ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

Статистические методы

СТЕПЕННАЯ МОДЕЛЬ. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ

(IEC 61710:2013, Power law model — Goodness of-fit tests and estimation methods,

MOD)

Издание официальное

Москва

Стаидартинформ

2017

Предисловие

1    ПОДГОТОВЛЕН Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО «НИЦ КД») на основе собственного перевода на русский язык англоязычной версии стандарта, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Применение статистических методов»

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 10 августа 2017 г. № 863-ст

4    Настоящий стандарт является модифицированным по отношению к международному стандарту МЭК61710:2013 «Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки» (IEC 61710:2013 «Power law model — Goodness of-fit tests and estimation methods», MOD) путем изменения отдельных фраз. слов, ссылок, которые выделены в тексте стандарта курсивом, а также путем внесения технических отклонений. указанных во введении к настоящему стандарту.

Международный стандарт разработан Техническим комитетом ТС 56 «Dependability» Международной электротехнической комиссии (IEC)

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5-2012 (пункт 3.5).

Сведения о соответствии ссылочного национального стандарта международному стандарту, использованному в качестве ссылочного в примененном международном стандарте, приведены в дополнительном приложении ДА

5    ВЗАМЕН ГОСТ Р 50779.28-2007 (МЭК 61710:2000)

Правила применения настоящего стандарта установлены в статье 26 Федерального закона от 29 июня 2015 г. № 162-ФЗ «О стандартизации в Российской Федерации». Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе «Национальные стандарты», а официальный текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ni)

О Стандартинформ. 2017

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

ГОСТ Р 50779.28-2017

Этап 3. Вычисляют оценку параметра масштаба X:

Этап 4. Вычисляют оценку параметра потока отказов z(0 в произвольный момент времени t > 0:

z(0=Xp/H

Оценка 2(0 является оценкой параметра потока отказов в точке t из диапазона данных. Оценки для будущих значений t могут быть получены точно так же, но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.

7.3 Критерии согласия

7.3.1    Случай 1. Известны наработки до каждого отказа

7.3.1.1    Критерий Крамера-Мизеса

Этап 1. Вычисляют jj в соответствии с 7.2.1 или 7.2.2, этап 2.

Этап 2. Вычисляют статистику критерия согласия Крамера-Мизеса:

где М = N и Т = Г* (испытания с ограниченным временем наблюдений).

М =Л/ - 1 и Т = t_N (испытания с ограниченным количеством отказов).

Этап 3. Определяют по таблице 1 критическое значение критерия Крамера-Мизеса С^^М) для уровня значимости 10 %.

Таблица 1— Критические значения критерия согласия Крамера-Мизеса для уровня значимости 10 %

м Критическое значение статистики С&дд(М) 3 0,154 4 0,155 5 0,160 6 0,162 7 0,165 8 0,165 9 0,167 10 0,167 11 0,169 12 0,169 13 0,169 14 0,169 15 0,169 16 0,171 17 0,171 18 0,171 19 0,171 20 0,172 30 0,172 *60 0,173 Примечание 1 — Для испытаний с ограниченной наработкой М - N Примечание 2 — Для испытаний с ограниченным количеством отказов М * N - 1

7

Этап 4. Если

^с2>С}_>9о(М),

гипотезу о соответствии данных степенной модели отклоняют. В противном случае принимают решение о соответствии данных степенной модели как рабочую гипотезу.

7.3.1.2 Графический метод

Если известны наработки до каждого отказа, для получения дополнительной информации о соответствии данных степенной модели можно использовать графический метод. Он требует построения графика математического ожидания наработки до /-го отказа E(tj) в соответствии с наблюдаемыми наработками до/-го отказа. Более подробное описание метода приведено в приложениях А и В.

Этап 1. Вычисляют р в соответствии с 7.2.1, этап 2 и X в соответствии с 7.2.1. этап 3.

Этап 2. Вычисляют оценку математического ожидания наработки до /-го отказа, для / = 1.2.....N

^к,нё-

Этап 3. Изображают график E(tj) в зависимости от в идентичных линейных координатах. Визуальная согласованность точек графика с прямой, проходящей через начало координат под углом 45° является субъективной мерой применимости модели.

