,. Х₂, X-j)^T и т = 2 выходными величинами У = (У,. У₂)^т Функция измерения — f=(f,. f₂)^J. Величинам X,. / = 1.2.3. приписаны плотности распределения g_x(Q. а У характеризуется совместной плотностью распределения ду(я) = g_{Y Y} (fy. й₂). На рисунке 1 справа показан пример, в котором X, и Х₂ взаимно зависимы и характеризуются совместной плотностью распределения д_{х х} (^, £₂).

5.4.2 Выходная величина У может сама служить основой для получения следующей величины, например, Q. Тогда Убудет рассматриваться как входная величина в модели измерения, описываемой, например, функцией измерения t и имеющей вид

0=«У).

Так. У может представлять собой набор эталонов массы, а О — суммами некоторых из них.

gx, tf,) _ у^МХ,. x2. Xj) gx,. Xj(5,. у —« у,*МХ|. x2. Xj) gx? (^) — у2='2(х,.х2.х3) r* 9V,. y,(n,. n,) У2='2(Х,.Х2.Х3) gx, (&j) —*

Рисунок 1 — Трансфор»*1рование распределений для модели с N = 3 входными величинами и т = 2 выходными величинами. когда входные величины X,. Х2 и Х3 взаикмо независимы (слева) и когда X, и Х2 взаимно зависимы (справа)

5.4.3    Объединение функций измерения 1 и f для двух подмоделей позволяет получить зависимость О непосредственно от входных величин X Однако в ряде измерительных задач желательно сохранить разбиение на подмодели, если они относятся к функционально разным этапам. Совокупность двух подмоделей представляют собой пример модели многоступенчатого измерения (см. 3.12).

5.4.4    Случай, когда на финальном этапе многоступенчатого измерения с применением многомерных подмоделей имеется единственная выходная скалярная величина, может быть рассмотрен с применением JCGM 101:2008

5.5 Получение итоговой информации

5.5.1    Оценка / выходной величины У рассматривается как математическое ожидание £(У). Ковариационная матрица U_y, соответствующая у. — как ковариационная матрица ЦУ).

5.5.2    Для вероятности охвата р область охвата R_y для У получают решением уравнения

\ 9v(i\)dr\ = p

11

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном информационном указателе «Национальные стандарты» (по состоянию на 1 января текущего года), а текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены наспюящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячном информационном указапюле «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)

© Стандартинформ. 2017

В Российской Федерации настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен. тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

ГОСТ 34100.3.2-2017

Содержание

1    Область применения............................................................................................................................ .

2    Нормативные ссылки........................................................................................................................ ^

3    Термины и определения................................................................................................................... ^

4    Соглашения и условные обозначения............................................................................................... ^

5    Основные принципы........................................................................................................................... ^

6    Способ оценивания неопределенности по GUM.....................................................................................

7    Метод Монте-Карло................................................................................................................................    22

8    Проверка результатов оценивания неопределенности по GUM сравнением с методом

Монте-Карло...............................................................................................................................................

9    Примеры..................................................................................................................................................!!.!зЗ

Приложение А (справочное) Производные многомерных функций измерения

с комплексными величинами..............................................................................................

Приложение В (справочное) Вычисление коэффициентов чувствительности

и ковариационных матриц для многомерных моделей....................................................60

Приложение С (справочное) Преобразование системы координат..........................................................61

Приложение D (справочное) Основные обозначения.................................................................................64

Приложение ДА (справочное) Сведения о соответствии ссылочных международных

документов межгосударственным стандартам...............................................................67

Приложение ДБ (справочное) Дополнительные замечания к межгосударственным стандартам, вводящим международные руководства в области

неопределенности измерения.........................................................................................68

Библиография................................................................................................................................................71

IV

ГОСТ 34100.3.2-2017

Введение

В «Руководстве по выражению неопределенности измерений» (GUM) (JCGM 100:2008) рассматриваются. в основном, одномерные модели измерений, включающие в себя единственную скалярную выходную величину. Однако на практике часто встречаются измерительные задачи с двумя и более выходными величинами. Примеры таких задач имеются в GUM для случаев электрических измерений с тремя выходными величинами (JCGM 100.2008 (раздел Н.2 приложения Н)] и температурных измерений с двумя выходными величинами (JCGM 100:2008 (раздел Н.З приложения Н)]. В настоящем стандарте рассматриваются многомерные модели измерения, включающие в себя произвольное число выходных величин. В большинстве случаев выходные величины коррелированны, поскольку зависят от общих входных величин В настоящем стандарте рассматривается обобщение способа оценивания неопределенности по GUM (JCGM 100:2008 (раздел 5)]. позволяющее получить оценки выходных величин. а также стандартные неопределенности и ковариации, соответствующие этим оценкам. Входные и выходные величины модели измерения могут быть действительными или комплексными.