7.3.2 Вариант 2. Известны интервалы наработок для групп отказов

7.3.2.1 Критерий у}

Этап 1. Вычисляют р в соответствии с 7.2.3. этап 2 и X в соответствии с 7.2.3. этап 3.

Этап 2. Вычисляют математическое ожидание количества отказов в интервале времени [t{i-1). f(/)):

Этап 3. Для каждого интервала е, не должно быть менее 5. В случае необходимости, смежные интервалы необходимо объединять до выполнения критерия Для d интервалов (после объединения при необходимости) и с соответствующими значениями /V, вычисляют статистику х² аналогично 7.2.3:

W-e,)2

Этап 4 Определяют критическое значение х$90^ - 2). используя таблицу х²-распределения с (d - 2) степенями свободы и уровнем значимости 10 % (см. таблицу 2).

Этап 5. Если тестовая статистика х² превышает критическое значение х|эо@ ” 2) гипотезу о соответствии степенной модели сгруппированным данным отклоняют. В противном случае соответствие данных степенной модели принимают как рабочую гипотезу.

Критерий х² является критерием для больших выборок, поскольку для выявления отклонения от степенной модели он требует больших наборов данных.

Таблица 2 — Квантили х2-распределения

Степени свободы V *io5(v> xWv> xWv> 2 0,10 4,61 5,99 4 0.71 7.78 9,49 6 1.64 10.65 12.59 8 2.73 13.36 15.51 10 3.94 15.98 18.31 12 5.23 18.55 21.03 14 6.57 21,06 23,69 16 7.96 23.54 26,30 18 9.39 25.99 28,87 20 10,85 28,41 31,41

Окончание таблицы 2

Степени свободы v xWv> *WV> 22 12,34 30,81 33,92 24 13,85 33,20 36.42 26 15,38 35,56 38.89 28 16,92 37,92 41.34 30 18,49 40,26 43,77 32 20,09 42,57 46,17 34 21,70 44.88 48.57 36 23,30 47.19 50.96 38 24,91 49,50 53,36 40 26,51 51,81 55,76 42 28,16 54.08 58,11 50 34.76 63,17 67,51 52 36,45 65,42 69.82 60 43,19 74.40 79.08 62 44,90 76,63 81,37 70 51,74 85,53 90,53 72 53,47 87,74 92.80 80 60,39 96.58 101,88 82 62,14 98,78 104.13 90 69,13 107,57 113,15 92 70,89 109,76 115,39 100 77,93 118,50 124,34 102 79,70 120.68 126.57 110 86,79 129,38 135,48 112 88,57 131,56 137,70 120 95,71 140,23 146.57 122 97,49 142.40 148.78 200 168,28 226,02 233,99 _^_ -1,64 ♦ 1,28 ♦ 1,64 Примечание 1 — 1 Линейная интерполяция промежуточных значений является достаточно точной Примечание 2 — Для больших значений v используют приближение Хр =[(zp + V2V-1)2 j/2 (гр— квантиль нормированного нормального распределения уровня р).

7.3.2.2 Графический метод

Если набор данных состоит из известных интервалов времени, в течение которых произошло известное количество отказов, то для получения дополнительной информации о соответствии данных степенной модели можно использовать графический метод. Метод предусматривает построение математического ожидания количества отказов в соответствии с наблюдаемым количеством отказов в точках границ интервалов. Более подробно описание метода приведено в припожении А.

Этап 1. Для кахадой точки /(/) вычисляют наблюдаемое количество отказов в интервале от 0 до /(/):

Ч'(')Ь t^Ni-

у=1

ГОСТ P 50779.28—2017

Этап 2. Вычисляют оценку математического ожидания количества отказов Е [N (/(/)!]:

E[N[t(i))) = Xt(if.

Этап 3. Строят график Е [N [*(/)]] в соответствии с N (/(/)] в идентичных линейных координатах. Визуальная согласованность точек с прямой, проходящей под углом 45° через начало координат, является субъективной мерой применимости модели.