Дополнение 1 к GUM (JCGM 101:2008) рассматривает трансформирование распределений (JCGM 100:2008 5] при заданной модели измерения как основу для выражения неопределенности измерения и реализацию данной процедуры посредством метода Монте-Карло (JCGM 100:2008 (раздел 7)). Как и в GUM, в нем рассмотрены только модели с единственной скалярной выходной величиной (JCGM 101:2008 (раздел 1)). Настоящий стандарт рассматривает обобщение метода Монте-Карло с целью получения дискретного представления совместного распределения вероятностей для выходных величин многомерной модели. Такое дискретное представление служит основой для получения оценок выходных величин, их стандартных неопределенностей и ковариаций. Использование метода Монте-Карло является альтернативой способу оценивания неопределенности по GUM. особенно в ситуациях, когда последний не способен обеспечить достоверные результаты измерений вследствие того, что (а) линеаризация модели приводит к существенному искажению результатов измерения или (б) распределение вероятностей для выходной величины (или величин) не может быть описано многомерным нормальным распределением.

Настоящий стандарт устанавливает также метод определения области охвата для выходных величин многомерной модели, являющейся аналогом интервала охвата в случае одномерной модели, для заданной вероятности охвата. Рассматриваются области охвата в форме эллипсоидов или прямоугольных параллелепипедов. Применение численных процедур расчета неопределенности измерения с использованием метода Монте-Карло дает возможность приближенного построения областей охвата наименьшего объема.

V

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ Часть 3

Руководство по выражению неопределенности измерения Дополнение 2

Обобщение на случай произвольного числа выходных величин

Uncertainty of measurement Part 3 Guide to the expression of uncertainty in measurement Supplement 2 Extension to any number of output quantities

Дата введения — 2018—09—01

1 Область применения

Настоящий стандарт является дополнением к «Руководству по выражению неопределенности измерений» (GUM) (JCGM 100:2008) и распространяется на модели измерения с произвольным числом входных и выходных величин. Входящие в модель измерения величины могут быть действительными и/или комплексными. Рассмотрено два подхода к использованию таких моделей. Первый представляет собой обобщение способа оценивания неопределенности по GUM. Второй — использование метода Монте-Карло для трансформирования распределений. Использование метода Монте-Карло дает возможность получить достоверные результаты в ситуациях, когда условия применимости первого подхода не выполняются.

Способ оценивания неопределенности по GUM применим, когда информацию о входных величинах можно представить в виде их оценок (например, полученных измерением), связанных с этими оценками стандартных неопределенностей и. при необходимости, ковариаций. Использование соответствующих формул и процедур позволяет на основе указанной информации получить оценки, а также соответствующие им стандартные неопределенности и ковариации для выходных величин. Эти формулы и процедуры применимы к моделям измерения, для которых выходные величины (а) выражены непосредственно как функции от выходных величин (функции измерения) или (Ъ) могут быть получены решением уравнений, связывающих входные и выходные величины.

В целях упрощения формулы, применяемые в настоящем стандарте, даны в матричной форме записи. Дополнительным преимуществом такой формы записи является ее приспособленность к реализации на многих языках программирования и в системах, которые поддерживают матричную алгебру.

Способ оценивания неопределенности измерения с применением метода Монте-Карло основывается на (i) присвоении входным величинам модели измерения соответствующих распределений вероятностей (JCGM 101 2008 (раздел 6)], (ii) определении дискретного представления совместного распределения вероятности для выходных величин и (iii) получения из этого дискретного представления оценок выходных величин, их стандартных неопределенностей и ковариаций. Данный подход является обобщением метода Монте-Карло, установленного в JCGM 101:2008 применительно к моделям с единственной скалярной выходной величиной.