7.4 Доверительные интервалы для параметра формы

7.4.1    Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа

Параметр формы (1 степенной модели определяет характер изменения параметра потока отказов во времени. Если 0 < р < 1. то параметр потока отказов убывает. Если р = 1. то параметр потока отказов является постоянным. Если р > 1. то параметр потока отказов увеличивается.

При построении двустороннего доверительного интервала для р на основе известных наработок, следует выполнить приведенные ниже шаги.

7.4.1.1    Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 %. Данные с ограниченным временем наблюдений

Этап 1. Вычисляют р в соответствии с 7.2.1. этап 2 или в соответствии с 7.2.2. этап 2.

Этап 2. Вычисляют значения D_L и D_a:

о Xoos(2N>

„    *0»5<2Л0

^“ЗлГЙГ

Значения квантиля /²- распределения приведены в таблице 2.

Этап 3. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:

Pls ⁼ ^VP-Pue^p.

Этап 4. Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 % имеет вид

(Pj.e- Рив)-

Примечание — Значения величин p_Lfi и Pyg являются таже нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для р с уровнем доверия 95 %

7.4.1.2 Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 %. Данные с ограниченным количеством отказов

Этап 1. Вычисляют р в соответствии с 7.2.1, этап 2.

Этап 2. Вычисляют значения D_L и О_и\

_D _ *0,05(3"-1))

^L 2(N - 2)    ’

Хо.95(2(Л/-

2(N-2)

Значения квантилей %²- распределения приведены в таблице 2.

Этап 3. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:

Р ив ⁼ °уР

Этап 4 Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 % имеет вид

(Pte- Р ив)-

Примечание — Значения р^ и руд являются также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для р с уровнем доверия 95 %

ГОСТ Р 50779.28-2017

7.4.2 Вариант 2. Известны наработки для групп отказов

Этап 1. Вычисляют (} в соответствии с 7.2.3, этап 2.

Этап 2. Вычисляют значения Рф:

^р,/)'тё-^f=1'².....*

Этап 3. Вычисляют значение А:

_л у [^p(')]^l>ln[^p(i)]^P-[^p('-1)1^l’^ln[^p('-'^l)1^g

^м    [Р(()]^-[Р(/-1)]^Р

Этап 4. Вычисляют значение С:

Этап 5. Для определения приближенного двустороннего доверительного интервала для р с уровнем доверия 90 % вычисляют значение S:

о 1.64С

^{S =} ^T'

где /V — общее количество отказов.

Этап 6. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала

fce ■№-$>.

Ъм^ак*+Si-

Этап 7. Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 % имеет вид

Pub)

Примечание — Значения р^ и р^д — являются также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для р с уровнем доверия 95 %

7.5 Доверительные интервалы для параметра потока отказов

7.5.1 Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа

Этап 1. Вычисляют z(f) в соответствии с 7.2.1. этап 4 или в соответствии с 7.2.2, этап 4.

Этап 2 Для двустороннего доверительного интервала с уровнем доверия 90 % с помощью таблицы 3 (испытания с ограниченным временем наблюдений; и таблицы 4 (испытания с ограниченным количеством отказов) определяют значения L и U для объема выборки Л/.

Этап 3. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:

^Zlb-1T'

2 ~^Z(t)

^ZUB - — •

Этап 4. Двусторонний доверительный интервал для г(0 с уровнем доверия 90 % имеет вид

(^zlb• ^zub>-

Примечание — Значения z^ и z^q являются нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для z(t) с уровнем доверия 95 % ¹

Таблица 3 — Коэффициенты L*U для двусторонних доверительных интервалов с уровнем доверия 90 % при испытаниях с ограниченной наработкой

N L и N L и 3 0,175 6,490 21 0.570 1,738 4 0,234 4,460 22 0,578 1,714 5 0.281 3.613 23 0,586 1,692 6 0,320 3,136 24 0,593 1,672 7 0,353 2,826 25 0,600 1,653 8 0,381 2,608 26 0,606 1,635 9 0,406 2,444 27 0,612 1,619 10 0.428 2,317 28 0,618 1,604 11 0.447 2,214 29 0,623 1,590 12 0.464 2,130 30 0,629 1,576 18 0.543 1,825 70 0.745 1,336 19 0,552 1,793 80 0,759 1.311 20 0,561 1,765 100 0,783 1,273 Примечание 1—ДляЛ/>100 ‘■МНвГ «■тгМЕГ Примечание 2 — Линейная интерполяция промежуточных значений дает достаточно точные результаты

7.5.2 Вариант 2. Известны наработки до каждого отказа

Этап 1. Вычисляют 2(f) в соответствии с 7.2.3, этап 4.

Этап 2. Вычисляют значения Р(/):

Этап 3. Вычисляют значение А:

_А |.[P(<)1^l4P(/)l'ⁱ-[P(/-1)]^|iln[P(.-1)]¹

Таблица 4 — Коэффициенты L и U для двусторонних доверительных интервалов с уровнем доверия 90 % при испытаниях с ограниченным количеством отказов

N L и N L и 3 0,1712 4,746 21 0,6018 1,701 4 0,2587 3,825 22 0,6091 1,680 5 0.3174 3,254 23 0,6160 1,659 6 0,3614 2,892 24 0,6225 1,641 7 0,3962 2,644 25 0,6286 1,623 8 0,4251 2,463 26 0,6344 1,608 9 0.4495 2,324 27 0.6400 1,592 10 0.4706 2,216 28 0,6452 1,578

ГОСТ Р 50779.28-2017

Содержание

1    Область применения....................................................................................................................................1

2    Нормативные ссылки....................................................................................................................................1

3    Термины и определения...............................................................................................................................1

4    Обозначения.................................................................................................................................................1

5    Степенная модель........................................................................................................................................2

6    Требования к данным...................................................................................................................................3

7    Статистические оценки и критерии.............................................................................................................5

Приложение А (справочное) Степенная модель. Общие сведения..........................................................17

Приложение В (справочное) Числовые примеры.......................................................................................18

Приложение С (справочное) Байесовский подход к анализу степенной модели.....................................26

Приложение ДА (справочное) Сведения о соответствии ссылочных национальных

стандартов международным стандартам, использованным в качестве

ссылочных в примененном международном стандарте................................................38

Библиография................................................................................................................................................39

Введение

В настоящем стандарте приведено описание степенной модели и даны рекомендации по ее использованию. Степенная модель является одной из наиболее используемых моделей надежности восстанавливаемых объектов. В настоящем стандарте установлены методы определения оценок параметров степенной модели, критерии проверки соответствия ей данных, а также методы построения доверительных интервалов для параметра потока отказов и предикционных интервалов для наработок до отказа. Исходные данные представляют собой набор наработок между отказами восстанавливаемого объекта или группы идентичных объектов. Наблюдение за наработками объекта завершают в момент последнего отказа или в момент цензурирования. Все выходные данные зависят от типа рассматриваемого объекта.

Некоторые методы требуют применения компьютерных программ, поскольку являются весьма сложными. Представленные в настоящем стандарте алгоритмы могут быть использованы для создания компьютерных программ.

В настоящем стандарте в разделе «Нормативные ссылки» ссылка на международный стандарт заменена ссылкой на национальный стандарт. ²

ГОСТ P 50779.28—2017 (МЭК 61710:2013)

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы СТЕПЕННАЯ МОДЕЛЬ. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ

Statistical methods Power law model Goodness of-fit tests and estimation methods

Дата введения — 2018—12—01

1    Область применения

В настоящем стандарте установлены методы определения точечной оценки параметров степенной модели, доверительных интервалов для параметра потока отказов, предикционных интервалов для наработок до отказов и критерии согласия для степенной модели на основе данных о наработках восстанавливаемых объектов. При этом предполагают, что данные о наработках до отказа исследуемых объектов или некоторой группы идентичных объектов должны быть получены в одинаковых условиях (например, при одинаковой нагрузке или в одинаковых условиях окружающей среды).

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использована нормативная ссылка на следующий стандарт:

ГОСТ Р 50779.10 (ИСО 3534-1:93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и опредепения

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю «Национальные стандарты*, который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты» за текущий год Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений, если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия) Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку

3    Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779 10.