Применение вышеуказанных подходов позволяет получить при заданной вероятности охвата область охвата для выходных величин многомерной модели — аналог интервала охвата для одномерной модели с единственной скалярной выходной величиной. Рассматриваемые в настоящем стандарте области охвата имеют формы гиперэллипсоидов (далее — эллипсоидов) и прямоугольных гиперпараллелепипедов (далее — параллелепипедов) в многомерном пространстве выходных величин. В случае применения метода Монте-Карло приведена также процедура приближенного построения области охвата минимального объема.

Издание официальное

Применение стандарта иллюстрировано подробными примерами.

Настоящий стандарт служит дополнением к GUM и должен быть использован вместе с ним и с Дополнением 1 к GUM (соответственно. JCGM 100:2008 и JCGM 101:2008). Настоящий стандарт предназначен для тех же пользователей, что и два вышеуказанных документа (см. также JCGM 104).

2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие документы:

JCGM 100:2008, Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM) (Руководство по выражению неопределенности измерения (GUM))

JCGM 101:2008, Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the ‘Guide to the expression of uncertainty in measurement" — Propagation of distributions using a Monte Carlo method (Оценивание данных измерений. Дополнение 1 к «Руководству по выражению неопределенности измерения». Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло)

JCGM 104:2009, Evaluation of measurement data — An introduction to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" and related documents (Оценивание данных измерений. Введение к «Руководству по выражению неопределенности измерения» и сопутствующим документам)

JCGM 200:2008, International Vocabulary of Metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM) (Международный словарь no метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM))

3 Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины no JCGM 100:2008 и JCGM 200:2008, некоторые из которых (при необходимости, модифицированные) приведены в настоящем разделе, а также следующие термины с соответствующими определениями (обозначения, использованные в настоящем стандарте, приведены в приложении D).

3.1    действительная величина (real quantity): Величина, числовое значение которой является действительным числом.

3.2    комплексная величина (complex quantity): Величина, числовое значение которой является комплексным числом.

Примечание — Комплексная величина 2 может быть представлена двумя действительными величинами в форме алгебраической

Z=<Z_R.Z,>^T = Z„*IZ₍

или тригонометрической

Z = (Z_r 2^)^т = Z^cosZ* ♦ i sinZ^).

где символ «^т» обозначает транспонирование;

i — мнимая единица, i³ = -1;

Z_R и Z, — соответственно действительная и мнимая части Z.

Z_f и Z_M — соответственно модуль и аргумент Z

3.3    векторная величина (vector quantity): Совокупность величин, упорядоченных в виде элементов матрицы с одним столбцом.

3.4    действительная векторная величина (real vector quantity): Векторная величина, элементами которой являются действительные величины.

Пример —Действительная векторная величина X, состоящая из N элементов (действипюльных чисел) X],.... X_N может быть представлена в виде матрицы размерности N * 1 (матрицы-столбца):

3.5 комплексная векторная величина (complex vector quantity): Векторная величина, элементами которой являются комплексные величины.

ГОСТ 34100.3.2-2017

Пример — Комплексная векторная величина Z, состоящая из N элементов (комплексных чисел) Z_p ..., Z_N может быть представлена в виде матрицы размерности N * 1 (матрицы-столбца):

3.6 векторная измеряемая величина (vector measurand): Векторная величина, подлежащая измерению.

Примечание — Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200 2008 (словарная статья 2 3)]

3.7 модель (измерения) (measurement model): Математическое соотношение между всеми величинами. используемыми для получения результата измерения.

Примечание 1 — Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200:2008 (словарная статья 2 48))

Примечание 2 — В общем виде модель измерения имеет вид уравнения Л(У. X,.....X_N) = 0. где

У— выходная величина модели измерения, являющаяся одновременно измеряемой величиной, значение которой должно быть получено на основе информации о входных величинах *1.....**

Примечание 3 — Если модель измерения содержит две и более выходные величины, то она включает в себя более одного уравнения

3.8 многомерная модель (измерения) (multivariate measurement model): Модель измерения с произвольным числом выходных величин.

Примечание 1 — В общем случае многомерная модель измерения имеет вид уравнений

W.....^Ym>^X1.....^XN) = 0..... .....У^Х,.....Х„) = 0.

где У,..... Y_m — т выходных величин, в совокупности составляющих измеряемую величину, значения которых

должны быть получены на основе информации о входных величинах многомерной модели *1.....^XN

Примечание 2 — Общий вид многомерной модели измерения может быть представлен также в векторной форме

/КУ.Х) = 0.

где У = (У,.....У_т)^т и h = (Л,.....h_m)^J — матрицы размерности т * 1

Примечание 3 — В случае одной выходной величины, т е. т = 1 (см примечание 1), модель измерения называют одномерной

3.9 многомерная функция (измерения) (multivariate measurement function): Функция, определяющая зависимость выходных величин от входных величин в многомерной модели измерения.

Примечание 1 — Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200 2008 (словарная статья 2 49))

Примечание 2 — Если уравнения, входящие в модель измерения h{Y. X) = 0. могут быть разрешены в явном виде У = ЦХ). где X = (X,. .... X_W)^T — входные величины, а У = (У,..... У_ш)^т    —    выходные    величины    модели измерения, то f - (f,.....f_my — многомерная функция измерения В более общем случае под 1 можно по

нимать алгоритм, посредством которого устанавливается однозначное соответствие значений выходных величин у, = f,(x).....у_т = fj[x) значениям входных величин х = (х,..... x_w)^T

Примечание 3 — В случае одной выходной величины, т. е т = 1 (см примечание 2). функцию измерения называют одномерной

3.10    модель (измерения) с действительными величинами (real measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), в состав которой входят только действительные величины

3.11    модель (измерения) с комплексными величинами (complex measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), в состав которой входят комплексные величины.

3.12    модель многоступенчатого измерения (multistage measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), состоящая из последовательности подмоделей, связанных между собой таким образом, что выходные величины подмодели одной ступени являются входными величинами подмодели следующей ступени.

Примечание — Зачастую потребность в определении области охвата для выходных величин (на основе их совместного распределения) имеет место только на заключительном этапе измерения ⁴

Пример — Измерение, включающее в себя процедуру калибровки, может рассматриваться как двухступенчатое. Для первой подмодели значениями входных величин являются передаваемые от эталонов и соответствующие им показания средства измерений, а выходными величинами — параметры калибровочной функции (градуировочной характеристики). Эта подмодель определяет способ определения выходных величин по входным величинам, например решением системы уравнений, получаемых при применении метода наименьших квадратов. Входными величинами второй подмодели являются параметры калибровочной функции и новое показание средства измерений, а выходной величиной — измеряемая величина, для получения значения которой было применено сродство измерений.

3.13    функция (совместного) распределения (вероятностей) (joint distribution function): Функция,

дающая для каждого значения £ = (q,.....4w)^T значение вероятности того, что каждый элемент X, слу

чайной векторной переменной X будет меньше или равен

Примечание — Функцию распределения случайной переменной X обозначают G*<£). где

G^) = Pr(X₁S^₁.....X_N^)

3.14    плотность (совместного) распределения (вероятностей) (joint probability density function): Неотрицательная функция g_х(^. удовлетворяющая условию

4. г»

G_x($)= J ...J g_x(z)<iz_N..siz,.

—во —во

3.15    маргинальная плотность распределения (вероятностей) (marginal probability density function): Плотность распределения д_х(&) элемента X, случайной векторной переменной X с плотностью совместного распределения д/&‘. которая имеет вид

оо ОС

9х,(4,)= J-J

Примечание — Если все элементы X,, / — 1,.... N, составляющие случайную переменную X. независимы. то д/Ь) = g_xfa) д_х^₂)... g_xfi_N)

3.16    математическое ожидание (expectation): Характеристика случайной переменной Х_г являющейся элементом случайной векторной переменной X с плотностью совместного распределения которая имеет вид

оо во    оо

£(Х,)= J...Jb»RK,--d5N= 1ьях,(Ь)Ъ.

Примечание 1— Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101 2008 (словарная статья 3 6)]

Примечание 2 — Математическим ожиданием случайной векторной переменной X является Е(Х) = (Е(Х^).....£(X_W))^T    — матрица размерности N * 1

3.17    дисперсия (variance): Характеристика случайной переменной Х_г являющейся элементом случайной векторной переменной Xс плотностью совместного распределения д*(£). которая имеет вид

оо оо    оо

V(x,)= / ... j [b-E(Xl)f №({)<1-4м - /[«,-E(X,);f *х, fete.