4    Обозначения

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

Р    —    параметр формы степенной модели;

Р    —    оценка параметра формы степенной модели;

ГОСТ P 50779.28—2017

Pi.8- Рив

c³ -

d

нижняя и верхняя доверительные границы параметра р; статистика критерия согласия Крамера-Мизеса;

критическое значение статистики критерия согласия Крамера-Мизеса для уровня у,

статистика критерия согласия хи-квадрат;

квантиль ^-распределения с v степенями свободы уровня у,

E[N(0)    -

Щ1    -

tirnD)    -

by    -

/    —

j    —

к    —

L, U    —

X    —

i

M    —

N    —

^NJ

m    -

Nim    -

R    —

T    —

r    -

^TJ

^TRL’ ^TRU —

f    _

'N+ 1

ti

количество интервалов для групп отказов;

математическое ожидание количества отказов за время Г.

математическое ожидание наработки до>-го отказа;

оценка математического ожидания количества отказов за время t(i);

оценка математического ожидания наработки до у-го отказа;

квантиль F-распределения с (v,. v₂) степенями свободы уровня у.

общий индекс;

общий индекс;

количество объектов;

множители, используемые при вычислении границ доверительных интервалов для параметра потока отказов; параметр масштаба степенной модели; оценка параметра масштаба степенной модели; параметр статистического критерия Крамера-Мизеса; количество отказов; количество отказов >-го объекта; суммарное количество отказов за время t. суммарное количество отказов за время Hi):

разность между порядковым номером будущего (прогнозируемого) отказа и порядковым номером последнего (наблюдаемого) отказа; суммарная наработка;

продолжительность испытаний с ограниченным временем наблюдений; полная суммарная наработка >го объекта;

нижняя и верхняя предикционные границы для наработки до R-го будущего отказа;

оценка медианы наработки до (N +1)-го отказа;

наработка до /-го отказа;

наработка до /-го отказа у-го объекта;

/(HI). I© -z(0    -

m    -

^ZLB• ^ZUB ~

продолжительность испытаний с ограниченным количеством отказов; наработка до N-го отказа у-ro объекта;

конечные точки но интервала наработок для сгруппированных отказов;

параметр потока отказов в момент времени t.

оценка параметра потока отказов в момент времени t,

нижняя и верхняя доверительные границы для параметра потока отказов.

5 Степенная модель

Статистические методы для степенной модели используют данные о количестве отказов и наработках. полученные при испытаниях или эксплуатации. Ниже приведены основные уравнения степенной модели. Общие сведения о степенной модели приведены в приложении А. а примеры ее применения — в приложении В.

ГОСТ P 50779.28—2017

Математическое ожидание суммарного количества отказов за время t

Е (Л/(0) ^s X fi , X > 0. |5 > 0. t > 0,

где X — параметр масштаба;

|i — параметр формы (0 < р < 1 соответствует уменьшающемуся параметру потока отказов; |i = 1 соответствует постоянному параметру потока отказов; [5 > 1 соответствует увеличивающемуся параметру потока отказов).

Параметр потока отказов в момент времени t.

= оо.

Таким образом, параметры X и (i влияют на параметр потока отказов в заданный момент времени.

В 7.2 приведены методы определения оценки максимального правдоподобия для параметров X и р. В 6.3 приведены критерии согласия для степенной модели, а в 7.4 и 7.5 — методы определения доверительного интервала. В 7.6 приведены методы определения предикционного интервала, а в 7.7 —критерии проверки равенства параметров формы. Модель проста для оценки, но если р < 1, теоретически z(0) = оо (z(0 стремится к бесконечности при t стремящемся к нулю) и z(«) = 0 (z(f) стремится к нулю при t, стремящемся к бесконечности). Однако эти теоретические ограничения не влияют на практическое использование модели.

6 Требования к данным

6.1    Общие положения

6.1.1    Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа одного или нескольких объектов из одной совокупности

Обычно методы оценки предполагают, что наблюдаемые наработки определяются точными моментами появления отказа единственного восстанавливаемого объекта или набора одинаковых восстанавливаемых объектов. На рисунках 1—3 показано, как определяют наработки в трех общих случаях

6.1.2    Вариант 1а). Один восстанавливаемый объект

Для одного восстанавливаемого объекта, наблюдаемого с момента времени 0 до момента времени Т, соответствующая наработка /₍ является временем функционирования объекта (исключая время ремонта и простоя) до возникновения /-го отказа, как показано на рисунке 1.