Примечание — Данное определение модифицировано по отношению к XGM 101 2008 (словарная статья 3.7)].

3.18 ковариация (covariance): Характеристика двух случайных переменных X, и Х_у являющихся элементами случайной векторной переменной X с плотностью совместного распределения д^ф. которая имеет вид

оо оо

со»(х,.Ху)=со»(х_/.х,). J... j [«,-£(х,)][5у-е(Х;)]9х№)<*;,-d* - ⁵

ГОСТ 34100.3.2-2017

где дх х, — плотность совместного распределения случайных переменных X, и Х_у.

Примечание 1 — Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101 2008 (словарная статья 3.10))

Примечание 2 — Ковариационной матрицей случайной векторной переменной X является симметричная положительно полуопределенная матрица V(X) размерности N * N, элементами которой являются ковариации

CoviXf, X_J),i = 1.....N,j- 1. . N Некоторые операции с использованием V(X) налагают более строгое ограничение

в виде положительной определенности этой матрицы

3.19 корреляция (correlation): Характеристика двух спучайных переменных Х_{ и Х_у, являющихся элементами случайной векторной переменной Хс плотностью совместного распределения д/Q, которая имеет вид

Со.(Х,Х^Согг(Х,Х^^^.

Примечание — Величина СоЩХ^, Х_;) имеет размерность единица

3.20 ковариационная матрица (оценок) (measurement covariance matrix): Связанная с оценкой действительной векторной величины размерности N * 1 симметричная положительно полуопределенная матрица размерности N * N, на главной диагонали которой расположены квадраты стандартных неопределенностей, соответствующих оценкам элементов векторной величины, а остальные члены матрицы представляют собой ковариации между парами соответствующих оценок элементов векторной величины.

Примечание 1 — Термин и определение модифицированы по отношению к JCGM 101 2008 (словарная статья 3.11)].

Примечание 2 — Ковариационная матрица U_x размерности N * N, соответствующая вектору оценок х векторной величины X, имеет вид

где u(x_t Xj) = и²^,) — дисперсия (квадрат стандартной неопределенности) оценки х;

Щх, Xj) - ковариация между х, и х. Если элементы X_t и Х_у вектора X некоррелированны, то о(х,, х_;) = 0 Примечание 3 — В JCGm 101 2008 ковариационная матрица называется матрицей неопределенности Примечание 4 — При работе с ковариационными матрицами могут возникать некоторые вычислительные трудности Например, ковариационная матрица U_x соответствующая оценке х. может не быть положительно определенной (это зависит от того, каким образом была рассчитана матрица U_x). Как следствие, для такой матрицы не будет существовать разложение Холецкого. часто применяемое в численных методах вычислений (см (7] и приложение В) Более того, дисперсия для линейной комбинации элементов х, которая предположительно должна иметь небольшое положительное значение, может оказаться отрицательной Для таких ситуаций разработаны методы «коррекции» U_г после применения которых полученная матрица будет положительно определена, и, соответственно, для нее будет существовать разложение Холецкого, а дисперсия линейной комбинации элементов х будет всегда положительна Один из таких методов приведен в (27J. а его принцип состоит в следующем Выполняют спектральное разложение матрицы U_x, представляя ее в виде

U_x= QDQ"¹,

где Q — матрица, столбцы которой являются ортонормированными собственными векторами матрицы U_x, a D — диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены соответствующие собственные значения U_x Строят новую диагональную матрицу D', заменяя в матрице О элементы, меньшие чем d_min, на d_mn. где d_min равно произведению наибольшего элемента D на единичную ошибку округления компьютера, применяемого при вычислениях Тогда «корректированная» ковариационная матрица, применяемая для последующих вычислений, будет иметь вид

Lr_x=QO'Cr'.

Примечание 5 — Некоторые операции с использованием U_x требуют, чтобы данная матрица была положительно определенной

3.21 корреляционная матрица (оценок) (correlation matrix): Связанная с оценкой действительной векторной величины размерности N * 1 симметричная положительно полуопределенная матрица размерности N * N. членами которой являются корреляции между парами соответствующих оценок элементов векторной величины.

5

1

^ Многомерное нормальное распределение называют также многомерным распределением Гаусса

2

3

4

5