А — наработка. 8 — простой Рисунок 1 — Один восстанавливаемый объект

Испытания с ограниченным временем наблюдений проводят до достижения наработки Т, которая не совпадает с моментом возникновения отказа, а испытания с ограниченным количеством отказов, проводят до момента возникновения N-то отказа, т.е. до наработки t_N. Для обработки результатов испытаний с ограниченным временем наблюдений и с ограниченным количеством отказов, используют различные формулы.

6.1.3 Вариант 1Ь). Несколько идентичных восстанавливаемых объектов, наблюдаемых в течение одного и того же интервала времени

Предполагается, что имеется к объектов из одной совокупности, то есть объекты являются иденл/ч-ными и функционируют в одинаковых условиях (окружающей среды и нафузки). Если объекты наблюдают до достижения наработки Т, которая не совладает с моментом возникновения отказа (испытания, ограниченным временем наблюдений), тогда данные о наработках объединяют, отражая моменты отказов (/,. i=1.2 .... /V) всех к объектов на одной оси времени, как показано на рисунке 2.

3

А — 1-й объект; В — 2-й объект. С — Л-й объект. D — объединенный процесс Рисунок 2 — Несколько идентичных восстанавливаемых объектов, наблкадаемых в течение одного и того же интервала времени

6.1.4 Вариант 1с). Несколько идентичных восстанавливаемых объектов, наблюдаемых в течение различных интервалов времени

Если не все объекты функционируют в течение одного и того же интервала времени, то можно считать, что моменты прекращения наблюдений удовлетворяют условию Г, < Т₂ < ... < Т_к. Данные об отказах объединяют, отражая все моменты возникновения отказов всех объектов к на общей оси, как показано на рисунке 3. Наработки до отказа /=1.2.....N. где N — общее количество отказов, иссле

дуют совместно по всем к объектам.

Л — 1-й объект, В — 2-й объект, С — 3-й объект. D — К-й объект, t — время Рисунок 3 — Несколько восстанавливаемых объектов наблкадаемых в течение различных интервалов времени

6.2    Вариант 2. Известны интервалы наработок для групп отказов одного или нескольких объектов из одной совокупности

Этот альтернативный метод используют, когда имеется хотя бы два объекта и данные состоят из известных интервалов времени, в течение которых произошло известное количество отказов.

Период наблюдений представляет собой [интервал (0. 7)). разделенный на d интервалов 0 < t.

/(1) < t(2) < ... < t(<f). При этом /-й интервал — это период времени от t(i - 1) до /(/), /=1.2.....d. где

t(0) = 0. t(d) = Т. Важно отметить, что продолжительности интервалов времени и количество отказов в каждом из них могут быть неодинаковыми.

6.3    Вариант 3. Известны наработки до каждого отказа нескольких восстанавливаемых объектов из различных совокупностей

Предполагается, что существует к объектов, которые не принадлежат к одной совокупности и их необходимо сравнить. Если каждый объект рассмотреть отдельно, необходимо использовать вариант 1а) в 6.1.2.

Если должно быть выполнено прямое сравнение систем в качестве расширения 6.1 необходимо использовать следующие обозначения:

t_tj — время возникновения /-го отказа для процесса, соответствующего /-му объекту;

Л/_; — количество наблюдаемых отказов >го объекта; t_Nj — время возникновения N-го отказа /-го объекта.

где /=0.1.2.....Nj и/ = 1. 2. ... к.

4

ГОСТ P 50779.28—2017

7 Статистические оценки и критерии

7.1 Краткий обзор

В варианте 1 (известны наработки до каждого отказа) дано описание испытаний с ограниченным количеством отказов с одним восстанавливаемым объектом, т. е.. когда к = 1. Все результаты соответствуют одному объекту. Формулы для данных с ограниченным количеством отказов, предполагают, что к идентичных объектов наблюдают в течение одного интервала времени. Методы определения точечных оценок для всех вышеупомянутых случаев приведены в 7.2.1. Соответствующие методы для случая, когда все объекты наблюдают в различные отрезки времени, приведены в 7.2.2. Методы для случая испытаний с ограниченным временем наблюдений для групп отказов приведены в 7.2.3.

Соответствующий критерий согласия, описанный в 7.3. следует применять после определения точечных оценок параметра в соответствии с 7.2. Эти критерии и методы (см. 7.4—7.7) для определения интервальных оценок различают только случай известных наработок до каждого отказа (все ситуации варианта 1. т. е. 1а). 1Ь) и 1с)) и случай известных интервалов наработок для групп отказов (вариант 2).

Для выборок, объем которых составляет менее 10 единиц, методы определения приближенных оценок следует применять с большой осторожностью.

7.2 Точечная оценка

7.2.1 Варианты 1а) и 1Ь). Известны наработки до каждого отказа

Метод применяют только в тех случаях, когда зафиксированы наработки для каждого отказа в соответствии с 6.1.2 и 6.1.3.

Этап 1. Вычисляют сумму:

N    _т.    \

Si = £ln — (испытания с ограниченным временем наблюдений).

/и Ч ) n (t 1

S₂ = ^In — (испытания с ограниченным количеством отказов), у-1 V Ч )

Этап 2. Вычисляют несмещенную оценку параметра формы р:

Р

N-1

Si

(испытания с ограниченным временем наблюдений).

Р =

N -2

S2

(испытания с ограниченным количеством отказов).

Этап 3. Вычисляют оценку параметра масштаба X:

~ /V

X =- (испытания    с    ограниченным    временем    наблюдений).

k(T’f

N

X =-т- (испытания с ограниченным количеством отказов).

{<_Nf

Этап 4. Вычисляют оценку параметра потока отказов z(0 в момент времени t > 0:

z(f) = X р /Р^-1.

Оценка 2(f) является оценкой параметра потока отказов в точке t из диапазона данных. Оценки для будущих значений t могут быть получены точно так же. но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.

Этап 5. На основе N выявленных отказов, последний из которых произошел в момент времени t_N. можно получить оценку медианы наработки до (Л/ + 1)-го отказа:

Ты* 1 = to ех р

-1

0.5^1 -1

n$/n- 1

(испытания с ограниченным временем наблюдений).

Tn

= t_N exp

0.5^м*¹ -1 N&N - 2

(испытания с ограниченным количеством отказов).

7.2.2 Вариант 1с). Известны наработки до каждого отказа

Метод применяют только в случае, когда известны наработки до каждого отказа в соответствии с

6.1.4

Этап 1. Собирают данные о наработках до отказа /=1.2.....N. где Л/— общее количество отказов по к объектам и 7" (/ = 1,2.....к) — время окончания наблюдений за >м объектом.

Этап 2. Оценка максимального правдоподобия р для параметра формы р является решением уравнения

_N « ^Nrf'^nTi

т⁺5>'/—¹Т—--о

/-1

I⁷?

У-¹

Для решения уравнения используют итеративный метод. Этап 3. Вычисляют оценку параметра масштаба

У-1

Этап 4. Вычисляют оценку параметра потока отказов z(0 для времени t > 0:

z(0 = Xp/H

Оценка 2(f) является оценкой параметра потока отказов в точке t из диапазона данных. Оценки для будущих значений t могут быть получены точно так же, но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.

7.2.3 Вариант 2. Известны интервалы наработок для групп отказов

Метод применяют, когда набор данных состоит из известных интервалов времени, в течение которых произошло известное количество отказов в соответствии с 6.2.

Этап 1. Из набора данных выбирают количество отказов Л/_г зафиксированных в нл интервале [/(/ - 1). /(/)), /=1.2.....d. Общее количество отказов:

л/ = £л/,.

/=1

Этап 2. Оценка максимального правдоподобия р параметра формы р является корнем уравнения

|Ф)р1п/(/)-|/(/-1)р1п/(/-1)

-lnf(d)

= 0.

Очевидно, что (/(0)^ = 0 и [/(0))f^ In /(0) = 0. После нормализации членов /(.) относительно t(d) член lnf(d) исчезает. Для решения уравнения относительно р используют итеративный метод.

1

2

Издание официальное

3